1、1 1 梅森增益公式梅森增益公式11nkkkpp 為從源接點到阱接點的傳遞函數(shù)（或總增益）； 為從源接點到阱接點的前向通路總數(shù)； 為從源接點到阱接點的第k條前向通路總增益； 為流圖特征式； 為流圖余因子式。pnkpk 余因子式余因子式等于流圖特征式中除去與第k條前向通路相接觸的回路增益項（包括回路增益的乘積項）以后的余項。上一講回顧：上一講回顧：2 2 由梅森增益公式計算傳遞函數(shù)由梅森增益公式計算傳遞函數(shù)步驟： 1）分析系統(tǒng)結構圖 2）根據(jù)結構圖畫出信號流圖 3）分析信號流圖 找出從源接點到阱接點的前向通路個數(shù)及其總增益 找出系統(tǒng)回路和不接觸回路的個數(shù)及其總增益 寫出系統(tǒng)特征式及余因子式k 4

2、）根據(jù)梅森增益公式梅森增益公式列寫傳遞函數(shù)3 3 對于一個給定的系統(tǒng)，特征表達式總是不變的對于一個給定的系統(tǒng)，特征表達式總是不變的l 分析控制系統(tǒng)分析控制系統(tǒng)l第一步第一步 建立模型建立模型l第二步第二步 分析控制性能分析控制性能l 分析方法包括分析方法包括l 時域分析法時域分析法l 頻域分析法頻域分析法l 根軌跡法根軌跡法 如果系統(tǒng)系統(tǒng)模型是如果系統(tǒng)系統(tǒng)模型是狀態(tài)狀態(tài)空間模型空間模型，可以運用，可以運用狀態(tài)狀態(tài)空間分析與設計方法空間分析與設計方法。 本章研究線性控制系統(tǒng)性能分析的本章研究線性控制系統(tǒng)性能分析的時域法時域法。3-1 3-1 系統(tǒng)時間響應的性能指標3-2 3-2 一階系統(tǒng)的時域分

3、析3-3 3-3 二階系統(tǒng)的時域分析3-4 3-4 高階系統(tǒng)的時域分析3-5 3-5 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析3-6 3-6 線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計算3-7 3-7 控制系統(tǒng)時域設計1 1、動態(tài)性能計算、動態(tài)性能計算1 1）了解一階、二階系統(tǒng)的數(shù)學模型和典型響應的特點。）了解一階、二階系統(tǒng)的數(shù)學模型和典型響應的特點。 2 2）牢固掌握一階、二階系統(tǒng)特征參數(shù)及欠阻尼系統(tǒng)動態(tài)）牢固掌握一階、二階系統(tǒng)特征參數(shù)及欠阻尼系統(tǒng)動態(tài) 性能計算。性能計算。3 3）掌握典型欠阻尼二階系統(tǒng)特征參數(shù)、極點位置與動態(tài)）掌握典型欠阻尼二階系統(tǒng)特征參數(shù)、極點位置與動態(tài) 性能的關系性能的關系4 4）了解附加閉環(huán)零極點對動態(tài)性能的

4、影響，并理解主導）了解附加閉環(huán)零極點對動態(tài)性能的影響，并理解主導 極點的概念極點的概念本章要求：本章要求：2 2、穩(wěn)定性判斷穩(wěn)定性判斷1 1）正確理解系統(tǒng)穩(wěn)定性概念及穩(wěn)定的充要條件。）正確理解系統(tǒng)穩(wěn)定性概念及穩(wěn)定的充要條件。 2 2）熟練）熟練運用代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)判定系統(tǒng)穩(wěn)定性，并進行分析計算。運用代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)判定系統(tǒng)穩(wěn)定性，并進行分析計算。3 3、穩(wěn)態(tài)誤差計算、穩(wěn)態(tài)誤差計算1 1）正確理解系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的概念及終值定理應用的限制條件。）正確理解系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的概念及終值定理應用的限制條件。 2 2）牢固掌握計算穩(wěn)態(tài)誤差的一般方法。）牢固掌握計算穩(wěn)態(tài)誤差的一般方法。3 3）牢固掌握靜態(tài)誤差系數(shù)法及其應

