1、第二講第二講 參數(shù)方程參數(shù)方程第一課時第一課時曲線的參數(shù)方程曲線的參數(shù)方程問題：問題：一架救援飛機在離災(zāi)區(qū)地面一架救援飛機在離災(zāi)區(qū)地面500m高處以高處以100m/s的的速度作水平直線飛行速度作水平直線飛行.為使投放救援物資準確落于災(zāi)區(qū)指為使投放救援物資準確落于災(zāi)區(qū)指定的地面（不記空氣阻力），飛行員應(yīng)如何確定投放時機定的地面（不記空氣阻力），飛行員應(yīng)如何確定投放時機呢？呢？即求飛行員在離救援點的水平距離多遠時，開始即求飛行員在離救援點的水平距離多遠時，開始投放物資？投放物資？ 新課導入新課導入問題：問題：一架救援飛機在離災(zāi)區(qū)地面一架救援飛機在離災(zāi)區(qū)地面500m高處高處100m/s的速的速度作水

2、平直線飛行度作水平直線飛行.為使投放救援物資準確落于災(zāi)區(qū)指定為使投放救援物資準確落于災(zāi)區(qū)指定的地面（不記空氣阻力），飛行員應(yīng)如何確定投放時機呢？的地面（不記空氣阻力），飛行員應(yīng)如何確定投放時機呢？如圖，建立平面直角坐標系如圖，建立平面直角坐標系.因此因此,不易直接建立不易直接建立x,y所滿所滿足的關(guān)系式足的關(guān)系式. x表示物資的水平位移量，表示物資的水平位移量，y表示物資距地面的高度，表示物資距地面的高度，由于水平方向與豎直方向由于水平方向與豎直方向上是兩種不同的運動，上是兩種不同的運動， 新課導入新課導入oyxM(x,y)xy500o物資投出機艙后，它的運動由下列兩種運動合成：物資投出機艙后

3、，它的運動由下列兩種運動合成：（1）沿）沿ox作初速為作初速為100m/s的勻速直線運動；的勻速直線運動；（2）沿）沿oy反方向作自由落體運動反方向作自由落體運動.在這個運動中涉及到哪幾個變量？這些變量之間有在這個運動中涉及到哪幾個變量？這些變量之間有什么關(guān)系？什么關(guān)系？t時刻，水平位移為時刻，水平位移為x=100t，離地面高度，離地面高度y，即：，即：y=500-gt2/2，2100 ,1500.2xtygt物資落地時，應(yīng)有物資落地時，應(yīng)有y=0，得得x1010m；即即500-gt2/2=0，解得，解得，t10.10s，因此飛行員在距離救援點水平距離約為因此飛行員在距離救援點水平距離約為10

4、10米時投米時投放物資，可以使其準確落在指定位置放物資，可以使其準確落在指定位置. 新課講授新課講授參數(shù)方程的概念：參數(shù)方程的概念： 一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標點的坐標 x，y 都是某個都是某個變數(shù)變數(shù) t 的的函數(shù)函數(shù),( ),( ).xf tyg t 并且對于并且對于 t 的每一個允許值，由方程組所確定的點的每一個允許值，由方程組所確定的點 M(x, y) 都在這條曲線上，都在這條曲線上， 那么方程組就叫做這條曲線那么方程組就叫做這條曲線的的參數(shù)方程參數(shù)方程， 聯(lián)系變數(shù)聯(lián)系變數(shù) x, y 的的變數(shù)變數(shù) t 叫做參變數(shù)叫做

5、參變數(shù)，簡稱，簡稱參參數(shù)數(shù).相對于參數(shù)方程而言，相對于參數(shù)方程而言，直接給出點的坐標間關(guān)系的方直接給出點的坐標間關(guān)系的方程叫做普通方程程叫做普通方程. .參數(shù)是聯(lián)系變數(shù)參數(shù)是聯(lián)系變數(shù)x, y的橋梁，可以是一個有物理意義的橋梁，可以是一個有物理意義或幾何意義的變數(shù)，也可以是沒有明顯實際意義的變數(shù)或幾何意義的變數(shù)，也可以是沒有明顯實際意義的變數(shù).例例1. 已知曲線已知曲線C的參數(shù)方程是的參數(shù)方程是 (t為參數(shù)為參數(shù)) (1)判斷點判斷點M1(0，1)，M2(5，4)與曲線與曲線C的位置關(guān)系；的位置關(guān)系；(2)已知點已知點M3（6，a）在曲線）在曲線C上，求上，求a的值的值. 1232tytx解：解

