1、醫(yī)學(xué)信號分析與處理醫(yī)學(xué)信號分析與處理 邱天爽邱天爽大連理工大學(xué)電子信息與電氣工程學(xué)部大連理工大學(xué)電子信息與電氣工程學(xué)部2012年年3月月2022-7-5大連理工大學(xué)2第第3 3章章 隨機(jī)信號與非線性信號分析基礎(chǔ)隨機(jī)信號與非線性信號分析基礎(chǔ)2022-7-5大連理工大學(xué)3 內(nèi)容概要內(nèi)容概要 3.1 3.1 醫(yī)學(xué)信號的隨機(jī)性與非線性醫(yī)學(xué)信號的隨機(jī)性與非線性 3.2 3.2 隨機(jī)變量的概念與特性隨機(jī)變量的概念與特性 3.3 3.3 隨機(jī)信號與隨機(jī)過程隨機(jī)信號與隨機(jī)過程 3.4 3.4 常見的隨機(jī)信號與隨機(jī)噪聲常見的隨機(jī)信號與隨機(jī)噪聲 3.5 3.5 隨機(jī)信號的統(tǒng)計(jì)分析方法隨機(jī)信號的統(tǒng)計(jì)分析方法 3.6

2、 3.6 醫(yī)學(xué)信號非線性分析簡介醫(yī)學(xué)信號非線性分析簡介2022-7-5大連理工大學(xué)43.1 醫(yī)學(xué)信號的隨機(jī)性與非線性醫(yī)學(xué)信號的隨機(jī)性與非線性 醫(yī)學(xué)信號醫(yī)學(xué)信號 內(nèi)源信號（內(nèi)源信號（internal source signal） 外源信號（外源信號（external source signal） 感生信號（感生信號（induced signal ）2022-7-5大連理工大學(xué)5 內(nèi)源信號內(nèi)源信號 是指被檢測的信號是由人體自發(fā)產(chǎn)生的，即檢測對是指被檢測的信號是由人體自發(fā)產(chǎn)生的，即檢測對象是象是 有源的，檢測系統(tǒng)是無源的。有源的，檢測系統(tǒng)是無源的。 例如常見的心電、腦電、胃電、血壓、心音等都屬例如常

3、見的心電、腦電、胃電、血壓、心音等都屬于內(nèi)源信號。這些信號是人體生理、病理信息的載于內(nèi)源信號。這些信號是人體生理、病理信息的載體。體。2022-7-5大連理工大學(xué)6 外源信號外源信號 是指人體本身并不自發(fā)產(chǎn)生信號，即被檢測系統(tǒng)是是指人體本身并不自發(fā)產(chǎn)生信號，即被檢測系統(tǒng)是無源的，而檢測系統(tǒng)是有源的。無源的，而檢測系統(tǒng)是有源的。 人體在外界檢測系統(tǒng)的作用下，對來自檢測系統(tǒng)的人體在外界檢測系統(tǒng)的作用下，對來自檢測系統(tǒng)的信號產(chǎn)生透射、反射、折射或散射等作用，然后由信號產(chǎn)生透射、反射、折射或散射等作用，然后由檢測系統(tǒng)再檢測到這些經(jīng)過人體變換后的信號。檢測系統(tǒng)再檢測到這些經(jīng)過人體變換后的信號。 例如常見

4、的例如常見的B型超聲診斷系統(tǒng)、型超聲診斷系統(tǒng)、X射線系統(tǒng)等所得射線系統(tǒng)等所得到的信號均為外源信號。這些信號所攜帶的人體生到的信號均為外源信號。這些信號所攜帶的人體生理和病理信息，是臨床診斷治療的重要依據(jù)。理和病理信息，是臨床診斷治療的重要依據(jù)。 2022-7-5大連理工大學(xué)7 感生信號感生信號 是指所檢測到的信號是由外源信號所感生或誘發(fā)的是指所檢測到的信號是由外源信號所感生或誘發(fā)的內(nèi)源信號。內(nèi)源信號。 在感生信號條件下，人體和檢測系統(tǒng)均為有源的，在感生信號條件下，人體和檢測系統(tǒng)均為有源的，但通常施感信號與感生信號的性質(zhì)是不同的。但通常施感信號與感生信號的性質(zhì)是不同的。 例如施感信號可以是各種物

5、理、化學(xué)、或電刺激，例如施感信號可以是各種物理、化學(xué)、或電刺激，而感生信號則可能是誘發(fā)產(chǎn)生的電信號、磁信號或而感生信號則可能是誘發(fā)產(chǎn)生的電信號、磁信號或其他信號。其他信號。 常見的感生信號包括誘發(fā)電位信號、磁共振信號等。常見的感生信號包括誘發(fā)電位信號、磁共振信號等。關(guān)于人體生理和病理的信息是通過信號中某些參數(shù)關(guān)于人體生理和病理的信息是通過信號中某些參數(shù)來攜帶的。來攜帶的。 2022-7-5大連理工大學(xué)8 醫(yī)學(xué)信號的特點(diǎn)醫(yī)學(xué)信號的特點(diǎn) 信號非常復(fù)雜：由于人體的生理系統(tǒng)非常復(fù)雜，其信號非常復(fù)雜：由于人體的生理系統(tǒng)非常復(fù)雜，其主要部分又互相交織、互相滲透和互相影響，因此，主要部分又互相交織、互相滲透

6、和互相影響，因此，由人體獲得的生物醫(yī)學(xué)信號是非常復(fù)雜的。由人體獲得的生物醫(yī)學(xué)信號是非常復(fù)雜的。 信號特別弱，干擾噪聲特別強(qiáng)，頻率比較低。信號特別弱，干擾噪聲特別強(qiáng)，頻率比較低。 干擾與信號的頻帶重疊。干擾與信號的頻帶重疊。 隨機(jī)性特別強(qiáng)。隨機(jī)性特別強(qiáng)。 非線性特性明顯。非線性特性明顯。 2022-7-5大連理工大學(xué)93.2 隨機(jī)變量的概念與特性隨機(jī)變量的概念與特性 信號信號 連續(xù)性：連續(xù)性：連續(xù)信號連續(xù)信號-離散信號離散信號 周期性：周期性：周期信號周期信號-非周期信號非周期信號 維數(shù)：維數(shù)：一維信號一維信號-二維或多維信號二維或多維信號 隨機(jī)性隨機(jī)性 確定性信號確定性信號：每個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的值可

7、用某個(gè)數(shù)學(xué)式或圖表唯：每個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的值可用某個(gè)數(shù)學(xué)式或圖表唯一確定。一確定。 隨機(jī)信號隨機(jī)信號：不能用一個(gè)確切的數(shù)學(xué)公式描述。而可以用起：不能用一個(gè)確切的數(shù)學(xué)公式描述。而可以用起統(tǒng)計(jì)平均特性來表示。統(tǒng)計(jì)平均特性來表示。2022-7-5大連理工大學(xué)10 隨機(jī)變量的概念隨機(jī)變量的概念 隨機(jī)現(xiàn)象：隨機(jī)現(xiàn)象：在一定條件下，并不總是出現(xiàn)相同結(jié)在一定條件下，并不總是出現(xiàn)相同結(jié)果的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象。果的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象。 隨機(jī)事件：隨機(jī)事件：在隨機(jī)試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)也可能不出在隨機(jī)試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，而在大量重復(fù)試驗(yàn)中具有某種規(guī)律性的事件叫現(xiàn)，而在大量重復(fù)試驗(yàn)中具有某種規(guī)律性的事件叫做隨機(jī)事件。做隨

