1、描述形體形狀特征的信息：描述形體形狀特征的信息：用來(lái)表示幾何元素的性質(zhì)和度量關(guān)系的信息。表示形體各個(gè)幾何元素之間連接關(guān)系的信息。最基本的幾何元素。任何幾何形體都可用點(diǎn)的有序集合表示。兩個(gè)或多于兩個(gè)相鄰面的交界。 邊具有方向性：邊具有方向性：由起點(diǎn)沿邊指向終點(diǎn)。 面具有方向性：面具有方向性：通常由面的外法矢方向作為其正方向。 外法矢方向：外法矢方向：由組成面的外環(huán)的有向邊按右手規(guī)則確定。由有序、有向邊組成的面的封閉邊界。l外環(huán)：外環(huán)：確定面的最大外邊界。l內(nèi)環(huán)：內(nèi)環(huán)：確定面中內(nèi)孔或凸臺(tái)邊界。環(huán)的方向性：環(huán)的方向性： 外環(huán)外環(huán)各邊按逆時(shí)針排列各邊按逆時(shí)針排列 內(nèi)環(huán)內(nèi)環(huán)各邊按順時(shí)針方向排列各邊按順時(shí)

2、針方向排列由面圍成的封閉三維空間。在觀察方向上所能看到的形體的最大外輪廓線。指可用有限個(gè)尺寸參數(shù)定位和定型的形體。l 基本體素：基本體素：如長(zhǎng)方體、圓柱體、球體、棱柱體、圓環(huán)體等；l 由輪廓線沿指定的空間參數(shù)曲線掃描或回轉(zhuǎn)所形成的形體。由輪廓線沿指定的空間參數(shù)曲線掃描或回轉(zhuǎn)所形成的形體。具有維數(shù)一致的邊界所定義的形體稱為正則形體。特點(diǎn)：特點(diǎn)：每條邊只能有兩個(gè)相鄰面。維數(shù)不一致的邊界所定義的形體稱為非正則形體。特點(diǎn)：特點(diǎn)：具有懸邊或懸面。說明各個(gè)幾何要素間的連接關(guān)系 包含性包含性和相鄰性相鄰性外殼：外殼：V1 V2 V3 V6 V5 V8 V1 E1 E2 E7 E6 E10 E11F1外環(huán)：外

3、環(huán)：V1 V2 V3 V4 V1F1內(nèi)環(huán)：內(nèi)環(huán)： V12 V11 V10 V9 V12 形體表示的層次用頂點(diǎn)和邊表示形體。缺點(diǎn)：缺點(diǎn)： 無(wú)法自動(dòng)消隱，所構(gòu)造的形體易產(chǎn)生不確定性，即具有二義性。 不能明確定義給定點(diǎn)與形體之間的關(guān)系，不能生成剖切圖、渲染圖等。線框模型的二義性線框模型示例是將有向棱邊圍成的部分定義為形體的表面，用面的集合表示形體的模型。l從美學(xué)和外形功能要求的角度對(duì)構(gòu)造模型進(jìn)行評(píng)價(jià)和修改。l對(duì)構(gòu)造曲面生成NC (Numerical Control,數(shù)字控制）加工程序，以完成對(duì)該曲面的加工。l平面模型：平面模型：用多邊形網(wǎng)格描述形體表面。l曲面模型：曲面模型：用曲面片代替平面模型中的

