1、1一課一貼一課一貼很多時(shí)候我們會(huì)沮喪、會(huì)絕望、會(huì)抓狂、很多時(shí)候我們會(huì)沮喪、會(huì)絕望、會(huì)抓狂、會(huì)會(huì)，但是，更多時(shí)候我們內(nèi)心中那，但是，更多時(shí)候我們內(nèi)心中那小強(qiáng)一般的生命力會(huì)支持我們接下來(lái)的日小強(qiáng)一般的生命力會(huì)支持我們接下來(lái)的日子。其實(shí)，你沒(méi)有自己認(rèn)為那樣差勁！子。其實(shí)，你沒(méi)有自己認(rèn)為那樣差勁！2 2-1 2-1 隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差 2-2 2-2 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差 2-3 2-3 粗大誤差粗大誤差 2-4 2-4 測(cè)量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理實(shí)例測(cè)量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理實(shí)例由于誤差存在的必然性，為提高測(cè)量精度，盡可能消除或由于誤差存在的必然性，為提高測(cè)量精度，盡可能消除或減少誤差，須分析誤差性質(zhì)、出現(xiàn)規(guī)律、產(chǎn)生原因

2、、發(fā)現(xiàn)減少誤差，須分析誤差性質(zhì)、出現(xiàn)規(guī)律、產(chǎn)生原因、發(fā)現(xiàn)或減小它們的方法以及測(cè)量結(jié)果的評(píng)定等?；驕p小它們的方法以及測(cè)量結(jié)果的評(píng)定等。3一、隨機(jī)誤差的產(chǎn)生原因一、隨機(jī)誤差的產(chǎn)生原因隨機(jī)誤差又稱(chēng)隨機(jī)誤差又稱(chēng)偶然誤差偶然誤差，其，其特點(diǎn)特點(diǎn)是前一個(gè)誤差出現(xiàn)后，不能預(yù)定下一是前一個(gè)誤差出現(xiàn)后，不能預(yù)定下一個(gè)誤差的大小和方向，但總體而言具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性個(gè)誤差的大小和方向，但總體而言具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。產(chǎn)生原因產(chǎn)生原因：測(cè)量裝置方面的因素；（零部件配合的不穩(wěn)定、變形、摩擦）測(cè)量裝置方面的因素；（零部件配合的不穩(wěn)定、變形、摩擦）測(cè)量環(huán)境方面的因素；（溫度的微小變化、光照強(qiáng)度變化、灰塵）測(cè)量環(huán)境方面的因素；（溫度的

3、微小變化、光照強(qiáng)度變化、灰塵）人員方面的因素。（瞄準(zhǔn)、讀數(shù)的不穩(wěn)定）人員方面的因素。（瞄準(zhǔn)、讀數(shù)的不穩(wěn)定）二、正態(tài)分布二、正態(tài)分布若測(cè)量列中不包含系統(tǒng)誤差和粗大誤差，則隨機(jī)誤差一般具有下列特若測(cè)量列中不包含系統(tǒng)誤差和粗大誤差，則隨機(jī)誤差一般具有下列特點(diǎn)：點(diǎn)：對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)性：絕對(duì)值相等的正誤差和負(fù)誤差出項(xiàng)的次數(shù)相等；：絕對(duì)值相等的正誤差和負(fù)誤差出項(xiàng)的次數(shù)相等；單峰性單峰性：絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多；：絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多；4 niLLii1 0若服從正態(tài)分布，則密度函數(shù)為：若服從正態(tài)分布，則密度函數(shù)為： 22221ef其分布函數(shù)為其分布函數(shù)為： deF222

4、21其中，其中，為標(biāo)準(zhǔn)差（或均方根誤差），為標(biāo)準(zhǔn)差（或均方根誤差），e=2.7182e=2.7182有界性有界性：在一定測(cè)量條件下，隨機(jī)誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定界限；：在一定測(cè)量條件下，隨機(jī)誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定界限；抵償性抵償性：隨測(cè)量次數(shù)的增加，隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值趨向于：隨測(cè)量次數(shù)的增加，隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值趨向于0。 具有上述特點(diǎn)的分布函數(shù)為正態(tài)分布，因此具有上述特點(diǎn)的分布函數(shù)為正態(tài)分布，因此多數(shù)隨機(jī)誤差都服從正多數(shù)隨機(jī)誤差都服從正態(tài)分布態(tài)分布。 設(shè)被測(cè)量的真值為設(shè)被測(cè)量的真值為L(zhǎng)0，測(cè)得值為，測(cè)得值為L(zhǎng)i,則測(cè)量列中的隨即誤差則測(cè)量列中的隨即誤差i為：為：5 df22 0dfE因此

