1、第五章 低副機構的運動綜合 以平面連桿機構為對象，重點介紹用解析法進行機構運動綜合問題的類型與方法。5-1 概述一一. 機構綜合機構綜合 機構綜合主要分為結構綜合結構綜合和運動綜合運動綜合（又叫尺度綜合)。 結構綜合分型綜合型綜合和數(shù)綜合數(shù)綜合，第三章已簡單介紹過。 運動綜合的主要任務：主要任務：是在結構綜合選定的機構類型基礎上，根據(jù)給定的運動條件或動力條件，確定其尺度參數(shù)，以便完成機構運動簡圖的設計。二二. 機構運動綜合的分類機構運動綜合的分類 （1 1）剛體導引機構綜合）剛體導引機構綜合 要求機構中某一構件（一般為連桿）或與該構件固聯(lián)的剛體準確或近似地通過給定的若干位置。如設計一箱式電爐門

2、啟閉機構。要求爐門與連桿固接：爐門開啟時為水平位置，關閉時為豎直位置。 剛體導引機構對于鉸鏈四桿機構，最多只能精確實現(xiàn)5個位置，否則就只能近似實現(xiàn)。（2 2）函數(shù)發(fā)生機構）函數(shù)發(fā)生機構 要求機構的輸入量與輸出量（通常是位移量）滿足特定的函數(shù)關系。如一些儀表結構。要求機構的位置函數(shù) 能夠模擬給定的指針函數(shù)F（）yf x （ ） 同樣，對于鉸鏈四桿機構而言，也只能精確實現(xiàn)不超過5組對應位置要求。（3）軌跡發(fā)生機構）軌跡發(fā)生機構 要求連桿上某點的軌跡滿足特定的曲線要求。對于鉸鏈四桿，連桿上某點所能實現(xiàn)的精確軌跡點最多不超過9個。三三. 機構綜合的方法機構綜合的方法（1）圖解法 利用幾何原理，采用作圖

3、法求解機構的尺寸，這在機械原理課程中重點討論過。（2）解析法 通過建立機構結構參數(shù)與運動參數(shù)的數(shù)學模型，用數(shù)學方法求解機構的尺寸參數(shù)。 解析法又可分為近似綜合法近似綜合法和精確點位法精確點位法。其中較為典型的近似綜合法如函數(shù)逼近法函數(shù)逼近法，精確點位法如位移矩陣法位移矩陣法。 平面連桿機構的設計很難實現(xiàn)預期運動與機構實際運動完全吻合，即兩者之間的機構誤差為0的情況。大多數(shù)情況下，設計的機構只能近似實現(xiàn)給定的要求，函數(shù)逼近法就是從這一事實出發(fā)，用一個與給定函數(shù)相近的函數(shù)去逼近給定函數(shù)。從而導出綜合方程并求解尺度參數(shù)。 常用的函數(shù)逼近法有插值逼近法插值逼近法，均方逼近法均方逼近法和最佳逼近法最佳逼

4、近法。 以插值逼近法為例，介紹其綜合過程。 插值逼近法的根本思想是根本思想是: :在給定函數(shù) 自變量x的變化區(qū)間 內設置n個插值結點，使實現(xiàn)函數(shù) 與給定函數(shù)在插值點上有相等的值。使得兩者在插值節(jié)點上誤差為0。 f(x)yx,xm0( )f5-2 函數(shù)逼近法實現(xiàn)函數(shù)=f()y=f(x) （1 1）插值結點的確定）插值結點的確定 當給定函數(shù) 被逼近函數(shù)逼近時，兩者僅在插值結點上具有相同的函數(shù)值，而在插值結點以外的其他位置均存在結構誤差。誤差的大小取決于插值結點的數(shù)目和分布情況。為了使結構誤差的極大和極小值趨于相等。精確點的選擇通常按戚貝謝夫插值公式戚貝謝夫插值公式確定，即 其中 為自變量x變化范圍

5、中的首尾值，n為插值結點數(shù)。 例：設計一連桿機構，使之產(chǎn)生 的函數(shù)關系。 確定插值點：確定插值點： 把 代入上述方程。分別求 時所對應的x：f(x)y 0n 1n 1011(2j-1)x(xx)-(x-x )cos j1,2,.,n222nj01xxn和xylog32x1n，3, 2, 1x10nxn3 ,2, 1j （2 2）尺度參數(shù)的換算）尺度參數(shù)的換算 機構需要實現(xiàn)的函數(shù)關系通常用 表示，而機構實際體現(xiàn)的輸入輸出參數(shù)可能是 （鉸鏈四桿機構）或 （曲柄滑塊機構）。為了使輸入、輸出構件的運動參數(shù)與給定函數(shù) 對應起來，需要引入換算的比例。 11122233300443 1-cos1.067lo

