1、矩 陣 論20162016級級主講教師：李玉瑛主講教師：李玉瑛太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院本課程教材：本課程教材：矩陣分析引論矩陣分析引論. .羅家洪羅家洪 方衛(wèi)東方衛(wèi)東 編著編著 華南理工大學(xué)出版社華南理工大學(xué)出版社. .參考價(jià)參考價(jià)20元元. .參考書：參考書：矩陣論導(dǎo)學(xué)矩陣論導(dǎo)學(xué). .導(dǎo)教導(dǎo)教. .導(dǎo)考導(dǎo)考. .張凱院張凱院, ,徐仲編徐仲編. .西北西北工業(yè)大學(xué)出版社工業(yè)大學(xué)出版社. .參考價(jià)參考價(jià)12元元. .矩陣?yán)碚摼仃嚴(yán)碚? . 蘇育才蘇育才, ,姜翠波姜翠波, ,張躍輝編張躍輝編. .科學(xué)出科學(xué)出版社版社. .參考價(jià)參考價(jià)25元元. .目錄目錄第第1 1章：線性空間與線性變換章：線性空

2、間與線性變換第第2 2章：內(nèi)積空間章：內(nèi)積空間第第3 3章：矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形章：矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形第第4 4章：矩陣函數(shù)及其應(yīng)用章：矩陣函數(shù)及其應(yīng)用第第5 5章：特征值的估計(jì)與廣義逆矩陣章：特征值的估計(jì)與廣義逆矩陣第第6 6章：非負(fù)矩陣章：非負(fù)矩陣 1.1 線性空間的概念線性空間的概念1.2 基變換與坐標(biāo)變換基變換與坐標(biāo)變換1.3 子空間與維數(shù)定理子空間與維數(shù)定理1.4 線性空間的同構(gòu)線性空間的同構(gòu)1.5 線性變換的概念線性變換的概念1.6 線性變換的矩陣線性變換的矩陣1.7* 不變子空間不變子空間 本章將介紹兩個(gè)內(nèi)容，本章將介紹兩個(gè)內(nèi)容，線性空間線性空間與與線性線性變換變換，它們是矩陣分析中兩個(gè)基本概

3、念，同，它們是矩陣分析中兩個(gè)基本概念，同時(shí)也是重要的概念線性空間是線性代數(shù)中時(shí)也是重要的概念線性空間是線性代數(shù)中向量空間概念的推廣向量空間概念的推廣1.1 線性空間的概念線性空間的概念 人們討論問題，往往都是就一定人們討論問題，往往都是就一定“范圍范圍”來說的，離開來說的，離開了這個(gè)了這個(gè)“范圍范圍” ，就難以講清楚了，甚至只能在某個(gè)，就難以講清楚了，甚至只能在某個(gè)“范圍范圍”內(nèi)才能提出或研究某種問題明白了這一點(diǎn)，就較容易理解內(nèi)才能提出或研究某種問題明白了這一點(diǎn)，就較容易理解我們引入數(shù)域及線性空間的目的了我們引入數(shù)域及線性空間的目的了 記記Q：有理數(shù)集合：有理數(shù)集合; R：實(shí)數(shù)集合：實(shí)數(shù)集合;

4、 C：復(fù)數(shù)集合，：復(fù)數(shù)集合，它們共有的性質(zhì)是，這些集合中任意兩數(shù)的和、差、積、商它們共有的性質(zhì)是，這些集合中任意兩數(shù)的和、差、積、商(除數(shù)不為零除數(shù)不為零)仍是該集合中的數(shù)仍是該集合中的數(shù). 它們的包含關(guān)系是它們的包含關(guān)系是因此說因此說“一個(gè)復(fù)數(shù)一個(gè)復(fù)數(shù)”，自然包括實(shí)數(shù)和有理數(shù)的特殊情況，自然包括實(shí)數(shù)和有理數(shù)的特殊情況QRC 數(shù)域的概念：數(shù)域的概念：若若P是是C的一個(gè)非空集合，且的一個(gè)非空集合，且P含有非零的數(shù)，其中任意含有非零的數(shù)，其中任意兩數(shù)的和、差、積、商兩數(shù)的和、差、積、商(除數(shù)不為零除數(shù)不為零)仍屬于該集合，則稱數(shù)仍屬于該集合，則稱數(shù)集集P為一個(gè)為一個(gè)數(shù)域數(shù)域 由數(shù)域的概念我們知道，