8、機(jī)事件。 隨機(jī)變量（隨機(jī)變量（random variable）：）：表示隨機(jī)現(xiàn)表示隨機(jī)現(xiàn)象各種結(jié)果的變量（一切可能的樣本點(diǎn)）。象各種結(jié)果的變量（一切可能的樣本點(diǎn)）。 2022-7-5大連理工大學(xué)11 隨機(jī)變量的進(jìn)一步說明隨機(jī)變量的進(jìn)一步說明 舉例舉例1：隨機(jī)投擲一枚硬幣，可能的結(jié)果有正面朝隨機(jī)投擲一枚硬幣，可能的結(jié)果有正面朝上或反面朝上兩種。若定義上或反面朝上兩種。若定義X為投擲一枚硬幣時(shí)正為投擲一枚硬幣時(shí)正面朝上的次數(shù)面朝上的次數(shù)，則，則X為一隨機(jī)變量。當(dāng)正面朝上時(shí)，為一隨機(jī)變量。當(dāng)正面朝上時(shí)，取值取值1，當(dāng)反面朝上時(shí)，取值，當(dāng)反面朝上時(shí)，取值0。 舉例舉例2：擲一顆骰子，其所有可能的結(jié)果是

9、出現(xiàn)擲一顆骰子，其所有可能的結(jié)果是出現(xiàn)1點(diǎn)、點(diǎn)、2點(diǎn)、點(diǎn)、3點(diǎn)、點(diǎn)、4點(diǎn)、點(diǎn)、5點(diǎn)和點(diǎn)和6點(diǎn)。若定義點(diǎn)。若定義X為擲一顆骰子為擲一顆骰子時(shí)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)時(shí)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，則，則X為一隨機(jī)變量。為一隨機(jī)變量。 舉例舉例3：某一時(shí)間內(nèi)公共汽車站某一時(shí)間內(nèi)公共汽車站等車乘客人數(shù)等車乘客人數(shù)，電，電話交換臺(tái)在一定時(shí)間內(nèi)收到的話交換臺(tái)在一定時(shí)間內(nèi)收到的呼叫次數(shù)呼叫次數(shù)等等，都是等等，都是隨機(jī)變量的實(shí)例。隨機(jī)變量的實(shí)例。 2022-7-5大連理工大學(xué)12 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)表示隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)表示 若變量若變量X的取值依隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果而定，則稱變量的取值依隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果而定，則稱變量X為隨為隨機(jī)變量。機(jī)變量。 嚴(yán)格地說

10、，若嚴(yán)格地說，若 設(shè)為隨機(jī)試驗(yàn)，其樣本空間為設(shè)為隨機(jī)試驗(yàn)，其樣本空間為 。如果對于每一個(gè)如果對于每一個(gè) ，有一個(gè)實(shí)數(shù)，有一個(gè)實(shí)數(shù) 與之對應(yīng)，與之對應(yīng)，則得到一個(gè)定義在則得到一個(gè)定義在 上的實(shí)的單值函數(shù)上的實(shí)的單值函數(shù) ，稱為隨，稱為隨機(jī)變量機(jī)變量 ，簡寫為，簡寫為 。通常，用大寫字母。通常，用大寫字母 等表等表示隨機(jī)變量，而用小寫字母示隨機(jī)變量，而用小寫字母 來表示對應(yīng)隨機(jī)變量來表示對應(yīng)隨機(jī)變量的可能取值。的可能取值。 若隨機(jī)變量的取值是連續(xù)的，則稱為若隨機(jī)變量的取值是連續(xù)的，則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量；若的全部可能取值是有限個(gè)或可列無限多個(gè)，則稱為若的全部可能取值是有限個(gè)或可列無限多

11、個(gè)，則稱為離離散型隨機(jī)變量散型隨機(jī)變量。 EieS Sei)(ieXS)(eXX)(eXXZYX,zyx,2022-7-5大連理工大學(xué)13 多維隨機(jī)變量的概念多維隨機(jī)變量的概念2022-7-5大連理工大學(xué)14 隨機(jī)變量的分布隨機(jī)變量的分布 概率分布函數(shù)概率分布函數(shù)2022-7-5大連理工大學(xué)15 概率分布函數(shù)的性質(zhì)概率分布函數(shù)的性質(zhì)2022-7-5大連理工大學(xué)16 概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)2022-7-5大連理工大學(xué)17 概率密度函數(shù)與概率分布函數(shù)舉例概率密度函數(shù)與概率分布函數(shù)舉例2022-7-5大連理工大學(xué)18 多維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布 多維隨機(jī)變量的性質(zhì)（自行閱讀）多維隨機(jī)

12、變量的性質(zhì)（自行閱讀）2022-7-5大連理工大學(xué)19隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征 數(shù)學(xué)期望（數(shù)學(xué)期望（Mathematical expectation） 方差方差 （Variance） 標(biāo)準(zhǔn)差（標(biāo)準(zhǔn)差（Standard deviation） 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)（協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)（Covariance, Correlation） 矩與協(xié)方差矩陣（矩與協(xié)方差矩陣（Moment）2022-7-5大連理工大學(xué)20 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 數(shù)學(xué)期望（數(shù)學(xué)期望（mathematical expectation）又稱為統(tǒng)計(jì)）又稱為統(tǒng)計(jì)平均或均值（平均或均值（mean），用于描述隨機(jī)變量

13、），用于描述隨機(jī)變量 的集的集總特性。對于連續(xù)隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望為總特性。對于連續(xù)隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望為 在許多情況下，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望常記為在許多情況下，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望常記為 或或 。 XXXm2022-7-5大連理工大學(xué)21 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)2022-7-5大連理工大學(xué)22 隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差2022-7-5大連理工大學(xué)23 方差的主要性質(zhì)方差的主要性質(zhì)2022-7-5大連理工大學(xué)24 數(shù)學(xué)期望與方差的曲線表示數(shù)學(xué)期望與方差的曲線表示 隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的不同表現(xiàn)為其概率密度曲線在隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的不同表現(xiàn)為其概率密度曲線在橫軸上的橫軸上的平移平

14、移，而方差的不同則表現(xiàn)為概率密度曲，而方差的不同則表現(xiàn)為概率密度曲線在數(shù)學(xué)期望附近的線在數(shù)學(xué)期望附近的集中程度集中程度。2022-7-5大連理工大學(xué)25 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)2022-7-5大連理工大學(xué)26 矩與協(xié)方差矩陣矩與協(xié)方差矩陣2022-7-5大連理工大學(xué)27隨機(jī)變量的特征函數(shù)隨機(jī)變量的特征函數(shù) 特征函數(shù)的定義特征函數(shù)的定義2022-7-5大連理工大學(xué)28 特征函數(shù)與概率密度函數(shù)和矩函數(shù)的關(guān)系特征函數(shù)與概率密度函數(shù)和矩函數(shù)的關(guān)系2022-7-5大連理工大學(xué)293.3 隨機(jī)信號與隨機(jī)過程隨機(jī)信號與隨機(jī)過程 概念概念 有些隨機(jī)變量會(huì)隨著某些參數(shù)變化，是某些參數(shù)的函數(shù)，有些隨機(jī)變

15、量會(huì)隨著某些參數(shù)變化，是某些參數(shù)的函數(shù)，通常稱為隨機(jī)函數(shù)。在生物特醫(yī)學(xué)信號分析與處理領(lǐng)域通常稱為隨機(jī)函數(shù)。在生物特醫(yī)學(xué)信號分析與處理領(lǐng)域中，經(jīng)常遇到的是以時(shí)間作為參變量的隨機(jī)函數(shù)，在數(shù)中，經(jīng)常遇到的是以時(shí)間作為參變量的隨機(jī)函數(shù)，在數(shù)學(xué)上稱其為學(xué)上稱其為隨機(jī)過程隨機(jī)過程（stochastic process，或，或random process）。）。 在工程技術(shù)中，通常使用在工程技術(shù)中，通常使用隨機(jī)信號隨機(jī)信號（stochastic signal，或或random signal）的概念。所謂隨機(jī)信號，是指信號中）的概念。所謂隨機(jī)信號，是指信號中至少有一個(gè)參數(shù)（例如幅度）屬于隨機(jī)函數(shù)的一類信號。至