5、，方差為：因此，方差為：數(shù)學(xué)期望為：數(shù)學(xué)期望為：平均誤差為：平均誤差為： 547979. 0df 326745. 0 21 得到或然誤差為：由df 平均誤差為右邊面積重心的橫坐標(biāo)，或然誤差為平均右半平均誤差為右邊面積重心的橫坐標(biāo)，或然誤差為平均右半部面積的橫坐標(biāo)。部面積的橫坐標(biāo)。三、算術(shù)平均值三、算術(shù)平均值對(duì)某一量進(jìn)行一系列等精度測(cè)量，以對(duì)某一量進(jìn)行一系列等精度測(cè)量，以全部測(cè)得值的算術(shù)平均全部測(cè)得值的算術(shù)平均值值作為最后的測(cè)量結(jié)果。作為最后的測(cè)量結(jié)果。612121110220012120n100i 11 , , ; ; nnininnnnniniiiil llnxllllxnnllllllll

6、llnlllnlln設(shè)為 次測(cè)量所得的值，則算術(shù)平均值 為：即：1110n0 nniinniiiilnlxn 由于隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布，當(dāng)時(shí)，表明當(dāng)測(cè)量次數(shù)無(wú)限增大時(shí)，算術(shù)平均值最接近于真值。（一）算術(shù)平均值的意義（一）算術(shù)平均值的意義70000011111000: iiinnnnniiiiiiiiillllllllllllxllxnnnnn 為方便計(jì)算，可選一個(gè)接近所有測(cè)得值的數(shù) 作為參考值，計(jì)算每個(gè)測(cè)得值 與 的差值（二）算術(shù)平均值的計(jì)算校核（二）算術(shù)平均值的計(jì)算校核1111 (1 ) _iiinnnniiiiiiivlxinvvlxlnx一般被測(cè)量真值未知，則以算術(shù)平均值為真值，則隨機(jī)誤

7、差可認(rèn)為是：則 稱(chēng)為殘余誤差（殘差）有81111 1) 0 0niininniiiiilxxnlvlnn可根據(jù)下面性質(zhì)校核算術(shù)平均值及殘差計(jì)算的正確性：當(dāng)求出的 為未經(jīng)湊整的準(zhǔn)確數(shù)時(shí)，即代入上式則即殘余誤差代數(shù)和為 。1111112) , ()niininniiiiinniiiilxxnlvlnnnlnxvx 當(dāng) 為湊整的非準(zhǔn)確數(shù)時(shí)，存在舍入誤差 ，即則表明當(dāng)時(shí)，為負(fù)，其大小為求 時(shí)的虧數(shù)。911,n 21 22Aniiniin vAnn vAx另一校核規(guī)則為：由殘余誤差代數(shù)和絕對(duì)值計(jì)算 即：當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)，（）其中 為實(shí)際求得的算術(shù)平均值 末位數(shù)的一個(gè)單位。1111113) ,

8、()nniinniiiiiinniiiillxvlnnnnlnxvx 當(dāng)時(shí)表明當(dāng)時(shí)，為正，其大小為求 時(shí)的余數(shù)10例例1、 測(cè)量某直徑測(cè)量某直徑10次，得到結(jié)果如下，求算術(shù)平均值次，得到結(jié)果如下，求算術(shù)平均值并校核。（單位并校核。（單位mm）1879.64, 1879.69, 1879.60, 1879.69, 1879.57, 1879.62, 1879.64, 1879.65, 1879.64, 1879.65。注意：注意：解題步解題步驟、校驟、校核！核！112222121 (2-1) nniniinn在等精度測(cè)量列中，單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差為：式中， 為測(cè)量次數(shù)； 為測(cè)得值與被測(cè)量真值之差。四

