1、小小 結(jié)結(jié)基本方程與邊界條件基本方程與邊界條件1平衡微分方程（平衡微分方程（3個(gè)）個(gè)）00fijij f, 2幾何方程（幾何方程（6個(gè)）個(gè)）)(21,ijjiijuu)( uu21應(yīng)變協(xié)調(diào)方程：應(yīng)變協(xié)調(diào)方程：（由幾何方程導(dǎo)出，不作為基本（由幾何方程導(dǎo)出，不作為基本方程）方程）第九章第九章 空間問題的解答空間問題的解答3物理方程（物理方程（6個(gè)）個(gè)）ijijijG2IG2 0 共共15個(gè)方程，個(gè)方程，15個(gè)未知函數(shù)，在適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件個(gè)未知函數(shù)，在適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件下可求出下可求出iijiju,4邊界條件邊界條件1位移邊界條件位移邊界條件（第一類邊值問題）（第一類邊值問題）uSonuu 2應(yīng)力邊界條件

2、應(yīng)力邊界條件（第二類邊值問題）（第二類邊值問題）Sontn3混合邊界條件混合邊界條件（第三類邊值問題）（第三類邊值問題）邊界邊界SSSu iiuu ijijtn fiij平衡方程平衡方程ijit條件s本構(gòu)關(guān)系本構(gòu)關(guān)系幾何方程幾何方程iuiu靜力學(xué)方面靜力學(xué)方面幾何學(xué)方面幾何學(xué)方面條件us相應(yīng)的解法有：相應(yīng)的解法有：1按位移求解：按位移求解：表示用它量作為基本未知函數(shù)，其以iijijiuu, uuSSSS ,適用于：2按應(yīng)力求解：按應(yīng)力求解：表示用它量作為基本未知函數(shù)，其以ijij S適用于：3混合解法：混合解法：作為基本未知函數(shù)同時(shí)以ijiu, 9-1 9-1 按按位移求解空間問題位移求解空間

3、問題物理方程物理方程)(II uuuGG2直角坐標(biāo)：直角坐標(biāo)：)(,ijjiijkkijuuGu 代入平衡方程代入平衡方程 0fijij ,0fuuGuiijjjjiijkjk )(,得：0fG)u(uGij,jii2 拉梅拉梅(Lam)方程方程 )(,ijjiijkkijuuGu 邊界條件邊界條件(在直角坐標(biāo)系在直角坐標(biāo)系) uSonuu SonfnuuGnuijijjiikk)(,對于軸對稱問題，求解方程成為對于軸對稱問題，求解方程成為0)211()1 (20)211()1 (2222zfwzEfuuE對于球?qū)ΨQ問題，求解方程成為對于球?qū)ΨQ問題，求解方程成為 0)22()21)(1 ()1

4、 (222rrrrfurdrdurdrudE如圖：如圖：gfffzyx0pzxo(y)9-2 9-2 半空間體受重力及均布壓力半空間體受重力及均布壓力 由于對稱（任一鉛直平面都是對稱面），故可假設(shè)：由于對稱（任一鉛直平面都是對稱面），故可假設(shè)：)(,zwwovou g按位移按位移求解求解10fuGuGijiji2 ,)(自然滿足 2 , 1i0)( / 3222,gdzwdGwGdzdwuijj時(shí)有：BAz)E(1g2)(1(1w2)()0)2(22gdzwdG20)()2(2)(2)(2xyzxyzzzyyxxAzgdzdwGGAzg1dzdwGAzg1dzdwGgqAqzzyzx/, 0,

5、 030)()(xyzxyzzyxgzqgzq1在z=0的表面，有： 常數(shù)常數(shù)B的決定要利用位移邊界條件。假定決定要利用位移邊界條件。假定0)(hzw2)()gqhg)2E(12)(1(1B1zyzx這個(gè)比值在土力學(xué)中稱為側(cè)壓力系數(shù)這個(gè)比值在土力學(xué)中稱為側(cè)壓力系數(shù) 球?qū)ΨQ問題，體力不計(jì)球?qū)ΨQ問題，體力不計(jì)022)222rrrrfurdrdurdrud2)(1(1)E(1由：0ur2drdur2drudr2r2r2 0urdrdr1drdr22 )(9-3 9-3 空心圓球受均布壓力空心圓球受均布壓力積分：積分：2322222/)()(1rBAruBArurrAurdrdAurdrdrrrrr應(yīng)