16、少有一個(gè)參數(shù)（例如幅度）屬于隨機(jī)函數(shù)的一類信號。例如測量儀器中電子元器件的熱噪聲是一種典型的隨機(jī)例如測量儀器中電子元器件的熱噪聲是一種典型的隨機(jī)信號。信號。 2022-7-5大連理工大學(xué)30 隨機(jī)信號的定義隨機(jī)信號的定義 設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間 ，如果對于空間的，如果對于空間的每一個(gè)樣本每一個(gè)樣本 ，總有一個(gè)時(shí)間函數(shù)，總有一個(gè)時(shí)間函數(shù) 與之對應(yīng)。這樣，對于樣本空間的所有樣本與之對應(yīng)。這樣，對于樣本空間的所有樣本 ，有一族時(shí)間函數(shù)有一族時(shí)間函數(shù) 與其對應(yīng)，這族時(shí)間函數(shù)定與其對應(yīng)，這族時(shí)間函數(shù)定義為義為隨機(jī)過程隨機(jī)過程。在工程上常稱為。在工程上常稱為隨機(jī)信號隨機(jī)信號。 隨機(jī)過程是

17、一族時(shí)間函數(shù)的集合，隨機(jī)過程的每個(gè)隨機(jī)過程是一族時(shí)間函數(shù)的集合，隨機(jī)過程的每個(gè)樣本函數(shù)是一個(gè)確定的時(shí)間函數(shù)樣本函數(shù)是一個(gè)確定的時(shí)間函數(shù) ，而整個(gè)一族，而整個(gè)一族時(shí)間函數(shù)的集合就是隨機(jī)過程，用時(shí)間函數(shù)的集合就是隨機(jī)過程，用 來表示。來表示。 ieS SeiTtetXi),(Se),( etX)(tx)(tX2022-7-5大連理工大學(xué)31 隨機(jī)信號的圖示隨機(jī)信號的圖示2022-7-5大連理工大學(xué)32 更多的隨機(jī)信號舉例更多的隨機(jī)信號舉例2022-7-5大連理工大學(xué)33 參數(shù)選擇與隨機(jī)信號的關(guān)系參數(shù)選擇與隨機(jī)信號的關(guān)系2022-7-5大連理工大學(xué)34 隨機(jī)信號的性質(zhì)隨機(jī)信號的性質(zhì) 隨機(jī)信號中任意一

18、點(diǎn)上的取值都不能先驗(yàn)確隨機(jī)信號中任意一點(diǎn)上的取值都不能先驗(yàn)確定定 任何具體實(shí)驗(yàn)所得到的序列，都只能是隨機(jī)序列任何具體實(shí)驗(yàn)所得到的序列，都只能是隨機(jī)序列的一個(gè)樣本序列。的一個(gè)樣本序列。 隨機(jī)信號可以用它的統(tǒng)計(jì)平均特性來表示：隨機(jī)信號可以用它的統(tǒng)計(jì)平均特性來表示： 均值，方差，相關(guān)函數(shù)，均值，方差，相關(guān)函數(shù)，2022-7-5大連理工大學(xué)35 隨機(jī)過程（隨機(jī)信號）的兩個(gè)變量隨機(jī)過程（隨機(jī)信號）的兩個(gè)變量2022-7-5大連理工大學(xué)36 隨機(jī)過程隨機(jī)過程/ /隨機(jī)隨機(jī)信號信號的概率分布與密度函數(shù)的概率分布與密度函數(shù) 隨機(jī)過程隨機(jī)過程/信號信號 的一維分布函數(shù)和概率密度的一維分布函數(shù)和概率密度函數(shù)定義為

19、：函數(shù)定義為： )(tX2022-7-5大連理工大學(xué)37 隨機(jī)過程隨機(jī)過程/信號的數(shù)字特征（信號的數(shù)字特征（1） 隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望：隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望：是是隨機(jī)過程在時(shí)刻隨機(jī)過程在時(shí)刻 的統(tǒng)計(jì)的統(tǒng)計(jì)平均，是一個(gè)確定性的時(shí)間函數(shù)平均，是一個(gè)確定性的時(shí)間函數(shù)： 隨機(jī)過程的方差：隨機(jī)過程的方差：描述隨機(jī)過程所有樣本函數(shù)相對描述隨機(jī)過程所有樣本函數(shù)相對于數(shù)學(xué)期望的分散程度：于數(shù)學(xué)期望的分散程度： 稱為隨機(jī)過程的標(biāo)準(zhǔn)差（或稱為標(biāo)準(zhǔn)離差）稱為隨機(jī)過程的標(biāo)準(zhǔn)差（或稱為標(biāo)準(zhǔn)離差） txtxxftXEtXXd),()()(xtxftxtXDtXXXd),()()()(22)(tX2022-7-5大連理工大學(xué)3

20、8 隨機(jī)過程隨機(jī)過程/信號的數(shù)字特征（信號的數(shù)字特征（2） 實(shí)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)：實(shí)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)： 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 和和 的互相關(guān)函數(shù)的互相關(guān)函數(shù)： 隨機(jī)過程的自協(xié)方差函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù)：隨機(jī)過程的自協(xié)方差函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù)： 212121212121dd),;,()()(),(xxttxxfxxtXtXEttRXX)(tX)(tY yxttyxxyftYtXEttRXYXYdd),;,()()(),(212121 2121212211221121dd),;,()()( )()()()(),(xxttxxftxtxttXttXEttCXXXXXX yxttyxftytxttYttX

21、EttCXYYXYXXYdd),;,()()( )()()()(),(21212211212022-7-5大連理工大學(xué)39 隨機(jī)信號的平穩(wěn)性分類隨機(jī)信號的平穩(wěn)性分類 隨機(jī)信號根據(jù)其統(tǒng)計(jì)特性的時(shí)變特性，可以分為隨機(jī)信號根據(jù)其統(tǒng)計(jì)特性的時(shí)變特性，可以分為2類：類： 平穩(wěn)隨機(jī)信號（平穩(wěn)隨機(jī)信號（stationary random signal）；）； 嚴(yán)平穩(wěn)嚴(yán)平穩(wěn)（strictly-sense stationary）隨機(jī)信號；）隨機(jī)信號； 寬平穩(wěn)寬平穩(wěn)（Wide-sense stationary）隨機(jī)信號（即）隨機(jī)信號（即廣義平穩(wěn)隨機(jī)信號）廣義平穩(wěn)隨機(jī)信號） 非平穩(wěn)隨機(jī)信號（非平穩(wěn)隨機(jī)信號（non-

22、stationary random signal）2022-7-5大連理工大學(xué)40 嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)信號的定義嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)信號的定義2022-7-5大連理工大學(xué)41 嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)信號的性質(zhì)嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)信號的性質(zhì) 嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)信號的一維概率密度與時(shí)間無關(guān)。嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)信號的一維概率密度與時(shí)間無關(guān)。 嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)信號的二維概率密度只與兩個(gè)時(shí)刻嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)信號的二維概率密度只與兩個(gè)時(shí)刻 與與 的間隔有關(guān)，而與時(shí)間的起始點(diǎn)無關(guān)。的間隔有關(guān)，而與時(shí)間的起始點(diǎn)無關(guān)。 1t2t2022-7-5大連理工大學(xué)42 寬平穩(wěn)（廣義平穩(wěn)）隨機(jī)信號的定義寬平穩(wěn)（廣義平穩(wěn)）隨機(jī)信號的定義 如果隨機(jī)過程（隨機(jī)信號）滿足下述條件：如果隨機(jī)過程（

23、隨機(jī)信號）滿足下述條件： 則則 為寬平穩(wěn)隨機(jī)過程（隨機(jī)信號）或廣義平穩(wěn)為寬平穩(wěn)隨機(jī)過程（隨機(jī)信號）或廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程（隨機(jī)信號）。隨機(jī)過程（隨機(jī)信號）。 211 ( )( ) ( )( )( )()()()XXXE X ttE XtRE X t X tE X tt X tt )(tX2022-7-5大連理工大學(xué)43 聯(lián)合廣義平穩(wěn)隨機(jī)信號的概念聯(lián)合廣義平穩(wěn)隨機(jī)信號的概念 當(dāng)兩個(gè)隨機(jī)信號當(dāng)兩個(gè)隨機(jī)信號 和和 分別為廣義平穩(wěn)時(shí)，若分別為廣義平穩(wěn)時(shí)，若它們的互相關(guān)函數(shù)滿足它們的互相關(guān)函數(shù)滿足 則二者為聯(lián)合廣義平穩(wěn)的。則二者為聯(lián)合廣義平穩(wěn)的。 )(tX)(tY)()()(tYtXERXY2022-7-5

