1、平面勢(shì)流平面勢(shì)流主講人：張雷主講人：張雷專專 業(yè)：船舶與海洋工程業(yè)：船舶與海洋工程內(nèi)容摘要：內(nèi)容摘要：一、復(fù)勢(shì)與負(fù)速度一、復(fù)勢(shì)與負(fù)速度二、幾種基本的平面勢(shì)流二、幾種基本的平面勢(shì)流三、勢(shì)流的疊加三、勢(shì)流的疊加浮筒在波浪中受力浮筒在波浪中受力一、一、復(fù)勢(shì)與復(fù)勢(shì)與負(fù)負(fù)速度速度1、復(fù)勢(shì)（1）、對(duì)于不可壓縮的理想流體的平面無旋，可同時(shí)引進(jìn)勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)，且勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)都是調(diào)和函數(shù)（既滿足拉普拉斯方程）。（2）、根據(jù)勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)之間的關(guān)系：可知道勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)互為共軛的調(diào)和函數(shù)復(fù)勢(shì)與復(fù)勢(shì)與負(fù)負(fù)速度速度3、現(xiàn)在將平面勢(shì)流作為某一復(fù)變函數(shù)的實(shí)部，把其流函數(shù)作為虛部，即W= + i那么此復(fù)變函數(shù)因其實(shí)部和虛

2、部為共軛的調(diào)和函數(shù)，因而就必定是一個(gè)解析的復(fù)變函數(shù)，這個(gè)復(fù)變函數(shù)可用來代表所討論的平面勢(shì)流。這個(gè)解析的復(fù)變函數(shù)叫做該平面勢(shì)流的復(fù)勢(shì)。反之，若有一個(gè)復(fù)變函數(shù)是解析的（即其實(shí)部和虛部滿足柯西-黎曼條件），則其實(shí)部就代表某一理論上存在的平面勢(shì)流的勢(shì)函數(shù)，而其虛部則代表那個(gè)流動(dòng)的流函數(shù)。這個(gè)在求解平面勢(shì)流疊加具有重要意義。2、復(fù)速度若已知一平面勢(shì)流的復(fù)勢(shì)，則流場(chǎng)中任意點(diǎn)處的速度就可以求出。實(shí)際上將復(fù)勢(shì)對(duì)復(fù)自變量微分，根據(jù)復(fù)變函數(shù)求導(dǎo)公式得到：及復(fù)勢(shì)的導(dǎo)數(shù)的實(shí)部為流速的X軸分量，而其虛部則為流速的Y軸分量的負(fù)值。則該導(dǎo)數(shù)即為平面勢(shì)流的復(fù)速度。復(fù)勢(shì)與負(fù)速度復(fù)勢(shì)與負(fù)速度二、幾種基本的平面勢(shì)流二、幾種基本的平

3、面勢(shì)流1、均勻流流體作等速直線運(yùn)動(dòng)，流場(chǎng)中的各點(diǎn)速度的大小和方向都相同的流動(dòng)成為均勻流。（1）推導(dǎo)勢(shì)函數(shù)流函數(shù)設(shè)均勻流的速度勢(shì)為V，取坐標(biāo)軸OX和V的方向相同，則Vx=V，Vy=0。由于將d和d積分可得由于積分常數(shù)對(duì)于流動(dòng)圖譜沒有影響，可令C1和C2為零則均勻流的勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)為=vx，=vy幾種基本的平面勢(shì)流均勻流的的等勢(shì)線為=vx=常數(shù)的線，流線為=vy=常數(shù)的線。即等勢(shì)線是一族平行于Y軸的直線，流線是一族平行于X軸的直線，均勻流的復(fù)勢(shì)為 W=+i=vx+ixy2、點(diǎn)源和點(diǎn)匯若流體從某點(diǎn)向四周呈直線均勻徑向流出，則這種流動(dòng)成為點(diǎn)源，這個(gè)點(diǎn)成為源點(diǎn)；若流體從四周往某點(diǎn)呈直線均勻徑向的流入，則

4、這種流動(dòng)稱為點(diǎn)匯，這個(gè)點(diǎn)就稱為匯點(diǎn)。（1）推導(dǎo)勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)設(shè)源點(diǎn)和匯點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，顯然在這樣的流動(dòng)中，從源點(diǎn)流出和從匯點(diǎn)流入的都只有徑向速度Vr，而無切向速度V 。根據(jù)流動(dòng)的連續(xù)性條件，不可壓縮流體通過任一圓柱面的流量q都應(yīng)該相等。所以通過半徑為r的單位長(zhǎng)度圓柱面流出或流入的流量為由此可得到幾種基本的平面勢(shì)流對(duì)于點(diǎn)源，Vr與r同向，q前取正號(hào)。對(duì)于點(diǎn)匯，Vr和r異向，q前取負(fù)號(hào)。由于且將上兩式積分，并令積分常數(shù)為零，得到等勢(shì)線（勢(shì)函數(shù)為常數(shù)）是半徑不同的同心圓，流線（流函數(shù)是常數(shù)）通過原點(diǎn)極角不同的射線，等勢(shì)線與流線正交則復(fù)勢(shì)為若源點(diǎn)或匯點(diǎn)的位置不在原點(diǎn)，而在Zo點(diǎn)，則復(fù)勢(shì)變?yōu)閹追N基本的平