5、由數(shù)域的概念我們知道，Q, R, C都是數(shù)域，分別稱為都是數(shù)域，分別稱為有有理數(shù)域理數(shù)域、實(shí)數(shù)域?qū)崝?shù)域及及復(fù)數(shù)域復(fù)數(shù)域請同學(xué)們回去證明：請同學(xué)們回去證明：集合是一個(gè)數(shù)域，集合是一個(gè)數(shù)域，集合不是一個(gè)數(shù)域集合不是一個(gè)數(shù)域.其中其中Z整數(shù)集合整數(shù)集合.( 2)2,Qaba bQ( 2)2,Zaba bZ 數(shù)域的一個(gè)數(shù)域的一個(gè)簡單性質(zhì)簡單性質(zhì)：有理數(shù)域有理數(shù)域是所有數(shù)域的子集合，是所有數(shù)域的子集合，每個(gè)數(shù)域都包含整數(shù)每個(gè)數(shù)域都包含整數(shù)0和和1. 在線性代數(shù)中，我們把在線性代數(shù)中，我們把n元有序數(shù)組稱為元有序數(shù)組稱為n維向量，維向量， 并并對對n維向量引入了維向量引入了加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算加法及數(shù)乘兩種

6、運(yùn)算，且在這兩種運(yùn)算下，且在這兩種運(yùn)算下滿足滿足八條基本的運(yùn)算規(guī)律八條基本的運(yùn)算規(guī)律，稱為，稱為n維向量空間維向量空間事實(shí)上，我事實(shí)上，我們不難發(fā)現(xiàn)，還有許多集合，比如們不難發(fā)現(xiàn)，還有許多集合，比如n階方陣的全體，關(guān)于矩階方陣的全體，關(guān)于矩陣的加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算，仍滿足類似的八條運(yùn)算規(guī)律這陣的加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算，仍滿足類似的八條運(yùn)算規(guī)律這里雖然研究的對象不同，定義的運(yùn)算不同，但它們有一個(gè)共里雖然研究的對象不同，定義的運(yùn)算不同，但它們有一個(gè)共同點(diǎn)，就是在非空集合與數(shù)域同點(diǎn)，就是在非空集合與數(shù)域P上定義了兩種運(yùn)算，且這兩上定義了兩種運(yùn)算，且這兩種運(yùn)算滿足八條性質(zhì)將此抽象可給出線性空間的概念種運(yùn)算滿

7、足八條性質(zhì)將此抽象可給出線性空間的概念線性空間的定義線性空間的定義 下面看一些線性空間的例子下面看一些線性空間的例子 注意注意在同一集合上，可以定義不同的線性運(yùn)算，從而在同一集合上，可以定義不同的線性運(yùn)算，從而得到不同的線性空間得到不同的線性空間線性空間的性質(zhì)線性空間的性質(zhì) 對于線性空間中零元素與負(fù)元素有如下性質(zhì)對于線性空間中零元素與負(fù)元素有如下性質(zhì) 設(shè)設(shè)V為數(shù)域?yàn)閿?shù)域P上的線性空間，上的線性空間， ，進(jìn)一步可證明，進(jìn)一步可證明如下性質(zhì)如下性質(zhì) PkV , 線性空間中向量的線性相關(guān)性線性空間中向量的線性相關(guān)性 n維向量空間維向量空間Rn及其子空間的基與維數(shù)的概念，可以推及其子空間的基與維數(shù)的概