24、大連理工大學(xué)44 離散隨機(jī)序列的廣義平穩(wěn)性離散隨機(jī)序列的廣義平穩(wěn)性 廣義平穩(wěn)的離散時(shí)間隨機(jī)信號廣義平穩(wěn)的離散時(shí)間隨機(jī)信號 具有以下特性：具有以下特性： )(nX2022-7-5大連理工大學(xué)45 各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性 對于平穩(wěn)隨機(jī)信號對于平穩(wěn)隨機(jī)信號 或或 ，若其所有樣本函數(shù)，若其所有樣本函數(shù)在某一固定時(shí)刻的一階和二階統(tǒng)計(jì)特性與單一樣本在某一固定時(shí)刻的一階和二階統(tǒng)計(jì)特性與單一樣本函數(shù)在長時(shí)間內(nèi)的統(tǒng)計(jì)特性一致，則稱函數(shù)在長時(shí)間內(nèi)的統(tǒng)計(jì)特性一致，則稱 或或 為為各態(tài)歷經(jīng)信號各態(tài)歷經(jīng)信號，又稱為，又稱為各態(tài)遍歷信號各態(tài)遍歷信號。 各態(tài)歷經(jīng)的各態(tài)歷經(jīng)的含義含義是，單一樣本函數(shù)隨時(shí)間變化的過是，單一樣本函

25、數(shù)隨時(shí)間變化的過程可以包括該信號所有樣本函數(shù)的取值經(jīng)歷。程可以包括該信號所有樣本函數(shù)的取值經(jīng)歷。 )(tX)(nX)(tX)(nX2022-7-5大連理工大學(xué)46 各態(tài)歷經(jīng)信號的數(shù)字特征各態(tài)歷經(jīng)信號的數(shù)字特征 設(shè)設(shè) 為各態(tài)歷經(jīng)信號為各態(tài)歷經(jīng)信號 的一個(gè)樣本函數(shù)，則有：的一個(gè)樣本函數(shù)，則有： 式中，式中， 表示集總平均，而表示集總平均，而 則表示對則表示對 中某一樣本中某一樣本函數(shù)取時(shí)間平均。對于各態(tài)歷經(jīng)的離散隨機(jī)信號函數(shù)取時(shí)間平均。對于各態(tài)歷經(jīng)的離散隨機(jī)信號 )(tx)(tXxTTTXttxTtxtXEd)(21lim)()(TTxTXRttxtxTRtXtXE)(d)()(21lim)()(

26、)(E)(tx)(tX)(nXxMMnMXnxMnxnXE)(121lim)()(MMnxMXmRmnxnxMmRmnXnXE)()()(121lim)()()(2022-7-5大連理工大學(xué)47 各態(tài)歷經(jīng)性的定義各態(tài)歷經(jīng)性的定義2022-7-5大連理工大學(xué)48 非平穩(wěn)隨機(jī)信號非平穩(wěn)隨機(jī)信號 從應(yīng)用的角度來說，生物醫(yī)學(xué)信號一般為非平穩(wěn)隨從應(yīng)用的角度來說，生物醫(yī)學(xué)信號一般為非平穩(wěn)隨機(jī)信號。機(jī)信號。 任何既不屬于嚴(yán)平穩(wěn)又不屬于廣義平穩(wěn)的隨機(jī)信號，任何既不屬于嚴(yán)平穩(wěn)又不屬于廣義平穩(wěn)的隨機(jī)信號，稱為非平穩(wěn)隨機(jī)信號。稱為非平穩(wěn)隨機(jī)信號。 如果用統(tǒng)計(jì)量來敘述，若隨機(jī)信號的如果用統(tǒng)計(jì)量來敘述，若隨機(jī)信號的某階

27、統(tǒng)計(jì)量某階統(tǒng)計(jì)量隨隨時(shí)間變化，則該隨機(jī)信號為非平穩(wěn)隨機(jī)信號。時(shí)間變化，則該隨機(jī)信號為非平穩(wěn)隨機(jī)信號。 最常見的非平穩(wěn)隨機(jī)信號是最常見的非平穩(wěn)隨機(jī)信號是均值、方差、自相關(guān)函均值、方差、自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度數(shù)與功率譜密度隨時(shí)間變化的信號。隨時(shí)間變化的信號。 2022-7-5大連理工大學(xué)49 非平穩(wěn)隨機(jī)信號的概率特性與數(shù)字特性非平穩(wěn)隨機(jī)信號的概率特性與數(shù)字特性2022-7-5大連理工大學(xué)50 非平穩(wěn)隨機(jī)信號示意圖非平穩(wěn)隨機(jī)信號示意圖2022-7-5大連理工大學(xué)513.4 常見的隨機(jī)信號與隨機(jī)噪聲常見的隨機(jī)信號與隨機(jī)噪聲 高斯分布隨機(jī)信號高斯分布隨機(jī)信號 維概率密度函數(shù)和維概率密度函數(shù)和 維特征函數(shù)

28、維特征函數(shù) nn12121/2/21111( ,; , , )exp()()2(2)ijnnXnniXjXijnijfx xx t ttxxCCC12121111(,; , ,)exp(j)2innnXnniXijijiiju uu t ttuC u u2022-7-5大連理工大學(xué)52 說明說明2022-7-5大連理工大學(xué)53 概率密度與特征函數(shù)的矩陣形式概率密度與特征函數(shù)的矩陣形式2022-7-5大連理工大學(xué)54 關(guān)于高斯信號的進(jìn)一步說明關(guān)于高斯信號的進(jìn)一步說明 高斯信號是最常用的隨機(jī)信號模型之一。高斯信號是最常用的隨機(jī)信號模型之一。 只要知道信號的均值矢量只要知道信號的均值矢量 和協(xié)方差矩

29、和協(xié)方差矩陣陣 ，任意階數(shù)的概率密度函數(shù)均可以解析地表，任意階數(shù)的概率密度函數(shù)均可以解析地表示出來。示出來。 若高斯過程是寬平穩(wěn)的，則其一定是嚴(yán)平穩(wěn)的。若高斯過程是寬平穩(wěn)的，則其一定是嚴(yán)平穩(wěn)的。 若高斯過程的各隨機(jī)變量是不相關(guān)的，則其一定是若高斯過程的各隨機(jī)變量是不相關(guān)的，則其一定是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。 此外，高斯過程經(jīng)過線性運(yùn)算之后仍為高斯過程。此外，高斯過程經(jīng)過線性運(yùn)算之后仍為高斯過程。 EXC2022-7-5大連理工大學(xué)55 白噪聲過程白噪聲過程 白噪聲（白噪聲（white noise）定義為在所有頻率上具有相）定義為在所有頻率上具有相等功率的不相關(guān)隨機(jī)過程。等功率的不相關(guān)隨機(jī)過程。

30、 功率譜：功率譜： 自相關(guān)函數(shù)：自相關(guān)函數(shù)： 特點(diǎn)：特點(diǎn)： 不同時(shí)刻的白噪聲是互不相關(guān)的。不同時(shí)刻的白噪聲是互不相關(guān)的。 白噪聲的平均功率是趨于無窮大的，因而白噪聲是物理不白噪聲的平均功率是趨于無窮大的，因而白噪聲是物理不可實(shí)現(xiàn)的?？蓪?shí)現(xiàn)的。 在實(shí)際應(yīng)用中，白噪聲作為一個(gè)隨機(jī)信號的模型，對于簡在實(shí)際應(yīng)用中，白噪聲作為一個(gè)隨機(jī)信號的模型，對于簡化分析是很有意義的。化分析是很有意義的。 0( )/2wSN0( ) (/2) ( )wRN 2022-7-5大連理工大學(xué)56 白噪聲的曲線表示白噪聲的曲線表示 在許多實(shí)際問題中，通常使用高斯分布的白噪聲。在許多實(shí)際問題中，通常使用高斯分布的白噪聲。因此，

