1、人教版八年級上數(shù)學期末專題復習1、代數(shù)計算、代數(shù)計算2、分式方程及其應用、分式方程及其應用3、恒等變換、恒等變換4、幾何計算、幾何計算5、幾何證明、幾何證明6、作圖專題、作圖專題7、輔助線作法、輔助線作法8、動點問題、動點問題9、規(guī)律探究、規(guī)律探究人教版八年級上冊數(shù)學期末復習專題一代數(shù)計算 一、整式的計算1計算(3)0的結果是()A0 B1 C3 D3B2下列計算正確的是()Aa3a3a6 B3aa3C(a3)2a5 Daa2a3D3計算a2a4(a2)2的結果是()Aa Ba2 Ca2 Da3B4計算： (1)(2x2y2xy)(2xy)；解：原式(2x2y2xy)( ) (2x2y)( )

2、2xy( ) x112xy12xy12xy(2)(xy)(xy)x(xy)2xy；解：原式x2y2x2xy2xy xyy2(3)(x2y)2(xy)(xy)解：原式x24xy4y2x2y2 5y24xy5化簡求值：(x2)2(2x1)(2x1)4x(x1)，其中x .2解：原式x24x44x214x24x x23 當x 時，原式( )23235.226先化簡，再求值：(x1)(x2)(x1)2，其中x .12解：原式(x1)(x2)(x1)2x22xx2x22x15x1 當x 時，原式5 1 .1212327化簡求值(2xy)(2xy)(xy)22(2x2xy)(4x)，其中x4y8.解：原式

3、(4x2y2x2y22xy4x22xy)(4x)(x24xy)(4x) y (x4y) x4y8， 原式 8214144x二、整式的因式分解 8多項式a24a分解因式，正確的結果是()Aa(a4) B(a2)(a2)Ca(a2)(a2) D(a2)24A9下列四個多項式中，能分解因式的是() Aa21 Ba26a9Cx25y Dx25yB10下列因式分解錯誤的是()Ax2y2(xy)(xy)Bx26x9(x3)2Cx2xyx(xy)Dx2y2(xy)2D11分解因式：(1)24x_；(2)4x21_；(3)x26x9_.2(2x1)(2x1)(2x1)(x3)12分解因式：(1)x41_；(2

4、)x2y9y_；(3)x34x24x_.(x1)(x1)(x1)y(x3)(x3)x(x2)13分解因式：(1)(m1)(m9)8m；解：(m1)(m9)8m m29mm98m m29 (m3)(m3)(2)x2(xy)(xy)解：x2(xy)(xy)(xy)(x21)(xy)(x1)(x1)14給出三個多項式：2x24x4；2x212x4；2x2 4x.請你把其中任意兩個多項式進行加法運算(寫出所有可 能的結果)，并把每個結果因式分解解：(2x24x4)(2x212x4)4x216x4x(x4) ：(2x24x4)(2x24x)4x244(x1)(x1) ：(2x212x4)(2x24x)4

5、x28x44(x1)2三、分式的計算 15函數(shù)y 中，x的取值范圍是()Ax0 Bx2 Cx2 Dx212xD16若分式 的值為0，則x的值是()A3 B2 C0 D223xxD17計算 的結果為()A1 Bx C. D. 1xx1x1x2xxA18化簡 的結果是()A. B. C. D2(x+1) 221x 11x21x2x21xA19計算： _.222xxy222yxy2xy20計算： .22222155abba babab解：原式 22()155()()b aba babab ab3aab21計算： .222111xxxxx解：原式 2(1)(1)(1)1xxxxx111xxxx11x2

6、2計算： .29333aaaaa解：原式 a2933aaaa(3)(3)33aaaaa23.化簡： .22111211aaaaaa解：原式 22111(1)1aaaaa2111aa11a24化簡： .211111xxxx解：原式 x2122(1)(1)111x xxxx222111xxxxx25化簡： .322()ababbaabba解：原式 3223322()1()()aba ba babab1()ab ab26先化簡，再求值： ，其中x 1.2121xxxxx2解：原式 x1當x 1時，原式( 1)1 .222(1)1xxxxx211xxxx(1)(1)1xxxxx22227先化簡，后求值

7、： ，其中x3.222142xxxx 解：原式當x3時，原式 1.2(2)(2)(2)(2)2xxxxxx22(2)(2)2xxxxx12x13228先化簡，再求值： 其中x22x150.222444142xxxxxx解：原式由x22x150知，x22x15.所以原式 .22244442xxxxxxx22 (2)(2)4(2)2xxxxxxx242xxxx2(2)(4)(2)xx xx x2224442xxxxxx242xx415謝謝！人教版八年級上冊數(shù)學期末專題二分式方程及其應用 一、分式方程的解法一、分式方程的解法 1分式方程 1的解為()Ax1 Bx Cx1 Dx212212xxA2分式

8、方程 的解為()Ax Bx Cx Dx 2133xxx16235613B3解方程 .341xx解：方程兩邊同乘以x(x1)，得3x4(x1)解得x4檢驗：當x4時，x(x1)0.所以，原分式方程的解為x1.4解方程 4.211xxx解：方程兩邊都乘以(x1)，得x24(x1)解得x 檢驗：當x 時，x10.所以，原分式方程的解為x .2323235解方程 0.211xx解：方程兩邊都乘以x(1x)，得2(1x)x0解得x2檢驗：當x2時，x(1x)0.所以，原分式方程的解為x2.6解方程 .32122xxx解：方程兩邊都乘以(2x2)，得2x2(2x2)3解得x檢驗：當x 時，2x20所以，原