8、念，可以推廣到一般的線性空間中廣到一般的線性空間中 若線性空間若線性空間V中能求得任意個(gè)數(shù)的線性無關(guān)的向量，則中能求得任意個(gè)數(shù)的線性無關(guān)的向量，則稱稱V為為無限維的線性空間無限維的線性空間本書主要討論本書主要討論有限維線性空間有限維線性空間 線性空間的基與維數(shù)線性空間的基與維數(shù) 一般地說，一向量組線性相關(guān)時(shí)，則其中至少有一個(gè)向一般地說，一向量組線性相關(guān)時(shí)，則其中至少有一個(gè)向量可由這組向量中其他向量線性表示，反之，如果這組向量量可由這組向量中其他向量線性表示，反之，如果這組向量具有這一性質(zhì)，則這組向量必線性相關(guān)不難推知，線性無具有這一性質(zhì)，則這組向量必線性相關(guān)不難推知，線性無關(guān)的向量組，其中任一

9、向量都不能由這組向量中其他向量線關(guān)的向量組，其中任一向量都不能由這組向量中其他向量線性表示性表示. 例例 零空間的維數(shù)是零零空間的維數(shù)是零 （1）向量在給定基下的坐標(biāo)）向量在給定基下的坐標(biāo)坐標(biāo)的概念坐標(biāo)的概念 從上例可看出，一個(gè)向量的坐標(biāo)依賴于基的選取，一個(gè)從上例可看出，一個(gè)向量的坐標(biāo)依賴于基的選取，一個(gè)向量在不同基下的坐標(biāo)一般是不相同的向量在不同基下的坐標(biāo)一般是不相同的 （2）向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示）向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示 前面講到，前面講到， 一個(gè)向量的坐標(biāo)依賴于基的選取，對于線性一個(gè)向量的坐標(biāo)依賴于基的選取，對于線性空間的兩個(gè)基來說，同一個(gè)向量的坐標(biāo)一般是不相同的空間的兩個(gè)基來說，同一個(gè)

10、向量的坐標(biāo)一般是不相同的 那那么它們之間有怎樣的關(guān)系呢么它們之間有怎樣的關(guān)系呢? 下面討論這個(gè)問題下面討論這個(gè)問題 （1）基變換、過渡矩陣的概念）基變換、過渡矩陣的概念 以下我們來討論，一個(gè)向量關(guān)于不同的基的坐標(biāo)的關(guān)系以下我們來討論，一個(gè)向量關(guān)于不同的基的坐標(biāo)的關(guān)系 （2）坐標(biāo)變換公式）坐標(biāo)變換公式過渡矩陣的性質(zhì)過渡矩陣的性質(zhì) 由此可見，我們所熟悉的矩陣乘法的定義正反映了這種線由此可見，我們所熟悉的矩陣乘法的定義正反映了這種線性代入過程性代入過程 過渡矩陣反映了線性空間的不同的基之間的關(guān)系，這是一過渡矩陣反映了線性空間的不同的基之間的關(guān)系，這是一個(gè)很重要的概念，下面進(jìn)一步討論過渡矩陣的一些性質(zhì)

11、個(gè)很重要的概念，下面進(jìn)一步討論過渡矩陣的一些性質(zhì) . 前面我們討論了線性空間的定義及其基、維數(shù)、坐前面我們討論了線性空間的定義及其基、維數(shù)、坐標(biāo)本節(jié)將對線性空間的子空間做一些介紹標(biāo)本節(jié)將對線性空間的子空間做一些介紹1. 線性子空間的概念線性子空間的概念 定義定義1-4-4設(shè)設(shè)W是線性空間是線性空間V的一個(gè)非空子集合，如果的一個(gè)非空子集合，如果W對于對于V中所定義的加法和數(shù)乘兩種運(yùn)算也構(gòu)成一個(gè)線性空間，中所定義的加法和數(shù)乘兩種運(yùn)算也構(gòu)成一個(gè)線性空間，則稱則稱W是是V的的線性子空間線性子空間，簡稱，簡稱子空間子空間. 根據(jù)上述定義，要驗(yàn)證線性空間根據(jù)上述定義，要驗(yàn)證線性空間V的非空子集合的非空子集