6、力分量應(yīng)力分量 3rB12EA21Er3rB1EA21E邊界條件邊界條件( (先考慮內(nèi)外所受的均布壓力先考慮內(nèi)外所受的均布壓力) )aarrq)(bbrrq)()21 ()(3333abEqbqaAba)()(2)(33331abEqqbaBba求解求解A和和B，得，得徑向位移解答為徑向位移解答為: barqbaraqabrbEru333333331121211212)1 (babarqbaraqabrbqbaraqabrb33333333333333331211121111應(yīng)力解答為應(yīng)力解答為: 討討 論：論：只受有內(nèi)壓力只受有內(nèi)壓力q，1qbabrqabrbqbabrqabrbr33333

7、33333333333111211121111110qqqba ,當(dāng)當(dāng)趨于無限大趨于無限大 33rqar332rqa 2 2、孔邊將發(fā)生孔邊將發(fā)生q/2的切向拉應(yīng)力，它可能引起的切向拉應(yīng)力，它可能引起脆性材料的開裂。可比較平面問題的脆性材料的開裂。可比較平面問題的lame解答。解答。 1 1、當(dāng)、當(dāng) r 趨于無限大，驗(yàn)證了趨于無限大，驗(yàn)證了S-VS-V原理原理2 ba，受有內(nèi)外壓力受有內(nèi)外壓力）（*)()()()( 3b3a3b3arra22qraq21ra1qraqbrqr很大，則：若應(yīng)力狀態(tài)同實(shí)心圓球距內(nèi)壁較遠(yuǎn)處的可見,ab 再次驗(yàn)證了再次驗(yàn)證了S-V原理原理3ab0qa ,brq230a

8、r 處，）式，依（*局部應(yīng)力集中，與平面孔口應(yīng)力集中問題局部應(yīng)力集中，與平面孔口應(yīng)力集中問題比較，集中程度降低。比較，集中程度降低。）（*)()()()( 3b3a3b3arra22qraq21ra1qraq僅受外壓僅受外壓9-4 9-4 位移勢函數(shù)位移勢函數(shù)當(dāng)不計(jì)體力時(shí)，當(dāng)不計(jì)體力時(shí)，Lam方程成為方程成為 如何求解？如何求解？0G)u(uGj,jii2引入位移函數(shù)引入位移函數(shù), ,使方程變得簡單使方程變得簡單假設(shè)位移是有勢的假設(shè)位移是有勢的 ,ii2G1u 002GG2102GG21,i2,i2,i2,jji,i2從而有：從而有：為任意常數(shù)c,c20G)u(uGj,jii2特別的，取，則0

9、2 ,ijij 如果找到適當(dāng)?shù)恼{(diào)和函數(shù) ,使得能夠滿足邊界條件，就得到該問題的iiG21u， ijij,正確解答。問題歸結(jié)為問題歸結(jié)為ijjiijijjiij2iiiiijijijG2121G21uu21G21G21uG2,)()(而此時(shí)軸對稱問題軸對稱問題 Gu21zGw21代入無體力的平衡方程中，得到：代入無體力的平衡方程中，得到：0022zc2 取, 應(yīng)為調(diào)和函數(shù),此時(shí)： rzzrrrrzzrzr22222,1,問題歸結(jié)為問題歸結(jié)為如果找到適當(dāng)?shù)恼{(diào)和函數(shù) ,使得 給出的能夠滿足邊界條件，就得到該問題的正確解答。等,rrwu應(yīng)當(dāng)指出：并不是所有問題中的位移都是有勢的， 如果位移勢函數(shù)存在，

