1、第3章 無限自由度系統(tǒng)的振動n 彈性桿、軸的振動彈性桿、軸的振動n Eluer-BernouliEluer-Bernouli梁梁的振動的振動引言mkcmmm2kck2kk1u2u3u離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)引言連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)分布參數(shù)系統(tǒng)分布參數(shù)系統(tǒng)無限自由度系統(tǒng)無限自由度系統(tǒng)引言桿：桿：以拉壓為主要變形的構(gòu)件以拉壓為主要變形的構(gòu)件FF軸：軸：以扭轉(zhuǎn)為主要變形的桿以扭轉(zhuǎn)為主要變形的桿TT梁：梁：以彎曲為主要變形的桿以彎曲為主要變形的桿F一個方向的尺寸遠一個方向的尺寸遠大于其他兩個方向大于其他兩個方向的尺寸的尺寸板：板：一個方向的尺寸遠小于其他兩個方向的尺寸的構(gòu)件一個方向的尺寸遠小于其他兩個方向的尺寸的

2、構(gòu)件 1744 1744年，年， EulerEuler研究了梁的橫向自由振研究了梁的橫向自由振 動，導(dǎo)出了鉸支、固定和自由三類邊界動，導(dǎo)出了鉸支、固定和自由三類邊界 條件下的振型函數(shù)與頻率方程條件下的振型函數(shù)與頻率方程 17591759年，年， EulerEuler解決了矩形膜的自由振解決了矩形膜的自由振 動問題動問題 1814-18501814-1850年，年，PoissonPoisson、KirchhoffKirchhoff、 NavierNavier建立板彎曲振動理論。建立板彎曲振動理論。引言1. 連續(xù)系統(tǒng)的振動是連續(xù)系統(tǒng)的振動是時間時間和和空間空間坐標(biāo)的函數(shù)坐標(biāo)的函數(shù)2. 連續(xù)系統(tǒng)的運

3、動方程要用連續(xù)系統(tǒng)的運動方程要用偏微分方程偏微分方程來描述來描述3. 連續(xù)彈性體有連續(xù)彈性體有無限無限多個固有頻率和固有振型多個固有頻率和固有振型引言( , )u x txuAAox連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)不同之處：連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)不同之處：連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)相似之處：連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)相似之處：1. 連續(xù)系統(tǒng)固有振型關(guān)于質(zhì)量與剛度具有加權(quán)連續(xù)系統(tǒng)固有振型關(guān)于質(zhì)量與剛度具有加權(quán)正交性正交性2. 連續(xù)系統(tǒng)的自由振動可表示為各階固有振動的連續(xù)系統(tǒng)的自由振動可表示為各階固有振動的線性疊加線性疊加3. 對彈性體的振動，對彈性體的振動，模態(tài)疊加模態(tài)疊加法、法、模態(tài)截斷模態(tài)截斷等方法同樣適用等方法同樣適用引言

4、 微振動假設(shè)微振動假設(shè) 研究對象為理想彈性體，即勻質(zhì)分布，各向同性和服研究對象為理想彈性體，即勻質(zhì)分布，各向同性和服 從胡克定律。從胡克定律?；炯僭O(shè)：基本假設(shè)：xy3.1 3.1 彈性桿的縱向振動彈性桿的縱向振動圖圖: : 彈性桿的縱向振動彈性桿的縱向振動“神五神五” 火箭發(fā)射后火箭發(fā)射后120120秒時，火箭箭秒時，火箭箭體的體的縱向縱向振動和振動和液氧輸送管路中的液氧液氧輸送管路中的液氧水平振動水平振動出現(xiàn)了耦合，形成一種出現(xiàn)了耦合，形成一種縱向縱向耦耦合振動，造成航天員的痛苦。合振動，造成航天員的痛苦。 神六設(shè)計時便改動了氧氣輸送管道神六設(shè)計時便改動了氧氣輸送管道的一個參數(shù)。結(jié)果，雖然