4、小平面片。表面模型的缺點(diǎn)：表面模型的缺點(diǎn)：u模型中所有面未必形成封閉的邊界。u沒有明確定義形體位于面的那一側(cè)，仍不能有效地用來(lái)表示形體。由具有一定拓?fù)潢P(guān)系的形體表面定義形體。表面之間通過環(huán)、邊、點(diǎn)建立聯(lián)系，表面的方向由圍繞表面的環(huán)的繞向決定，表面法失總是指向形體之外。l實(shí)體模型的拓?fù)浜戏z驗(yàn)實(shí)體模型的拓?fù)浜戏z驗(yàn) 任一棱邊必然只與兩個(gè)表面相鄰，且在這兩個(gè)表面環(huán)上的方向必須相反。 實(shí)體模型中構(gòu)成形體的表面之間具有一定的拓?fù)潢P(guān)系，根據(jù)表面的方向可以判斷形體在表面的哪一側(cè)。l平移掃描法：平移掃描法：將二維圖形沿某一軌跡移動(dòng)構(gòu)造三維形體的方法。u正平移：正平移：二維圖形沿與其垂直的直線移動(dòng)；u斜平移：

5、斜平移：二維圖形沿任意直線方向移動(dòng)；u縮放平移：縮放平移：二維圖形移動(dòng)構(gòu)造形體的過程中不斷放大或縮小。l蒙皮法：蒙皮法：將二維圖形沿任意曲線移動(dòng)同時(shí)調(diào)整二維圖形的尺寸甚至形狀，這種構(gòu)造三維形體的方法稱為蒙皮法。l旋轉(zhuǎn)掃描法：旋轉(zhuǎn)掃描法：將二維圖形繞某一軸線旋轉(zhuǎn)構(gòu)造三維形體的方法。）（布爾運(yùn)算）：并、交、差A(yù)-BABABABl （CSG二叉樹) 用二叉樹形式說明通過基本體素間的集合運(yùn)算來(lái)構(gòu)造復(fù)雜形體的歷史過程。并差形體的形體的CSG樹型結(jié)構(gòu)樹型結(jié)構(gòu)葉子節(jié)點(diǎn)葉子節(jié)點(diǎn)體素或幾何變換參數(shù)中間節(jié)點(diǎn)中間節(jié)點(diǎn)施加在其上的集合運(yùn)算或幾何變換定義優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、緊湊，數(shù)據(jù)管理方便；實(shí)體構(gòu)造無(wú)二義性；操

6、作方便，概念直觀，可通過修改構(gòu)造環(huán)節(jié)改變形體的形狀；容易實(shí)現(xiàn)參數(shù)化造型。缺點(diǎn)：缺點(diǎn)：u造型過程只能采用集合運(yùn)算，一些局部修改功能，如拉伸、倒圓等不能使用；u邊界以及邊界與實(shí)體的連接關(guān)系難以提取；u形體顯示效率低，不利于圖形顯示。根節(jié)點(diǎn)根節(jié)點(diǎn)所構(gòu)造的幾何形體用光滑的圓弧表面取代形體上的棱邊及棱角。將形體的某個(gè)表面或表面的一部分拉起，使原形體得以延伸的處理方法。拉伸面倒圓角（Boundary Representation, B-Rep) 用組成實(shí)體邊界的基本元素（即頂點(diǎn)、棱邊和面）及其連接關(guān)系信息表示實(shí)體。 采用邊界表示法定義的實(shí)體為有限數(shù)量的面的集合，面則由邊及頂點(diǎn)加以定義。 實(shí)體造型系統(tǒng)中一般

7、采用CSG與B-Rep混合表示法，即用CSG模型表示實(shí)體幾何造型的過程和設(shè)計(jì)參數(shù)，用Brep模型維護(hù)詳細(xì)的幾何信息和存儲(chǔ)、管理、運(yùn)算以及顯示輸出等操作。 在基于CSG模型的造型過程中，可將形狀特征、參數(shù)化設(shè)計(jì)引入造型過程的體素定義、幾何變換及最終的模型中； Brep信息的細(xì)節(jié)則為設(shè)計(jì)參數(shù)提供參考幾何基準(zhǔn)。 顯示效率高； 邊界信息提取容易，可進(jìn)行局部修改。缺點(diǎn)：缺點(diǎn)： 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)復(fù)雜； 修改操作不方便。以實(shí)體造型為基礎(chǔ)，使設(shè)計(jì)者采用常見的、具有一定設(shè)計(jì)或加工功能的特征作為造型的基本單元來(lái)構(gòu)造幾何模型的方法。1. 特征的定義：特征的定義：特征是具有屬性，與設(shè)計(jì)、制造活動(dòng)有關(guān)，并含有工程意義的基本幾何

