1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上淺論關(guān)于三角函數(shù)的幾種解題技巧 本人在十多年的職中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，面對(duì)三角函數(shù)內(nèi)容的相關(guān)教學(xué)時(shí)，積累了一些解題方面的處理技巧以及心得、體會(huì)。下面嘗試進(jìn)行探討一下：一、關(guān)于的關(guān)系的推廣應(yīng)用：1、由于故知道，必可推出，例如：例1 已知。分析：由于 其中，已知，只要求出即可，此題是典型的知sin-cos，求sincos的題型。 解： 故： 2、關(guān)于tg+ctg與sin±cos，sincos的關(guān)系應(yīng)用：由于tg+ctg= 故：tg+ctg，sincos三者中知其一可推出其余式子的值。例2 若sin+cos=m2，且tg+ctg=n，則m2 n的關(guān)系為（ ）。Am2=

2、n Bm2= C D分析：觀察sin+cos與sincos的關(guān)系： sincos=而：故：，選B。例3 已知：tg+ctg=4，則sin2的值為（ ）。 A B C D分析：tg+ctg= 故：。 答案選A。例4 已知：tg+ctg=2，求分析：由上面例子已知，只要能化出含sin±cos或sincos的式子，則即可根據(jù)已知tg+ctg進(jìn)行計(jì)算。由于tg+ctg=，此題只要將化成含sincos的式子即可：解：=+2 sin2cos2-2 sin2cos2 =（sin2+cos2）- 2 sin2cos2 =1-2 (sincos)2 =1- = = 通過以上例子，可以得出以下結(jié)論：由于

3、，sincos及tg+ctg三者之間可以互化，知其一則必可知其余二。這種性質(zhì)適合于隱含此三項(xiàng)式子的三角式的計(jì)算。但有一點(diǎn)要注意的；如果通過已知sincos，求含的式子，必須討論其象限才能得出其結(jié)果的正、負(fù)號(hào)。這是由于（）2=1±2sincos，要進(jìn)行開方運(yùn)算才能求出二、關(guān)于“托底”方法的應(yīng)用：在三角函數(shù)的化簡計(jì)算或證明題中，往往需要把式子添加分母，這常用在需把含tg（或ctg）與含sin（或cos）的式子的互化中，本文把這種添配分母的方法叫做“托底”法。方法如下：例5 已知：tg=3，求的值。分析：由于，帶有分母cos，因此，可把原式分子、分母各項(xiàng)除以cos，“造出”tg，即托出底：

4、cos；解：由于tg=3 故，原式=例6 已知：ctg= -3，求sincos-cos2=?分析：由于，故必將式子化成含有的形式，而此題與例4有所不同，式子本身沒有分母，為了使原式先出現(xiàn)分母，利用公式：及托底法托出其分母，然后再分子、分母分別除以sin，造出ctg：解： 例7 （95年全國成人高考理、工科數(shù)學(xué)試卷）設(shè)，求：的值分析：此題是典型已知含正弦函數(shù)的等式求含正切、余切的式子，故要用“托底法”，由于，故，在等式兩邊同除以，托出分母為底，得：解：由已知等式兩邊同除以得： “托底”適用于通過同角的含正弦及余弦的式子與含正切、余切的式子的互化的計(jì)算。由于，即正切、余切與正弦、余弦間是比值關(guān)系，

5、故它們間的互化需“托底”，通過保持式子數(shù)值不變的情況下添加分母的方法，使它們之間可以互相轉(zhuǎn)化，達(dá)到根據(jù)已知求值的目的。而添加分母的方法主要有兩種：一種利用，把作為分母，并不改變?cè)降闹?，另一種是通過等式兩邊同時(shí)除以正弦或余弦又或者它們的積，產(chǎn)生分母。三、關(guān)于形如：的式子，在解決三角函數(shù)的極值問題時(shí)的應(yīng)用：可以從公式中得到啟示：式子與上述公式有點(diǎn)相似，如果把a(bǔ)，b部分變成含sinA，cosA的式子，則形如的式子都可以變成含的式子，由于-11，所以，可考慮用其進(jìn)行求極值問題的處理，但要注意一點(diǎn)：不能直接把a(bǔ)當(dāng)成sinA，b當(dāng)成cosA，如式子：中，不能設(shè)sinA=3，cosA=4，考慮：-1sin

6、A1，-1cosA1，可以如下處理式子： 由于。故可設(shè)：，則，即：無論取何值，-1sin(A±x)1，即：下面觀察此式在解決實(shí)際極值問題時(shí)的應(yīng)用：例1（98年全國成人高考數(shù)學(xué)考試卷）求：函數(shù)的最大值為（A ） A B C D分析：，再想辦法把變成含的式子：于是： 由于這里：設(shè)： 無論A-2x取何值，都有-1sin(A-2x)1，故的最大值為，即答案選A。例2 （96年全國成人高考理工科數(shù)學(xué)試卷）在ABC中，已知：AB=2，BC=1，CA=，分別在邊AB、BC、CA上任取點(diǎn)D、E、F，使DEF為正三角形，記FEC=，問：sin取何值時(shí)，EFD的邊長最短？并求此最短邊長。分析：首先，由于