5、用的限制條件。）牢固掌握靜態(tài)誤差系數(shù)法及其應用的限制條件。 3-13-1 系統(tǒng)時間響應的性能指標系統(tǒng)時間響應的性能指標 實際物理系統(tǒng)的性質(zhì)可用系統(tǒng)數(shù)學模型實際物理系統(tǒng)的性質(zhì)可用系統(tǒng)數(shù)學模型描述，一旦得到系統(tǒng)的數(shù)學模型，就可對系描述，一旦得到系統(tǒng)的數(shù)學模型，就可對系統(tǒng)進行分析、求解，從而確定系統(tǒng)的性能指統(tǒng)進行分析、求解，從而確定系統(tǒng)的性能指標。標。 一般通過對這些系統(tǒng)施加各種一般通過對這些系統(tǒng)施加各種典型（試典型（試驗、測試）信號驗、測試）信號，比較它們的響應，能否滿，比較它們的響應，能否滿足工程要求。足工程要求。系統(tǒng)的微分方程系統(tǒng)的微分方程輸入信號輸入信號r(t)r(t)輸出信號輸出信號c(t

6、)c(t)1 1 典型輸入信號典型輸入信號典型信號選取條件典型信號選取條件 (1) (1) 信號（實驗室）容易產(chǎn)生信號（實驗室）容易產(chǎn)生(2) (2) 盡可能接近實際工作時的外加信號盡可能接近實際工作時的外加信號(3) (3) 反映系統(tǒng)最不利的工作反映系統(tǒng)最不利的工作( (環(huán)境環(huán)境) )條件條件n 許多許多設計準則設計準則就建立在這些典型信號的基礎上就建立在這些典型信號的基礎上n 系統(tǒng)對典型信號的響應特性與實際輸入信號的響應系統(tǒng)對典型信號的響應特性與實際輸入信號的響應 特性之間，存在著一定的關系。特性之間，存在著一定的關系。n 采用典型信號來評價系統(tǒng)性能是合理的。因為在所有可采用典型信號來評價

7、系統(tǒng)性能是合理的。因為在所有可能的輸入信號中，往往選取最不利的信號作為系統(tǒng)的典型能的輸入信號中，往往選取最不利的信號作為系統(tǒng)的典型輸入信號輸入信號工程上典型測試信號（輸入函數(shù)）工程上典型測試信號（輸入函數(shù)）時域函數(shù)：r(t)r(t) 單位脈沖 (t) 單位階躍單位階躍 單位速度 單位加速度 單位正弦 復域：F（s） 221ttsinS122s 1 tt1圖形 1r(t)r(t)ooooo21S31S0tttttt 動態(tài)過程與穩(wěn)態(tài)過程動態(tài)過程與穩(wěn)態(tài)過程（1 1）動態(tài)過程）動態(tài)過程（過渡過程或瞬態(tài)響應（過渡過程或瞬態(tài)響應) ) 在典型輸入信號作用下，系統(tǒng)愉出量從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)在典型輸入信號作用

8、下，系統(tǒng)愉出量從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應過程。當?shù)捻憫^程。當r(tr(t)=1(t)=1(t)時，系統(tǒng)響應可能為時，系統(tǒng)響應可能為: :（2 2）穩(wěn)態(tài)過程）穩(wěn)態(tài)過程（穩(wěn)態(tài)響應）（穩(wěn)態(tài)響應） 系統(tǒng)在典型信號輸入下，當時間系統(tǒng)在典型信號輸入下，當時間t t趨于無窮時，系統(tǒng)輸出量的趨于無窮時，系統(tǒng)輸出量的表現(xiàn)方式。表現(xiàn)方式。絕對穩(wěn)定性、相對穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差絕對穩(wěn)定性、相對穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差（1 1）絕對穩(wěn)定性）絕對穩(wěn)定性 如果控制系統(tǒng)如果控制系統(tǒng)沒有受到任何擾動沒有受到任何擾動，或，或輸入信號輸入信號的作用，的作用，系統(tǒng)的輸出量系統(tǒng)的輸出量保持保持在某一狀態(tài)上，控制系統(tǒng)便處于在某一狀態(tài)上，控制系統(tǒng)便

9、處于平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)。如果線性定常控制系統(tǒng)受到如果線性定?？刂葡到y(tǒng)受到擾動量擾動量的作用后，輸出量最終又的作用后，輸出量最終又返回到它的平衡狀態(tài)，那么，這種系統(tǒng)是返回到它的平衡狀態(tài)，那么，這種系統(tǒng)是穩(wěn)定的穩(wěn)定的。如果線性如果線性定?？刂葡到y(tǒng)受到定常控制系統(tǒng)受到擾動量擾動量作用后，輸出量顯現(xiàn)為持續(xù)的振蕩作用后，輸出量顯現(xiàn)為持續(xù)的振蕩過程或輸出量無限制的偏離其平衡狀態(tài)，那么系統(tǒng)便是過程或輸出量無限制的偏離其平衡狀態(tài)，那么系統(tǒng)便是不穩(wěn)不穩(wěn)定的定的。穩(wěn)定穩(wěn)定不穩(wěn)定不穩(wěn)定絕對穩(wěn)定性是前提絕對穩(wěn)定性是前提 絕對穩(wěn)定性、相對穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差絕對穩(wěn)定性、相對穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差（2 2）相對穩(wěn)定性）相對穩(wěn)定性 因