6、g0.02822 263 1-cos1.5log0.17612 223 15-cos1.933log0.28622 26xx1log10 xx2log20.301xyxxyxxyxyy當時當時f(x)y, ,s 當x在x0, xm范圍內變化時，對應的在 0, m范圍內變化；與之相應，y在y0, ym范圍內，則在0, m范圍內變化。引入比例00000m0000000000m0-1( -)-( - )( - )-1(-)-mmxxx xxxxx xy yyyy yyyy 或以用鉸鏈四桿機構設計的儀表機構為例： 這樣就可得到對應給定函數(shù) 的插值點，機構位置函數(shù) 也有相應的點，函數(shù) 向 逼近的問題，就

7、轉化為機構的實際位置函數(shù) 保證在插值點上沒有結構誤差。f(x)y F （ ） F（）f(x)y 舉例：（間接說明插值結點n的數(shù)目確定） 設計如前圖所示的鉸鏈四桿機構，要求兩連架桿的轉角對應關系近似實現(xiàn)預期函數(shù) 。選定機架長度 ，兩連架桿的起始角分別為： ，轉角范圍分別為： ）（2x1logxy100mmd 5 .238600，9060 ，F(xiàn) （ ）0011223344101.0670.02821.50.17611.9330286220.301xyxyxyxyxy解：由前面插值點確定舉例得出，當插值結點數(shù)n=3時， 0000000000000011223344-60-1-90-0.301-,86

8、23.590.0231.9311676.15141.98109.08146113.5mmmmiix xxxx xy yyyy yx y 由比例系數(shù)定義：對應（）各插值點： 機構的實際位置函數(shù)可由機構的位置分析求得。如用較簡單的矢量封閉形投影法，得：cdbaiiiiiicbacdbasinsinsincoscoscos投影方程為：222222012012,1, 1-coscos-cos()21-c, c-, c2: cosc cosc cos()c(*)iiiiiiiiiabcdmnpaaaannpmnppnnpmnpp消去中間變量并令整理后，得：為簡化上式，令則得 上式中含有三個待定參數(shù)c0,

9、c1,c2。所以兩連架桿轉角對應關系必須給出3組，才有確定解。加上初始和終了對應位置，最多實現(xiàn)5組對應關系。位置過多，則無解，位置過少，則有多解。由此可見，插值點的個數(shù)必須滿足上述方程（*）有解。 由于插值逼近法在插值點上沒有結構誤差。所以得到的插值點 滿足上式（*）。將 代入方程（*），得：012012012cos90.02cos31.93cos58.09cos116cos76.15cos39.85cos141.98cos109.08cos32.9ccccccccc 0120.56357-0.40985-0.26075ccc解得,ii （）,ii （）進而求得機構中各構件的尺寸為：a=67.

10、396mm, b=140.672mm, c=38.317mm.均方逼近法與最佳逼近法思路簡介* 如果在自變量的變化區(qū)間內，要求實現(xiàn)精確運動的點位n，超過位置逼近函數(shù)=p() 的未知量數(shù)目k，即nk，則方程數(shù)大于未知量數(shù)，無精確解。各插值點的結構誤差均不為0。此時可用均方逼近法（又稱最小二乘法）。它的主導思想是：在自變量的變化區(qū)間（ 0, m）內，使位置逼近函數(shù) =p()對給定函數(shù) =p()的均方偏差為最小。求解時，先將位置逼近函數(shù)改寫為P(c0, c1, c2, , )=0的形式。位置逼近函數(shù) =p() 對給定函數(shù) =F() 的均方偏差函數(shù)Sq為：）（，（為最小，必須滿足要使*2, 10j 0

11、c),c,c,(cjqqm1ii2102q000SSpSi將插值點坐標 代入上式（*），即可求得各未知參數(shù)。 最佳逼近法是在自變量的變化區(qū)間（ 0, m） 內，使位置逼近函數(shù) =P（ ）對給定函數(shù) =F（ ）的最大偏差為最小。最佳逼近法也稱一致逼近法。 最佳逼近的幾何特征表現(xiàn)為：逼近函數(shù)P（ ）的曲線被包容在與給定函數(shù)F（ ）曲線相距E的兩條曲線之間。如右圖所示。( ,)ii m012c ,(-1)iiPc cE 因此位置逼近函數(shù)滿足：（）其中極限偏差點的選取可根據(jù)下式進行：mkmkIKIKcos225)m,0,1,2,.5(kcos220000 將 作為chebychev插值的精確點，求出相

