1、1第六章 多元函數(shù)微積分第一節(jié) 空間解析幾何簡介2一.建立空間直角坐標(biāo)系3x橫軸橫軸y縱軸縱軸z豎軸豎軸 定點(diǎn)定點(diǎn)o空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系 三個(gè)坐標(biāo)軸的正方向三個(gè)坐標(biāo)軸的正方向符合符合右手系右手系.即以右手握住即以右手握住z軸，軸，當(dāng)右手的四個(gè)手指當(dāng)右手的四個(gè)手指從正向從正向x軸以軸以2 角角度轉(zhuǎn)向正向度轉(zhuǎn)向正向y軸軸時(shí)，大拇指的指向時(shí)，大拇指的指向就是就是z軸的正向軸的正向.空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)4xyozxoy面面yoz面面zox面面空間直角坐標(biāo)系共有空間直角坐標(biāo)系共有八個(gè)卦限八個(gè)卦限5空間的點(diǎn)空間的點(diǎn)有序數(shù)組有序數(shù)組),(zyx 11特殊點(diǎn)的表示特殊點(diǎn)的表示:)0 , 0 , 0(O),

2、(zyxM xyzo)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC坐標(biāo)軸上的點(diǎn)坐標(biāo)軸上的點(diǎn),P,Q,R坐標(biāo)面上的點(diǎn)坐標(biāo)面上的點(diǎn),A,B,C6設(shè)設(shè)),(1111zyxM、),(2222zyxM為為空空間間兩兩點(diǎn)點(diǎn)xyzo 1MPNQR 2M?21 MMd在在直直角角21NMM 及及 直直 角角PNM1 中中，使使用用勾勾股股定定理理知知,222212NMPNPMd 二、空間兩點(diǎn)間的距離7,121xxPM ,12yyPN ,122zzNM 22221NMPNPMd .21221221221zzyyxxMM 空間兩點(diǎn)間距離公式空間兩點(diǎn)間距

3、離公式特殊地：若兩點(diǎn)分別為特殊地：若兩點(diǎn)分別為,),(zyxM)0 , 0 , 0(OOMd .222zyx xyzo 1MPNQR 2M80 DCzByAx平面的一般方程平面的一般方程三、平面的一般方程9平面一般方程的幾種特殊情況：平面一般方程的幾種特殊情況：, 0)1( D平面通過坐標(biāo)原點(diǎn)；平面通過坐標(biāo)原點(diǎn)；, 0)2( A , 0, 0DD平面通過平面通過 軸；軸；x平面平行于平面平行于 軸；軸；x, 0)3( BA平面平行于平面平行于 坐標(biāo)面；坐標(biāo)面；xoy類似地可討論類似地可討論 情形情形.0, 0 CBCA0, 0 CB類似地可討論類似地可討論 情形情形.0 DCzByAx10例例

4、: :求求過過y軸及點(diǎn)軸及點(diǎn))2, 3, 6( 的平面方程的平面方程. 03,3zxxz30zzyxz表示斜的平面表示坐標(biāo)面表示平行于坐標(biāo)面的水平面11例例 4 4 設(shè)設(shè)平平面面與與zyx,三三軸軸分分別別交交于于)0 , 0 ,(aP、)0 , 0(bQ、), 0 , 0(cR（其其中中0 a，0 b，0 c） ，求求此此平平面面方方程程.設(shè)平面為設(shè)平面為, 0 DCzByAx將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得 , 0, 0, 0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解12,aDA ,bDB ,cDC 將將代入所設(shè)方程得代入所設(shè)方程得1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程

5、x軸軸上上截截距距y軸上截距軸上截距z軸軸上上截截距距),0,0(),0,0(),0,0,(cba過13四、空間曲線與方程14 0),(0),(zyxGzyxF空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程 曲線上的點(diǎn)都滿足曲線上的點(diǎn)都滿足方程，滿足方程的點(diǎn)都在方程，滿足方程的點(diǎn)都在曲線上，不在曲線上的點(diǎn)曲線上，不在曲線上的點(diǎn)不能同時(shí)滿足兩個(gè)方程不能同時(shí)滿足兩個(gè)方程.xozy1S2SC空間曲線空間曲線C可看作空間兩曲面的交線可看作空間兩曲面的交線.特點(diǎn)特點(diǎn)：1、空間曲線的一般方程15例例1 1 方程組方程組 表示怎樣的曲線？表示怎樣的曲線？ 6332122zyxyx解解122 yx表示圓柱面，表示圓柱面

6、，6332 zyx表示平面，表示平面， 6332122zyxyx交線為橢圓交線為橢圓.16例例2 2 方程組方程組 表示怎樣的曲線？表示怎樣的曲線？ 4)2(222222ayaxyxaz解解222yxaz 上半球面上半球面,4)2(222ayax 圓柱面圓柱面,交線如圖交線如圖.1718 0),(0),(zyxGzyxF消去變量消去變量z后得：后得：0),( yxH曲線關(guān)于曲線關(guān)于 的的投影柱面投影柱面xoy設(shè)空間曲線的一般方程：設(shè)空間曲線的一般方程：以此空間曲線為準(zhǔn)線，垂直于所投影的坐標(biāo)面以此空間曲線為準(zhǔn)線，垂直于所投影的坐標(biāo)面.投影柱面的投影柱面的特征特征：2、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影19