31、因此，高斯白噪聲高斯白噪聲（Gaussian white noise）通常被）通常被用于表示具有高斯概率密度分布的白噪聲隨機(jī)過程。用于表示具有高斯概率密度分布的白噪聲隨機(jī)過程。 2022-7-5大連理工大學(xué)57 白噪聲過程白噪聲過程2022-7-5大連理工大學(xué)58 帶限白噪聲帶限白噪聲2022-7-5大連理工大學(xué)59 高斯高斯馬爾可夫馬爾可夫2022-7-5大連理工大學(xué)60 其他常見隨機(jī)噪聲其他常見隨機(jī)噪聲 有色噪聲（有色噪聲（colored noise）： 是指功率譜密度在整個(gè)頻域內(nèi)不呈均勻分布的噪聲。是指功率譜密度在整個(gè)頻域內(nèi)不呈均勻分布的噪聲。 由于其在各頻率段內(nèi)的功率不同，與有色光相似

32、，由于其在各頻率段內(nèi)的功率不同，與有色光相似，所以稱之為有色噪聲。所以稱之為有色噪聲。 在實(shí)際應(yīng)用中，大多數(shù)音頻噪聲，例如移動(dòng)汽車的在實(shí)際應(yīng)用中，大多數(shù)音頻噪聲，例如移動(dòng)汽車的噪聲、計(jì)算機(jī)風(fēng)扇的噪聲、電鉆噪聲等都屬于有色噪聲、計(jì)算機(jī)風(fēng)扇的噪聲、電鉆噪聲等都屬于有色噪聲。噪聲。 2022-7-5大連理工大學(xué)61 熱噪聲（熱噪聲（ thermal noise ）： 熱噪聲又稱為熱噪聲又稱為Johnson噪聲，是由導(dǎo)體中帶電粒子噪聲，是由導(dǎo)體中帶電粒子的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的。的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的。 熱噪聲是所有電導(dǎo)體固有的，我們知道，電導(dǎo)體中熱噪聲是所有電導(dǎo)體固有的，我們知道，電導(dǎo)體中含有大量的自由電子以及在

33、平衡位置隨機(jī)振動(dòng)的離含有大量的自由電子以及在平衡位置隨機(jī)振動(dòng)的離子。子。 電子的自發(fā)運(yùn)動(dòng)構(gòu)成了自發(fā)電流，就是熱噪聲。隨電子的自發(fā)運(yùn)動(dòng)構(gòu)成了自發(fā)電流，就是熱噪聲。隨著溫度的升高，自由電子會(huì)躍遷到更高的能級，熱著溫度的升高，自由電子會(huì)躍遷到更高的能級，熱噪聲也會(huì)增加。噪聲也會(huì)增加。 熱噪聲具有平坦的功率譜，因此屬于白噪聲。熱噪熱噪聲具有平坦的功率譜，因此屬于白噪聲。熱噪聲是不能通過對系統(tǒng)的屏蔽和接地而避免的。聲是不能通過對系統(tǒng)的屏蔽和接地而避免的。 2022-7-5大連理工大學(xué)62 散粒噪聲（散粒噪聲（shot noise）： 是由于離散電荷的運(yùn)動(dòng)而形成電流所引起的隨機(jī)噪聲，其是由于離散電荷的運(yùn)動(dòng)

34、而形成電流所引起的隨機(jī)噪聲，其噪聲強(qiáng)度隨著通過導(dǎo)體平均電流的增加而增加。噪聲強(qiáng)度隨著通過導(dǎo)體平均電流的增加而增加。 散粒噪聲這一名詞來自于真空管內(nèi)陰極發(fā)射電子的隨機(jī)變散粒噪聲這一名詞來自于真空管內(nèi)陰極發(fā)射電子的隨機(jī)變化。電流中的離散電荷粒子是隨機(jī)到達(dá)的，故平均粒子電化。電流中的離散電荷粒子是隨機(jī)到達(dá)的，故平均粒子電流會(huì)有起伏變化。這種粒子流速率的波動(dòng)形成了散粒噪聲。流會(huì)有起伏變化。這種粒子流速率的波動(dòng)形成了散粒噪聲。 半導(dǎo)體中的電子流以及電子和空穴的重新結(jié)合、光敏二極半導(dǎo)體中的電子流以及電子和空穴的重新結(jié)合、光敏二極管發(fā)射的光電子流等，也會(huì)形成散粒噪聲。管發(fā)射的光電子流等，也會(huì)形成散粒噪聲。

35、散粒噪聲與熱噪聲是不同的。熱噪聲是由于電子的隨機(jī)熱散粒噪聲與熱噪聲是不同的。熱噪聲是由于電子的隨機(jī)熱運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的，與電壓沒有關(guān)系。而散彈噪聲在有電壓和運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的，與電壓沒有關(guān)系。而散彈噪聲在有電壓和電流時(shí)才產(chǎn)生。粒子到達(dá)或發(fā)射速率的隨機(jī)性表明散粒噪電流時(shí)才產(chǎn)生。粒子到達(dá)或發(fā)射速率的隨機(jī)性表明散粒噪聲的隨機(jī)變化可以用泊松概率分布來刻畫。聲的隨機(jī)變化可以用泊松概率分布來刻畫。 2022-7-5大連理工大學(xué)63 電磁噪聲（電磁噪聲（ electromagnetic noise ）： 電磁噪聲（電磁噪聲（electromagnetic noise）是指環(huán)境中存在的）是指環(huán)境中存在的由電磁場交替變化而

36、產(chǎn)生的噪聲。實(shí)際上，每個(gè)產(chǎn)生、由電磁場交替變化而產(chǎn)生的噪聲。實(shí)際上，每個(gè)產(chǎn)生、消耗或者傳輸能量的電子設(shè)備都是無線電頻譜的污染消耗或者傳輸能量的電子設(shè)備都是無線電頻譜的污染源，也是其它系統(tǒng)潛在的電磁噪聲干擾源。源，也是其它系統(tǒng)潛在的電磁噪聲干擾源。 電磁噪聲的來源主要包括：變壓器、無線電和電視發(fā)電磁噪聲的來源主要包括：變壓器、無線電和電視發(fā)射器、移動(dòng)電話、微波發(fā)射器、交流電力線、電機(jī)和射器、移動(dòng)電話、微波發(fā)射器、交流電力線、電機(jī)和電機(jī)起動(dòng)器、發(fā)電機(jī)、繼電器、振蕩器、熒光燈和電電機(jī)起動(dòng)器、發(fā)電機(jī)、繼電器、振蕩器、熒光燈和電磁風(fēng)暴等。磁風(fēng)暴等。 電磁噪聲的主要特性與交變電磁場特性、受迫振動(dòng)部電磁噪聲

37、的主要特性與交變電磁場特性、受迫振動(dòng)部件和空間形狀等因素有關(guān)。電磁噪聲通常是脈動(dòng)的和件和空間形狀等因素有關(guān)。電磁噪聲通常是脈動(dòng)的和隨機(jī)的，也可以是周期性的隨機(jī)的，也可以是周期性的 2022-7-5大連理工大學(xué)643.5 隨機(jī)信號的統(tǒng)計(jì)分析方法隨機(jī)信號的統(tǒng)計(jì)分析方法 隨機(jī)信號的古典分析方法隨機(jī)信號的古典分析方法 隨機(jī)信號的古典分析方法主要包括：隨機(jī)信號的古典分析方法主要包括： 隨機(jī)信號的概率分布與概率密度函數(shù)；隨機(jī)信號的概率分布與概率密度函數(shù)； 隨機(jī)信號的數(shù)字特征，即均值、方差、相關(guān)函數(shù)隨機(jī)信號的數(shù)字特征，即均值、方差、相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)等。和協(xié)方差函數(shù)等。 本章本章3.3.1節(jié)已經(jīng)介紹了隨機(jī)