10、為物理控制系統(tǒng)包含有一些貯能元件，所以當輸入量因為物理控制系統(tǒng)包含有一些貯能元件，所以當輸入量作用于系統(tǒng)時，系統(tǒng)的輸出量不能立即跟隨輸入量的變化，作用于系統(tǒng)時，系統(tǒng)的輸出量不能立即跟隨輸入量的變化，而是在系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài)之前，表現(xiàn)為而是在系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài)之前，表現(xiàn)為瞬態(tài)響應過程瞬態(tài)響應過程。對于實際。對于實際控制系統(tǒng)，在達到穩(wěn)態(tài)以前，它的瞬態(tài)響應，常常表現(xiàn)為阻控制系統(tǒng)，在達到穩(wěn)態(tài)以前，它的瞬態(tài)響應，常常表現(xiàn)為阻尼振蕩過程。尼振蕩過程。稱動態(tài)過程。稱動態(tài)過程。（3 3）穩(wěn)態(tài)誤差）穩(wěn)態(tài)誤差 如果在穩(wěn)態(tài)時，系統(tǒng)的輸出量與輸入量不能完全吻合，如果在穩(wěn)態(tài)時，系統(tǒng)的輸出量與輸入量不能完全吻合，就認為系統(tǒng)有穩(wěn)態(tài)誤差

11、。這個誤差表示系統(tǒng)的準確度。就認為系統(tǒng)有穩(wěn)態(tài)誤差。這個誤差表示系統(tǒng)的準確度。l 在分析控制系統(tǒng)時，我們既要研究系統(tǒng)的瞬態(tài)響應，同時也要在分析控制系統(tǒng)時，我們既要研究系統(tǒng)的瞬態(tài)響應，同時也要研究系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性，以確定對輸入信號跟蹤的誤差大小。研究系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性，以確定對輸入信號跟蹤的誤差大小。 在許多實際情況中，控制系統(tǒng)所需要的性能指標，常以在許多實際情況中，控制系統(tǒng)所需要的性能指標，常以初始條件為零，對（單位）階躍輸入信號的瞬態(tài)響應，以初始條件為零，對（單位）階躍輸入信號的瞬態(tài)響應，以時時域量值的形式給出。域量值的形式給出。 實際控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應，在達到穩(wěn)態(tài)以前，常常表現(xiàn)實際控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響

12、應，在達到穩(wěn)態(tài)以前，常常表現(xiàn)為阻尼振蕩過程，為了說明控制系統(tǒng)對單位階躍輸入信號的為阻尼振蕩過程，為了說明控制系統(tǒng)對單位階躍輸入信號的瞬態(tài)響應特性，通常采用下列一些性能指標。瞬態(tài)響應特性，通常采用下列一些性能指標。 動態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能動態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能動態(tài)性能指標動態(tài)性能指標0tMp超調(diào)量允許誤差10.90.50.1trtpts圖3-2表示性能指標td,tr,tp,Mp和ts的單位階躍響應曲線tdh(t)0.02或0.05)(h)(h)(h)(h延遲時間 ：l（Delay Time）響應曲線第一次達到穩(wěn)態(tài)值的一半所需的時間。上升時間l（Rise Time）響應曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%，所

13、需的時間。上升時間越短，響應速度越快 dt:rt峰值時間 （Peak Time）：響應曲線達到過調(diào)量的第一個峰值所需要的時間。 pt0tMp超調(diào)量允許誤差10.90.50.1trtpts圖3-2表示性能指標td,tr,tp,Mp和ts的單位階躍響應曲線tdh(t)0.02或0.05)(h)(h)(h)(h調(diào)節(jié)時間ts ：（Settling Time）響應曲線達到并永遠永遠保持在一個允許誤差范圍內(nèi)，所需的最短時間。用穩(wěn)態(tài)值的百分數(shù)（通常取5%或2%）作，超調(diào)量l（Maximum Overshoot）：指響應的最大偏離量h(tp)于終值之差的百分比，即 %100)()()(%hhthp rt或pt

