1、3.7 3.7 剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)剛體的平面平行運(yùn)動(dòng) 一、平面平行運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)一、平面平行運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué) 1. 運(yùn)動(dòng)特征運(yùn)動(dòng)特征 1) 其上任一點(diǎn)始終在平行于某一固定平面其上任一點(diǎn)始終在平行于某一固定平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，剛體上內(nèi)運(yùn)動(dòng)，剛體上 垂直該固定平面的直線上垂直該固定平面的直線上各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)情況相同。因此，平行于固定平各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)情況相同。因此，平行于固定平面的某一截面，即代表剛體。面的某一截面，即代表剛體。 2） 剛體在剛體在 內(nèi)，由內(nèi)，由 ，可由兩步完成，可由兩步完成t III隨隨A點(diǎn)的純平動(dòng)點(diǎn)的純平動(dòng) ，基點(diǎn)位移均為基點(diǎn)位移均為 III AA ABAB再繞再繞A作純轉(zhuǎn)動(dòng)作純轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)剛體

2、的平面平行運(yùn)動(dòng) = = 任意點(diǎn)的平動(dòng)任意點(diǎn)的平動(dòng) + + 繞該點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)繞該點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng) 下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)2. 剛體上任一點(diǎn)剛體上任一點(diǎn)P的速度的速度 取取A A為基點(diǎn)為基點(diǎn): : AA0vvrv(rr ) xAx0yAy0vv( yy )vv( xx ) 3 3）選取不同基點(diǎn)）選取不同基點(diǎn)B B，基點(diǎn)位移不同，基點(diǎn)位移不同， 即，改變基點(diǎn)，基點(diǎn)的位移不同，即，改變基點(diǎn)，基點(diǎn)的位移不同，因而速度，加速度不同；因而速度，加速度不同； 但是角位但是角位移，角速度相同。移，角速度相同。 但但BBAA ,ABABP P點(diǎn)在靜系和動(dòng)系中的坐標(biāo)為點(diǎn)在靜系和動(dòng)系中的坐標(biāo)為 和和 ， 在靜系中的投影：在靜系中的投影

3、： v ，xy ，xy xzyOrOArrPx y z 下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)在在剛剛體體坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中的的投投影影為為: :xAxyAyvvyvvx 3. P點(diǎn)的加速度點(diǎn)的加速度 AA0vvrv(rr ) 下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè) xzyOrOArrPx y z 2. 求瞬心求瞬心 1) 解析法：在靜系中解析法：在靜系中 xyv0vAycAxcvxvy 在剛體系中：在剛體系中：= = =xAxyAyvvy0vvx0 AycoAxcovxxvyy = = =xAx0yAy0vv( yy )0vv( xx )0 二、轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心二、轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心 1. 作平面平行運(yùn)動(dòng)的剛體任意時(shí)刻薄片上或其延伸平面上作平面平行運(yùn)動(dòng)的

4、剛體任意時(shí)刻薄片上或其延伸平面上恒有一點(diǎn)速度為零，該點(diǎn)為恒有一點(diǎn)速度為零，該點(diǎn)為轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心 ，也稱為，也稱為極點(diǎn)極點(diǎn)下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)幾幾何何法法：根根據(jù)據(jù)，可可以以選選取取轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)順順心心為為基基點(diǎn)點(diǎn)，各各點(diǎn)點(diǎn)繞繞作作純純轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)：C C若若已已知知?jiǎng)倓傮w體上上任任意意兩兩點(diǎn)點(diǎn)的的速速度度方方向向，通通過(guò)過(guò)作作圖圖可可以以求求得得AA2)vvrCv0vrCvPc 下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)3. 3. 當(dāng)剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，瞬心的位置隨之而變，當(dāng)剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，瞬心的位置隨之而變，c c在固定平面上的軌在固定平面上的軌 跡叫做跡叫做空間極跡空間極跡，在薄片上的軌跡叫做，在薄片上的軌跡叫做本體極跡本體極跡。 本體

5、極跡在空間極跡上本體極跡在空間極跡上無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)例：車輪滾動(dòng)例：車輪滾動(dòng)cSB下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)4. 平面平行運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)求解平面平行運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)求解 1）求瞬心的位置，本體極跡和空間極跡：）求瞬心的位置，本體極跡和空間極跡： 空空間間極極跡跡方方程程AycoAxcovxxvyy 本本體體極極跡跡方方程程AycAxcvxvy 作圖法：求出作圖法：求出c的位置，再寫出其坐標(biāo)表達(dá)式。的位置，再寫出其坐標(biāo)表達(dá)式。2）求剛體上任意一點(diǎn)的速度和加速度：）求剛體上任意一點(diǎn)的速度和加速度：基基點(diǎn)點(diǎn)法法速速度度瞬瞬心心法法加加速速度度 解解析析法法A2A1.vvr2.vraarr3. 下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上

6、頁(yè)1 1）橢圓規(guī)尺）橢圓規(guī)尺ABAB兩端點(diǎn)的速度方向已兩端點(diǎn)的速度方向已知，故過(guò)知，故過(guò)A A及及B B作兩直線分別與作兩直線分別與v vA A及及v vB B垂直，此兩直線相交于垂直，此兩直線相交于c c，故，故c c為轉(zhuǎn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心。瞬心。空間極跡空間極跡本體極跡本體極跡p147例例1. 試用轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心法求橢圓規(guī)尺試用轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心法求橢圓規(guī)尺M(jìn)點(diǎn)的速度、加速度點(diǎn)的速度、加速度,并求本體極跡和空間并求本體極跡和空間極跡的方程式。已知極跡的方程式。已知B以勻速度以勻速度c沿導(dǎo)槽沿導(dǎo)槽向下運(yùn)動(dòng)，向下運(yùn)動(dòng)，為為的的角角速速度度） Bc1vc(ab)sin(ABab sin b b c co os sb