38、信號（隨機(jī)過程）的節(jié)已經(jīng)介紹了隨機(jī)信號（隨機(jī)過程）的概率密度函數(shù)、概率分布函數(shù)和隨機(jī)信號的主要概率密度函數(shù)、概率分布函數(shù)和隨機(jī)信號的主要統(tǒng)計(jì)特征。本節(jié)舉例介紹一些常用的概率分布及統(tǒng)計(jì)特征。本節(jié)舉例介紹一些常用的概率分布及隨機(jī)信號數(shù)字特征的計(jì)算方法。隨機(jī)信號數(shù)字特征的計(jì)算方法。 2022-7-5大連理工大學(xué)65 常見隨機(jī)信號的概率密度函數(shù)（常見隨機(jī)信號的概率密度函數(shù)（1）2022-7-5大連理工大學(xué)66 常見隨機(jī)信號的概率密度函數(shù)（常見隨機(jī)信號的概率密度函數(shù)（2）2022-7-5大連理工大學(xué)67 常見隨機(jī)信號的概率密度函數(shù)（常見隨機(jī)信號的概率密度函數(shù)（3）2022-7-5大連理工大學(xué)68 隨機(jī)信

39、號數(shù)字特征的計(jì)算（估計(jì)）隨機(jī)信號數(shù)字特征的計(jì)算（估計(jì)） 本章第本章第3.3.1節(jié)已經(jīng)給出了隨機(jī)信號的各常用統(tǒng)計(jì)量節(jié)已經(jīng)給出了隨機(jī)信號的各常用統(tǒng)計(jì)量（即數(shù)字特征）。但是，由于所給出的統(tǒng)計(jì)量公式均（即數(shù)字特征）。但是，由于所給出的統(tǒng)計(jì)量公式均為理論表達(dá)式，由于需要求取數(shù)學(xué)期望，在實(shí)際應(yīng)用為理論表達(dá)式，由于需要求取數(shù)學(xué)期望，在實(shí)際應(yīng)用中不便于使用。本小節(jié)從應(yīng)用的角度出發(fā)，給出平穩(wěn)中不便于使用。本小節(jié)從應(yīng)用的角度出發(fā)，給出平穩(wěn)隨機(jī)信號各統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算方法隨機(jī)信號各統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算方法（即估計(jì)方法）。（即估計(jì)方法）。 設(shè)平穩(wěn)隨機(jī)信號設(shè)平穩(wěn)隨機(jī)信號 經(jīng)采樣離散化得到相應(yīng)的平穩(wěn)隨經(jīng)采樣離散化得到相應(yīng)的平穩(wěn)隨機(jī)序列

40、機(jī)序列 ，記為，記為 ，其一個(gè)實(shí)現(xiàn)記為，其一個(gè)實(shí)現(xiàn)記為 。本小。本小節(jié)的目的是依據(jù)隨機(jī)序列的一個(gè)實(shí)現(xiàn)節(jié)的目的是依據(jù)隨機(jī)序列的一個(gè)實(shí)現(xiàn) 來計(jì)算或估來計(jì)算或估計(jì)隨機(jī)信號的數(shù)字特征量。計(jì)隨機(jī)信號的數(shù)字特征量。 ( )X t( )X n ( )x n( )x n( )x n2022-7-5大連理工大學(xué)69 樣本均值樣本均值 式中，式中， 表示參加計(jì)算的數(shù)據(jù)樣本點(diǎn)數(shù)。表示參加計(jì)算的數(shù)據(jù)樣本點(diǎn)數(shù)。 符號符號“”表示計(jì)算得到的估計(jì)值。表示計(jì)算得到的估計(jì)值。 在本書中，凡是變量上方標(biāo)有符號在本書中，凡是變量上方標(biāo)有符號“”的，均表示對的，均表示對該變量的估計(jì)。該變量的估計(jì)。 xm11( )Nxnmx nNN2

41、022-7-5大連理工大學(xué)70 樣本均方值樣本均方值： 樣本方差：樣本方差： 樣本協(xié)方差：樣本協(xié)方差： 樣本相關(guān)：樣本相關(guān)：2211( )NxnE mxnN2211( ( )Nxxnx nmN11( )( ( )( ()NxyxynCmx nmy nmmN11( )( ) ()NxynRmx n y nmN2022-7-5大連理工大學(xué)71 【例3.1】用計(jì)算機(jī)程序隨機(jī)產(chǎn)生服從高斯分布的用計(jì)算機(jī)程序隨機(jī)產(chǎn)生服從高斯分布的100點(diǎn)點(diǎn)均值為均值為0，方差為，方差為1的樣本序列，如圖的樣本序列，如圖3.6所示。試根據(jù)本所示。試根據(jù)本節(jié)給出的公式計(jì)算其樣本數(shù)字特征量。節(jié)給出的公式計(jì)算其樣本數(shù)字特征量。

42、2022-7-5大連理工大學(xué)72 【解】 根據(jù)樣本數(shù)字特征的計(jì)算公式，可以得到根據(jù)樣本數(shù)字特征的計(jì)算公式，可以得到樣本均值樣本均值： 樣本方差樣本方差： 同理可以得到其它樣本統(tǒng)計(jì)特征。如果增加數(shù)據(jù)長度同理可以得到其它樣本統(tǒng)計(jì)特征。如果增加數(shù)據(jù)長度 ，則可以是計(jì)算結(jié)果進(jìn)一步逼近其理論均值和理論方差。則可以是計(jì)算結(jié)果進(jìn)一步逼近其理論均值和理論方差。 11( )0.0804Nxnmx nN 2211( ( )0.925Nxxnx nmNN2022-7-5大連理工大學(xué)73隨機(jī)信號的現(xiàn)代參數(shù)模型方法隨機(jī)信號的現(xiàn)代參數(shù)模型方法 隨機(jī)信號的沃爾德分解定理：隨機(jī)信號的沃爾德分解定理： 一般的廣義平穩(wěn)隨機(jī)信號一

43、般的廣義平穩(wěn)隨機(jī)信號 （常稱為隨機(jī)序列）（常稱為隨機(jī)序列）總可以分解為可預(yù)測隨機(jī)序列總可以分解為可預(yù)測隨機(jī)序列 與不可預(yù)測隨機(jī)與不可預(yù)測隨機(jī)序列序列 之和。即：之和。即： （3.71） 且對于任意且對于任意 和和 ， 與與 之間滿足之間滿足 ( )x np( )x nn( )x npn( )( )( )x nx nx n1n2np( )x nn( )x np1n2()()0E x n x n2022-7-5大連理工大學(xué)74 可預(yù)測與不可預(yù)測隨機(jī)序列可預(yù)測與不可預(yù)測隨機(jī)序列 可預(yù)測隨機(jī)序列可預(yù)測隨機(jī)序列是指由隨機(jī)序列的過去取值可以準(zhǔn)確是指由隨機(jī)序列的過去取值可以準(zhǔn)確地確定其未來取值。地確定其未來

44、取值。 所謂所謂不可預(yù)測隨機(jī)序列不可預(yù)測隨機(jī)序列是指由隨機(jī)序列的過去取值，是指由隨機(jī)序列的過去取值，不能確定其未來取值。不能確定其未來取值。 2022-7-5大連理工大學(xué)75 【例【例3.2】 設(shè)隨機(jī)序列設(shè)隨機(jī)序列 滿足以下模型：滿足以下模型： 其中，其中， 表示均值為表示均值為0、方差為、方差為1的高斯白噪聲。試的高斯白噪聲。試確定確定 的可預(yù)測性。的可預(yù)測性。 【解【解】 （1）若白噪聲）若白噪聲 ，則，則 ，則，則 的的未來取值可以由其過去取值來確定。因此，當(dāng)未來取值可以由其過去取值來確定。因此，當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 為可預(yù)測隨機(jī)序列。為可預(yù)測隨機(jī)序列。 （2）若白噪聲）若白噪聲 ，則由于，則由

45、于 是不確定的，因此，是不確定的，因此， 為不可預(yù)測隨機(jī)序列。為不可預(yù)測隨機(jī)序列。 ( )x n( )(1)( ),1x nax nw na( )w n( )0w n ( )(1)x nax n( )x n( )0w n ( )x n( )0w n ( )w n( )x n( )x n2022-7-5大連理工大學(xué)76 平穩(wěn)隨機(jī)信號的線性參數(shù)模型平穩(wěn)隨機(jī)信號的線性參數(shù)模型 許多平穩(wěn)隨機(jī)信號許多平穩(wěn)隨機(jī)信號 可以看作是可以看作是由白噪聲由白噪聲 激勵(lì)某一確定的線性系激勵(lì)某一確定的線性系統(tǒng)統(tǒng) 而得到的響應(yīng)。而得到的響應(yīng)。 只要白噪聲的參數(shù)確定了，對隨機(jī)信號的研究就可以只要白噪聲的參數(shù)確定了，對隨機(jī)信