8、實(shí)體或信息的集合。 l特征是零件表面上有意義的區(qū)域。（基于幾何和加工的定義）l特征是產(chǎn)品信息傳遞的載體。（從信息傳遞的角度）l特征是與零件描述或零件之間關(guān)系相關(guān)的信息集。l特征是零件的形狀或其它屬性的信息集。2. 特征所具有的特點(diǎn)特征所具有的特點(diǎn)l特征與零件的幾何描述相關(guān)；l特征具有一定的工程實(shí)際意義，不同工程領(lǐng)域，特征的內(nèi)容會(huì)有所不同，具體應(yīng)用時(shí)，特征應(yīng)覆蓋所需要的信息；l特征可被識(shí)別與轉(zhuǎn)換。與描述零件幾何形狀、尺寸相關(guān)的信息集合，包括功能形狀、加工工藝形狀、裝配輔助形狀等，是用于描述零件或產(chǎn)品的主要特征。主特征：主特征：用以構(gòu)造零件的基本幾何形體。用以構(gòu)造零件的基本幾何形體。簡(jiǎn)單的幾何形體

9、。（如圓柱體、長(zhǎng)方體、球體等）指具有相對(duì)固定的結(jié)構(gòu)形狀和加工方法的形狀特征，其幾何形狀較復(fù)雜，且不便于進(jìn)一步細(xì)分為其他形狀特征的組合。（如如盤類零件、輪類零件的輪輻和輪轂等，基本上都是由宏特征及附加在其上的輔助特征構(gòu)成） 輔特征：輔特征：依附于主特征（也可是另一輔特征）之上的幾何形狀特征，是對(duì)主特征的局部修飾，反映零件幾何形狀的細(xì)微結(jié)構(gòu)。（如螺紋、花鍵、V形槽、T形槽、U形槽等）由一些簡(jiǎn)單輔特征組合而成的特征，如中心孔、同軸孔等。 指由一些同類輔特征按一定的規(guī)律在空間的不同位置上復(fù)制而成的形狀特征，如周向均布孔、矩形陣列孔、油溝密封槽、輪緣（如齒圓、V型帶輪槽等）。 描述零件幾何形狀、尺寸許可

10、變動(dòng)量的信息集合；（包括尺寸公差和形位公差，表面粗糙度等）描述零件性能、制造技術(shù)要求、裝配要求的信息集合；與零件管理有關(guān)的信息集合；（包括題欄信息，如零件名、設(shè)計(jì)者、設(shè)計(jì)日期等；零件材料，未注粗糙度等信息）與零件材料和熱處理有關(guān)的信息集合；（如材料性能、熱處理方式、硬度值等）針對(duì)箱體類零件提出的特征，即箱體類零件各表面的方位信息的集合；（如方位標(biāo)識(shí)、方位外法線與各坐標(biāo)平面的夾角等）針對(duì)工藝特征模型提出特征，即反映軸向尺寸鏈信息的集合；與零部件裝配有關(guān)的信息集合。（如零部件的配合關(guān)系、裝配關(guān)系等）構(gòu)成特征之間的層次關(guān)系。超類特征：超類特征：位于層次上級(jí)的特征；亞類特征：亞類特征：位于層次下級(jí)的特