12、合W是是V的的子空間，需驗(yàn)證子空間，需驗(yàn)證W對于對于V中運(yùn)算封閉且滿足運(yùn)算規(guī)律（中運(yùn)算封閉且滿足運(yùn)算規(guī)律（3）、）、(4)即可因?yàn)檫\(yùn)算規(guī)律（即可因?yàn)檫\(yùn)算規(guī)律（1）、（）、（2）、（）、（5）、（）、（6）、）、（7）、（）、（8）顯然是成立的，而由線性空間的性質(zhì)可知，只）顯然是成立的，而由線性空間的性質(zhì)可知，只要要W對于對于V中運(yùn)算封閉，運(yùn)算規(guī)律（中運(yùn)算封閉，運(yùn)算規(guī)律（3）、）、(4)也就自然滿足，也就自然滿足，故有下面定理故有下面定理 .1.3子空間與維數(shù)定理子空間與維數(shù)定理 定理定理1- -2線性空間線性空間V的非空子集的非空子集W構(gòu)成構(gòu)成V的子空間的充的子空間的充分必要條件是：分必要條件

13、是： W對于對于V中的線性運(yùn)算封閉中的線性運(yùn)算封閉 根據(jù)上述定理，設(shè)根據(jù)上述定理，設(shè)V是線性空間，是線性空間，0為為V的零元素，那么的零元素，那么W=0就是就是V的一個(gè)子空間，稱為的一個(gè)子空間，稱為零子空間零子空間 當(dāng)然當(dāng)然V也是也是V的的子空間子空間 稱稱0和和V為為V的的平凡子空間平凡子空間子空間的交與和的運(yùn)算子空間的交與和的運(yùn)算 前面給出了子空間的定義，并討論了子空間的交與和，前面給出了子空間的定義，并討論了子空間的交與和，為了對子空間有進(jìn)一步的了解，我們將深入討論子空間的基為了對子空間有進(jìn)一步的了解，我們將深入討論子空間的基和維數(shù)和維數(shù) .子空間的基和維數(shù)與直和子空間的基和維數(shù)與直和

14、以下我們將這一部分做一個(gè)小結(jié)以下我們將這一部分做一個(gè)小結(jié) 看兩個(gè)不同的線性空間和元素看兩個(gè)不同的線性空間和元素1.4 線性空間的同構(gòu)線性空間的同構(gòu) 在線性空間的定義里，決定集合在線性空間的定義里，決定集合V 能否構(gòu)成數(shù)域能否構(gòu)成數(shù)域 P上的上的一個(gè)線性空間，主要是看它是否定義了一個(gè)線性空間，主要是看它是否定義了“加法加法”及及“數(shù)乘數(shù)乘”兩個(gè)運(yùn)算，以及這兩個(gè)運(yùn)算是否滿足兩個(gè)運(yùn)算，以及這兩個(gè)運(yùn)算是否滿足8條條“規(guī)則規(guī)則”. 而這兩個(gè)而這兩個(gè)運(yùn)算的具體定義及集合運(yùn)算的具體定義及集合V 的元素是什么，在我們的討論中是的元素是什么，在我們的討論中是可以不考慮的可以不考慮的. 代數(shù)是關(guān)于運(yùn)算規(guī)則的科學(xué)，