9、分式方程的解為x .1212127解方程 .3111xxx解：方程兩邊都乘以(x1)(x1)，得3(x1)x(x1)(x1)(x1)解得x2檢驗：當x2時，(x1)(x1)0.所以，原分式方程的解為x2.8解方程 .2216124xxx 解：方程兩邊同乘以x24，得(x2)2(x24)16解得x2檢驗：當x2時，x240，因此x2不是原分式方程的解所以，原方程無解二、分式方程的應用 9為加快“最美畢節(jié)”環(huán)境建設，某園林公司增加了人力進行 大型樹木移植，現(xiàn)在平均每天比原計劃多植樹30棵，現(xiàn)在植 樹400棵所需時間與原計劃植樹300棵所需時間相同，設現(xiàn)在平 均每天植樹x棵，則列出的方程為()A.

10、B.C. D.40030030 xx40030030 xx40030030 xx40030030 xxA10動車的開通為揚州市民的出行帶來了方便，從揚州到 合肥，路程為360 km，某趟動車的平均速度比普通列車 快50%，所需時間比普通列車少1小時，求該趟動車的平 均速度解：設普通列車的速度為x km/h，動車的平均速度為1.5x km/h， 由題意得， 1， 解得：x120， 經檢驗，x120是原分式方程的解，且符合題意 動車的平均速度1201.5180 km/h，答：該趟動車的平均速度為180 km/h.3603601.5xx11端午節(jié)那天，“味美早餐店”的粽子打九折出售，小紅 的媽媽去該

11、店買粽子花了54元錢，比平時多買了3個，求 平時每個粽子賣多少元解：設平時每個棕子賣x元，依題意，有 3 解得x2 經檢驗，x2是原方程的解且符合題意答：平時每個棕子賣2元54540.9xx12某生態(tài)示范園計劃種植一批核桃，原計劃總產量為36萬 千克，為了滿足市場需求，現(xiàn)決定改良核桃品種，改良 后平均每畝產量是原計劃的1.5倍，總產量比原計劃增加 了9萬千克，種植面積減少了20畝原計劃平均每畝產量 是多少萬千克？解：設原計劃平均每畝產量是x萬千克， 則改良后平均每畝產量是1.5x萬千克 原計劃種植畝數(shù)為 ，改良品種后種植的畝數(shù)為 . 依題意有 20 解得x0.3 經檢驗，x0.3是原分式方程的

12、解且符合題意 答：原計劃平均每畝產量是0.3萬千克36x3691.5x36x3691.5x13. 某服裝店用4 500元購進一批襯衫，很快售完，服裝店老板又用2 100元購進第二批該款式的襯衫，進貨量是第一次的一半，但進價每件比第一批降低了10元 (1)這兩次各購進這種襯衫多少件？ (2)若第一批襯衫的售價是200元/件，老板想讓這兩批襯衫售完后的總利潤不低于1 950元，則第二批襯衫每件至少要售多少元？解：(1)設第一批襯衫每件進價是x元，則第二批每件進價是 (x10)元，根據(jù)題意可得： ， 解得x150 經檢驗x150是原方程的解， 第一批襯衫每件進價是150元，第二批每件進價是140元，

13、 30(件)， 15(件)， 答：第一批襯衫進了30件，第二批進了15件；450012x210010 x45001502100140(2)設第二批襯衫每件售價y元，根據(jù)題意可得：30(200150)15(y140)1 950，解得y170 答：第二批襯衫每件至少要售170元14. 一項工程，甲、乙兩公司合作，12天可以完成，共需付施工費102 000元；如果甲、乙兩公司單獨完成此項工程，乙公司所用時間是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工費比甲公司每天的施工費少1 500元(1)甲、乙兩公司單獨完成此項工程各需多少天？(2)若讓一個公司單獨完成這項工程，哪個公司的施工費較少？解：(1)設甲公司單

14、獨完成此項工程需x天，則乙公司單獨完成此項 工程需1.5x天， 根據(jù)題意，得 ， 解得x20， 經檢驗知x20是方程的解且符合題意， 15x30 故甲公司單獨完成此項工程，需20天，乙公司單獨完成此 項工程，需30天；1111.512xx (2)設甲公司每天的施工費為y元，則乙公司每天的施工費為(y1 500)元，根據(jù)題意得12(yy1 500)102 000，解得y5 000，甲公司單獨完成此項工程所需的施工費：205 000100 000(元)；乙公司單獨完成此項工程所需的施工費：30(5 0001 500)105 000(元)；故甲公司的施工費較少15. 圖書館理員小張4小時清點完一批圖

15、書的一半，圖書管理員小李加入清點另一半圖書的工作，兩人合作1.5小時清點完另一半圖書如果圖書管理員小李單獨清點這批圖書，需要的時間是_4.8h謝謝！人教版八年級上冊數(shù)學期末專題三恒等變形 一、冪運算的恒等變形 1已知xm2，xn3，則xmn的值為()A5 B. C9 D632D2如果xm3，xn2，那么xmn的值是()A1.5 B6 C8 D9A3計算 的結果是()A0 B1 C1 D24 02820212021122B4如果ax3，那么a3x_；若4x2x3，則x_.2735已知：am3，an5，求am2n的值解： am2nam(an)2352756已知28x16223，求x的值解：28x1