7、如圖如圖:投影曲線的研究過程投影曲線的研究過程.空間曲線空間曲線投影曲線投影曲線投影柱面投影柱面20類似地：可定義空間曲線在其他坐標(biāo)面上的投影類似地：可定義空間曲線在其他坐標(biāo)面上的投影 00),(xzyR 00),(yzxT面上的面上的投影曲線投影曲線,yoz面上的面上的投影曲線投影曲線,xoz 00),(zyxH空間曲線在空間曲線在 面上的面上的投影曲線投影曲線xoy21補(bǔ)充補(bǔ)充: : 空間立體或曲面在坐標(biāo)面上的投影空間立體或曲面在坐標(biāo)面上的投影. .空間立體空間立體曲面曲面22面面上上的的投投影影為為在在則則交交線線xoyC . 0, 122zyx一個(gè)圓一個(gè)圓,面面上上的的投投影影為為所所

8、求求立立體體在在xoy. 122 yx23五、二次曲面和一般曲面24水桶的表面、臺(tái)燈的罩子面等水桶的表面、臺(tái)燈的罩子面等曲面在空間解析幾何中被看成是點(diǎn)的幾何軌跡曲面在空間解析幾何中被看成是點(diǎn)的幾何軌跡曲面方程的定義：曲面方程的定義：如如果果曲曲面面S與與三三元元方方程程0),( zyxF有有下下述述關(guān)關(guān)系系：（1 1） 曲曲面面S上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo)都都滿滿足足方方程程；（2 2）不不在在曲曲面面S上上的的點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo)都都不不滿滿足足方方程程；那那么么，方方程程0),( zyxF就就叫叫做做曲曲面面S的的方方程程，而而曲曲面面S就就叫叫做做方方程程的的圖圖形形曲面的實(shí)例：曲面的實(shí)例

9、：1、曲面方程的概念25以下給出幾例常見的曲面以下給出幾例常見的曲面.例例 1 1 建建立立球球心心在在點(diǎn)點(diǎn)),(0000zyxM、半半徑徑為為R的的球球面面方方程程.解解設(shè)設(shè)),(zyxM是是球球面面上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)，RMM |0根據(jù)題意有根據(jù)題意有 Rzzyyxx 202020 2202020Rzzyyxx 所求方程為所求方程為特殊地：球心在原點(diǎn)時(shí)方程為特殊地：球心在原點(diǎn)時(shí)方程為2222Rzyx 26 2511222zyx表示球心在)0 , 1, 1 ( 球半徑為 5的球面方程請(qǐng)你寫出球心在)2, 2 , 1 (球半徑為 的球面方程55221222zyx 04442222zyxzyx27例

10、例 2 2 求與原點(diǎn)求與原點(diǎn)O及及)4 , 3 , 2(0M的距離之比為的距離之比為2:1的的點(diǎn)的全體所組成的曲面方程點(diǎn)的全體所組成的曲面方程.解解設(shè)設(shè)),(zyxM是是曲曲面面上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)，,21|0 MMMO根據(jù)題意有根據(jù)題意有 ,21432222222 zyxzyx .911634132222 zyx所求方程為所求方程為282、旋轉(zhuǎn)曲面29將下列各曲線繞對(duì)應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的將下列各曲線繞對(duì)應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程旋轉(zhuǎn)曲面的方程（1）雙曲線）雙曲線12222 czax分別繞分別繞x軸和軸和z軸；軸；繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)繞繞z軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)122222 czyax1222

11、22 czayx旋轉(zhuǎn)雙曲面旋轉(zhuǎn)雙曲面30繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)繞繞z軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)122222 czxay122222 czayx旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面pzyx222 旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面31定義定義3、柱面、柱面平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動(dòng)的直線移動(dòng)的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，動(dòng)直線，動(dòng)直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.CL32從柱面方程看柱面的從柱面方程看柱面的特征特征： 只只含含yx,而而缺缺z的的方方程程0),( yxF，在在空空間間直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中表表示示母母線線平平行行于于z軸軸的的柱

12、柱面面，其其準(zhǔn)準(zhǔn)線線為為xoy面面上上曲曲線線C.（其他類推）（其他類推）實(shí)實(shí) 例例12222 czby橢圓柱面橢圓柱面 / 軸軸x12222 byax雙曲柱面雙曲柱面 / 軸軸zpzx22 拋物柱面拋物柱面 / 軸軸y33柱面舉例柱面舉例xozyxozyxy22 拋物柱面拋物柱面xy 平面平面空間上表示面，而不是線34第二節(jié) 多元函數(shù)的基本概念 在很多實(shí)際問題中，往往牽涉到多方面的因素，反映到數(shù)學(xué)上，就是一個(gè)變量依賴于幾個(gè)變量的情形，這就提出了多元函數(shù)微分和積分的問題，本章將在一元微分的基礎(chǔ)上，討論二元及二元以上的多元函數(shù)的微分。35 設(shè)設(shè)),(000yxP是是xoy平平面面上上的的一一個(gè)個(gè)