7、b c ct tg g2222222McvMCa sinaa b 22222xyOCAB(ab)22221xyO C(ab)2a,b, 下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)jbj bkdtdrrdtdaaBM22jbacbi bbac2222sin1)(cossin1jibabcsincossin1)(222jijibabccossincoscossincossin1)(222ibabcsinsincossin1)(2222ibabc322sin1)( jijjiicossinsincosc1ab sin 下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè) yxOrOCrr y jx i三、平面平行運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)三、平面平行運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué) 1. 運(yùn)動(dòng)微分

8、方程運(yùn)動(dòng)微分方程 以運(yùn)動(dòng)學(xué)觀點(diǎn)，基點(diǎn)可任意選取，以動(dòng)力學(xué)選質(zhì)心為以運(yùn)動(dòng)學(xué)觀點(diǎn)，基點(diǎn)可任意選取，以動(dòng)力學(xué)選質(zhì)心為基點(diǎn)較宜。取過(guò)質(zhì)心的薄基點(diǎn)較宜。取過(guò)質(zhì)心的薄 片代表剛體片代表剛體 （0-xy為靜系，為靜系， C-xy為剛體系）為剛體系） MdtJdFrmiC,CixCiyz zzmxFmyFIM 可以解出可以解出，, ,CCCCxx (t ) yy (t )(t ) 但剛體由于受到約束做平面平行運(yùn)動(dòng)，約束力未知，一般未但剛體由于受到約束做平面平行運(yùn)動(dòng)，約束力未知，一般未知數(shù)的個(gè)數(shù)大于方程的個(gè)數(shù)，需要加約束方程才能求解。知數(shù)的個(gè)數(shù)大于方程的個(gè)數(shù)，需要加約束方程才能求解。下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)2222Ci

9、iCCz1111Tmvm vmvI2222 2. 動(dòng)能動(dòng)能若若，則則22CCz11FVmvIVE22 約約束束方方程程CixCiyz zzmxF(1)myF(2 )IM(3) 3. 應(yīng)用應(yīng)用能能量量守守恒恒可可以以代代替替上上方方程程其其中中之之一一（可可以以避避免免約約束束力力) )下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)方法一、機(jī)械能守恒定律方法一、機(jī)械能守恒定律222CC11mxmkmgx sinE22 滾而不滑條件：滾而不滑條件：Cxa c22g sinxa1k / a 解得：解得：CC2CCmxmg sinfmymgcosNmkfaya,xa 222mgk sinfakNmgcos 方法二、解微分方程方法二

10、、解微分方程2CCCmx xmkmgx sin0 例例P149:P149:已已知知半半徑徑 、質(zhì)質(zhì)量量m m的的圓圓柱柱，沿沿傾傾角角 的的斜斜面面無(wú)無(wú)滑滑動(dòng)動(dòng)的的滾滾下下，求求質(zhì)質(zhì)心心沿沿斜斜面面運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)的的加加速速度度及及約約束束反反力力的的法法向向分分量量 和和切切向向分分量量aNf 下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)討討論論： ）純純滾滾動(dòng)動(dòng)是是靜靜摩摩擦擦力力，最最大大靜靜摩摩擦擦力力）靜靜摩摩擦擦系系數(shù)數(shù)滑滑動(dòng)動(dòng)摩摩擦擦系系數(shù)數(shù)）或或MM2221fff (ff(NNfk tanNak （ ）此此時(shí)時(shí)連連滾滾帶帶滑滑222fk tan2,Nak CC2Cmxmg sinfmymgNmkfafN( xa

11、 ) 下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)c220g sinxa01k / a 當(dāng)當(dāng)圓圓柱柱在在水水平平面面上上滾滾動(dòng)動(dòng)時(shí)時(shí) = = = = 實(shí)實(shí)際際中中圓圓柱柱會(huì)會(huì)永永遠(yuǎn)遠(yuǎn)滾滾動(dòng)動(dòng)下下去去？下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)解解：設(shè)設(shè)板板和和球球質(zhì)質(zhì)心心的的速速度度分分別別為為 和和對(duì)對(duì)球球：CCvvdvvgtmmgdtgtdmrmgrrdt 122225225對(duì)對(duì)板板：11mgMvmgvVtM 無(wú)無(wú)滑滑動(dòng)動(dòng)：A1vv7mgVgtVtt7m2M() g2M A2C57vvrgtgtgt22v1v2CNmgf2f1CA下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)212122(1)(2)sincos(3)11(2 )123CCCCmxNmyNmgIN lN l

12、Imlml （一一）由由動(dòng)動(dòng)力力學(xué)學(xué)方方程程 質(zhì)質(zhì)心心動(dòng)動(dòng)量量矩矩定定理理求求解解22cossinsincos(4)sincos= cossinCCCCCCxlxlxllylylyll 約約束束關(guān)關(guān)系系：221sin() coscos3CCmlmx lmymg lmlmgl N1mgxyfON2ABC解：設(shè)棒長(zhǎng)解：設(shè)棒長(zhǎng)2l，如圖建立坐標(biāo)系，任意時(shí)刻棒與如圖建立坐標(biāo)系，任意時(shí)刻棒與x軸軸 夾角為夾角為 =- ，角角速速度度，角角加加速速度度為為下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)224333coscos(sinsin )422gggdlll （ ）代代入入上上式式：22222222111sinsin()22311sin26CCmglmglm xymlmglmlml （二二）用用