7、，可知ABC為Rt，其中AB為斜邊，所對(duì)角C為直角，又由于，則B=90°A=60°，由于本題要計(jì)算DEF的最短邊長，故必要設(shè)正DEF的邊長為，且要列出有關(guān)為未知數(shù)的方程，對(duì)進(jìn)行求解。觀察BDE，已知：B=60°，DE=，再想辦法找出另兩個(gè)量，即可根據(jù)正弦定理列出等式，從而產(chǎn)生關(guān)于的方程。在圖中，由于EC=·cos，則BE=BC-EC=1-·cos。而B+BDE+1=180° +DEF+1=180° BDE= B=60°，DEF=60°在BDE中，根據(jù)正弦定理：在這里，要使有最小值，必須分母：有最大值，觀察

8、：設(shè)：，則故：的最大值為。即：的最小值為：而取最大值為1時(shí)，即：時(shí)，DEF的邊長最短，最短邊長為。從以上例子可知，形如適合于計(jì)算三角形函數(shù)的極值問題。計(jì)算極值時(shí)與式子的加、減是無關(guān)，與的最值有關(guān)；其中最大值為，最小值為。在計(jì)算三角函數(shù)的極值應(yīng)用題時(shí)，只要找出形如的關(guān)系式，即能根據(jù)題意，求出相關(guān)的極值。三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)解題方法總結(jié)一、見“給角求值”問題，運(yùn)用“新興”誘導(dǎo)公式一步到位轉(zhuǎn)換到區(qū)間（-90º，90º）的公式.1.sin(k+)=(-1)ksin(kZ)；2. cos(k+)=(-1)kcos(kZ)；3. tan(k+)=(-1)ktan(kZ)；4. cot(k+)

9、=(-1)kcot(kZ).二、見“sin±cos”問題，運(yùn)用三角“八卦圖”1.sin+cos>0(或<0)ó的終邊在直線y+x=0的上方（或下方）;2. sin-cos>0(或<0)ó的終邊在直線y-x=0的上方（或下方）;3.|sin|>|cos|ó的終邊在、的區(qū)域內(nèi);4.|sin|<|cos|ó的終邊在、區(qū)域內(nèi).三、見“知1求5”問題，造Rt，用勾股定理，熟記常用勾股數(shù)（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），仍然注意“符號(hào)看象限”。四、見“切割”問題，轉(zhuǎn)換成“弦”的問題。五、“見齊思弦”

10、=>“化弦為一”：已知tan,求sin與cos的齊次式，有些整式情形還可以視其分母為1，轉(zhuǎn)化為sin2+cos2.六、見“正弦值或角的平方差”形式，啟用“平方差”公式：1.sin(+)sin(-)= sin2-sin2;2. cos(+)cos(-)= cos2-sin2.七、見“sin±cos與sincos”問題，起用平方法則：(sin±cos)2=1±2sincos=1±sin2,故1.若sin+cos=t,(且t22),則2sincos=t2-1=sin2;2.若sin-cos=t,(且t22),則2sincos=1-t2=sin2.八、見“

11、tan+tan與tantan”問題，啟用變形公式:tan+tan=tan(+)(1-tantan).思考：tan-tan=？九、見三角函數(shù)“對(duì)稱”問題，啟用圖象特征代數(shù)關(guān)系：(A0)1.函數(shù)y=Asin(wx+)和函數(shù)y=Acos(wx+)的圖象，關(guān)于過最值點(diǎn)且平行于y軸的直線分別成軸對(duì)稱；2.函數(shù)y=Asin(wx+)和函數(shù)y=Acos(wx+)的圖象，關(guān)于其中間零點(diǎn)分別成中心對(duì)稱；3.同樣，利用圖象也可以得到函數(shù)y=Atan(wx+)和函數(shù)y=Acot(wx+)的對(duì)稱性質(zhì)。十、見“求最值、值域”問題，啟用有界性，或者輔助角公式：1.|sinx|1,|cosx|1;2.(asinx+bcos

12、x)2=(a2+b2)sin2(x+)(a2+b2);3.asinx+bcosx=c有解的充要條件是a2+b2c2.十一、見“高次”，用降冪，見“復(fù)角”，用轉(zhuǎn)化.1.cos2x=1-2sin2x=2cos2x-1.2.2x=(x+y)+(x-y);2y=(x+y)-(x-y);x-w=(x+y)-(y+w)等角函數(shù)公式 兩角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-t

13、anAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A=2tanA/1-(tanA)2 cos2a=(cosa)2-(sina)2=2(cosa)2 -1=1-2(sina)2 sin2A=2sinA*cosA半角公式sin2(/2)=(1-cos)/2 cos2(/2)=(1+cos)/2 tan2(/2)=(1-cos)/(1+cos)和差化積 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2c

14、osAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) ) 2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin(A+B)/2)cos(A-B)/2 cosA+cosB=2cos(A+B)/2)sin(A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB 積化和差公式 sin(a)sin(b)=-1/2*cos(a+b)-cos(a-b) cos(a)cos(b)=1/2*cos(a+b)+cos(a-b) sin(a)cos(b)=1/2*sin(a+b)+sin(a-b)萬能公式 sin(a)= (2ta