16、6223x2423x5223 3x523 x67已知10a3，10b5，10c7，試把105寫成底數(shù)是10的冪的形式解：10535710a10b10c10abc8已知10a2，10b3，求值：(1)102a103b；(2)102a3b.解：(1)102a103b(10a)2(10b)3223342731(2)102a3b102a103b (10a)2(10b)3 2233 427 108二、乘法公式的恒等變形 9若(x3)2x2ax9，則a的值為()A3 B3 C6 D610若ab8，ab4，則a2b2_.C3211已知(xy)249，xy2，則x2y2的值為()A53 B45 C47 D51

17、A12已知正數(shù)x滿足x2 62， 則x 的值是_21x1x813已知ab3，ab2，求a2b2的值解：a2b2(ab)22ab3222514已知a2b225，且ab12，求ab的值解：(ab)2a2b22ab252121ab115若a2b24a6b130，試求ab的值解：a2b24a6b13 a24a4b26b9 (a2)2(b3)2 0a2，b3ab(2)38.三、圖形的恒等變形16如圖，在邊長為a的正方形中挖掉一個邊長為b的小正方形 (ab)，把余下的部分剪拼成一個長方形，如圖，通過計 算兩個圖形(陰影部分)的面積，驗證了一個等式，這個等式 是()Aa2b2(ab)(ab)B(ab)2a2

18、2abb2C(ab)2a22abb2D(a2b)(ab)a2ab2b2A17圖是一個長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀 均勻分成四塊小長方形，然后按圖的形狀拼成一個正方形 (1)你認為圖中陰影部分的正方形的邊長為_； (2)請用兩種不同的方法求圖中陰影部分的面積 方法1：_(只列式，不化簡)； 方法2：_(只列式，不化簡)mn(mn)(mn)2m2n(4)根據(jù)(2)題中的等量關系，解決如下問題：若ab8， ab5，求(ab)2的值解：(3)(mn)2(mn)24mn(4)(ab)2(ab)24ab 8245 6420 44 (3)觀察圖你能寫出下列三個式子之間的關系嗎？ (mn)2，

19、(mn)2，mn.18如圖，邊長為a的大正方形中有四個長均為b的小正方 形，小華將陰影部分拼成了一個長方形(如圖)，則這個長 方形的面積為()Aa24b2 B(ab)(ab)C(a2b)(ab) D(ab)(a2b)A19當我們利用兩種不同的方法計算同一圖形的面積時，可 以得到一個等式例如，由圖，可得等式：(a2b)(ab) a23ab2b2. (1)由圖可得等式： ； (2)利用(1)中所得到的結論，解決下面的問題：已知abc 11，abbcac38，求a2b2c2的值； (abc)2a2b2c22ab2ac2bc(2)解：a2b2c211223845(3)利用圖中的紙片(足夠多)，畫出一種

20、拼圖，使該拼圖可用 來驗證等式：2a25ab2b2(2ab)(a2b)；(4)小明用2張邊長為a的正方形，3張邊長為b的正方形，5張 寬、長分別為a，b的長方形紙片重新拼出一個長方形，那么該 長方形較長的一條邊長為_解：(3)如圖所示：(4)根據(jù)題意得： 2a25ab3b2(2a3b)(ab) 則較長的一邊長為2a3b.謝謝！人教版八年級上冊數(shù)學期末專題四幾何計算 一、多邊形的內角和與外角和1內角和為720的多邊形是()A BCDD2正十邊形的每個外角等于()A18 B36 C45 D60B3在四邊形ABCD中，A，B，C，D的度數(shù)之比為2343，則D等于()A60 B75 C90 D120C

21、4一個正多邊形的內角和為540，則這個正多邊形的每一個外角等于()A108 B90 C72 D60C5正多邊形的一個內角是150，則這個正多邊形的邊數(shù)為()A10 B11 C12 D13C6如圖，1，2，3，4是五邊形ABCDE的外角，且123470，則AED的度數(shù)是()A110B108C105D100D7已知一個多邊形的內角和與外角和相加為2 160，求這個多邊形的邊數(shù)和對角線的條數(shù)解：設這個多邊形的邊數(shù)為n，則其內角和為(n2)180. 依題意，有(n2)1803602 160 解得n12 這個多邊形的對角線條數(shù)為 12(123)54.12二、三角形的內角與外角 8在ABC中，若A95，B

22、40，則C的度數(shù) 為()A35 B40 C45 D50C9如圖，直線ABCD，AE平分CAB.AE與CD相交于點E，ACD40，則BAE的度數(shù)是()A40 B70 C80 D140B10如圖，直線mn，170，230，則A等 于()A30 B35 C40 D50C11如圖，已知ab，直角三角板的直角頂角在直線b上，若 160，則下列結論錯誤的是()A260B360C4120D540D12如圖，在ABC中，D是BC邊上一點，12， 34，BAC63，求DAC的度數(shù)解：312，12321又34421 DAC180(34)18041BAC1DAC 1(18041) 18031又BAC63180316

23、3139DAC1804118043924.13.如圖，ABC是等邊三角形，點D在AC邊上，DBC 35，則ADB的度數(shù)為()A25 B60 C85 D95D14如圖，在等腰ABC中，ABAC，BDAC，ABC 72，則ABD等于()A36 B54 C18 D64B15如圖，在等腰三角形ABC中，ABAC，DE垂直平分AB， 已知ADE40，則DBC_.1516如圖，已知直線l1l2，將等邊三角形如圖放置，若 40，則等于_度2017如圖，在RtABC中，C90，AB邊的垂直平分線 DE交BC于點D，交AB于點E，連接AD，AD將CAB分 成兩個角，且1225，求ADC的度數(shù)解：設12x，則25