11、征。亞類特征可繼承超類特征的屬性和方法。亞類特征可繼承超類特征的屬性和方法。特征與特征實(shí)例之間的聯(lián)系也屬于繼承關(guān)系。特征與特征實(shí)例之間的聯(lián)系也屬于繼承關(guān)系。描述形狀特征中各形狀特征之間的依從和附屬關(guān)系。 從屬特征依賴于被從屬的特征而存在，對(duì)被從屬的形狀特征作局部修飾。反映形狀特征之間的相互位置關(guān)系。描述特征類之間作為關(guān)聯(lián)屬性而相互引用的聯(lián)系。如階梯軸：相鄰兩個(gè)軸段之間的關(guān)系就是鄰接聯(lián)系，其中每個(gè)相鄰面的狀態(tài)可共享。引用聯(lián)系主要存在于形狀特征對(duì)精度特征、材料特征的引用。l完備的形狀特征，以適應(yīng)眾多的零件； l完備的產(chǎn)品信息（幾何/拓?fù)湫畔ⅲ黝愄卣餍畔?，零件的總體信息）； l特征庫(kù)的組織方式，應(yīng)

12、便于操作、管理，方便用戶對(duì)特征進(jìn)行修改、增加和刪除。 l圖譜方式：畫出各類特征圖，附以特征屬性，建立表格形式。 l用形式化數(shù)據(jù)規(guī)范語(yǔ)言對(duì)特征進(jìn)行描述，建立特征的概念庫(kù)； EXPRESS語(yǔ)言描述方式：PDES（Product Data Exchanging Standard 產(chǎn)品數(shù)據(jù)交換信息規(guī)范 美國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)和技術(shù)協(xié)會(huì)）/STEP（Standards for Transmission and Exchange of Product ISO：產(chǎn)品信息交換和傳輸標(biāo)準(zhǔn)）推薦的一種計(jì)算機(jī)可處理的形式建模語(yǔ)言。用于建立特征庫(kù)，以便使那些基于特征的計(jì)算機(jī)輔助系統(tǒng)根據(jù)系統(tǒng)本身的軟、硬件的需要，映射為適合于自身

13、的實(shí)現(xiàn)語(yǔ)言描述特征。 l用計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言描述特征，設(shè)計(jì)時(shí)直接 調(diào)用特征庫(kù)及程序文件，進(jìn)行繪圖和建立產(chǎn)品信息模型。 其余技術(shù)要求：調(diào)質(zhì)處理，硬度220 250其余技術(shù)要求：調(diào)質(zhì)處理，硬度220 2501. 工業(yè)產(chǎn)品的形態(tài)：工業(yè)產(chǎn)品的形態(tài)：2. 采用何種工業(yè)產(chǎn)品形態(tài)的決定因素：采用何種工業(yè)產(chǎn)品形態(tài)的決定因素：l純美學(xué)要求純美學(xué)要求l產(chǎn)品性能對(duì)形態(tài)的要求產(chǎn)品性能對(duì)形態(tài)的要求l產(chǎn)品結(jié)構(gòu)唯一性要求產(chǎn)品結(jié)構(gòu)唯一性要求構(gòu)造曲線與曲面的最基本的幾何元素，用于確定、修改曲線與曲面的位置及形狀 。用于確定曲線和曲面的位置與形狀，所控制的曲線或曲面不一定通過控制點(diǎn)。用于確定曲線和曲面的位置與形狀，所控制相應(yīng)曲線

14、或曲面一定通過型值點(diǎn) 。為提高曲線和曲面的輸出精度，或?yàn)樾薷那€和曲面形狀，在型值點(diǎn)或控制點(diǎn)之間插入的點(diǎn)。型值點(diǎn)型值點(diǎn)控制點(diǎn)控制點(diǎn)l規(guī)則形體規(guī)則形體l自由曲面形體自由曲面形體根據(jù)給定的一組有序的數(shù)據(jù)點(diǎn)，構(gòu)造一條曲線，使其順序通過這些數(shù)據(jù)點(diǎn).注意：注意：插值函數(shù)必須嚴(yán)格通過所有插值節(jié)點(diǎn)。構(gòu)造一條曲線，使在一定條件下最為接近給定的數(shù)據(jù)點(diǎn).注意：注意：逼近不要求通過所有給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)，只是對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)的最佳逼近。插值和逼近的統(tǒng)稱，即在允許的誤差范圍內(nèi)貼近或通過所有給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)，并使所構(gòu)造的曲線或曲面光滑連接。所構(gòu)造的曲線或曲面是否光滑和順眼。曲線或曲面在連接處的連接狀態(tài)。 l零階連續(xù)：邊界重合；l一階連續(xù)