5、面勢(shì)流幾種基本的平面勢(shì)流2、點(diǎn)源和點(diǎn)匯流體質(zhì)點(diǎn)沿著同心圓的軌跡運(yùn)動(dòng)，且其速度大小與徑向r成反比的流動(dòng)稱為點(diǎn)渦（1）推導(dǎo)勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)將坐標(biāo)原點(diǎn)置于點(diǎn)渦處，設(shè)點(diǎn)渦的強(qiáng)度為，則任一半徑r處的流體的速度可由斯托克斯定理求得：于是有由于 而且將上兩式積分得到幾種基本的平面勢(shì)流點(diǎn)渦的等勢(shì)線（勢(shì)函數(shù)為常數(shù)）是通過原點(diǎn)不同極角的射線，流線（流函數(shù)為常數(shù)）是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的同心圓。點(diǎn)渦的復(fù)勢(shì)為例題，距臺(tái)風(fēng)中心8000m出的風(fēng)速為13.33m/s，氣壓表讀數(shù)為98200Pa，試求距離臺(tái)風(fēng)中心800m出的風(fēng)速和風(fēng)壓，假定流場(chǎng)為自由渦誘導(dǎo)流動(dòng)（空氣密度取1.29kg/M3）。解：自由渦的強(qiáng)度是已知r0=8000m

6、處的v0=13.33m/s，則r=800m處的速度為由伯努利方程可得三、平面勢(shì)流的疊加平面勢(shì)流的疊加平面勢(shì)流的疊加對(duì)于一些復(fù)雜的無旋流動(dòng)，由于幾個(gè)無旋流動(dòng)疊加之后依然是無旋流動(dòng)，往往我們可以把它看成由幾種簡(jiǎn)單的無旋流動(dòng)疊加而成。我們?cè)O(shè)幾個(gè)簡(jiǎn)單無旋流動(dòng)的速度勢(shì)1，2，3，疊加，得=1+ 2+ 3+由于每一個(gè)速度勢(shì)函數(shù)都滿足拉普拉斯方程，而拉普拉斯方程又是線性的，所以疊加后的勢(shì)函數(shù)仍然滿足拉普拉斯方程，得到：同樣，疊加后的流函數(shù)也滿足拉普拉斯方程：所以疊加后的勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)依然是調(diào)和函數(shù)則復(fù)勢(shì)可得到：疊加后的 復(fù)勢(shì)仍為一個(gè)解析的復(fù)變函數(shù)，扔可做一個(gè)流動(dòng)的復(fù)勢(shì)平面勢(shì)流的疊加平面勢(shì)流的疊加1、點(diǎn)匯和點(diǎn)

7、渦螺旋流在旋風(fēng)燃燒室、離心式噴油嘴和離心式等設(shè)備中，流體自外沿圓周切向進(jìn)入，又從中央不斷的流出，這樣的流動(dòng)可以近似地看成是點(diǎn)匯和點(diǎn)渦的疊加。點(diǎn)匯和點(diǎn)渦的復(fù)勢(shì)分別為：式中，q和分別為點(diǎn)匯和點(diǎn)渦的強(qiáng)度，則點(diǎn)匯和點(diǎn)渦的復(fù)勢(shì)相加得到，將這一復(fù)勢(shì)的實(shí)部和虛部分開，可得到疊加后新的流動(dòng)的勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)的表達(dá)式：平面勢(shì)流的疊加平面勢(shì)流的疊加2、源和匯偶極子流設(shè)源點(diǎn)位于A點(diǎn)（-a,0），匯點(diǎn)位于B點(diǎn)（a,0）。因?yàn)樵春蛥R的復(fù)勢(shì)分別為式中，qa和qb分別為源和匯的強(qiáng)度則源和匯疊加后的流動(dòng)復(fù)勢(shì)為：如果源和匯的強(qiáng)度相等，則如果源和匯點(diǎn)無限接近，若強(qiáng)度不變，則匯將源中流出的流體全部吸收掉而不發(fā)生任何流動(dòng)；但若在源和匯距離逐漸縮小時(shí)，強(qiáng)度q逐漸增大，當(dāng)源和匯距離逐漸減小到零時(shí)，q應(yīng)增加到無窮大，以使 ，保持一個(gè)有限值。即這一極限狀