24、x. DE是線段AB的垂直平分線， DADB.B25x， ADCB210 x C90， ADC190，即10 x2x90 x7.5，ADC10 x75.三、三角形的邊 18若一個三角形的兩邊長分別為3和7，則第三邊長可能 是() A6 B3 C2 D11A19一個等腰三角形的兩邊長分別為4，8，則它的周長 為()A12 B16C20 D16或20C20如果三角形的兩邊長分別為3和5，第三邊長是偶數(shù)，則 第三邊長可以是() A2 B3 C4 D8C21如圖，EFGNMH，EG3.3 cm，HG1.6 cm， 則GN的長度是_cm.1.722如圖，已知BCCA，EDAB，BDBC，AE8 cm，

25、DE6 cm，則AC等于()A10 cm B12 cmC14 cm D16 cmC23如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東30方向，距離燈 塔4海里的A處，該海輪沿南偏東30方向航行_ 海里后，到達位于燈塔P的正東方向的B處424如圖，在ABC中，DE是AC的垂直平分線，ABC的周 長為19 cm，ABD的周長為13 cm，則AE的長為()A3 cmB6 cmC12 cmD16 cmA 25.如圖，在ABC中，BO平分ABC，CO平分ACB，過點O作DEBC，交AB于點D，交AC于點E. (1)若BD4，CE3，求DE的長； (2)若AB12，AC9，求ADE的周長； (3)若將原題中平行線DE的

26、方向改變，如圖，ODAB， OEAC，BC16，求DOE的周長解： (1)BO平分ABC，ABOOBCDEBCDOBOBCABODOBBDDODBO是等腰三角形同理，EOC也是等腰三角形DOBD4，OECE3DEDOOE437 (2)由(1)可得DODB，OEECADDEAEADDOOEAE ADDBECAE ABAC 129 21ADE的周長是21. (3)BO平分ABC，ABOOBCODABDOBABOOBCDOBBDOD同理，ECOEODDEOEBDDEECBC16ODE的周長是16.四、含30的直角三角形 26如圖是屋架設計圖的一部分，立柱BC垂直于橫梁AD， AB6 m，A30，則立

27、柱BC的長度為()A3 m B6 m C10 m D12 mA27如圖，在ABC中，ACB90，B15，DE垂 直平分AB，交BC于點E，垂足為D，BE6 cm，則AC 等于()A6 cm B5 cm C4 cm D3 cmD28如圖，已知ABC中，ABAC，C30，ABAD， AD4 cm.求BC的長解：ABAC BC30. 又ABAD，BAD90. ADB903060，BD2AD248(cm) DAC60C603030 DACC，ADCD4 cm BCBDCD8412(cm)29如圖，在ABC中，ABAC，BAC120，D為BC 的中點，DEAC于E，AE8，求CE的長解：連接AD.ABA

28、C，D是BC的中點ADBC， BADCAD BAC 12060.DEAC，AED90ADE90DAE906030.AD2AE2816.又B90BAD906030AB2AD21632CEACAEABAE328241212謝謝！人教版八年級上冊數(shù)學期末專題五幾何證明 一、證明三角形全等1如圖，已知ABC和DAE，D是AC上一點，ADAB， DEAB，DEAC.求證：AEBC.證明：DEAB，ADEBAC.在ADE和BAC中ADEBAC(SAS)，AEBC.ADBAADEBACDEAC 2如圖，ABC中，ACB45，ADBC于D，CF交AD于點F，連接BF并延長交AC于點E，BADFCD.求證：AB

29、DCFD.證明：ADBC， ADCFDB90. ACB45， ACBDAC45， ADCD， 在ABD和CFD中， ABDCFD(ASA)ADBCDFADCDBADFCD 3如圖，已知ABCD，OAOD，點F、D、O、A、E在同一條直線上，AEDF.請證明：ABEDCF.證明：ABCD， ABODCO，BAOCDO. 在AOB和DOC中， AOBDOC(AAS)，ABODCOBAOCDOOAOD ABCD 又EABAOBABO，F(xiàn)DCDOCDCO AOBDOC EABFDC， 在ABE和DCF中， ABEDCF(SAS)AEDFEABFDCABDC 二、證明線段相等4如圖，在ABC中，ABAC

30、，BD，CE是高，BD與CE 相交于點O.求證：OBOC. 證明：ABAC，ABCACB，BD、CE是ABC的兩條高線，BECBDC90，BCCB，BECCDB，DBCECB，OBOC.5如圖，ABC和ADE是等邊三角形，AD是BC邊上的中線求證：BEBD. 證明：ABC和ADE是等邊三角形， AD為BC邊上的中線，AEAD，AD為BAC的角平分線，即CADBAD30，BAEBAD30，在ABE和ABD中 ABEABD(SAS)，BEBD.AEADBAEBADABAB 6如圖，在ABC中，AD平分BAC，AD的垂直平分線交AB于點E，交AC于點F.求證：AFED.證明：AD平分BAC，BADC

31、AD，AD的垂直平分線交AB于點E，交AC于點F，AEDE，AOEAOF90，AEFAFE，AEAF，AFED.7.如圖，在ABC中，ABAC，D是AB上一點，DEBC， E是垂足，ED的延長線交CA的延長線于點F. 求證：ADAF. 證明：ABAC，BC，DEBC，CF90，BBDE90，F(xiàn)BDE，ADFBDE，F(xiàn)ADF，ADAF.8如圖，已知AD，AF分別是鈍角三角形ABC和鈍角三角形ABE的高，如果ADAF，ACAE.求證：BCBE.證明：AD，AF分別是兩個鈍角ABC和ABE的高，且ADAF，ACAE，RtADCRtAFE(HL)CDEF.ADAF，ABAB，RtABDRtABF(HL