9、、測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差四、測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差簡(jiǎn)稱(chēng)為簡(jiǎn)稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差，也稱(chēng)為，也稱(chēng)為均方根誤差均方根誤差。（一）單次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差（一）單次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差 由于隨機(jī)誤差的存在，等精度測(cè)量列中各個(gè)測(cè)得值一由于隨機(jī)誤差的存在，等精度測(cè)量列中各個(gè)測(cè)得值一般皆不相同，它們圍繞著該測(cè)量列的算術(shù)平均值有一定的般皆不相同，它們圍繞著該測(cè)量列的算術(shù)平均值有一定的分散，此分散度說(shuō)明測(cè)量列中分散，此分散度說(shuō)明測(cè)量列中單次測(cè)得值的不可靠性單次測(cè)得值的不可靠性，而，而評(píng)定這種不可靠性常用評(píng)定這種不可靠性常用標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差。它不是每次測(cè)量的隨機(jī)。它不是每次測(cè)量的隨機(jī)誤差，而是反映隨機(jī)誤差的分散程度誤差，而是反映隨機(jī)誤差的分散程度1200110

10、122020i1i 1ii 111,( = = 0iixxxnnnxnninniixxiniixllxllxxlvlxxlvlxxlvvvnnnvnn 其公式推導(dǎo)如下：令算術(shù)平均值的誤差）而在時(shí)，因此ii 12212i 1i 12222nnnnijiiijxnnnn iiv由于真值通常未知，實(shí)際使用時(shí)常用殘余誤差 代替 。132i 12-22-1 1nivn將（）式代入（），得到用殘余誤差計(jì)算等精度測(cè)量列單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值：此式又稱(chēng)為貝塞爾公式。2222222i 12i 1i 11i 1i 122i 1i 12 (2-2)1ninnnnniixixixiinniiAvvnvnvnnnvn

11、另一方面將 式兩邊平方后相加得到：14 12122122222 1, ,11 , xnnnilllxnD xD lD lD lnl llD linD xnnn由于多次測(cè)量是以算術(shù)平均值作為測(cè)量結(jié)果，因此須評(píng)定算術(shù)平均值的分散程度，即算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。兩邊取方差，得到：又是等精度測(cè)量列，每個(gè)測(cè)得值的標(biāo)準(zhǔn)差為 ，因此22 ,xxnn即（二）測(cè)量列算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差二）測(cè)量列算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差1xnnxn表明在 次的等精度測(cè)量列中，算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為單次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差的，具有誤差平均效應(yīng)。當(dāng)時(shí)，表示的分散性愈小，愈接近真值，測(cè)量精度愈高。15222211111111111) 1111 0.79791

12、1111.2530.797911 nniinnnniiiiiiiiiininiiinniiiivnnvvnnnnvnn nvvn nn n別捷爾斯法則平均誤差而單次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差為：11 1.2531nxiivnn n1612maxminmaxmin2) , , 10nnnnnnnnnl llllWllE WdWWEdddPn極差法是一種簡(jiǎn)單快捷算出標(biāo)準(zhǔn)差的方法。設(shè)等精度測(cè)量列服從正態(tài)分布，取最大值與最小值之差為極差，即：根據(jù)極差的分布函數(shù)，其數(shù)學(xué)期望，的值可查表 見(jiàn) 20 。在時(shí)可采用，具有一定的精度。maxmaxmaxmax3, ,2110iiiNiiNNNKvvKKKPn）最

13、大誤差法當(dāng)知道被測(cè)量真值或近似真值時(shí)，可算出隨機(jī)誤差取絕對(duì)值最大的值，當(dāng)每個(gè)測(cè)得值服從正態(tài)分布時(shí)，可求出：當(dāng)真值未知時(shí)，按最大殘余誤差來(lái)計(jì)算，則值可查表（見(jiàn)），在時(shí)可采用，具有一定的精度。17幾種方法比較：幾種方法比較：貝塞爾公式一般用于測(cè)量數(shù)據(jù)較多時(shí)用貝塞爾公式一般用于測(cè)量數(shù)據(jù)較多時(shí)用(n10)；別捷爾斯法、極差法、最大誤差法一般用于測(cè)量次數(shù)較少時(shí)別捷爾斯法、極差法、最大誤差法一般用于測(cè)量次數(shù)較少時(shí)（n10)；當(dāng)需要迅速知道測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)用極差法、最大誤差法；當(dāng)需要迅速知道測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)用極差法、最大誤差法；在一些代價(jià)較高的破壞性實(shí)驗(yàn)中，只進(jìn)行一次實(shí)驗(yàn)，要盡可在一些代價(jià)較高的破壞性實(shí)驗(yàn)中，只進(jìn)行