10、如果位移勢函數(shù)存在， 常數(shù)則 22G21c 表示體積應(yīng)變在整個(gè)彈性體是常量，這種表示體積應(yīng)變在整個(gè)彈性體是常量，這種情況非常特殊，因而位移勢函數(shù)所能解決的問情況非常特殊，因而位移勢函數(shù)所能解決的問題極其有限。題極其有限。9-5 伽遼金位移函數(shù)伽遼金位移函數(shù) 來表示函數(shù)把位移矢量用一個(gè)矢量321eeek,kii2i)2(12G1u代入無體力的平衡方程中0uGuGjiji2,)(0i4運(yùn)算后得到：k,kijj,ii,j2k,k2ijij)()(1， 于是，對于一般的空間問題，只須找到于是，對于一般的空間問題，只須找到三個(gè)恰當(dāng)?shù)闹卣{(diào)和函數(shù)三個(gè)恰當(dāng)?shù)闹卣{(diào)和函數(shù) , 使得按上使得按上式給出的位移和應(yīng)力能

11、夠滿足邊界條件，就式給出的位移和應(yīng)力能夠滿足邊界條件，就得到該問題的正確解答。得到該問題的正確解答。 特殊形式特殊形式 樂甫位移函數(shù) 0, 0在直角坐標(biāo)系可表示為在直角坐標(biāo)系可表示為)1 (221212122222zGwzyGvzxGu應(yīng)力分量表達(dá)式為應(yīng)力分量表達(dá)式為 )1()1()1()()(2222223222222222zyzxzyxzzyzxzzxyzxyzyx在圓柱坐標(biāo)系中的位移分量和應(yīng)力分量的在圓柱坐標(biāo)系中的位移分量和應(yīng)力分量的表達(dá)式為表達(dá)式為(軸對稱問題為其中的特例軸對稱問題為其中的特例)1 (2211212122222zGwzGuGu)1()1(1)()2()11()(2222

12、2232222222222zzzzzzzzzz伽遼金位移函數(shù)不要求有勢，求解范圍廣。體力不計(jì)體力不計(jì) 1坐標(biāo)選擇坐標(biāo)選擇 z 軸沿荷載軸沿荷載F作用線作用線空間軸對稱問題空間軸對稱問題zprorzR9-6 9-6 半空間體在邊界上受法向集中力半空間體在邊界上受法向集中力F應(yīng)力邊界條件要求應(yīng)力邊界條件要求 0)(0, 0zzz，時(shí)怎么辦？00 ,00)2(00yxzzFFFdF2)(合成，軸對稱由z)( 0)(0合成，軸對稱由合成，軸對稱由zzzyxMMM 轉(zhuǎn)化過來之后，空間有轉(zhuǎn)化過來之后，空間有6 6個(gè)條件，其個(gè)條件，其中中5 5個(gè)自然滿足。個(gè)自然滿足。3選擇位移函數(shù)選擇位移函數(shù)考慮采用樂甫位

13、移函數(shù)考慮采用樂甫位移函數(shù), ,zGu221(1)(1)由因次分析由因次分析, ,要求要求: :力力長長(2) 滿足滿足:04選擇選擇: :2211zARA長長含含r、z二個(gè)變量，并且二個(gè)變量，并且43)21 (3)21 ()21 (3)21 ()43(225231533131523132131RzRARzRzARzARzRzARrRGAwGRzAuzz求出位移和應(yīng)力分量求出位移和應(yīng)力分量6檢驗(yàn)應(yīng)力邊界條件檢驗(yàn)應(yīng)力邊界條件0)(0, 0zzz，但但021)(210, 0Azz5補(bǔ)選補(bǔ)選lame位移勢函數(shù)位移勢函數(shù)考慮到：考慮到：（1) 應(yīng)當(dāng)是應(yīng)當(dāng)是 ，等長度坐標(biāo)的零次冪，等長度坐標(biāo)的零次冪 力