32、)BDBF.BDCDBFEF.即BCBE.9如圖，在ABC中，ABAC，點D在AB上，點E在AC的延長線上，且BDCE，DE交BC于點F.求證：DFEF. 證明：過D點作DGAE交BC于G點，如圖12，43，ABAC，B2，B1，DBDG，而BDCE，DGCE，在DFG和EFC中DFGEFC.DFEF.43DFGEFCDGCE 三、證明角相等 10如圖，點C是AE的中點，AECD，ABCD. 求證：BD. 證明：點C是AE的中點，ACCE，在ABC和CDE中，ABCCDE，BD.ACCEAECDABCD 11如圖，在ABC中，ABAC，AD是BC邊上的中線 BEAC于點E. 求證：CBEBAD

33、. 證明：ABAC，AD是BC邊上的中線，BEAC，CBECCADC90，CADBAD，CBEBAD.12如圖，已知線段AB，CD相交于點O，AD，CB的延長線 交于點E，OAOC，EAEC. 求證：AC. 證明：連接OE，在AOE和COE中，AOECOE(SSS)，AC.OAOCOEOEAECE13.已知ABN和ACM的位置如圖，ABAC，ADAE， 12.求證：MN.證明：在ABD和ACE中，ABDACE(SAS)， BC，12，1DAE2DAE，即BANCAM，12ABACADAE 在ACM和ABN中， ACMABN(ASA)，MN.CBACABCAMBAN 14如圖，在RtABC中，A

34、CB90，ACBC，點D為 BC的中點，CEAD于點E，其延長線交AB于點F，連接DF. 求證：ADCBDF. 證明：作BGCB，交CF的延長線于點G，如圖所示：ACB90，CFAD，CADADCBCGADC90，CADBCG.在ACD和CBG中，ACDCBG(ASA)CDBG，CDACGB90CADBCGACBCACDCBG CDBD，BGBD.ABC45，F(xiàn)BGCBGFBD904545FBD在BFG和BFD中，BFGBFD(SAS)，F(xiàn)GBFDB，ADCBDF.BGBDGBFDBFBFBF 四、證明線段垂直 15如圖，AD為ABC的高，E為AC上一點，BE交AD于點F， 且有BFAC，F(xiàn)D

35、CD.求證：BEAC. 證明：ADBC，ADBADC90.又BFAC，F(xiàn)DCD.ADCBDF(HL)EBCDAC又DACACD90，EBCACD90.BEC90，BEAC.16如圖，在ABC中，ACB90，ACBC，點E在BC 上，過點C作CFAE于點F，延長CF使CDAE，連接 BD.求證：BDBC. 證明：ACB90，BCDACF90，CFAE于點F，AFC90.ACFEAC90.DCBEAC.在DBC和ECA中，DBCECA.DBCACB90.即BDBC.BCACDCBEACCDAE 17.如圖，AD是BAC的平分線，DEAB，DFAC，垂足分別為E，F(xiàn).連接EF，EF與AD交于點G.試

36、判斷線段AD與EF的位置關系，并證明你的結論解：AD垂直平分EF.理由如下：AD為ABC的角平分線， DEAB于E，DFAC于F，DEDF.點D在EF的垂直平分線上，DEFDFE，DEADFA90，F(xiàn)EAEFA.AEAF.點A在EF的垂直平分線上，AD垂直平分EF.18如圖，已知BEAC，CFAB，BMAC，CNAB. 求證：AMAN.證明：BEAC，CFAB，1BMF90， 2CME90，BMFCME(對頂角相等)， 12. 在ABM和NCA中，ABMNCA(SAS)， 3N，CFAB，4N90，3490，即MAN90，因此，AMAN.12BMACCNAB 五、證明等邊三角形 19已知：如圖

37、，ABBC，CDE120，DFBA， 且DF平分CDE.求證：ABC是等邊三角形 證明：DF平分CDE，CDFEDF CDE，CDE120， CDF60.DFBA，ABCCDF60.ABBC，ABC是等邊三角形1220如圖，ABC為等邊三角形，且EDBC，垂足為D， FEAC，垂足為E，DFAB，垂足為F，則DEF是 等邊三角形嗎？為什么？解：DEF是等邊三角形理由如下：ABC為等邊三角形，ABC60.DEBC，EFAC，F(xiàn)DAB，AEFBFDCDE90.AFEBDFCED30.FEDEDFDFE60.DEF是等邊三角形21如圖，ABC是等邊三角形，D是BC延長線上一點， CE平分ACD，且C

38、EBD.求證：DAE為等邊三 角形證明：ABC為等邊三角形，BACB60，ABAC，即ACD120.CE平分ACD， ACEDCE60. 在ABD和ACE中， ABDACE(SAS)ADAE，BADCAE.又BAC60， DAE60.ADE為等邊三角形ABACBACEBDCE 六、證明cab 22如圖，在ABC中，ACB90，BE平分ABC， 交AC于點E，DE垂直平分AB，交AB于點D. 求證：BEDEAC.證明：ACB90，ACBC. EDAB，BE平分ABC， CEDE. DE垂直平分AB，AEBE. ACAECE，BEDEAC.23如圖，AC平分MAN，MAN120，ABC ADC90