15、：一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，切線矢量連續(xù)；l二階連續(xù)：二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，曲率連續(xù)。光滑光滑是客觀評(píng)判，指空間曲線曲面的連續(xù)階，數(shù)學(xué)上一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的曲線即為光滑曲線；順眼順眼是主觀評(píng)價(jià)，是指人對(duì)空間曲線曲面的鼓癟凹凸的感覺 uzzuyyuxx uyyuxxu：參數(shù)曲線上點(diǎn)的位置矢量：曲線上點(diǎn)的位置矢量： bauuzuyuxzyxu, p 1 , 0 uupp空間兩點(diǎn)所定義曲線的參數(shù)方程空間兩點(diǎn)所定義曲線的參數(shù)方程0p1p up 100101pppppppuuuu1 , 0u 101ppppuuu 10101100ppppppuFuFuFuFu1 , 0u0p1p up niiinnuFuFuFuFu11100p

16、ppppp21,uuu uFi：基函數(shù)、權(quán)函數(shù)、混合函數(shù)、調(diào)和函數(shù) 采用不同的基函數(shù)，可得到不同的參數(shù)曲線。采用不同的基函數(shù)，可得到不同的參數(shù)曲線。采用插值方法定義橫向、縱向兩組曲線；由兩組曲線所構(gòu)成的網(wǎng)格定義一組曲面片，每個(gè)曲面片由4條光滑連續(xù)的曲線作為邊界；用二維插值法描述各個(gè)曲面片；分片描述的各曲面在保證相鄰曲面片光滑連續(xù)的條件下，組成完整的光滑曲面；曲面上點(diǎn)的位置矢量：曲面上點(diǎn)的位置矢量：2121, ,vvvuuuvuzvuyvuxzyxvup1 , 0, ,vuvupp 2121,00, vvvuuuvFuFijmjnimjnipp uFni,曲面沿 u方向的基函數(shù) vFmj,曲面沿

17、 v方向的基函數(shù) 102210,u uuuunnaaaap由兩端點(diǎn)及兩端點(diǎn)處的切矢定義的參數(shù)曲線。 10332210,u uuuuaaaap邊界條件：邊界條件：兩端點(diǎn)處的切矢兩端點(diǎn)處的切矢 100app 3211321aaapp 000app 321011aaaapp兩端點(diǎn)兩端點(diǎn) 0p up 1p 0p 1pO邊界條件邊界條件00pa 01pa10102233ppppa1010322ppppa（2） 三次參數(shù)曲三次參數(shù)曲線線1010322ppppa00pa 01pa10102233ppppa 31010210100022233uuuuppppppppppp代入三次參數(shù)曲線方程 332210uu

18、uuaaaap 132032132032223231pppppuuuuuuuuuu 101032323232223231pppppuuuuuuuuuu 10104321pppppuFuFuFuFuhhhh uFh1 uFh2 uFh3 uFh4（2） 三次參數(shù)曲三次參數(shù)曲線線 101032323232223231pppppuuuuuuuuuu 10103211221233010000011pppppuuuu前一段曲線的終點(diǎn)為后一段曲線的起點(diǎn)；前一段曲線終點(diǎn)處的切矢等于后一段曲線起點(diǎn)處的切矢；前一段曲線終點(diǎn)處的二階切矢等于后一段曲線起點(diǎn)處的二階切矢。 010101rlrlrlpppppp 101