6、：(1)把點把點M1的坐標的坐標(0,1)代入方程組，解得代入方程組，解得t=0，所，所以以M1在曲線上在曲線上 124352tt把點把點M2的坐標的坐標(5,4)代入方程組，得到代入方程組，得到這個方程無解，所以點這個方程無解，所以點M2不在曲線不在曲線C上上 12362tat2)因為點因為點M3(6,a)在曲線在曲線C上，所以上，所以解得解得t=2, a=9 所以，所以，a=9. 例題講解例題講解)(212Ratatytx 為為參參數(shù)數(shù)，1. 已知曲線已知曲線C的參數(shù)方程是的參數(shù)方程是 , 點點M(5,4)在該曲線上在該曲線上.(1)求常數(shù)求常數(shù)a; （2）求曲線）求曲線C的普通方程的普通

7、方程. 課堂小練課堂小練為為參參數(shù)數(shù)）ttytx(3412 1.曲線曲線與與x軸的交點坐標是軸的交點坐標是( )BA.(1，4) B. (25/16, 0) C.(1, -3) D.(25/16, 0)(cossin為為參參數(shù)數(shù) yx所表示的曲線上一點的坐標是所表示的曲線上一點的坐標是( )DA.(2，7) B.(1/3, 2/3) C.(1/2, 1/2) D.(1，0)例例2.動點動點M作等速直線運動作等速直線運動, 它在它在x軸和軸和y軸方向的速度分軸方向的速度分別為別為5和和12 , 運動開始時位于點運動開始時位于點P(1,2), 求點求點M的軌跡參數(shù)的軌跡參數(shù)方程方程. tytx12

8、251解：設(shè)動點解：設(shè)動點M (x,y) 運動時間為運動時間為t，依題意，得，依題意，得 例題講解例題講解(t為參數(shù)為參數(shù)) 新課講授新課講授參數(shù)方程的概念：參數(shù)方程的概念： 一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標點的坐標 x，y 都是某個都是某個變數(shù)變數(shù) t 的的函數(shù)函數(shù),( ),( ).xf tyg t 并且對于并且對于 t 的每一個允許值，由方程組所確定的點的每一個允許值，由方程組所確定的點 M(x, y) 都在這條曲線上，都在這條曲線上， 那么方程組就叫做這條曲線那么方程組就叫做這條曲線的的參數(shù)方程參數(shù)方程， 聯(lián)系變數(shù)聯(lián)系變數(shù)

9、x, y 的的變數(shù)變數(shù) t 叫做參變數(shù)叫做參變數(shù)，簡稱，簡稱參參數(shù)數(shù).相對于參數(shù)方程而言，相對于參數(shù)方程而言，直接給出點的坐標間關(guān)系的方直接給出點的坐標間關(guān)系的方程叫做普通方程程叫做普通方程. .參數(shù)是聯(lián)系變數(shù)參數(shù)是聯(lián)系變數(shù)x, y的橋梁，可以是一個有物理意義的橋梁，可以是一個有物理意義或幾何意義的變數(shù)，也可以是沒有明顯實際意義的變數(shù)或幾何意義的變數(shù)，也可以是沒有明顯實際意義的變數(shù).（4）驗證這個參數(shù)方程就是所由于的曲線的方程）驗證這個參數(shù)方程就是所由于的曲線的方程.參數(shù)方程求法參數(shù)方程求法: （2）選取適當?shù)膮?shù)）選取適當?shù)膮?shù);（3）根據(jù)已知條件和圖形的幾何性質(zhì)）根據(jù)已知條件和圖形的幾何性

10、質(zhì), 物理意義物理意義, 建立建立點點P坐標與參數(shù)的函數(shù)式坐標與參數(shù)的函數(shù)式; 規(guī)律小結(jié)規(guī)律小結(jié)第二講第二講 參數(shù)方程參數(shù)方程第二課時第二課時圓的參數(shù)方程圓的參數(shù)方程 問題：問題：圓周運動中，當物體繞定軸作勻速運動時，物體圓周運動中，當物體繞定軸作勻速運動時，物體上的各個點都作勻速圓周運動，上的各個點都作勻速圓周運動， 新課導入新課導入 怎樣刻畫運動中怎樣刻畫運動中點的位置呢？點的位置呢？ 問題：問題：圓周運動中，當物體繞定軸作勻速運動時，物體圓周運動中，當物體繞定軸作勻速運動時，物體上的各個點都作勻速圓周運動，上的各個點都作勻速圓周運動， 新課導入新課導入 怎樣刻畫運動中怎樣刻畫運動中點的位