13、點(diǎn)點(diǎn)， 是是某某一一正正數(shù)數(shù)，與與點(diǎn)點(diǎn)),(000yxP距距離離小小于于 的的點(diǎn)點(diǎn)),(yxP的的全全體體，稱稱為為點(diǎn)點(diǎn)0P的的 鄰鄰域域，記記為為),(0 PU，（1）鄰域）鄰域0P ),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx一、多元函數(shù)的概念 36（2）區(qū)域）區(qū)域.)(的的內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)為為則則稱稱，的的某某一一鄰鄰域域一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)如如果果存存在在點(diǎn)點(diǎn)是是平平面面上上的的是是平平面面上上的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)集集，設(shè)設(shè)EPEPUPPE .EE 的的內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)屬屬于于EP .為為開開集集則則稱稱的的點(diǎn)點(diǎn)都都是是內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)，如如果果點(diǎn)點(diǎn)集集EE41),(221 yxyxE例如，例如

14、，即為開集即為開集37的的邊邊界界點(diǎn)點(diǎn)為為），則則稱稱可可以以不不屬屬于于，也也本本身身可可以以屬屬于于的的點(diǎn)點(diǎn)（點(diǎn)點(diǎn)也也有有不不屬屬于于的的點(diǎn)點(diǎn)，于于的的任任一一個(gè)個(gè)鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)既既有有屬屬如如果果點(diǎn)點(diǎn)EPEEPEEPEP 的邊界的邊界的邊界點(diǎn)的全體稱為的邊界點(diǎn)的全體稱為 EE是連通的是連通的開集開集，則稱，則稱且該折線上的點(diǎn)都屬于且該折線上的點(diǎn)都屬于連結(jié)起來，連結(jié)起來，任何兩點(diǎn)，都可用折線任何兩點(diǎn)，都可用折線內(nèi)內(nèi)是開集如果對(duì)于是開集如果對(duì)于設(shè)設(shè)DDDD 38連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo開開區(qū)區(qū)域域連連同同它它的的邊邊界

15、界一一起起稱稱為為閉閉區(qū)區(qū)域域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo390| ),( yxyx有界閉區(qū)域；有界閉區(qū)域；無界開區(qū)域無界開區(qū)域xyo例如，例如，則稱為無界點(diǎn)集則稱為無界點(diǎn)集為有界點(diǎn)集，否為有界點(diǎn)集，否成立，則稱成立，則稱對(duì)一切對(duì)一切即即，不超過不超過間的距離間的距離與某一定點(diǎn)與某一定點(diǎn)，使一切點(diǎn)，使一切點(diǎn)如果存在正數(shù)如果存在正數(shù)對(duì)于點(diǎn)集對(duì)于點(diǎn)集EEPKAPKAPAEPKE 41| ),(22 yxyx40（3）聚點(diǎn)）聚點(diǎn) 設(shè)設(shè) E 是是平平面面上上的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)集集，P 是是平平面面上上的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)，如如果果點(diǎn)點(diǎn) P 的的任任何何一一個(gè)個(gè)鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)總總有有無無限限

16、多多個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)屬屬于于點(diǎn)點(diǎn)集集 E，則則稱稱 P 為為 E 的的聚聚點(diǎn)點(diǎn). 內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)； 邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)；邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)；10| ),(22 yxyx例例(0,0)既是既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)41 點(diǎn)集點(diǎn)集E的聚點(diǎn)可以屬于的聚點(diǎn)可以屬于E，也可以不屬于，也可以不屬于E10| ),(22 yxyx例如例如,(0,0) 是聚點(diǎn)但不屬于集合是聚點(diǎn)但不屬于集合1| ),(22 yxyx例如例如,邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合42 設(shè)設(shè)D是是平平面面上上的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)集集，如如果果對(duì)對(duì)于于每每個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)DyxP ),(，變變量量z按按照照一一定

17、定的的法法則則總總有有確確定定的的值值和和它它對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)，則則稱稱z是是變變量量yx,的的二二元元函函數(shù)數(shù)，記記為為),(yxfz （或或記記為為)(Pfz ）. .（5）二元函數(shù)的定義）二元函數(shù)的定義當(dāng)當(dāng)2 n時(shí)時(shí)，n元元函函數(shù)數(shù)統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為多多元元函函數(shù)數(shù). 多多元元函函數(shù)數(shù)中中同同樣樣有有定定義義域域、值值域域、自自變變量量、因因變變量量等等概概念念.類似地可定義三元及三元以上函數(shù)類似地可定義三元及三元以上函數(shù)43例例1 1 求求 的定義域的定義域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定義域?yàn)樗蠖x域?yàn)?, 42| ),(222y

18、xyxyxD 44一元函數(shù)的定義域-是區(qū)間二元函數(shù)的定義域-是區(qū)域，問題比較復(fù)雜。45（6） 二元函數(shù)二元函數(shù) 的圖形的圖形),(yxfz 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的定定義義域域?yàn)闉镈，對(duì)對(duì)于于任任意意取取定定的的DyxP ),(，對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的函函數(shù)數(shù)值值為為),(yxfz ，這這樣樣，以以x為為橫橫坐坐標(biāo)標(biāo)、y為為縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)、z為為豎豎坐坐標(biāo)標(biāo)在在空空間間就就確確定定一一點(diǎn)點(diǎn)),(zyxM，當(dāng)當(dāng)x取取遍遍D上上一一切切點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)，得得一一個(gè)個(gè)空空間間點(diǎn)點(diǎn)集集),(),(| ),(Dyxyxfzzyx ，這這個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)集集稱稱為為二二元元函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形.（如下頁圖）（如下頁圖）46二