46、號的研究就可以轉(zhuǎn)化為對產(chǎn)生隨機(jī)信號的線性系統(tǒng)的研究了。轉(zhuǎn)化為對產(chǎn)生隨機(jī)信號的線性系統(tǒng)的研究了。 這就是隨機(jī)信號研究分析的這就是隨機(jī)信號研究分析的參數(shù)建模法參數(shù)建模法。 兩個(gè)基本問題兩個(gè)基本問題：第一，由給定的平穩(wěn)隨機(jī)信號序列，：第一，由給定的平穩(wěn)隨機(jī)信號序列，我們可以為其建立相應(yīng)的參數(shù)模型，即我們可以為其建立相應(yīng)的參數(shù)模型，即模型建立問題模型建立問題；第二，利用給定白噪聲和參數(shù)模型，我們可以第二，利用給定白噪聲和參數(shù)模型，我們可以產(chǎn)生出產(chǎn)生出所需要的隨機(jī)信號序列所需要的隨機(jī)信號序列。( )x n( )wn( )h n2022-7-5大連理工大學(xué)77 （1）滑動(dòng)平均（）滑動(dòng)平均（MA）模型）模型

47、2022-7-5大連理工大學(xué)78 （2）自回歸（）自回歸（AR）模型）模型2022-7-5大連理工大學(xué)79 （3）自回歸滑動(dòng)平均（）自回歸滑動(dòng)平均（ARMA）模型）模型2022-7-5大連理工大學(xué)80 AR模型的參數(shù)估計(jì)模型的參數(shù)估計(jì) 隨機(jī)信號建模方法在信號處理領(lǐng)域的應(yīng)用非常普遍，隨機(jī)信號建模方法在信號處理領(lǐng)域的應(yīng)用非常普遍，也廣泛應(yīng)用于醫(yī)學(xué)信號的分析處理中。例如對自發(fā)腦也廣泛應(yīng)用于醫(yī)學(xué)信號的分析處理中。例如對自發(fā)腦電、誘發(fā)電位、肌電、心電和胃電等信號的分析處理電、誘發(fā)電位、肌電、心電和胃電等信號的分析處理中，均有文獻(xiàn)報(bào)道采用參數(shù)模型的方法來進(jìn)行。中，均有文獻(xiàn)報(bào)道采用參數(shù)模型的方法來進(jìn)行。 根

48、據(jù)沃爾德分解定理，根據(jù)沃爾德分解定理，AR，MA和和ARMA三個(gè)模型是三個(gè)模型是可以互相轉(zhuǎn)換的。實(shí)際上，由可以互相轉(zhuǎn)換的。實(shí)際上，由MA模型的系統(tǒng)函數(shù)式模型的系統(tǒng)函數(shù)式（3.73），我們可以得到），我們可以得到 ，若系統(tǒng)的零，若系統(tǒng)的零點(diǎn)都在單位圓內(nèi)，則可以寫為點(diǎn)都在單位圓內(nèi)，則可以寫為 ， 這樣，這樣，MA模型可以轉(zhuǎn)化為模型可以轉(zhuǎn)化為AR模型。模型。 同理，同理，ARMA模型也可以用模型也可以用AR模型來表示。因此在這模型來表示。因此在這里我們只討論里我們只討論AR模型的建模問題。模型的建模問題。( )( )( )X zH z W z( )( )/( )X zW zA z( ) 1/ ( )

49、AzH z2022-7-5大連理工大學(xué)81 AR(p)模型的自相關(guān)函數(shù)模型的自相關(guān)函數(shù)2022-7-5大連理工大學(xué)82 AR(p)模型的自相關(guān)函數(shù)（續(xù)）模型的自相關(guān)函數(shù)（續(xù)）2022-7-5大連理工大學(xué)83 Yule-Walker方程方程2022-7-5大連理工大學(xué)84 【例【例3.3】2022-7-5大連理工大學(xué)85 【解【解】 2022-7-5大連理工大學(xué)86 例例3.3的進(jìn)一步討論的進(jìn)一步討論 問題：比較問題：比較和和得到的估計(jì)結(jié)果，為什么兩得到的估計(jì)結(jié)果，為什么兩者有如此之大的差距？者有如此之大的差距？ 實(shí)際上，在實(shí)際上，在對模型參數(shù)的估計(jì)中，我們使用的自相對模型參數(shù)的估計(jì)中，我們使用

50、的自相關(guān)序列值是其真實(shí)值，而在關(guān)序列值是其真實(shí)值，而在的估計(jì)中，我們使用的的估計(jì)中，我們使用的自相關(guān)序列值是經(jīng)由計(jì)算機(jī)模擬產(chǎn)生的有限個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)自相關(guān)序列值是經(jīng)由計(jì)算機(jī)模擬產(chǎn)生的有限個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)（32點(diǎn)）估計(jì)得到的，所得到的自相關(guān)序列估值與真點(diǎn)）估計(jì)得到的，所得到的自相關(guān)序列估值與真實(shí)自相關(guān)序列有較大誤差，從而導(dǎo)致模型參數(shù)估計(jì)的實(shí)自相關(guān)序列有較大誤差，從而導(dǎo)致模型參數(shù)估計(jì)的誤差較大。誤差較大。 如果增加數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)量或提高如果增加數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)量或提高AR模型的階數(shù)，則會(huì)改模型的階數(shù)，則會(huì)改善模型參數(shù)估計(jì)的精度。善模型參數(shù)估計(jì)的精度。2022-7-5大連理工大學(xué)87 YuleYuleWalkerWalker

51、方程的求解：方程的求解：LevinsonLevinsonDurbinDurbin遞推算法遞推算法 線性預(yù)測誤差濾波器與線性預(yù)測誤差濾波器與AR模型；模型； LevinsonDurbin遞推算法求解遞推算法求解AR模型參數(shù)模型參數(shù) 2022-7-5大連理工大學(xué)88 線性預(yù)測誤差濾波器與線性預(yù)測誤差濾波器與ARAR模型模型 2022-7-5大連理工大學(xué)89 線性預(yù)測誤差濾波器與線性預(yù)測誤差濾波器與ARAR模型模型（續(xù)）（續(xù)）2022-7-5大連理工大學(xué)90 LevinsonLevinsonDurbinDurbin遞推算法求解遞推算法求解ARAR模型參數(shù)模型參數(shù) 基本思路：基本思路：Levinson

52、Durbin遞推算法是一種比遞推算法是一種比較快捷的求解較快捷的求解YuleWalker方程的遞推算法，其方程的遞推算法，其基本思路是依據(jù)基本思路是依據(jù)YuleWalker方程和自相關(guān)序列方程和自相關(guān)序列的遞推性，逐次增加模型階數(shù)進(jìn)行遞推計(jì)算。的遞推性，逐次增加模型階數(shù)進(jìn)行遞推計(jì)算。 例如先計(jì)算時(shí)的預(yù)測系數(shù)和，然后計(jì)算時(shí)的預(yù)測例如先計(jì)算時(shí)的預(yù)測系數(shù)和，然后計(jì)算時(shí)的預(yù)測系數(shù)和，一直計(jì)算到階的預(yù)測系數(shù)和。當(dāng)滿足計(jì)系數(shù)和，一直計(jì)算到階的預(yù)測系數(shù)和。當(dāng)滿足計(jì)算精度時(shí)就可以停止遞推。算精度時(shí)就可以停止遞推。 2022-7-5大連理工大學(xué)91 預(yù)測系數(shù)和均方誤差遞推通式預(yù)測系數(shù)和均方誤差遞推通式 1111