14、一次實(shí)驗(yàn)，要盡可能精確估計(jì)其精度時(shí)，最大誤差法有明顯的優(yōu)勢(shì)；能精確估計(jì)其精度時(shí)，最大誤差法有明顯的優(yōu)勢(shì)；從可靠性來(lái)看貝塞爾公式最高，當(dāng)幾種方法出現(xiàn)沖突時(shí)，以從可靠性來(lái)看貝塞爾公式最高，當(dāng)幾種方法出現(xiàn)沖突時(shí)，以貝塞爾公式為準(zhǔn)。貝塞爾公式為準(zhǔn)。例例2, 仍用例仍用例1的測(cè)量數(shù)據(jù)的測(cè)量數(shù)據(jù),分別用這四種方法計(jì)算測(cè)量列單分別用這四種方法計(jì)算測(cè)量列單次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差。（見(jiàn)筆記本次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差。（見(jiàn)筆記本P12，板書(shū)，板書(shū)22Peded而隨機(jī)誤差在到范圍內(nèi)的概率為：五、測(cè)量的極限誤差五、測(cè)量的極限誤差又稱(chēng)極端誤差，最大誤差，表示測(cè)量結(jié)果的誤差不超過(guò)該誤差又稱(chēng)極端誤差，最大誤差，表示測(cè)量

15、結(jié)果的誤差不超過(guò)該誤差的概率為的概率為p，而超出的概率，而超出的概率1-p可忽略?？珊雎浴＃ㄒ唬﹩未螠y(cè)量的極限誤差（一）單次測(cè)量的極限誤差一般當(dāng)測(cè)量列測(cè)量次數(shù)較多且單次測(cè)量誤差為正態(tài)分布時(shí)，由一般當(dāng)測(cè)量列測(cè)量次數(shù)較多且單次測(cè)量誤差為正態(tài)分布時(shí)，由概率論知識(shí)，可求出單次測(cè)量的極限誤差。由于隨機(jī)誤差正態(tài)概率論知識(shí)，可求出單次測(cè)量的極限誤差。由于隨機(jī)誤差正態(tài)分布曲線所包容的面積相當(dāng)于全部誤差出現(xiàn)的概率，即：分布曲線所包容的面積相當(dāng)于全部誤差出現(xiàn)的概率，即：222112ed19limlim, 168.26%1.9695%295.44%2.5899%399.73%31xxtttPtPtPtPtPtP當(dāng)

16、值足夠小時(shí)，可忽略時(shí)，則把這個(gè)誤差稱(chēng)為測(cè)量列單次測(cè)量的極限誤差即：其中， 為置信系數(shù)。時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，?？梢?jiàn)在時(shí)，超出的概率幾乎不可能出現(xiàn)。lim3 3xt因此，無(wú)特別說(shuō)明時(shí)，通常取，即單次測(cè)量的極限誤差為： 222020,2 2212tttttPedtttedttt運(yùn)用變量代換，令則上式變?yōu)椋浩渲?，為概率積分，不同 的值可由表查出。 2, 12ttt 表明隨機(jī)誤差在范圍內(nèi)出現(xiàn)的概率為則超出的概率為：200limlim (1) 3 ixxxxxxxxliNttt 測(cè)量列的算術(shù)平均值與被測(cè)量真值之差稱(chēng)為算術(shù)平均值誤差，即當(dāng)多個(gè)測(cè)量列的算術(shù)平均值誤差服從正態(tài)分布時(shí)，由概率論同樣得到每列