19、元函數(shù)的圖形通常是一張曲面二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.47224yxzyxz23z上半球面表示斜的平面水平面 22yxz圓錐面xyz 表示馬鞍面48224yxz的定義域4042222yxyx二元函數(shù)的函數(shù)值224),(yxyxfz2114) 1 , 1 (24)0 , 0(ff表示圓域49),(000yxfz 函數(shù)值例：已知yxyxfzsin),(求：)2, 1 (f解：12sin21sin)2, 1 (f與一元函數(shù)類似，有定義域和函數(shù)值但是有關(guān)于極限和連續(xù)就很復(fù)雜，在此只是簡單了解50例：已知xyxyxfz2),(求：解：),(xyyxfz xxyxyxxyyxxyyxfz22),(2例：

20、已知22),(yxxyxyyxf求：),(yxfyxyyxfxyvyxuvuvvufxyyxxyyxxyxyyxf2),(,2),(2)(),(22222解：51二、二元函數(shù)的極限(, )P xy(, )P xy設(shè)函數(shù)f(x,y)在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)有定義， 是該鄰域內(nèi)不同于 的任意一點(diǎn),如果 以任何方式無限的接近 , f(x,y)趨近一個(gè)確定的常數(shù)A,稱A是函數(shù)的極限.000(,)P xy0P0P52如果對(duì)于任意給定的正數(shù)，總存在，使得對(duì)于適合不等式的一切點(diǎn)的一切點(diǎn)P(x,y)D,都有都有|f(x,y)-A|531( , ) (3,0)lim (1)yx yxy22( , )(0,0)1 cos

21、limx yxyx y13( , )(3,0)lim(1)xxyx yxye2222( , )(0,0)12lim2x yx yx y5422220022)0 , 0(),(1limlimkkxkxxkxyxxykxyxyx極限不存在55三、二元函數(shù)的連續(xù)0lim)2).,(),(lim) 1)0 , 0(),(00),(),(00zyxfyxfyxyxyx56閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的多元連續(xù)函數(shù)，在上的多元連續(xù)函數(shù)，在D D上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的多元連續(xù)函

22、數(shù)，如上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在果在D D上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在D D上上取得介于這兩值之間的任何值至少一次取得介于這兩值之間的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理57對(duì)于導(dǎo)數(shù)，我們會(huì)重點(diǎn)介紹58第三節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)一 偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法1.函數(shù)增量),(),(),(),(,),(),(0000000000yxfyyxfzyyxfyxxfzxyxyxyxfzyx的偏增量關(guān)于的偏增量關(guān)于),(),(,),(),(000000yxfyyxxfzyxyxyxyxfz的全增量關(guān)于)()(),()(),(),(0000000

23、000 xzyyzyxfyyxyyxfyyxxfzyx，596061yyxfyyxfyzyxfxyxfyxxfxzyxfyyyyxxxx),(),(limlim),(),(),(limlim),(0000000000000000),(3),(),3(lim0000000yxfxyxfyxxfxx62yfyfyzfxfxfxzfyyyyxxxx)0 , 0()0 , 0(limlim)0 , 0()0 , 0()0 ,0(limlim)0 , 0(00000)(lim0)0(0lim)0 , 0(lim00)0(lim)0 , 0(20420042042yyyyfxxxxfyxzyyyxxx不存

24、在例63 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf不連續(xù)但是有兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)一元函數(shù)一元函數(shù):可導(dǎo)一定連續(xù)可導(dǎo)一定連續(xù);二元函數(shù)二元函數(shù):可導(dǎo)與連續(xù)是無關(guān)條件可導(dǎo)與連續(xù)是無關(guān)條件.6465偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)如如 在在 處處 ),(zyxfu ),(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 66求偏導(dǎo)數(shù)的法則：求偏導(dǎo)數(shù)的法則：對(duì)于某個(gè)變量求導(dǎo)數(shù)，只要將其它的量當(dāng)對(duì)于某個(gè)變量求導(dǎo)數(shù)，只要將其

25、它的量當(dāng)作常數(shù)。類似一元函數(shù)，利用作常數(shù)。類似一元函數(shù)，利用1414個(gè)導(dǎo)數(shù)公個(gè)導(dǎo)數(shù)公式以及四則運(yùn)算法則及復(fù)合求導(dǎo)法則進(jìn)行式以及四則運(yùn)算法則及復(fù)合求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)。求導(dǎo)。67222211)(arctansec)(tan1)1(sin)(cos1)(ln21)(2)(yyyyyyyyyyyyyy68例例 1 1 求求 223yxyxz 在在點(diǎn)點(diǎn))2 , 1(處處的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 69221),2)xyxzzzyzxy求例2 求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)對(duì)于一個(gè)變量求導(dǎo)時(shí)候,將其他的變量看作常數(shù)2211:,xyxz