53、1122211( )( )()( )( )()( )1( )(0)1( )mmmmmxxmxxkmmmmwmmmxxkkakakam amkRmak RmkamEEam ERa k2022-7-5大連理工大學(xué)92 ARAR模型階數(shù)的確定模型階數(shù)的確定 AR模型的階數(shù)估計(jì)是一個(gè)十分重要的問題。模型的階數(shù)估計(jì)是一個(gè)十分重要的問題。 在實(shí)際應(yīng)用中，在實(shí)際應(yīng)用中，AR模型的階數(shù)總是未知的，要根據(jù)觀模型的階數(shù)總是未知的，要根據(jù)觀測數(shù)據(jù)做適當(dāng)?shù)墓烙?jì)。測數(shù)據(jù)做適當(dāng)?shù)墓烙?jì)。 若模型階數(shù)估計(jì)過低，則參數(shù)估計(jì)的均方誤差會(huì)較大；若模型階數(shù)估計(jì)過低，則參數(shù)估計(jì)的均方誤差會(huì)較大； 而若模型階數(shù)過高，則又會(huì)帶來計(jì)算上的不

54、必要負(fù)擔(dān)。而若模型階數(shù)過高，則又會(huì)帶來計(jì)算上的不必要負(fù)擔(dān)。 2022-7-5大連理工大學(xué)93 FPEFPE準(zhǔn)則準(zhǔn)則 設(shè)真實(shí)模型為設(shè)真實(shí)模型為AR ，正在進(jìn)行擬合的階數(shù)為，正在進(jìn)行擬合的階數(shù)為 。將擬合的將擬合的AR參數(shù)構(gòu)成一步預(yù)測器，其預(yù)測均方誤差達(dá)參數(shù)構(gòu)成一步預(yù)測器，其預(yù)測均方誤差達(dá)到最小的模型階數(shù)，則作為最佳模型階數(shù)。到最小的模型階數(shù)，則作為最佳模型階數(shù)。FPE（最（最終預(yù)測誤差）準(zhǔn)則定義為：終預(yù)測誤差）準(zhǔn)則定義為： 式中，式中， 為觀測數(shù)據(jù)長度，為觀測數(shù)據(jù)長度， 為擬合殘差的方差。為擬合殘差的方差。隨著擬合階數(shù)的增加，隨著擬合階數(shù)的增加， 會(huì)逐漸減小，而會(huì)逐漸減小，而 則逐漸增大。故在某

55、個(gè)則逐漸增大。故在某個(gè) 處達(dá)到最小，則將處達(dá)到最小，則將 確確定為定為AR模型的階數(shù)。模型的階數(shù)。 ( )pm21FPE( )1wmN mmN mN2wm2wm11NmNmmpp2022-7-5大連理工大學(xué)94 AICAIC準(zhǔn)則準(zhǔn)則 該準(zhǔn)則通過使平均對數(shù)似然函數(shù)最大來確定該準(zhǔn)則通過使平均對數(shù)似然函數(shù)最大來確定AR模型的模型的階數(shù)。階數(shù)。AIC準(zhǔn)則定義為：準(zhǔn)則定義為： 當(dāng)模型階數(shù)增加時(shí)，當(dāng)模型階數(shù)增加時(shí)， 隨之下降，而隨之下降，而 隨之增隨之增加。當(dāng)加。當(dāng) 達(dá)到最小時(shí)，可以確定此時(shí)的階數(shù)達(dá)到最小時(shí)，可以確定此時(shí)的階數(shù) 作為最佳模型階數(shù)。作為最佳模型階數(shù)。N2wmmp22AIC( )lnwmmmN

56、2/m NAIC( )m2022-7-5大連理工大學(xué)953.6 醫(yī)學(xué)信號非線性分析簡介醫(yī)學(xué)信號非線性分析簡介 分形的概念分形的概念 歐幾里德集合空間的物體都具有整數(shù)的維數(shù)。但是，歐幾里德集合空間的物體都具有整數(shù)的維數(shù)。但是，自自1973年以來，幾何學(xué)上出現(xiàn)了一種非整數(shù)的維數(shù)，年以來，幾何學(xué)上出現(xiàn)了一種非整數(shù)的維數(shù)，即即分形（分形（fractal）。所謂分形指的是。所謂分形指的是以非整數(shù)維形以非整數(shù)維形式充填空間的形態(tài)特征式充填空間的形態(tài)特征。由于不規(guī)則現(xiàn)象在自然界。由于不規(guī)則現(xiàn)象在自然界是普遍存在的，因此分形幾何又稱為描述大自然的是普遍存在的，因此分形幾何又稱為描述大自然的幾何學(xué)。幾何學(xué)。 分

57、形幾何建立以后，很快就引起了許多學(xué)科的關(guān)注，分形幾何建立以后，很快就引起了許多學(xué)科的關(guān)注，并且對醫(yī)學(xué)信號分析也具有重要的價(jià)值。并且對醫(yī)學(xué)信號分析也具有重要的價(jià)值。2022-7-5大連理工大學(xué)96 分形的特點(diǎn)分形的特點(diǎn) 與傳統(tǒng)幾何相比，分形有以下特點(diǎn)：與傳統(tǒng)幾何相比，分形有以下特點(diǎn)： 從整體上看，分形幾何圖形是處處不規(guī)則的，但是在從整體上看，分形幾何圖形是處處不規(guī)則的，但是在不同尺度上看，圖形的規(guī)則性又是相同的。不同尺度上看，圖形的規(guī)則性又是相同的。 例如從遠(yuǎn)距離觀察時(shí)，海岸和山川的形狀是極不規(guī)則例如從遠(yuǎn)距離觀察時(shí)，海岸和山川的形狀是極不規(guī)則的，但是從近距離觀察，其局部形狀又和整體形態(tài)相的，但是

58、從近距離觀察，其局部形狀又和整體形態(tài)相似。似。 即它們從整體到局部是即它們從整體到局部是自相似的自相似的。2022-7-5大連理工大學(xué)97 典型的分形體典型的分形體 科赫雪花（科赫雪花（Koch snowflakeKoch snowflake） 科赫雪花（科赫雪花（Koch snowflake）是一種典型的分形體。瑞）是一種典型的分形體。瑞典人科赫于典人科赫于1904年提出了這種著名的雪花曲線，其做年提出了這種著名的雪花曲線，其做法為：從一個(gè)正三角形開始，把每條邊三等分，然后法為：從一個(gè)正三角形開始，把每條邊三等分，然后以各邊的中間長度為底邊，分別向外作正三角形再把以各邊的中間長度為底邊，分別

59、向外作正三角形再把底邊線段抹掉，這樣就得到一個(gè)六角形，它共有底邊線段抹掉，這樣就得到一個(gè)六角形，它共有12條條邊。再把每條邊三等分，以各中間部分的長度為底邊，邊。再把每條邊三等分，以各中間部分的長度為底邊，向外作正三角形后，抹掉底邊線段。反復(fù)進(jìn)行這一過向外作正三角形后，抹掉底邊線段。反復(fù)進(jìn)行這一過程，就會(huì)得到一個(gè)程，就會(huì)得到一個(gè)“雪花雪花”狀曲線，稱為科赫雪花。狀曲線，稱為科赫雪花。 2022-7-5大連理工大學(xué)98 科赫雪花的圖示科赫雪花的圖示2022-7-5大連理工大學(xué)99 典型的分形體典型的分形體 康托塵土（康托塵土（KongtorKongtor dust dust） 康托塵土（康托塵土

60、（Kongtor dust）的第）的第0代為一條直線段。將代為一條直線段。將其中間的其中間的1/3挖去形成第一代，如此反復(fù)進(jìn)行下去，得挖去形成第一代，如此反復(fù)進(jìn)行下去，得到如圖到如圖3.8所示的結(jié)果。所示的結(jié)果。 2022-7-5大連理工大學(xué)100 分形的應(yīng)用分形的應(yīng)用 分形在數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物、大氣、海洋抑制與分形在數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物、大氣、海洋抑制與社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域得到許多應(yīng)用。社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域得到許多應(yīng)用。 分形使人們感悟到科學(xué)與藝術(shù)的融合，數(shù)學(xué)與藝術(shù)審分形使人們感悟到科學(xué)與藝術(shù)的融合，數(shù)學(xué)與藝術(shù)審美上的統(tǒng)一。美上的統(tǒng)一。 分形圖像可以用于制做各種尺寸的裝飾畫，可以制做分形圖像可以用于制