19、03211221233010000011pppppuuuu 101011221233010000016200pppppuu 101010104266124660pppppppppp 1202081606rlrrlppppp 0131040lrrrlppppp 1204160614021606rrrrllllpppppppp 0131040lrrrlpppppO1ip1ipip1ip2ip2ipip1ipi點(diǎn)處滿足光滑連接條件。111134iiiiipppppni, 2 , 1三切矢方程三切矢方程O 01rlpp 01rlpp 1rp 0lp 1rp 0lpln段拼接的參數(shù)曲線通過n+1個(gè)點(diǎn)l參

20、數(shù)曲線由其端點(diǎn)（或通過點(diǎn)）位置以及各個(gè)點(diǎn)處的切矢確定，改變數(shù)據(jù)點(diǎn)的位置矢量，調(diào)節(jié)切矢的方向或者切矢的長(zhǎng)度，都可以改變曲線形狀。 10103211221233010000011pppppuuuuO1ip1ipip1ip2ip2ipip1ip111134iiiiipppppni, 2 , 1例：給定9個(gè)型值點(diǎn)，其中起始點(diǎn)和終止點(diǎn)是同一個(gè)點(diǎn)，從而其特征多邊形是一個(gè)首尾相接的封閉多邊形，具體坐標(biāo)位置如下：（100,300）,（120,200）,（220,200）,（270,100）,（370,100）,（420,200）,（420,300）,（220,280）,（100,300）假定各點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)數(shù)

21、值如下：（70,-70）, （70,-70）, （70,-70）,（70,-70）, （70,70）, （70,70）, （-70,70）, （-70,70）, （70,-70）用Hermite插值方法繪制曲線。Hermit三次曲線算法主要實(shí)現(xiàn)子程序?qū)嵗吻€算法主要實(shí)現(xiàn)子程序?qū)嵗齰oid HermitCurve() int i; int arry192=100,300,120,200,220,200,270, 100,370, 100, 420,200,420,300,220,280,100,300; int arry292=70,-70,70,-70,70,-70,70,-70,70,7

22、0,70,70, -70,70,-70,70,70,-70; for(i=0;i8;i+) SetColor(4); line(arry1i0,arry1i1,arry1i+10,arry1i+11); SetColor(12); Hermit3(arry1,arry2,i,100); void Hermit3(int *arry1,int *arry2,int n,int steps) int i,x,y,k1,k2,k3,k4,m1,m2,m3,m4; float a0,a1,a2,a3,b0,b1,b2,b3,dt,t,t2,t3; k1=arry1n0; k2=arry1n+10; k

23、3=arry2n0; k4=arry2n+10; m1=arry1n1; m2=arry1n+11; m3=arry2n1; m4=arry2n+11; MoveTo (arry1n0,arry1n1); a0 = k1; a1 = k3; a2 = -3*k1+3*k2-2*k3-k4; a3 = 2*k1-2*k2+k3+k4; b0 = m1; b1 = m3; b2 = -3*m1+3*m2-2*m3-m4; b3 = 2*m1-2*m2+m3+m4; dt = 1.0/steps;for(i=1;isteps;i+) t = i*dt; t2 = t*t; t3 = t*t2; x

24、= a0+a1*t+a2*t2+a3*t3; y = b0+b1*t+b2*t2+b3*t3; lineto(x,y); Hermit三次曲線繪制演示三次曲線繪制演示由曲線上的兩個(gè)端點(diǎn)和若干個(gè)不在曲線上但能決定曲線形狀的點(diǎn)確定。 通常通常n次次Bezier曲線由曲線由n+1個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的特征多邊形確定。特征多邊形上的成的特征多邊形確定。特征多邊形上的各頂點(diǎn)為曲線的特征點(diǎn)或控制點(diǎn)。各頂點(diǎn)為曲線的特征點(diǎn)或控制點(diǎn)。（1） n次次Bezier曲線數(shù)學(xué)表達(dá)式：曲線數(shù)學(xué)表達(dá)式： 10 0,uuBuniinipp0p1p2p3p ininiuun-iinuB1! ,10 10 1,0, 00！，uni