26、zxyyy 解2222221:22xyxzxxyxyyzxy解70證證xxzyzyxzxzxzyyyxyln,1zxxxxxxyxyxyzxxzyxyyyyy22lnln1ln11原結(jié)論成立原結(jié)論成立71解解xz yz 練習(xí)求練習(xí)求xyxzcos) 12xyxxxyyzxyyxyxyxxzsinsin0sin2sin) 1(2yxztan)2解：yxyxyxyxyzyxyyyxxz222222sec)(secsec11sec72解解xz yz 求求xyxzsin)3xyxyxyyxyxxyxzcossincossinxyxxxyxyzcoscos273()sin(cos )()sinxyxyx

27、yzyexexxzxexy4)sinxyzex7414443431334343zxxyxyzyxyxy5)ln(43 )zxy75解解xz yz 求求xyzarctan)62222221)(111)(11arctanyxxxxyyzyxyyxyxzxyz76yxzarctan)722222222221111 ( )1()1 ( )zyyxxyyxyyxyzxxxyyyxy 77例如例如,函數(shù)函數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf,依依定定義義知知在在)0 , 0(處處，0)0 , 0()0 , 0( yxff.但函數(shù)在該點(diǎn)處并不連續(xù)但函數(shù)在該點(diǎn)處并不連續(xù).偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存

28、在 連續(xù)連續(xù).一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo)一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo) 連續(xù)，連續(xù)，多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)，連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在而且偏導(dǎo)數(shù)存在而且偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù) 是連續(xù)是連續(xù) 二元函數(shù)二元函數(shù)連續(xù)連續(xù).二二. 偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系78偏導(dǎo)數(shù)存在而且偏導(dǎo)數(shù)存在而且偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù) 是連續(xù)是連續(xù) 二元函數(shù)二元函數(shù)連續(xù)連續(xù).79三、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義80偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義,),(),(,(00000上上一一點(diǎn)點(diǎn)為為曲曲面面設(shè)設(shè)yxfzyxfyxM 如圖如圖81 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)),(00yxfx就是曲面被平面就是曲面被平面0yy 所截得的曲線在點(diǎn)所截得的曲線

29、在點(diǎn)0M處的切線處的切線xTM0對(duì)對(duì)x軸的軸的斜率斜率. 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)),(00yxfy就是曲面被平面就是曲面被平面0 xx 所截得的曲線在點(diǎn)所截得的曲線在點(diǎn)0M處的切線處的切線yTM0對(duì)對(duì)y軸的軸的斜率斜率.82),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為純偏導(dǎo)純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)定義：二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)定義：二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù). .四、高階偏導(dǎo)數(shù)83),(yxfz ),(yxfzxx),(yxfzyy),(yxfz

30、xxxx),(yxfzxyxy),(yxfzyyyy),(yxfzyxyx84解解xyyxxyyyxxyxzyyxzyyxyyxzxyxyxxzxyzxxyyxxyxyxzyyyxzxyxyyxz19619619231822926923323313222222332232332232385例例 7 7 設(shè)設(shè)byeuaxcos ，求求二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù). 解解,cosbyaexuax ;sinbybeyuax ,cos222byeaxuax ,cos222byebyuax ,sin2byabeyxuax .sin2byabexyuax 86解解xyzyxzyzxz222222,練習(xí)求練習(xí)求xy

31、xzcos) 12xyyxyxyxxzsin2sin) 1(2xyxxxyyzsinsin0 xyxyxyxyyxxyzxyyyxyyzxyxxcossincossin1 0cos2cos22xyxyxyxyxyxyzxyxzyxyycossincossin1 cos287yxzarctan)2;11)(11222222xyyyxyyyyxxz解2222222222222222222222022()()1()22()()()xxxyy xxyzyxyxyxy yyxyxyzyxyxyx yxzxz222,求88xyzyxzyzxz222222,xyez2) 322222222222;(2 )2

32、2 22(12)2;(2 )xyxyxyxxxxyxyxyxyxyxyyyyxyyxzezyezyezey xeexyzxezx ezz 解:89五.偏導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用聯(lián)合成本函數(shù)分析 需求函數(shù)的邊際分析局部彈性n(1).需求的自身價(jià)格彈性n(2).需求的交叉價(jià)格彈性n(3)需求的收入彈性90第五節(jié)、多元復(fù)合函數(shù)及隱函數(shù)的求導(dǎo)法則)sin(yxezxyxyu yxv 二元的復(fù)合函數(shù)中間變量將復(fù)合函數(shù)拆成簡單函數(shù)vezusin一、多元復(fù)合函數(shù)一、多元復(fù)合函數(shù)91例例 1 1 設(shè)設(shè)vezusin ，而而xyu ，yxv ， 求求 xz 和和yz .解法解法1 直接代入得到直接代入得到)sin(y

33、xezxy)cos()sin()sin()sin()cos()sin()sin()sin()(yxeyxxeyxeyxezyxeyxyeyxeyxezxyxyyxyyxyyxyxyxxyxxyx解：利用乘法法則92定理6.4如果函數(shù) ,在點(diǎn)處有偏導(dǎo)數(shù),函數(shù)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),那么復(fù)合函數(shù) 在點(diǎn)也有對(duì)x和y的偏導(dǎo)數(shù)( , ),( , )ux y vx y( , )x y( , ), )zf u vu v在對(duì)應(yīng)點(diǎn)（( ( , ),( , )zfx yx y( , )x y xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv 93uvxzy定理定理6.4:(鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t)如圖示如圖示 xz uzx