39、.求證：ABADAC. 證明：MAN120，AC平分MAN，CADCAB60.又ABCADC90，AD AC，AB AC，ABADAC.121224如圖，在ABC中，ADBC于點D，且ABC2C. 試說明：CDABBD. 證明：在CD上取一點E使DEBD，連接AE， ADBC，ABE是等腰三角形ABAE，BAEB.BAEB2C，又AEBCEAC，EACC.AEEC.CDDEECABBD.25如圖，已知ABC和BDE均為等邊三角形，試說明： BDCDAD. 證明：ABC和BDE均為等邊三角形，ABC60DBE，ABBC，BDBEDE.ABCCBEDBECBE.即ABEDBC.ABBC，BEBD，

40、ABECBD(SAS)AECD.BDDE，點E在AD上，ADAEDECDBD.謝謝！人教版八年級上冊數(shù)學期末專題六作圖專題 一、五個基本尺規(guī)作圖 1作一條線段等于已知線段 已知：線段a. 求作：線段AB，使ABa.解：作法：(1)作射線AC；(2)在射線AC上截取ABa，則線段AB就是所要求作的線段 2作一個角等于已知角已知：.求作：ECF，使ECF.解：作法：畫射線CF；再以O為圓心，任意長為半徑畫弧交OA、OB于E、D；以C為圓心，OD長為半徑；然后再以N為圓心，ED長為半徑畫弧，交前弧于M，過M作射線AE可得ECF.如圖所示：ECF即為所求3作一個角的平分線已知：AOB.求作：射線OC，

41、使AOCBOC.解：作法：以O為圓心，適當長為半徑畫弧交OA于點M，交OB 于點N(如圖); 分別以M、N為圓心，都以不小于 MN長為半徑畫 弧，兩弧交于點C； 作射線OC.則射線OC就是AOB的平分線124作一條線段的垂直平分線已知：線段AB.求作：線段AB的垂直平分線MN.解：作法如下：如圖，(1)分別以點A和點B為圓心，大于 AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于M、N兩點；(2)作直線MN.直線MN就是所求作的垂直平分線125過一點作已知直線的垂線(1)已知：直線l與直線外一點A.求作：直線AB，使ABl于B.解：作法：如圖：在直線l上任取兩點M、N；分別以點M、N為圓心，MA，NA長為半徑畫

42、弧，兩弧相交于點Q連接AQ，交直線l于B.則直線AB就是所求作的直線 (2)已知：直線l與直線l上一點A.求作：直線AB，使ABl于A.(2)解：作法：如圖：以A為圓心，適當長為半徑畫弧，交l于M、N兩點； 分別以M、N為為圓心，以大于 MN長為半徑畫弧，兩弧分別相交于P、B兩點； 連接AB，則直線AB就是所要求作的12二、作角平分線及綜合 6如圖，在直線a上找出點P，使得點P到OA和OB的距離 相等作法：作AOB的平分線，交直線a于點P，則點P就是所要求作的點7如圖，在ABC中，B50，C60. (1)用尺規(guī)作出BAC的平分線交BC于點D. (2)求ADC的度數(shù)解：(1)如圖(2)BAC18

43、0BC 1805060 70 DAC BAC 7035 ADC180DACC 1803560 85.12128已知ABC，ABAC，A36. (1)用尺規(guī)作ABC的平分線交AC于點D. (2)證明BCD是等腰三角形(1)解：如圖所示，BD即為所求；(2)證明： ABAC， ABCC. A36， ABCACB(18036)272， BD平分ABC， ABDDBC36， BDC363672C. BDBC， DBC是等腰三角形三、作垂直平分線及綜合 9如圖，一輛汽車在筆直的公路AB上由A向B行駛，M，N是 位于公路AB兩側的村莊，當汽車行駛到哪個位置時，與 村莊M，N的距離相等？請畫圖說明 解：(1

44、)連接MN； (2)作線段MN的垂直平分線l， 交直線AB于C點， 則C點即為所求10如圖，A，B，C三點表示三個村莊，為了解決村民子女 就近入學的問題，計劃新建一所小學，要使學校到三個村 莊距離相等，請你在圖中確定學校的位置 解：如圖，作出AB和BC的中垂線，相交于點P，則點P是所求的到三村距離相等的點11如圖，在ABC中，ABAC，BAC120. (1)用尺規(guī)作出AB的垂直平分線交AB于點E，交BC于點F. (2)若BF3，求CF的長度解：(1)如圖所示：(2)連接AF.ABAC，BAC120BC (180120)30又由(1)知BFAFFABB30FAC1203090CF2AF2BF23

45、61212. 如圖，已知甲村和乙村靠近公路a，b，為了發(fā)展經濟，甲、乙兩村準備合建一個工廠，經協(xié)商，工廠必須滿足以下要求： (1)到兩村的距離相等； (2)到兩條公路的距離相等你能幫忙確定工廠的位置嗎？解：設a、b相交于點O.甲村為點E，乙村為點D. 以O為圓心，以任意長為半徑畫弧，分別交于直線a、b于點A、B； 分別以A、B為圓心，大于 AB長為半徑畫弧，兩弧交于點C，連接OC； 連接ED，分別以E、D為圓心，以大于 ED長為半徑畫弧，兩弧交于F、G兩點，連接FG； FG與OC相交于點H，則H即為工廠位置1212四、網(wǎng)格作圖 13如圖，在平面直角坐標系中，ABC的頂點A(0，1)， B(3，