17、算術(shù)平均值的極限誤差為：式中， 為置信系數(shù)，為算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。通常，則3x。（二）算術(shù)平均值的極限誤差（二）算術(shù)平均值的極限誤差limStudent distribution) 110.01,0.02,0.05)xxtttPnn 當(dāng)測(cè)量列列數(shù)較少時(shí)，應(yīng)按“學(xué)生氏”（或 分布來(lái)計(jì)算算術(shù)平均值的極限誤差，即：式中， 為置信系數(shù)，由給定的置信概率和自由度來(lái)確定。為超出極限誤差的概率（， 為測(cè)量次數(shù)。21例例3 、測(cè)量某電路電流共、測(cè)量某電路電流共5次，測(cè)得數(shù)據(jù)分別為：次，測(cè)得數(shù)據(jù)分別為：168.41，168.54，168.59，168.40，168.50，試給出可，試給出可靠的測(cè)量結(jié)果（單位為靠

18、的測(cè)量結(jié)果（單位為mA）（見(jiàn)筆記）（見(jiàn)筆記P13、板書(shū)）、板書(shū)）22六、不等精度測(cè)量六、不等精度測(cè)量不等精度測(cè)量是指為得到更精確的測(cè)量結(jié)果，往往在不同的不等精度測(cè)量是指為得到更精確的測(cè)量結(jié)果，往往在不同的測(cè)量條件下，測(cè)量條件下，用不同的儀器、不同的測(cè)量方法、不同的測(cè)量次數(shù)及不同的測(cè)量者用不同的儀器、不同的測(cè)量方法、不同的測(cè)量次數(shù)及不同的測(cè)量者進(jìn)行進(jìn)行測(cè)量與對(duì)比。測(cè)量與對(duì)比。常見(jiàn)的不等精度測(cè)量有兩種情況：常見(jiàn)的不等精度測(cè)量有兩種情況：用不同測(cè)量次數(shù)進(jìn)行對(duì)比測(cè)量。用不同測(cè)量次數(shù)進(jìn)行對(duì)比測(cè)量。用不同精度的儀器進(jìn)行對(duì)比測(cè)量。用不同精度的儀器進(jìn)行對(duì)比測(cè)量。顯然，最后的測(cè)量結(jié)果及其精度，不能套用等精度測(cè)量

19、的計(jì)算方法。顯然，最后的測(cè)量結(jié)果及其精度，不能套用等精度測(cè)量的計(jì)算方法。（一）權(quán)的概念（一）權(quán)的概念在不等精度測(cè)量中，各個(gè)測(cè)量結(jié)果的可靠程度不一樣，這個(gè)在不等精度測(cè)量中，各個(gè)測(cè)量結(jié)果的可靠程度不一樣，這個(gè)可靠程度可靠程度可可用一數(shù)值表示，即用一數(shù)值表示，即“權(quán)權(quán)”記為記為p。因此測(cè)量數(shù)據(jù)的權(quán)可理解為：。因此測(cè)量數(shù)據(jù)的權(quán)可理解為：當(dāng)它與另當(dāng)它與另一些測(cè)量數(shù)據(jù)比較時(shí)對(duì)最后的測(cè)量結(jié)果所給予的信賴(lài)程度。一些測(cè)量數(shù)據(jù)比較時(shí)對(duì)最后的測(cè)量結(jié)果所給予的信賴(lài)程度。一般希望可靠程度大的數(shù)據(jù)在最后結(jié)果中所占的比重大一些，而可靠程一般希望可靠程度大的數(shù)據(jù)在最后結(jié)果中所占的比重大一些，而可靠程度小的占的比重小一些。度小

20、的占的比重小一些。23121211122212, , ,mixiijxjjnmmxl llnxlllnxlllnx測(cè)量次數(shù) ，均值 ，精度測(cè)量次數(shù) ，均值 ，精度測(cè)量次數(shù)，均值，精度（二）權(quán)的確定方法（二）權(quán)的確定方法一般可按測(cè)量條件的優(yōu)劣、測(cè)量?jī)x器和測(cè)量方法所能達(dá)到的精度高低、重一般可按測(cè)量條件的優(yōu)劣、測(cè)量?jī)x器和測(cè)量方法所能達(dá)到的精度高低、重復(fù)測(cè)量次數(shù)的多少以及測(cè)量者水平高低來(lái)確定權(quán)的大小，即測(cè)量方法愈完復(fù)測(cè)量次數(shù)的多少以及測(cè)量者水平高低來(lái)確定權(quán)的大小，即測(cè)量方法愈完善，測(cè)量精度愈高，測(cè)量者愈有經(jīng)驗(yàn)，其所得結(jié)果權(quán)也愈大。常用的方法善，測(cè)量精度愈高，測(cè)量者愈有經(jīng)驗(yàn)，其所得結(jié)果權(quán)也愈大。常用的方