34、u vz,xv yz uzyu vz.yv 94zwvuyx95例例 1 1 設(shè)設(shè)vezusin ，而而xyu ，yxv ， 求求 xz 和和yz .解解96例例 2 2 設(shè)設(shè)tuvzsin ，而而teu ，tvcos ， 求求全全導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)dtdz.解解97解解ztvutt通過變量關(guān)系圖可以看出這是個(gè)一元函數(shù)zdtdz代入中間變量求導(dǎo)數(shù)98tteztsincos tttettetettetettezdtdzttttttcos)sin(coscos)sin(cos)(sin)(coscos)()sincos(解解:99解解 直接代入得到直接代入得到)3ln(2yxyxzyxyxyxxyxyxyx

35、xyxyxyxyxzyxyxyxxyyxyxyxxyyxyxyxyxzyyyxxx33)3ln(331)3ln()3ln()3ln(3)3ln(231)3ln(2)3ln()3ln()(2222222222解：利用乘法法則100以上是具體的復(fù)合函數(shù)以上是具體的復(fù)合函數(shù)下面我們介紹抽象函數(shù)如何求偏導(dǎo)數(shù)？下面我們介紹抽象函數(shù)如何求偏導(dǎo)數(shù)？101抽象函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)抽象函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)解解32,37),(yxvyxuvufzzuvxyxy)2,1(個(gè)變量第變量第fz 102222122212313213233332727),37(fyxfyxffyzfxyfxyffxzyxyxfz 222132221323

36、133213233033cos27cos27)sin,37(fyxffyxffyzf xfxyfxfxyffxzxyxyxfz 103解解212121212121111xyffxyffzwxzffxzffywyzffyzffxw這是個(gè)三元的函數(shù)104證證:1052222212122222121222122122212222121212121)()()()()(sin)(cos)(sin)(cossincossincoscossin1sincos)(1)(;cossincos)sin(sincossincos)sin,cos(yzxzfffffffffffrfrrffzrrzyzfxzffrfr

37、rfrfzffffrzrrfz證證:106二、隱函數(shù)求導(dǎo)因變量在方程中出現(xiàn)兩次以上因變量在方程中出現(xiàn)兩次以上. .有一元的隱函數(shù)有一元的隱函數(shù), ,也有二元隱函數(shù)也有二元隱函數(shù)xyyxarctanln22 04222 zzyx一元的隱函數(shù)一元的隱函數(shù)二元的隱函數(shù)二元的隱函數(shù)1070),(. 1 yxF一個(gè)方程的情形隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式108xyFFdyxFdxFy 0),(yxF109解法1 兩邊求導(dǎo)解法2 利用偏導(dǎo)數(shù)做xyyxxyyxFFdxdyyxyFyxFyxyxyxFyxyx262622620; 026),(22222由隱函數(shù)求導(dǎo)公式設(shè)110解解 令令則則 22222222

38、2222222222222211221arctan)ln(21arctanln),(yxxyFyFyxyxyxyyxxxyyxxyxxxyxyyxxFxFxyyxxyyxyxFyx2222xyxyFdyxyxyyxdxFxyxy 111二元隱函數(shù)1120),(. 2 zyxF1130),(zyxFxzFzxF yzFzyF 計(jì)算3個(gè)偏導(dǎo)數(shù),xyzF F F114解解令令則則,4),(222zzyxzyxF 2 ,xFx24,zFz,2xzFzxxFz yzxz,2yFy 代公式2242yzFzyyyFzz 115解解令令222( , , )352610221010661010 xyzxxzyy

39、zF x y zxyzxyzFxyzFyxzFzxyFxyzxyzzFzxyxyzFyxzyxzzFzxyxyz 則代公式y(tǒng)zxz,116第四節(jié)、全微分117),(),(yxfyxxf ( , )xfx yx),(),(yxfyyxf ( , )yfx yy 二二元元函函數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)x和和對(duì)對(duì)y的的偏偏微微分分 二元函數(shù)二元函數(shù)對(duì)對(duì)x和對(duì)和對(duì)y的的偏增量偏增量由一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系得由一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系得1、全微分的定義118全增量的概念全增量的概念119 如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx的全增量的全增量),(),(yxfyyxxfz 可以表示為可以表示

40、為)( oyBxAz ，其中，其中BA,不依賴于不依賴于yx ,而僅與而僅與yx,有關(guān)，有關(guān)，22)()(yx ，則稱函數(shù)則稱函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx可微分，可微分，yBxA 稱為函數(shù)稱為函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx的的全微分全微分，記為，記為dz，即，即 dz= =yBxA . .全微分的定義全微分的定義120 函函數(shù)數(shù)若若在在某某區(qū)區(qū)域域 D 內(nèi)內(nèi)各各點(diǎn)點(diǎn)處處處處可可微微分分，則則稱稱這這函函數(shù)數(shù)在在 D 內(nèi)內(nèi)可可微微分分.事實(shí)上事實(shí)上),( oyBxAz , 0lim0 z ),(lim00yyxxfyx ),(lim0zyxf ),(yxf 故故函函數(shù)數(shù)),(y