5、還存在耦合振的一個參數(shù)。結(jié)果，雖然還存在耦合振動，但航天員的痛苦大大減輕動，但航天員的痛苦大大減輕. .神六減輕神六減輕“第第120120秒痛苦秒痛苦” ( (一一) ) 直桿的縱向振動微分方程直桿的縱向振動微分方程oxlxdx( , )fx t( , )u x t長度為長度為 l 橫截面積為橫截面積為 A(x)材料彈性模量為材料彈性模量為 E(x)體密度為體密度為 (x)u(x, t) 表示坐標(biāo)為表示坐標(biāo)為 x 的截面在時刻的截面在時刻 t 的縱向位移的縱向位移f (x, t) 是作用在桿上的縱向分布力是作用在桿上的縱向分布力dxuuudxxfdxNNNdxx( (一一) ) 直桿的縱向振動

6、微分方程直桿的縱向振動微分方程oxlxdx( , )f x t( , )u x tABCuudxxuABudxx xudxu微段的軸向應(yīng)變：微段的軸向應(yīng)變：( , )x t( , )( , )u x tudxuxu x tdxx橫截面軸向力：橫截面軸向力：( , )N x t ( , )( ) ( , ) ( )( ) ( )u x tE xx t A xE x A xxdxuuudxxfdxNNNdxx( (一一) ) 直桿的縱向振動微分方程直桿的縱向振動微分方程xtxftxNxxtxNtxNttxuxxAxd),(),( d),(),(),(d)()(22（直桿縱向受迫振動微分方程）（直桿

7、縱向受迫振動微分方程） ( )( )( , )( )( )( , )( , )x A xu x ttxE x A xu x txf x t22( (均勻材料等截面直桿的縱向受迫振動方程均勻材料等截面直桿的縱向受迫振動方程) )22222( , )( , )1( , )u x tu x tcf x tAtxcE( (一一) ) 直桿的縱向振動微分方程直桿的縱向振動微分方程（直桿縱向受迫振動微分方程）（直桿縱向受迫振動微分方程） ( )( )( , )( )( )( , )( , )x A xu x ttxE x A xu x txf x t2222222( , )( , )u x tu x tc

8、tx( (二二) ) 桿的縱向固有振動桿的縱向固有振動（分離變量法）（分離變量法）u x tU x q t( , )( ) ( )2( ) ( )( )( )U x q tc q t U x22( )( )( )( )q tUxcq tU x 22( )()( )0( )( )0UxU xcq tq t( (二二) ) 固有振動固有振動固有振型函數(shù)固有振型函數(shù)1212( , )(cossin)(cossin)u x taxax btbtcc固有振動的固有振動的表達式表達式12,b b由初始條件確定由初始條件確定12,a a由邊界條件確定由邊界條件確定1212( )cossin( )cossin

9、U xaxaxccq tbtbt22( )()( )0( )( )0UxU xcq tq t幾何邊界條件幾何邊界條件：約束位移的邊界條件：約束位移的邊界條件力邊界條件力邊界條件： 約束力的邊界條件約束力的邊界條件簡單邊界條件簡單邊界條件：端部自由或固定的邊界條件：端部自由或固定的邊界條件簡單邊界條件簡單邊界條件 固定端：固定端：自由端：自由端：0u0U0 xuEAN U0( (二二) ) 固有振動固有振動xy( (二二) ) 固有振動固有振動xylAE、k),(),(tlkuxtluEAN)()(lkUlUEAlx 截面的邊界條件截面的邊界條件 xylAE、m( (二二) ) 固有振動固有振動

10、22),(),(ttlumxtluEAN)()(2lUmlUEAlx 截面的邊界條件截面的邊界條件 0)(, 0) 0(lUU邊界條件：邊界條件：例：求一端固定一端自由桿的縱向振動的固有頻率和固有振型。例：求一端固定一端自由桿的縱向振動的固有頻率和固有振型。( (二二) ) 固有振動固有振動xyl120,cos0aalcc12( )cossinU xaxaxcc固有振型函數(shù)：固有振型函數(shù)：1(),1, 2,2rcrrlcos0lc各階固有頻率各階固有頻率( (二二) ) 固有振動固有振動, 2, 1,2) 12 (sin)(2rlxraxUr各階固有振型函數(shù)各階固有振型函數(shù)xyl 1st 2n

11、d 3rd x兩端固定兩端固定( (二二) ) 固有振動固有振動x兩端自由兩端自由( (三三) ) 固有振型的正交性固有振型的正交性對于對于離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)，固有振型關(guān)于，固有振型關(guān)于質(zhì)量質(zhì)量和和剛度矩陣剛度矩陣加權(quán)加權(quán)正交正交，那么對，那么對于于連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)，固有振型關(guān)于，固有振型關(guān)于質(zhì)量質(zhì)量和和剛度剛度是否也具有是否也具有正交性正交性呢？呢？1212( , ) ( cossin)( cossin)u xtax ax bt btcc)sin()(),(tbxUtxu),()()(),()()(22xtxuxAxExttxuxAx)(2UEAAU( (三三) ) 固有振型的正交性固有振型的