14、力(2) 滿足：滿足：02Gu21要求要求Aln() 故?。汗嗜。?23223222)()(12)(2RARzAzRRAzRRRzAGRAwzRGRAuzz求得：求得：7疊加后，檢驗(yàn)應(yīng)力邊界條件疊加后，檢驗(yàn)應(yīng)力邊界條件0)(0, 0zz0)(0, 0zz滿足滿足0)21 (21AA0)2(0Fdz再代入：再代入：FAA212)1 (421FA 2)21 (2FA)1 (22)1 ()21 (2)1 (222RzERFwzRRzERFu5253232223,232)21 (3)21 (2RzFRFzzRRRzRFRzzRRRFzzz聯(lián)立求得聯(lián)立求得 Boussinesq 解答解答 EFwz)1

15、()(20表面沉陷表面沉陷 體力不計(jì)體力不計(jì) 1坐標(biāo)選擇坐標(biāo)選擇非空間軸對稱問題非空間軸對稱問題9-7 9-7 半空間體在邊界上受切向集中力半空間體在邊界上受切向集中力F應(yīng)力邊界條件應(yīng)力邊界條件20),(0, 0rzzyzxz 0)(00)(00)(0dxdyxydxdydxdyzxdxdydxdyzyFdxdyzyzxzzxzzyzyzzxF選擇位移函數(shù)選擇位移函數(shù)3(1) 伽遼金位移函數(shù)伽遼金位移函數(shù) RA1， 0， )ln(2zRxAzRxA3(2) lame位移勢函數(shù)：位移勢函數(shù)： 滿足：滿足：0i4滿足：滿足：024求出應(yīng)力分量求出應(yīng)力分量檢驗(yàn)應(yīng)力邊界條件檢驗(yàn)應(yīng)力邊界條件5求出：求出

16、：)1 (41FA)1 (4)21 (2FA2)21 (3FA6Cerruti 解答解答 )21 (2)1 ()()21 (2)1 ()()21 (12)1 (2222222zRxRxzERFwzRxyRxyERFvzRxzRRRxERFu3)2()(2122323233)2()(2123)2()(21222222235255222222232222223RxzRRxxRzRRFyRzFxRFxyzRFxzRyzRRxxRzRRFxRxzRRyyRzRRFxxyzxyzzyx討討 論：論：半空間體在邊界上受集中力作用應(yīng)力分布特征半空間體在邊界上受集中力作用應(yīng)力分布特征(1) 當(dāng)時(shí)，各應(yīng)力分量都

17、趨于零； 當(dāng)時(shí)，各應(yīng)力分量都趨于無限大。 (2) 水平截面上的應(yīng)力都與彈性常數(shù)無關(guān)，其它 截面上的應(yīng)力，一般都隨泊松系數(shù)而變。 (3) 水平截面上的全應(yīng)力指向集中力的作用點(diǎn)。9-10 空間問題的應(yīng)力解法空間問題的應(yīng)力解法 應(yīng)力解法以應(yīng)力張量，即以應(yīng)力解法以應(yīng)力張量，即以6個(gè)個(gè)應(yīng)力分應(yīng)力分量量為基本未知函數(shù)。除了滿足平衡微分方程為基本未知函數(shù)。除了滿足平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件以外，為了保證位移唯一存和應(yīng)力邊界條件以外，為了保證位移唯一存在，應(yīng)力在，應(yīng)力(或應(yīng)變或應(yīng)變)必須滿足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程。必須滿足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程。 關(guān)于應(yīng)變協(xié)調(diào)方程 )()(,ijjiijuu2121 uu數(shù)學(xué)上：數(shù)學(xué)上：1可行求

18、已知,ijiu動(dòng)和變形完全可以描述物體的運(yùn)因?yàn)閡2是否可行？求已知,iiju滿足某些可積性條件。除非個(gè)一般不能求出個(gè)量），個(gè)方程求是超定方程組（幾何方程ijiu336, 這些條件稱為變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件或應(yīng)變協(xié)調(diào)方程應(yīng)變協(xié)調(diào)方程或相容方程相容方程物理上：物理上：微元體變形后應(yīng)保持連續(xù)，可行。求已知,ijiu 要求 不能任意，應(yīng)保持連續(xù)，不然則會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)開、嵌入等現(xiàn)象， 不是單值。iuiu)()(uuuu2121000 , （）（） ,iiju求已知)()()(222222222222222222222xyzyyxxzyyxzzyxxzyzyyzzxzxyxyxyzzxxyzyzxyzxyxy