15、具有相同運(yùn)算代數(shù)是關(guān)于運(yùn)算規(guī)則的科學(xué)，具有相同運(yùn)算規(guī)則的系統(tǒng)，在某種意義上就認(rèn)為是相同的，可以不加區(qū)別規(guī)則的系統(tǒng)，在某種意義上就認(rèn)為是相同的，可以不加區(qū)別的的. 確切地說，有下述定義確切地說，有下述定義.12:(,)()nTniPXxxxxP210121 :( )()nnniP tp taa ta tataP它們有無它們有無“本質(zhì)本質(zhì)”的區(qū)別呢？的區(qū)別呢？ 現(xiàn)來討論數(shù)域現(xiàn)來討論數(shù)域 P上上n維線性空間維線性空間V 與線性空間與線性空間 Pn 與的關(guān)與的關(guān)系，在系，在V 中取定一個(gè)基中取定一個(gè)基12,n 對任意的對任意的,VkP 則有則有1122,nnkkk1122,nnlll1122()()(

16、),nnkkkkkkk 設(shè)設(shè)為為V 到到 Pn 的一個(gè)映射，它使任何的一個(gè)映射，它使任何,V 按下面方式同按下面方式同 Pn 中元素對應(yīng)起來：中元素對應(yīng)起來：12(,) ,nk kk12( ,) ,nl ll 容易證明對應(yīng)容易證明對應(yīng)是是V 到到 Pn 的一個(gè)映射，并且有的一個(gè)映射，并且有1122(,) ,nnkl klkl12(,) ,nkkk kkkk 因此因此是同構(gòu)映射是同構(gòu)映射. 于是，得到下述結(jié)論：于是，得到下述結(jié)論： 同構(gòu)映射同構(gòu)映射為為VV具有下列基本性質(zhì)具有下列基本性質(zhì)：(1)(0)0,()( ); 11(2)() ;mmiiiiiikk 本節(jié)小結(jié)：本節(jié)小結(jié)：由前面的說明及以上

17、關(guān)于同構(gòu)的討論，可以知道，同構(gòu)由前面的說明及以上關(guān)于同構(gòu)的討論，可以知道，同構(gòu)的線性空間有相同的代數(shù)性質(zhì)（指那些僅與線性空間定義中的線性空間有相同的代數(shù)性質(zhì)（指那些僅與線性空間定義中兩個(gè)運(yùn)算有關(guān)性質(zhì)，而同構(gòu)映射是保持這兩個(gè)運(yùn)算的），因兩個(gè)運(yùn)算有關(guān)性質(zhì)，而同構(gòu)映射是保持這兩個(gè)運(yùn)算的），因此，同構(gòu)的線性空間是可以不加區(qū)別的，即認(rèn)為是相同的此，同構(gòu)的線性空間是可以不加區(qū)別的，即認(rèn)為是相同的. 其次，由于一切其次，由于一切n維線性空間（相同數(shù)域維線性空間（相同數(shù)域P上的）都與上的）都與Pn同構(gòu)，同構(gòu)，這就可以用較具體的這就可以用較具體的Pn來認(rèn)識比較抽象的來認(rèn)識比較抽象的n維線性空間，并維線性空間，并且且Pn中許多性質(zhì)照樣可以搬到一般中許多性質(zhì)照樣可以搬到一般n維線性空間里來維線性空間里來.1.5 線性變換的概念線性變換的概念設(shè)設(shè)V是數(shù)域是數(shù)域P上的線性空間，把上的線性空間，把V到到V的映射稱為線性空的映射稱為線性空間間V的的變換變換. 線性變換是其中最簡單、最基本的一種變換，線性變換是其中最簡單、最基本的一種變換，它與矩陣、線性空間都有密切聯(lián)系，是矩陣?yán)碚摰闹饕芯克c矩陣、線性空間都有密切聯(lián)系，是矩陣?yán)碚摰闹饕芯繉ο笾粚ο笾?幾個(gè)例子：幾個(gè)例子： 注意注意 性質(zhì)性質(zhì)3的逆