46、2)，C(1，4)均在正方形網(wǎng)格的格點上 (1)畫出ABC關于x軸的對稱圖形A1B1C1； (2)將A1B1C1沿x軸方向向左平移3個單位長度后得到 A2B2C2，寫出頂點 A2，B2，C2的坐標解：(1)如圖所示：A1B1C1即為所求；(2)如圖所示：A2B2C2即為所求， 點A2(3，1)，B2(0，2)，C2(2，4)14在33的正方形網(wǎng)格圖中，有格點三角形ABC和格點三角 形DEF，且ABC和DEF關于某直線成軸對稱(A，B，C 的對稱點依次分別是D，E，F(xiàn))，請在圖中畫出三個這樣的 DEF.解：如圖15.如圖，在平面直角坐標系中，ABC的三個頂點分別為 A(2，3)，B(3，1)，C

47、(2，2)(1)請在圖中作出ABC關于y軸的軸對稱圖形ABC(A，B，C 的對稱點分別是A，B，C)，并直接寫出A，B，C的坐標 (2)求ABC的面積解：(1)如圖所示，點A(2，3)，B(3，1)，C(2，2)；(2)用大正方形面積減去三個直角三角形面積，SABC25 6.5.1114 51 25 3222 16如圖，方格紙中每個小正方形的邊長均為1，四邊形 ABCD的四個頂點都在小正方形的頂點上，點E在BC邊上， 且點E在小正方形的頂點上，連接AE. (1)在圖中畫出AEF，使AEF與AEB關于直線AE對稱，點F 與點B是對稱點； (2)請直接寫出AEF與四邊形ABCD的重疊部分的面積解：

48、(1)AEF如圖所示： (2)重疊部分的面積 44 22826.1212五、最短路徑問題 17如圖，小紅要從一間房的A點出發(fā)到河岸打水后再送到 另一間房的B點，請通過作圖替小紅找出最短的路徑 畫出小紅走的路線解：作點A關于河岸的對稱點A，連接AB，交河岸于點O，則點O就是小紅取水點，此時小紅走的路線AOB就是最短路線18如圖，E，F(xiàn)分別是ABC的邊AB，AC上的兩定點， 在BC上求一點M，使MEF的周長最短解：作點E關于BC的對稱點E，連接EF，交BC于點M，則M就是所求的點謝謝！人教版八年級上冊數(shù)學期末專題七輔助線作法 一、構造全等 1如圖，已知ABAD，CBCD.求證：ADCABC.證明：

49、連接AC.在ADC和ABC中ADCABC.ADCABC.ADABCDCBACAC2如圖，AC、BD相交于點O，ACBD，ABCD.求證：AD.證明：連接BC.在ABC和DCB中，ABCDCB.AD.ABDCBCCBACDB3如圖，點D在AB上，點E在AC上，BE與CD相交于O點，ABAC，BOCO.求證：BC.證明：連接AO.在AOB和AOC中，AOBAOC.BC.ABACBOCOAOAO4如圖，已知ABAE，BCED，BE，F(xiàn)為CD的中點求證：AFCD. 證明：連接AC，AD.在ABC和AED中， ABCAED.ACAD.又F為CD中點，AFCD.ABAEBEBCED 5如圖，已知等腰直角三

50、角形ABC中，ABAC，BAC90，BF平分ABC，CDBD交BF的延長線于點D.試說明：BF2CD.證明：延長BA，CD交于ECDBD，BDEBDC90又BF平分ABC，BDBDBDCBDE，BCBE，DCDEBACBDC90，AFBDFCABFDCF又ABACBAFCAE，ABFACEBFCE2CD二、倍長中線構造全等 6如圖，AD為ABC的中線，延長AD至E，使DEAD， 連CE.求證：ABCE，且ABCE. 證明：AD為ABC的中線，BDCD.在ABD和ECD中，ABDECDABEC，BADE.ABCE.ADEDADBEDCBDCD 7如圖，ABC中，D為BC的中點 (1)求證：ABA

51、C2AD； (2)若AB5，AC3，求AD的取值范圍(1)證明：延長AD至E，使DEAD，連接BE. D為BC的中點，DBCD. 在ADC和EDB中， ADCEDB(SAS)， BEAC， 在ABE中，ABBEAE， ABAC2AD; ADDEADCBDEDBCD (2)解：AB5，AC3，532AD53，1ADMP，BMCNMN.三、截長法構造全等 9如圖，ABCD，BE平分ABC，CE平分BCD，點E在 AD上求證：BCABCD.證明：在BC上取點F，使BFBA，連接EF.BE、CE分別是ABC和BCD的平分線，12，34.在ABE和FBE中，ABEFBE(SAS)，A5.ABCD，12A

52、BFBBEBE AD180，5D180.56180，6D.在CDE和CFE中，CDECFE(AAS)CFCD.BCBFCF，BCABCD.634DCECE 10如圖，在ABC中，ABC60，AD、CE分別平分 BAC、ACB，AD、CE相交于點O. (1)求AOC的度數(shù)； (2)求證：OEOD.(1)解：AD、CE分別平分BAC、ACB，12 BAC，34 ACB.23 (BACACB)又ABC60BACACB180ABC1806012023 12060AOC180(23)1806012012121212(2)證明：如圖，在AC上截取AFAE，連接OF.AEAF ，12 ，AOAOAEOAFO