21、法有：有：按測(cè)量次數(shù)來(lái)確定按測(cè)量次數(shù)來(lái)確定：當(dāng)測(cè)量條件和測(cè)量者水平都不變時(shí)，則測(cè)量次數(shù)愈：當(dāng)測(cè)量條件和測(cè)量者水平都不變時(shí)，則測(cè)量次數(shù)愈多，其可靠程度也愈大，因此可用測(cè)量次數(shù)來(lái)確定權(quán)的大小。即多，其可靠程度也愈大，因此可用測(cè)量次數(shù)來(lái)確定權(quán)的大小。即Pi=ni。按標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)確定按標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)確定：設(shè)同一個(gè)被測(cè)量有：設(shè)同一個(gè)被測(cè)量有m組不等精度的測(cè)量結(jié)果，這組不等精度的測(cè)量結(jié)果，這m組組測(cè)量是從單次測(cè)量精度相同而測(cè)量次數(shù)不同的一系列測(cè)量值求得的算術(shù)平測(cè)量是從單次測(cè)量精度相同而測(cè)量次數(shù)不同的一系列測(cè)量值求得的算術(shù)平均值。即：等精度測(cè)量，單次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差為均值。即：等精度測(cè)量，單次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差為。241212,m

22、mmmx xxn nn如對(duì)一被測(cè)量進(jìn)行 組不等精度測(cè)量，得到 個(gè)測(cè)量結(jié)果，相應(yīng)的測(cè)量次數(shù)為。12122222222 (1) 1212 (1)2222 1212111imximxxximnnnxxm xnmpnimiipppxxm xmppp由于根據(jù)測(cè)量次數(shù)等于權(quán)數(shù)，即有即：表明：每組測(cè)量結(jié)果的權(quán)與相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差平方成反比，是一無(wú)量綱表明：每組測(cè)量結(jié)果的權(quán)與相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差平方成反比，是一無(wú)量綱的數(shù)，通?？苫癁檎麛?shù)比。的數(shù)，通常可化為整數(shù)比。（三）加權(quán)算術(shù)平均值（三）加權(quán)算術(shù)平均值12121111212,mnnniimiiiimmlllxxxnnn因此有： 251211211111 1221 1221

23、1212112 mnnnmiimiiiiiimiimmmmimmmiimxlllnp xn xn xn xp xp xp xxnnnpppnxpppp根據(jù)等精度測(cè)量算術(shù)平均值原理，全部測(cè)量的算術(shù)平均值為：即：此時(shí) 稱(chēng)為加權(quán)算術(shù)平均值。當(dāng)各組權(quán)數(shù)相等時(shí)，即，11miixxm則，此即為等精度測(cè)量的算術(shù)平均值，可見(jiàn)等精度測(cè)量是不等精度測(cè)量的特例。00101 xmiiimiixxpxxxp同理，為簡(jiǎn)化計(jì)算可取接近 的一個(gè)值 ，則：261iiiixpp x具體做法是：將不等精度測(cè)量的各組測(cè)量結(jié)果 皆乘以自身權(quán)數(shù)的平方根，則得到的新值的權(quán)數(shù)都為，即變?yōu)榈染葴y(cè)量列。（四）單位權(quán)的概念（四）單位權(quán)的概念22

24、2222 (i1m) (p1)1iiiixixxppp由權(quán)數(shù)的推導(dǎo)知：，也就是：當(dāng)時(shí)式中 為等精度單次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差，其權(quán)數(shù)為 ，因此稱(chēng)為單位權(quán)，而為單位權(quán)的方差，當(dāng)其值已知時(shí)，只要知道各組的權(quán)數(shù)，就可得到各組方差。因此，在不等精度測(cè)量中，為計(jì)算需要，可將因此，在不等精度測(cè)量中，為計(jì)算需要，可將不等精度測(cè)不等精度測(cè)量列轉(zhuǎn)化為等精度測(cè)量列量列轉(zhuǎn)化為等精度測(cè)量列，用等精度測(cè)量的計(jì)算公式來(lái)處，用等精度測(cè)量的計(jì)算公式來(lái)處理不等精度。采用的方法是使權(quán)數(shù)不同的不等精度測(cè)量列理不等精度。采用的方法是使權(quán)數(shù)不同的不等精度測(cè)量列轉(zhuǎn)化為具有單位權(quán)的等精度測(cè)量列，即轉(zhuǎn)化為具有單位權(quán)的等精度測(cè)量列，即單位權(quán)化單位權(quán)化。2