41、xfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx處處連連續(xù)續(xù).121dyyzdxxzdz2、可微的條件122證證如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(yxP可可微微分分, ),(yyxxPP的某個(gè)鄰域的某個(gè)鄰域)( oyBxAz 總成立總成立,當(dāng)當(dāng)0 y時(shí)時(shí)，上上式式仍仍成成立立，此此時(shí)時(shí)| x ,),(),(yxfyxxf |),(|xoxA Axyxfyxxfx ),(),(lim0,xz 同理可得同理可得.yzB 123一元函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在一元函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在 微分存在微分存在多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在 全微分存在全微分存在例如，例如，.000),(222222 yxyxyx

42、xyyxf124)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 如如果果考考慮慮點(diǎn)點(diǎn)),(yxP 沿沿著著直直線線xy 趨趨近近于于)0 , 0(，則則 22)()(yxyx 22)()(xxxx ,21 說說明明它它不不能能隨隨著著0 而而趨趨于于 0,0 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，(0,0)(0,0)( ),xyzfxfyo 函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn))0 , 0(處處不不可可微微.125說明說明：多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證全：多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證全 微分存在微分存在證證),(),(yxfyyxxfz ),(),(yyxfyyxxf ),(),(yxfyyxf 126),(

43、),(yyxfyyxxf 1(,)xfxx yyx)10(1 在在第第一一個(gè)個(gè)方方括括號(hào)號(hào)內(nèi)內(nèi)，應(yīng)應(yīng)用用拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理1( , )xfx yxx （依偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性）（依偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性）且當(dāng)且當(dāng)0, 0 yx時(shí)，時(shí)，01 .其其中中1 為為yx ,的的函函數(shù)數(shù),1271( , )xfx yxx 2( , )yfx yyy z 2121 yx, 00 故故函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx處處可可微微.同理同理),(),(yxfyyxf 2( , ),yfx yyy 當(dāng)當(dāng)0 y時(shí)時(shí)，02 ,128習(xí)慣上，記全微分為習(xí)慣上，記全微分為.dyyzdxxzdz 全微分的定義可

44、推廣到三元及三元以上函數(shù)全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù).dzzudyyudxxudu 通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個(gè)通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個(gè)偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況129例例 1 1 計(jì)計(jì)算算函函數(shù)數(shù)xyez 在在點(diǎn)點(diǎn))1 , 2(處處的的全全微微分分.解解,xyyexz ,xyxeyz ,2)1 ,2(exz ,22)1 ,2(eyz .222)1 , 2(dyedxedz所求全微分所求全微分.dyxedxyedzxyxy130例例 2 2 求

45、求函函數(shù)數(shù))2cos(yxyz ，當(dāng)當(dāng)4 x， y，4 dx， dy時(shí)時(shí)的的全全微微分分.解解),2sin(yxyxz ),2sin(2)2cos(yxyyxyz dyyzdxxzdz),4(),4(),4( ).74(82 dyyxyyxdxyxydyyzdxxzdz)2sin(2)2cos()2sin(131例例 3 3 計(jì)計(jì)算算函函數(shù)數(shù)yzeyxu 2sin的的全全微微分分.解解, 1 xu,2cos21yzzeyyu ,yzyezu 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz 這是三元的函數(shù)132關(guān)系133多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、

46、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)134全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用135全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用( , )( , )( , ),( , ),xyzf x yP x yfx yfx yxy當(dāng)二元函數(shù)在點(diǎn)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且都較小時(shí)，有近似等式( , )( , ).xyzdzfx yxfx yy 也可寫成也可寫成(,)( , )( , )( , ).xyf xx yyf x yfx yxfx yy 136解解.),(yxyxf 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù).02. 0,04. 0, 2, 1 yxyx取取, 1)2 , 1( f1( , ),yxf

47、x yyx( , )ln ,yyfx yxx(1,2)2,xf (1,2)0,yf 由公式得由公式得02. 0004. 021)04. 1(02. 2 .08. 1 137第六節(jié)、多元函數(shù)的極值和最值138實(shí)例：某商店賣兩種牌子的果汁，本地牌子每實(shí)例：某商店賣兩種牌子的果汁，本地牌子每瓶進(jìn)價(jià)瓶進(jìn)價(jià)1元，外地牌子每瓶進(jìn)價(jià)元，外地牌子每瓶進(jìn)價(jià)1.2元，店主估元，店主估計(jì)，如果本地牌子的每瓶賣計(jì)，如果本地牌子的每瓶賣 元，外地牌子的元，外地牌子的每瓶賣每瓶賣 元，則每天可賣出元，則每天可賣出 瓶本瓶本地牌子的果汁，地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁瓶外地牌子的果汁問：店主每天以什么價(jià)格賣兩種牌子的果汁