25、ui規(guī)定：規(guī)定：n次次Bezier曲線曲線: niiniuBu0,pp 101 ,iiiuBupp ininiuun-iinuB1! , 11 , 101 , 0pppuBuBu 111100101!11! 1! 11!01! 0! 1pppuuuuu 101pppuuun次次Bezier曲線曲線: ininiuun-iinuB1! , niiniuBu0,pp 202,iiiuBupp 22, 212, 102, 0ppppuBuBuBu 2222112100201!22!2!21!12! 1!21!02!0!2ppppuuuuuuu 21020010221211ppppuuu 221021

26、21ppppuuuuun次次Bezier曲線曲線: ininiuun-iinuB1! , niiniuBu0,pp 303 ,iiiuBupp 33 , 323 , 213 , 103 , 0pppppuBuBuBuBu 30303 , 011!03! 0! 3uuuuB uuuuuB131!23! 2! 322323 , 2 21313 , 1131!13! 1! 3uuuuuB 33333 , 31!33! 3! 3uuuuB 32102300010033036313311pppppuuuu下圖表示出調(diào)和函數(shù)的四條曲線。這四條曲線形成了三次下圖表示出調(diào)和函數(shù)的四條曲線。這四條曲線形成了三次

27、Bezier曲線的一組基，任何三次曲線的一組基，任何三次Bezier曲線都是這四條曲線曲線都是這四條曲線的線性組合。的線性組合。 實(shí)際生成曲線時(shí)，按問題的要求取一合適的實(shí)際生成曲線時(shí)，按問題的要求取一合適的步長(zhǎng)，控制步長(zhǎng)，控制u u從從0 0到到1 1變化，求出一系列變化，求出一系列(x,y)(x,y)坐坐標(biāo)點(diǎn)，將其用小線段順序連接起來(lái)，就可以得標(biāo)點(diǎn)，將其用小線段順序連接起來(lái)，就可以得到一條到一條BezierBezier曲線。曲線。 對(duì)于二維平面的情況，只有對(duì)于二維平面的情況，只有x,yx,y坐標(biāo)分量坐標(biāo)分量習(xí)題習(xí)題1：請(qǐng)利用下面給出的控制點(diǎn)的坐標(biāo)，做三次請(qǐng)利用下面給出的控制點(diǎn)的坐標(biāo)，做三次B

28、rezier曲線：曲線：p0=(1,0,0)；p1=(5,5,0)；p2=(15,7,0)；p3=(10,2,0)參數(shù)參數(shù)t的取值間隔為的取值間隔為0.2,則則n=3時(shí)，時(shí)，B0(t)=(1-t)，B1(t)=3(1-t)t，B2(t)=3(1-t)t，B3(t)=t對(duì)于參數(shù)對(duì)于參數(shù)t的不同取值，坐標(biāo)的不同取值，坐標(biāo)P(t)可以用下式求得：可以用下式求得：P(t) B0(t)p0 B1(t) p1 B2(t) p2 B3(t) p3tBi解：解：P(0)=1(1,0,0)0 (5,5,0)0 (15,7,0) 0(10,2,0) (1,0,0)P(0.2)=0.51(1,0,0)0.38 (5

29、,5,0)0.10 (15,7,0) 0.01(10,2,0) (4.01,2.62,0)P(0.4)=0.22(1,0,0)0.43 (5,5,0)0.23 (15,7,0) 0.06(10,2,0) (6.42,3.88,0)P(0.6)=0.06(1,0,0)0.23 (5,5,0)0.43 (15,7,0) 0.22(10,2,0) (9.86,4.60,0)P(0.8)=0.01(1,0,0)0.10 (5,5,0)0.38 (15,7,0) 0.51(10,2,0) (11.31,4.18,0)P(1)=0(1,0,0)0 (5,5,0)0 (15,7,0) 1(10,2,0) (