12、正交性,( )rrUx)(2rrrUEAAUdxUUEAdxUUEAUEAUdxUEAUdxUAUlsrlsrlrslrslsrr000002 | )( )(dxUUEAdxUAUlsrlsrr002dxUUEAdxUAUlrslrss0020)(022dxUAUlsrsr2. rs如如果果rlrMdxAU02 r第第階階模模態(tài)態(tài)質(zhì)質(zhì)量量rlrKdxUEA02)( r第第 階階模模態(tài)態(tài)剛剛度度00dxUAUlsr主主振振型型關(guān)關(guān)于于質(zhì)質(zhì)量量的的正正交交性性00dxUUEAlsr主主振振型型關(guān)關(guān)于于剛剛度度的的正正交交性性1. rsrs如如果果時時，有有( (四四) ) 桿的縱向自由振動桿的縱向

13、自由振動桿的縱向自由振動：桿的縱向自由振動：121( , )( )(cossin)rrrrrru x tUx btbt101( )( )rrrUx bux10001( )( )( )( )llsrrsrAUxUx b dxAUx ux dx0( ,0)( )u xux(初始位移條件初始位移條件)100( )( )lsssM bAUx ux dx1001( )( ), 1,2,lsssbAUx ux dx sM( (四四) ) 桿的縱向自由振動桿的縱向自由振動0( ,0)( )u xv xt2001( )( ), 1,2,lssssbAUx vx dx sM(初始速度條件初始速度條件)STOP1

14、0001( )( )( )( )llsrrsrAUxUx b dxAUx ux dx4.2 4.2 彈性梁的振動彈性梁的振動梁梁：以彎曲為主要變形的桿：以彎曲為主要變形的桿4.2 4.2 彈性梁的振動彈性梁的振動Eluer-BernouliEluer-Bernouli梁梁：忽略剪切變形和截面繞中性軸轉(zhuǎn)動慣量的梁：忽略剪切變形和截面繞中性軸轉(zhuǎn)動慣量的梁TimoshenkoTimoshenko梁梁：計及剪切變形和截面繞中性軸轉(zhuǎn)動慣量的梁：計及剪切變形和截面繞中性軸轉(zhuǎn)動慣量的梁Daniel Bernoulli (17001782)4.2 4.2 彈性梁的振動彈性梁的振動Eluer-BernouliE

15、luer-Bernouli梁的基本假設(shè)：梁的基本假設(shè)：直梁假設(shè)直梁假設(shè)梁具有縱向?qū)ΨQ面，在彎曲振動時梁的撓曲線始終在這一平面內(nèi)梁具有縱向?qū)ΨQ面，在彎曲振動時梁的撓曲線始終在這一平面內(nèi)x對對 稱稱 面面wy4.2 4.2 彈性梁的振動彈性梁的振動Eluer-BernouliEluer-Bernouli定律：定律：22( )( )w xM xEIxE：彈性模量：彈性模量I：截面繞中性軸的慣性矩，簡稱截面慣性矩：截面繞中性軸的慣性矩，簡稱截面慣性矩EI：梁的彎曲剛度：梁的彎曲剛度( )w x：梁的撓曲線：梁的撓曲線4.2 4.2 彈性梁的振動彈性梁的振動( (一一) ) 梁的彎曲振動方程梁的彎曲振動

16、方程),(txfxwxdxl( , )m x to梁的長度梁的長度 l 梁的橫截面積梁的橫截面積 A(x) 梁的體密度梁的體密度 (x)梁的彈性模量梁的彈性模量 E(x)截面慣性矩截面慣性矩 I(x)坐標(biāo)為坐標(biāo)為x的截面中性軸在的截面中性軸在t時刻的橫向位移為時刻的橫向位移為w(x,t)單位長度上的分布外力單位長度上的分布外力f(x,t)單位長度上的分布外力矩單位長度上的分布外力矩m(x,t) 左左截截面面向向上上剪剪力力為為正正； 右右截截面面的的正正負(fù)負(fù)：向向下下為為正正正負(fù)號規(guī)定正負(fù)號規(guī)定QQQdxxMMMdxx( , )f x t dx( , )m x t dx( (一一) ) 梁的彎