11、置呢？點的位置呢？點點M轉(zhuǎn)過的角度是轉(zhuǎn)過的角度是，坐標是，坐標是M(x, y)，設(shè)設(shè)|OM|=r，那么由三角函數(shù)定義，有，那么由三角函數(shù)定義，有cos,sinxyrrcossinx ryr(為參數(shù)為參數(shù))所以：圓心為原點半徑為所以：圓心為原點半徑為r 的圓的參數(shù)方程：的圓的參數(shù)方程：cos()sinxryr為參數(shù)其中參數(shù)其中參數(shù)的幾何意義是的幾何意義是OM0繞點繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)到逆時針旋轉(zhuǎn)到OM的位置時的位置時OM0轉(zhuǎn)過的角度轉(zhuǎn)過的角度M0)(sincos為參數(shù)為參數(shù) rbyrax ),(1baO圓心為圓心為 半徑為半徑為r 的圓的參數(shù)方程的圓的參數(shù)方程一般地，同一條曲線，可以一般地，同一條曲

12、線，可以選取不同的變數(shù)為參數(shù)，選取不同的變數(shù)為參數(shù)，另外，要注明參數(shù)及參數(shù)的取值范圍另外，要注明參數(shù)及參數(shù)的取值范圍 探究新知探究新知1Oab解：解： x2+y2+2x-6y+9=0化為標準方程化為標準方程, (x+1)2+(y-3)2=1參數(shù)方程為參數(shù)方程為 sin3cos1yx(為參數(shù)為參數(shù))例例1 已知圓方程已知圓方程x2+y2+2x-6y+9=0,將它化為參數(shù)方程將它化為參數(shù)方程.,)20 ,(sin3cos2)3 , 1(),223,2(),0 , 2(出它對應(yīng)的參數(shù)值出它對應(yīng)的參數(shù)值求求若在曲線上若在曲線上上上為參數(shù)為參數(shù)是否在曲線是否在曲線判斷點判斷點 yxCBA 例題講解例題講

13、解題型題型1.圓的圓的普通方程化為參數(shù)方程普通方程化為參數(shù)方程 例例2 .如圖如圖,圓圓O的半徑為的半徑為2，P是圓上的動點，是圓上的動點，Q(6,0)是是x軸軸上的定點，上的定點，M是是PQ的中點，當點的中點，當點P繞繞O作勻速圓周運動作勻速圓周運動時，求點時，求點M的軌跡的參數(shù)方程的軌跡的參數(shù)方程.yoxPMQxOP2cos62sin3cos ,sin22xy3cos ,()sin .xy為參數(shù)解：設(shè)點解：設(shè)點M的坐標是的坐標是(x, y),則點則點P的坐標是的坐標是(2cos,2sin).因此，點因此，點M的軌跡的參數(shù)方程是的軌跡的參數(shù)方程是 例題講解例題講解題型題型2.參數(shù)法求軌跡參數(shù)

14、法求軌跡23AMAP 2(4cos12,4sin )32216xy1.已知點已知點P是圓是圓 上一個動點上一個動點,定點定點A(12, 0)， 點點M在線段在線段PA上，且上，且2|PM|=|MA|，當點，當點P在圓上運動在圓上運動 時，求點時，求點M的軌跡的軌跡xOP解：設(shè)點解：設(shè)點M的坐標是的坐標是(x, y),則點則點P的坐標是的坐標是(4cos,4sin).2|PM|=|MA|, 由題設(shè)由題設(shè)(x-12, y)=884cos ,sin33xy84cos ,3()8sin .3xy為參數(shù)因此，點因此，點M的軌跡的參數(shù)方程是的軌跡的參數(shù)方程是yoxPMA2224cos4sin30(0)xy