48、可問：店主每天以什么價(jià)格賣兩種牌子的果汁可取得最大收益？取得最大收益？xyyx4570 yx7680 每天的收益為每天的收益為 ),(yxf)7680)(2 . 1()4570)(1(yxyyxx 求最大收益即為求二元函數(shù)的最大值求最大收益即為求二元函數(shù)的最大值.1、問題的提出1392、多元函數(shù)的極值和最值140二元函數(shù)極值的定義141 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于該鄰域內(nèi)異于有定義，對(duì)于該鄰域內(nèi)異于),(00yx的點(diǎn)的點(diǎn)),(yx：若滿足不等式若滿足不等式),(),(00yxfyxf ，則稱函數(shù)，則稱函數(shù)在在),(00yx有 極 大 值

49、； 若 滿 足 不 等 式有 極 大 值 ； 若 滿 足 不 等 式),(),(00yxfyxf ，則稱函數(shù)在，則稱函數(shù)在),(00yx有極有極小值；小值；1 1、二元函數(shù)極值的定義、二元函數(shù)極值的定義極極大大值值、極極小小值值統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為極極值值. .使使函函數(shù)數(shù)取取得得極極值值的的點(diǎn)點(diǎn)稱稱為為極極值值點(diǎn)點(diǎn). .142(1)(2)(3)例例1 1處處有有極極小小值值在在函函數(shù)數(shù))0 , 0(4322yxz 例例處有極大值處有極大值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(22yxz 例例處無極值處無極值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(xyz 143多元函數(shù)取得極值的條件多元函數(shù)取得極值的條件不不妨妨設(shè)設(shè)),(yx

50、fz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx處處有有極極大大值值,則則對(duì)對(duì)于于),(00yx的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)任任意意 ),(yx),(00yx都有都有 ),(yxf),(00yxf,證證144故故當(dāng)當(dāng)0yy ，0 xx 時(shí)時(shí)，有有 ),(0yxf),(00yxf,說明一元函數(shù)說明一元函數(shù)),(0yxf在在0 xx 處有極大值處有極大值,必必有有 0),(00 yxfx;類類似似地地可可證證 0),(00 yxfy.推推廣廣 如如果果三三元元函函數(shù)數(shù)),(zyxfu 在在點(diǎn)點(diǎn)),(000zyxP具具有有偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，則則它它在在),(000zyxP有有極極值值的的必必要要條條件件為為 0),(000 zyx

51、fx， 0),(000 zyxfy， 0),(000 zyxfz.145例如例如, 點(diǎn)點(diǎn))0 , 0(是函數(shù)是函數(shù)xyz 的駐點(diǎn)，的駐點(diǎn)，但但不不是是極極值值點(diǎn)點(diǎn). 仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)，均稱為函數(shù)的的點(diǎn)，均稱為函數(shù)的駐點(diǎn)駐點(diǎn).駐點(diǎn)駐點(diǎn)極值點(diǎn)極值點(diǎn)問題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？問題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？注意：注意：146147148yxyxz221422149例例 4 4 求由方程求由方程yxzyx22222 0104 z確定的函數(shù)確定的函數(shù)),(yxfz 的極值的極值將將方方程程兩兩邊邊分分別別對(duì)對(duì)yx,求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)

52、 0422204222yyxxzzzyzzzx由由函函數(shù)數(shù)取取極極值值的的必必要要條條件件知知,駐駐點(diǎn)點(diǎn)為為)1, 1( P,將將上上方方程程組組再再分分別別對(duì)對(duì)yx,求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù),解解隱函數(shù)求極值150,21|, 0|,21|zzCzBzzAPyyPxyPxx 故故 )2(0)2(122 zzACB,函函數(shù)數(shù)在在P有有極極值值.將將)1, 1( P代入原方程代入原方程,有有6, 221 zz,當(dāng)當(dāng)21 z時(shí)時(shí)，041 A,所所以以2)1, 1( fz為為極極小小值值；當(dāng)當(dāng)62 z時(shí)時(shí)，041 A,所所以以6)1, 1( fz為為極極大大值值. 151求求函函數(shù)數(shù)),(yxfz 極極值值的

53、的一一般般步步驟驟：第第一一步步 解解方方程程組組, 0),( yxfx0),( yxfy求求出出實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)解解，得得駐駐點(diǎn)點(diǎn).第第二二步步 對(duì)對(duì)于于每每一一個(gè)個(gè)駐駐點(diǎn)點(diǎn)),(00yx，求求出出二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的值值 A、B、C. 第三步第三步 定出定出2BAC 的符號(hào)，再判定是否是極值的符號(hào)，再判定是否是極值.152xyyxyxfz3),() 1 (3322442)2(yxyxyxz153212, 2, 212) 1, 1)(1 , 1)(0 , 0(00:2)2(222244 yzzxzzzSolutionyxyxyxzyyxyxxyx處不取極值所以有當(dāng)時(shí)而當(dāng)有時(shí)當(dāng)處在)0 , 0(0

54、, 0,0; 02,. 0)0 , 0(,)0 , 0(244zxxxzyxzyxf) 1 , 1 () 1, 1(在 處取極小值在 處取極小值154求最值的一般方法求最值的一般方法： 將函數(shù)在將函數(shù)在D D內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在D D的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值大者即為最大值，最小者即為最小值. . 與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值極值來求函數(shù)的最大值和最小值.3 3、多元函數(shù)的最值、多元函數(shù)的最值155例例 5 5 求求二二元元函函數(shù)數(shù))4(),(2yxyxyxfz