17、曲振動方程梁的彎曲振動方程 左左截截面面上上順順時時針針方方向向為為正正； 右右截截面面上上逆逆時時彎彎矩矩針針的的正正負(fù)負(fù)：方方向向為為正正QQQdxxMMMdxx( , )f x t dx( , )m x t dx22( , )( ) ( )d ( , ) ( , ) ( , )d ( , )d ( , ) ( , )d w x tx A x xtQ x tQ x tQ x txf x txxQ x tf x txx由牛頓第二定律：由牛頓第二定律：( (一一) ) 梁的彎曲振動方程梁的彎曲振動方程方程方程(1)( , )( , )( , )( , )( , ) M x tQ x t dxM

18、 x tM x tdx m x t dxx微元力矩平衡：微元力矩平衡：Q x tM x txm x t( , )( , )( , )方程方程(2)( ) ( )( , )( , )( , )( , )x A xw x txf x tM x txm x tx2222( (一一) ) 梁的彎曲振動方程梁的彎曲振動方程22( , )( , )( ) ( )wxtM xtE x I xx( ) ( )( , ) ( ) ( )( , )( , )( , )x A xw x ttxE x I xw x txf x txm x t222222Aw x ttEIw x txf x txm x t2244(

19、, )( , )( , )( , )均勻梁的彎均勻梁的彎曲振動方程曲振動方程( (二二) ) 固有振動固有振動222222( , )( , )( ) ( ) ( ) ( )0w x tw x tx A xE x I xtxxw x tW x q t( , )( ) ( )22( )( )0( )( )0q tq tEIWxAW x ( ) ( ) ( ) ( )0AW x q tEIWxq t2( )( )( )( )q tEIWxq tAWx( (二二) ) 固有振動固有振動對于均勻梁：對于均勻梁：2(4)442( )( )0( )( )0, defq tq tAWxW xEI其其中中：2(

20、 )( )0 q tq t12( )cossinq tbtbt通通解解( )sxW xe(4)4( )( )0WxW x440s特特征征方方程程22( )( )0( )( )0q tq tEIWxAW x 1234, , , sssjsjxxj xj xeeee、通通解解1234( )xxj xj xW xCeCeCeCe定理定理2（通解的結(jié)構(gòu)定理）：（通解的結(jié)構(gòu)定理）： 若若 是齊次方程的兩個是齊次方程的兩個線性無關(guān)線性無關(guān)的的特解特解，則，則 是齊次方程的是齊次方程的通解通解.1122( )( )( )u tC u tC ut12,C C為任意常數(shù)。為任意常數(shù)。12( ),( )utut通

21、通解解1234( )xxj xj xW xCeCeCeCecosh() sinh()cos()sin()xj xexxexjx1234( )cossincoshsinhW xax ax ax ax固固有有振振型型函函數(shù)數(shù)梁的固有振動為梁的固有振動為: :123412( , ) ( cossincoshsinh )( cossin)wxtax ax ax ax bt bt常見的邊界條件：常見的邊界條件：固定邊界條件固定邊界條件鉸支邊界條件鉸支邊界條件自由邊界條件自由邊界條件轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角:0w x /0W 撓度撓度:0W 0w 彎矩彎矩:220wMEIx0W330wQEIx0W剪力剪力:彎矩彎矩:22

22、0wMEIx0W撓度撓度:0W 0w ( (二二) ) 固有振動固有振動例：例：確定兩端鉸支均勻材料等截面直梁的固有頻率和固有振型。確定兩端鉸支均勻材料等截面直梁的固有頻率和固有振型。1234( )cossincoshsinhW xax ax ax ax0) 0 ( , 0) 0 ( WWaa1300 , 03131aaaa2424sinsinh0sinsinh0alalalal24( )sinsinhW xax ax0)( , 0)( lWlW( (二二) ) 固有振動固有振動24sin0, sinh0alal因鉸支梁不會產(chǎn)生剛體運動，故因鉸支梁不會產(chǎn)生剛體運動，故 0l( (二二) ) 固有振動固有振動sinh0l0l04 a 如如果果04 =a所所以以0sinl20a 0)()(),(tqxWtxw02 a 所所以以20 a 如如果