15、RxRyRR變式變式1.求圓求圓的圓心的軌跡方程的圓心的軌跡方程. 例題講解例題講解33(1 2cos ) ( 2 2sin )15 6cos2sin5 2 10cos()(tan)3Sxy 所以maxmin52 10,52 10SS4)2()1(22 yxyxS 3例例3 已知已知x、y滿足滿足求求的最大值和最小值的最大值和最小值12cos ,()22sin .xy 為參數(shù)解：由已知圓的參數(shù)方程為解：由已知圓的參數(shù)方程為 例題講解例題講解題型題型3.最值問題最值問題cos2(sinxyyx3332.點點P(x, y)是曲線是曲線為參數(shù)為參數(shù))上任意一點，則上任意一點，則的最大值為的最大值為(

16、 )A.1 B.2 C. D.練習練習22(5)(4)xy2cossinxy1.P(x, y)是曲是曲(為參數(shù)為參數(shù))上任意一點上任意一點,則則的最大值為的最大值為( )A36 B6 C26 D25D22xy為參數(shù)為參數(shù))上任意一點上任意一點,則則2cos12sin1xy3.點點P(x, y)是曲線是曲線的最大值為的最大值為 .221.已知已知P(x, y)圓圓C：x2+y26x4y+12=0上的點上的點. xy(1)求求 的最小值與最大值的最小值與最大值(2)求求xy的最大值與最小值的最大值與最小值A(chǔ)OP 2.已知點已知點A(2, 0),P是是x2+y2=1上任一點上任一點, 的平分線的平分

17、線交交PA于于Q點點,求求Q點的軌跡點的軌跡.作業(yè)作業(yè)第二講第二講 參數(shù)方程參數(shù)方程第三課時第三課時參數(shù)方程和普通方程互化參數(shù)方程和普通方程互化把它化為我們熟悉的普通方程，有把它化為我們熟悉的普通方程，有 cos=x-3, sin=y; 于是于是(x-3)2+y2=1，軌跡是什么就很清楚了軌跡是什么就很清楚了 3cos ,()sin .xy為參數(shù)在例在例1中，由參數(shù)方程中，由參數(shù)方程直接判斷直接判斷點點M的軌跡是什么并不方便，的軌跡是什么并不方便，一般地一般地, 可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程；方程； 曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式曲

18、線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式.在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x，y的取的取值范圍保持一致，否則，互化就是不等價的值范圍保持一致，否則，互化就是不等價的.把參數(shù)方程化為普通方程：把參數(shù)方程化為普通方程： 新課導入新課導入 例例1.把下列參數(shù)方程化為普通方程，并說明它們各表示把下列參數(shù)方程化為普通方程，并說明它們各表示什么曲線什么曲線.11tx解解: (1)由由1 xt得得ty21代入代入) 1( 32xxy得到得到是以是以(1，1)為端點的一條射線；為端點的一條射線；)4sin(2cossin)2( x 2,2 x 2, 2 x所以所以 2

19、sin1cossin yx平方后減去平方后減去yx 2得到得到 例題講解例題講解1,(1)1 2.xtyt (t為參數(shù)為參數(shù))sincos ,(2)12sin2 .xy (為參數(shù)為參數(shù))sin3cos32yx(1)2cossinyx(2)(3)x=t+1/ty=t2+1/t2(1) (x-2)2+y2=9(2) y=1- 2x2（- 1x1）(3) x2- y=2（x2或或x- 2）練習練習1.將下列參數(shù)方程化為普通方程：將下列參數(shù)方程化為普通方程：步驟：步驟：（1）消參；）消參； （2）求定義域）求定義域. 課堂小練課堂小練參數(shù)方程化為普通方程的過程就是消參過程常見方參數(shù)方程化為普通方程的過

20、程就是消參過程常見方法有三種：法有三種：1.代入法：代入法：利用解方程的技巧求出參數(shù)利用解方程的技巧求出參數(shù)t,然后代入消去參數(shù)然后代入消去參數(shù)2.三角法：三角法：3.整體消元法：整體消元法： 根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征, 整體上消去整體上消去化參數(shù)方程為普通方程為化參數(shù)方程為普通方程為f(x,y)=0： 在消參過程中注意在消參過程中注意變量變量x、y取值范圍的一致性取值范圍的一致性，必須，必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定根據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定f(t)和和g(t)值域得值域得x、y的取值的取值范圍范圍. 歸納小結(jié)歸納小結(jié) 22)1(22tyttx 2221)3(ttyttx 221212)4(ttytx練習練習2.將下列參數(shù)方程化為普通方程將下列參數(shù)方程化為普通方程cos()cos21xy為參數(shù)(2) 課堂小練課堂小練普通方程化為參數(shù)方程：普通方程化為參數(shù)方程：普通方程化