25、7121211, 1 imxixmmiiiiiimmx xximnm nxnnnnpnp對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行 組不等精度測(cè)量，得到 個(gè)測(cè)量結(jié)果，當(dāng)已知單位權(quán)測(cè)得值的標(biāo)準(zhǔn)差 時(shí)，由于而全部測(cè)得值（個(gè)）測(cè)得值的算術(shù)平均值 的標(biāo)準(zhǔn)差為：由于，111 immiiixxmmiiiinppp比較上兩式得：（五）加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差（五）加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差1imixiixpp可見(jiàn)，當(dāng)各組測(cè)量的總權(quán)數(shù)已知時(shí)，可由任一組的標(biāo)準(zhǔn)差和相應(yīng)的權(quán) ，或者由單位權(quán)的標(biāo)準(zhǔn)差 求得加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。加權(quán)算術(shù)加權(quán)算術(shù)平均值標(biāo)平均值標(biāo)準(zhǔn)差準(zhǔn)差28222111 11iiiiiixxiixiiiiiixmmmiixixiii

26、vxxp vp xp xp xp vvp vpvmm當(dāng)各組的標(biāo)準(zhǔn)差未知時(shí)，須由各測(cè)量結(jié)果的殘余誤差來(lái)計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。各組的殘余誤差為：將其單位權(quán)化得：由于各組新值已為等精度測(cè)量列的測(cè)量結(jié)果，也為等精度測(cè)量列的殘余誤差，則代入等精度測(cè)量的公式，得到單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差為：21111 (1)imixixmmiiiimpvmppxm上式由測(cè)量結(jié)果的殘余誤差求得加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。應(yīng)注意當(dāng)組數(shù) 較多時(shí)，才能得到較精確的值，并且能不用的時(shí)候盡量不要用。由殘余誤差由殘余誤差求出加權(quán)算求出加權(quán)算術(shù)平均值的術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差29例例4、 工作基準(zhǔn)米尺在連續(xù)三天內(nèi)與國(guó)家基準(zhǔn)器比較，工作基準(zhǔn)米尺在連續(xù)

27、三天內(nèi)與國(guó)家基準(zhǔn)器比較，得到工作基準(zhǔn)米尺的平均長(zhǎng)度為：得到工作基準(zhǔn)米尺的平均長(zhǎng)度為：999.9425mm（三（三次測(cè)量的），次測(cè)量的），999.9416mm（兩次測(cè)量的），（兩次測(cè)量的），999419mm（五次測(cè)量的），求最后測(cè)量結(jié)果。（五次測(cè)量的），求最后測(cè)量結(jié)果。(見(jiàn)筆見(jiàn)筆記記p16，板書(shū)），板書(shū)）30。為均勻分布的一半寬度：其方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為aaa3,322七、隨機(jī)誤差的其他分布七、隨機(jī)誤差的其他分布 隨著誤差研究的深入和應(yīng)用的廣泛，發(fā)現(xiàn)許多隨機(jī)誤差呈隨著誤差研究的深入和應(yīng)用的廣泛，發(fā)現(xiàn)許多隨機(jī)誤差呈現(xiàn)非正態(tài)分布，其實(shí)際分布較為復(fù)雜，常見(jiàn)的其他分布有：現(xiàn)非正態(tài)分布，其實(shí)際分布較為復(fù)雜，常見(jiàn)的其他分布有：（一）均勻分布（一）均勻分布 又稱(chēng)又稱(chēng)矩形分布矩形分布或或等概率分布等概率分布。其特點(diǎn)是：誤差有一確定的。其特點(diǎn)是：誤差有一確定的范圍，在此范圍內(nèi)，誤差出現(xiàn)的概率各處相等。如儀器度盤(pán)刻范圍，在此范圍內(nèi)，誤差出現(xiàn)的概率各處相等。如儀器度盤(pán)刻度誤差所引起的誤差；儀器傳動(dòng)