30、10.00,2.00,0)01234524681012(1,0,0)(4.01,2.62,0)(6.42,3.88,0)(9.86,4.60,0)(11.31,4.18,0)(10.00,2.00,0)三次Brezier曲線描圖n次次Bezier曲線曲線: ininiuun-iinuB1! , niiniuBu0,pp inini!n-ii!n!B010 0, inini!n-ii!n!B111 1, 0001i,pppniniB 111,nniiniBppp0001iinini0110 10 1,0, 00！，uniuin次次Bezier曲線曲線: ininiuun-iinuB1! , ni

31、iniuBu0,pp 11,11 iniininiuinu!n-ii!n!uiu!n-ii!n!uB 11,010010 0iniininiin!n-ii!n!i!n-ii!n!B 11,111111 1iniininiin!n-ii!n!i!n-ii!n!B niiniuBu0,pp結(jié)論：結(jié)論： 001pppn 11nnnppp1010iinin101nininnin 11 1!00,nniniininiuuuuininuBBezier曲線上的任意點(diǎn)是其特征多邊形各頂點(diǎn)的加權(quán)平均，Bezier曲線上所有點(diǎn)均落在由特征多邊形各頂點(diǎn)所構(gòu)成的凸包之中。n次次Bezier曲線曲線: ininiuun

32、-iinuB1! , niiniuBu0,pp niiniuBu0,ppn次次Bezier曲線曲線: ininiuun-iinuB1! , niiniuBu0,pp niini,2 , 1 , 0*pp inninninuu!in-n!inn!uB1 , uBuBninin, 1 0,0,0,0*,*11niininiinninniinniniiniuBuBuBuBupppppiinuu!i!inn!111uBni1,由4個(gè)頂點(diǎn)及4個(gè)頂點(diǎn)所確定直線邊界定義的曲面。vu0,0p1 ,0p1 , 1p0, 1p vv,v110111pppv ,0p v,v0010000ppppv , 1p v,v

33、0111011ppppvu,p u,v,v,vu,v010pppp vv,v100001ppp uu,v,vu,v101ppp vvuvvu,u,v110, 11 , 00, 0111ppppp uvvuvuvu,u,v110, 11 , 00, 01111ppppp uvvuvuvu,u,v110, 11 , 00, 01111pppppvu,pvu0 , 0p1 , 0p1 , 1p0 , 1p1 , 0, vu 1 , 11 , 00, 10, 01111pppppuvvuuuvuu,v： u向和v向的Bernstein基函數(shù)；：(n+1)(m+1)個(gè)頂點(diǎn)的位置矢量，由其構(gòu)造一特征網(wǎng)格。

34、0001013303631331BM33323130232221201312111003020100pppppppppppppppppB nimjijmjnivBuBvu00,pp1 , 0, vu 30303 ,3 ,ijijjivBuBvupp1 , 0, vuTTBBBVMpUMvu,p1 , 0, vu123uuuU=123vvvTV=下面舉兩個(gè)例子：下面舉兩個(gè)例子：例例1：給定：給定16個(gè)控制點(diǎn)坐標(biāo)如下：個(gè)控制點(diǎn)坐標(biāo)如下：(100,300),(110,180),(120,160),(140,230),(100,300),(110,180),(120,160),(140,230),(180,200),(190,130),(200,110),(240,170),(180,200),(190,130),(200,110),(240,170),(310,200),(320,130),(330,110),(370,170),(310,200),(320,130),(330,110),(370,170),(420,300),(430,180),(450,160),(490,240).(420,300),(430,180),(450,160),(490,240).繪制三次繪制三次BezierBezier曲面。曲面。三次三次BezierBezier曲面繪制曲面繪