19、zxyzxyzzyxzxzxyxy直角坐標(biāo)系中分量形式的相容方程直角坐標(biāo)系中分量形式的相容方程 0ee0klqijpiljk , 進(jìn)一步可以證明，應(yīng)變分量滿足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程是進(jìn)一步可以證明，應(yīng)變分量滿足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程是存在單值連續(xù)位移場的必要條件。存在單值連續(xù)位移場的必要條件。 對于單連體，也是充分條件；對于單連體，也是充分條件； 對于多連體，加上位移單值條件，才是充分的。對于多連體，加上位移單值條件，才是充分的。0,klqijpiljkee將物理方程代入，并利用平衡微分方程簡化得到：將物理方程代入，并利用平衡微分方程簡化得到：0)f(ff111j,ii,jijn,n,ijij2稱為密切爾（稱為密

20、切爾（Michell）方程。）方程。 在體力為常量的情況下，在體力為常量的情況下，簡化為簡化為拜爾特拉密拜爾特拉密(Beltrami)方程方程 0)(1,ijij2補(bǔ)充：補(bǔ)充： 應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù) 按應(yīng)力求解：當(dāng)不計(jì)體力時(shí)，應(yīng)力分量應(yīng)滿足：按應(yīng)力求解：當(dāng)不計(jì)體力時(shí)，應(yīng)力分量應(yīng)滿足：0ij,j平衡微分方程0)(1,ijij2相容方程 仿照按位移求解引入位移函數(shù)的思路，仿照按位移求解引入位移函數(shù)的思路，引進(jìn)引進(jìn)應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù)，把應(yīng)力用，把應(yīng)力用應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù)表示，并表示，并使得平衡方程能自動(dòng)滿足。使得平衡方程能自動(dòng)滿足。 按應(yīng)力解法的彈性力學(xué)問題就轉(zhuǎn)變?yōu)榍蟀磻?yīng)力解法的彈性力學(xué)問題就轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼庖詰?yīng)

21、力函數(shù)表示的相容方程。當(dāng)然，解得的解以應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程。當(dāng)然，解得的應(yīng)力還須滿足應(yīng)力邊界條件和多連域的位移單應(yīng)力還須滿足應(yīng)力邊界條件和多連域的位移單值條件。值條件。 1.麥克斯威爾麥克斯威爾(Maxwel）應(yīng)力函數(shù)）應(yīng)力函數(shù) 321，xzyxzyxzyxzyzxzyzyxyx222122221223221232222232,則平衡方程恒滿足，代入相容方程得到則平衡方程恒滿足，代入相容方程得到 0)(0)(0)(0)(0)(0)(2221223222221222222223221222222223221xz1zy1yxz11yzy11xzx11zy2.莫勒莫勒(Morera)應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函

22、數(shù) 321，)(21,)(21,)(21,321323212232112zyxyyxzyxxxzzyxzzyzxzyzyxyx則平衡方程恒滿足，代入相容方程得到則平衡方程恒滿足，代入相容方程得到 0)(0)(0)(000232122321223212223222222222122yx11zyxzxz11zyxyzy11zyxxz11yxy11xzx11zy3.拜爾特拉密應(yīng)力函數(shù)（一般形式）拜爾特拉密應(yīng)力函數(shù)（一般形式） 自然滿足平衡方程 nqmpjpqimnijee,1 00000000nqmpjpqimnijee,yxxy2xy22y22x,，000 xzyzz ,，應(yīng)力函數(shù)為平面問題的Airy特例特例2321000000nqmpjpqimnijee,2322nq3q13n13nq2q12n12nq1q11n11nqmppq1mn1xyzeeeeeeee ,Maxwell應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù)3000121323zyx122)(321zyxxyzMorera應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù) nqmpjpqimnijee,補(bǔ)充：補(bǔ)充： 疊加原理疊加原理 應(yīng)應(yīng)用用同一彈性體同一彈性體一樣（同樣的約束）uS簡單荷載疊加復(fù)雜