12、應的 。 取 和 的算術平均值作為極限偏差點的橫坐標 ，與對應的chebychev插值的 為縱坐標，將 代入上述方程P 求得所有待定參數(shù)。IKIIK）（KK,IKIIKK 位移矩陣法位移矩陣法是以剛體位移矩陣為工具，從滿足機構若干個精確點位的運動要求出發(fā)，推導綜合方程。在推導過程中沒有涉及機構的結構誤差，所以又稱精確點位綜合法精確點位綜合法，常用于處理剛體導引和再現(xiàn)軌跡問題。 我們以平面剛體導引機構綜合為例，分析其具體的應用過程一一. 被導引剛體位置的給定方法被導引剛體位置的給定方法 被導引的剛體位置通常用其上的標線pq及其與x軸正向之間的夾角表示。5-3 位移矩陣法二二. 剛體導引機構的綜合

13、剛體導引機構的綜合 用連桿機構實現(xiàn)剛體的導引，實質上是使連桿（與導引剛體固聯(lián)）以一定的姿態(tài)通過若干給定的位置。綜合的關鍵在于設計相應的連架桿AB和CD。其中A點為一連架桿AB與機架相連的固定鉸鏈點，B點為連架桿AB與連桿相連的活動鉸鏈點，它隨剛體的位置變化而變化，相應的位置有B1（與p1q1位置對應）、B2、.、Bj。 由于A點為固定鉸鏈點，B為活動鉸鏈點，且B點所做的運動是以A為圓點，AB為半徑的圓或圓弧，所以A稱圓心點，B點的一系列位置稱為圓點，且AB距離滿足定桿長約束條件，即BjA=B1A。222211TTjj11-(j2,3,.,n)B -A B -AB -A B -A(j2,3,.,

14、n)BjABjABABAxxyyxxyy定桿長約束的坐標形式表示為：（） （） （） （）矩陣形式表示：111111111111111111111-cos-sin0-sincos0-10011cos-sin-cossinsincos-sincos1001jxjxjjxxjyjyjjyyjxjjjxxjyjxjyjjjyxjyjqpqpqpqpqpppqqppp 整理后：1111111-011jyxjjyqqRpRpq 用D1j表示由剛體平面運動的矩陣描述，可知：111-jjjq pRq p 寫成分量形式：簡記為：qj=D1jq1由于B點也是剛體上的點，故 Bj=D1jB1 將上式代入AB的定桿

15、長約束條件，得：D1jB1-ATD1jB1-A=B1-ATB1-A ( j=2, 3, ., n) （*）上式中包含4個未知參數(shù)：A（xA0，yA0）, B1（xB1，yB1）,（n-1）個方程。 若給定剛體的5個位置，即n=5 ，j=2, 3, 4，則由式（*）可得4個方程式，從而解出上述4個未知參數(shù)。若n5，則可預設4個未知參數(shù)中的某幾個。（n=4預設1個；n=3預設2個。） C和D點的確定可仿照上述方法。 將（2）代入（1），可求解C1x，C1y。式（1）定斜率約束方程也可用行列式表示為： 1x1y2x2yjxjy1101CCCCCCjy1y2y1yjx1x2x2xjx1x11jy1j1

16、y-tan(3, 4, ., ) -11jjCCCCjnCCCCCCDCDC 或者寫成CC (1) (2) 若是設計曲柄滑塊機構，A，B點的確定同上，連桿與滑塊的活動鉸鏈點C則應采用定斜率約束條件確定。定斜率約束方程：三三. 應用舉例應用舉例（P85 例例5-2）四四. . 軌跡發(fā)生機構的運動綜合簡介軌跡發(fā)生機構的運動綜合簡介 軌跡發(fā)生機構綜合的主要任務是：尋求連桿上某一點的運動軌跡能滿足給定曲線的機構。一般來說，連桿機構不能精確實現(xiàn)任意給定的軌跡，只能精確實現(xiàn)給定軌跡中的幾個位置。因此軌跡發(fā)生機構綜合的已知條件通常是連桿上某點P的一系列位置坐標，求機構的尺度參數(shù)（如鉸鏈四桿機構中4個鉸鏈點的坐標）。 以鉸鏈四桿機構為例以鉸鏈四桿機構為例 根據(jù)機構的位移矩陣和定桿長約束條件，有:TT11TT111111- - - - ( 2, 3, ., n)- - - ( 2, 3, ., n) ( 2,3,.,n) ( 2,3,.,n)jjjjjjjjBABAB AB AjCDCDCDCDjBDBjCDCj其中 上述方程的總數(shù)量為 2( j-1)。需要設計的參數(shù)有A(xA, yA)、B(