53、OEOF，AOEAOFAOC120，AOE60，AOFCOD60COF，在COF和COD中，COFCOD(ASA)OFOD.OEOD.34FOCDOCCOCO 四、構造30的直角三角形 11如圖，ABC中，ABAC，BAC120，AC的垂直 平分線交BC于D，交AC于E，DE2，求BC的長解：連接AD，如圖所示：ABAC，BAC120，BC30，AC的垂直平分線交BC于D，DADC，DEC90，CD2DE4，AD4，BAD1203090，BD2AD8，BCBDCD8412.12如圖，ABC中，ABAC，BAC120，D為BC的 中點，DEAC于E，AE2，求CE的長解：連接AD.ABAC，BA

54、C120，D為BC的中點，ADBC，AD平分BAC，BC30DAC BAC60，DEAC于E，AED90，ADE30，12在RtADE中，AE2，ADE30，AD2AE4，在RtADC中，AD4，C30，AC2AD8，則CEACAE826.13已知，四邊形ABCD中，B90，A30， ADC120，AD3，BC1，求CD的長解：延長AD、BC交于點E，A30，B90AEB60ADC120，A、D、E在一條直線上CDE60，三角形CDE為等邊三角形CDDECE，設CDx，在RtABE中，BEBCCE1x ，即22x3x，解得x1，CD1.3222AEADDEx14如圖，ABC中，BD是AC邊上的

55、中線，BDBC于點B， ABD30.求證：AB2BC.證明：延長BD到E，使得DEBD，連接AED是AC的中點ADCD又ADECDB，DEBDADECDB ，AEBC，EEBCBDBCEBC90E90在RtAEB中，ABE30AB2AE2BC15如圖，點P是ABC的邊BC上一點，PC2PB，ABC 45，APC60，求ACB的度數(shù)解：過C作CDAP，垂足為D連接BD.APC60，PC2PD又PC2PBPBPDBDPPBD30又PCD30PBD BDCDABDABPDBP15BAPAPCABP15ADBDADCDACD45ACB453075五、利用“三線合一”作輔助線16如圖，ABC中，ABAC

56、，D是BC的中點，E、F分別是 AB、AC上的點，且AEAF.求證：DEDF.證明：ABAC，AEAF，BC，BECF，點D是BC的中點，BDCD，在BED與CFD中，BEDCFD(SAS)DEDF.BECFBCBDCD 17如圖，ABC中，ABAC，D是BC的中點，過A點的直 線EFBC，且AEAF.求證：DEDF.證明：連接AD.ABAC，BDCD.AD垂直BC.(等腰三角形底邊的中線也是底邊的高)又EFBC，AD垂直EF.又AEAF，DEDF.(線段垂直平分線上的點到線段兩個端點距離相等)18如圖，ABC中，ABAC，點D、E、F分別在BC、AB、 AC上，且BDCF，BECD，G是EF

57、的中點 求證：DGEF.證明：連接DE、DF.ABAC，BC，在EBD和DCF中，EBDDCF.DEDF.又G是EF的中點，DGEF.BDCFBCBECD 19已知等邊ABC，D是AC的中點，點E在BC的延長線上， 且CECD.DMBC于M. 求證：BMEM.證明：連接BD.ABC是等邊三角形，且D是AC的中點DBC ABC 6030，ACB60，CECD，CDEE，ACBCDEE，E30，DBCE30，BDED，BDE為等腰三角形，又DMBC，M是BE的中點BMEM121220已知ABC中，BAC90，ABAC，D為BC的中點 (1)如圖，E，F(xiàn)分別是AB，AC上的點，且BEAF，試判斷 D

58、EF的形狀，并說明理由 (2)如圖，若E，F(xiàn)分別為AB，CA的延長線上的點，且仍有 BEAF.請判斷DEF是否仍有(1)中的形狀，并說明理由解：(1)DEF為等腰直角三角形，證明如下：連接AD.BAC90，D為BC的中點，ABACADBC，BDAD. BDAC45又BEAFBDEADF(SAS)EDFD，BDEADFEDFEDAADFEDABDEBDA90DEF為等腰直角三角形(2)DEF仍為等腰直角三角形證明如下：連接AD.ABAC，BAC90，D為BC的中點，ADBD，ADBC.DACABD45.DAFDBE135.又AFBE，DAFDBE(SAS)FDED，F(xiàn)DAEDB.EDFEDBFD

59、BFDAFDBADB90.DEF仍為等腰直角三角形六、構造等腰三角形 21如圖，ABC中，BAC120，ADBC于D，且AB BDDC，求C的度數(shù)(用兩種方法)解：方法一：在DC上截取DEBD，連接AE，如圖所示ADBC，ADBADE90，在ABD和AED中，ABDAED(SAS)，ADADADBADEDBDE ABAE，BAEB，又ABBDCD，DEBD，ABDECD，而CDDEEC，ABEC，AEEC，EACC.設EACCx，AEB為AEC的外角，AEBEACC2x，B2x，BAE1802x2x1804x，BAC120，BAEEAC120，即1804xx120，解得：x20，即C20.方法

60、二：延長DB至F，使BFBA，連接AFABBDDC DFDC在ADF和ADC中，ADFADC，CF又ABBFFFABC BACFABFC180又BAC120FABFC60，即3C60.C20.ADADADFADCDFDC 22如圖，ABC中，C2A，BD平分ABC交AC于D. 求證：ABCDBC.(用兩種方法)證明：方法一：在AB上取BEBCBD平分ABC，交AC于D，CBDEBD，在CBD和EBD中，CBDEBD(SAS)，BEBCCBDEBDBDBD CDED，CBED，C2A，BED2A，BEDAADE，AADE，AEDE，AECD，ABBEAE，ABCDBC；方法二：延長BC至F，使C