14、td評價系統(tǒng)的響應速度；st同時反映響應速度和阻尼程度的綜合性指標。%評價系統(tǒng)的阻尼程度。阻尼越大，超調(diào)越小阻尼越大，超調(diào)越小注：以上各種性能指標中，延遲時間、上升時間、峰值時間和調(diào)節(jié)時間都表示動態(tài)過程進行的快慢程度，是快速性指標快速性指標。超調(diào)量反映動態(tài)過程振蕩激烈程度，是平穩(wěn)性指標平穩(wěn)性指標，也稱相相對穩(wěn)定性能對穩(wěn)定性能。超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間是反映系統(tǒng)動態(tài)性能好壞的兩個最主要指標。穩(wěn)態(tài)性能指標穩(wěn)態(tài)性能指標 穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差是描述系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的一種性能指標，是當是描述系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的一種性能指標，是當時間趨于無窮時，系統(tǒng)單位階躍響應的穩(wěn)態(tài)值與輸入量之時間趨于無窮時，系統(tǒng)單位階躍響應的穩(wěn)態(tài)值與輸入量

15、之差，即差，即)(1cess注：注：性能指標是就穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)而言的。性能指標是就穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)而言的。3.2 3.2 一階一階系統(tǒng)的時域分析系統(tǒng)的時域分析l 用一階微分方程描述的控制系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。圖（a）所示的RC電路，其微分方程為i(t)+r(t)c(t)+（a） 電路圖RC)(trUdtduRCcc)()()(trtCtCT其中C(t)為電路輸出電壓，r(t)為電路輸入電壓，T=RC為時間常數(shù)。當初使條件為零時，其傳遞函數(shù)為 11)()()(TSsRsCsR(s)C(s)（b）方塊圖I(s)R(s)C(s)（c）等效方塊圖這種系統(tǒng)實際上是一個非周期性的慣性環(huán)節(jié)。 下面分別就不同的典型輸入信號，分

16、析該系統(tǒng)的時域響應。1 1 單位階躍響應單位階躍響應因為單位階躍函數(shù)的拉氏變換為因為單位階躍函數(shù)的拉氏變換為SsR1)(則系統(tǒng)的輸出由下式可知為則系統(tǒng)的輸出由下式可知為 TSSSTSsRssC111111)()()(對上式取拉氏反變換，得對上式取拉氏反變換，得Ttetc1)()0( t11)()()(TSsRsCs系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 或：或：CttCsstc)(其中其中1Css代表代表穩(wěn)態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量；TteCtt代表代表瞬態(tài)分量瞬態(tài)分量，t t趨于無窮大時，趨于無窮大時， 衰減為零。衰減為零。Ctt注：注：傳遞函數(shù)的極點是傳遞函數(shù)的極點是產(chǎn)生系統(tǒng)響應的瞬態(tài)分量。產(chǎn)生系統(tǒng)響應的瞬

17、態(tài)分量。這一個結論不僅適用于一這一個結論不僅適用于一階線性定常系統(tǒng)，而且也階線性定常系統(tǒng)，而且也適用于高階線性定常系統(tǒng)。適用于高階線性定常系統(tǒng)。響應曲線的初始斜率為：響應曲線的初始斜率為：00( )11tTttdc tedtTT說明一階系統(tǒng)的單位階躍響應如果以初速度等速（說明一階系統(tǒng)的單位階躍響應如果以初速度等速（t/Tt/T）上升至穩(wěn)態(tài)值上升至穩(wěn)態(tài)值1 1，所需時間恰好為，所需時間恰好為T T。1063.2%86.5%95%98.2%99.3%T2T3T4T5T0.632tc(t)T1Ttetc1)(一階系統(tǒng)的單位階躍響應曲線階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差為零階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差為零: :Ttd69.

18、 0Ttr20. 23 4 (5% 2%stTT ）不存在和ptTtetctrte11)()()(0)(limteetss動態(tài)性能指標：動態(tài)性能指標： 系統(tǒng)的時間常數(shù)系統(tǒng)的時間常數(shù)T T越小越?。☉T性越?。☉T性越小），調(diào)整時間，調(diào)整時間t ts s越小，響越小，響應過程的快速性也越好。應過程的快速性也越好。當當t tT T時，從一階系統(tǒng)的單位階躍響應求得時，從一階系統(tǒng)的單位階躍響應求得 632. 01)(1eTc參數(shù)未知，可由一階系統(tǒng)單位階參數(shù)未知，可由一階系統(tǒng)單位階躍響應實驗曲線確定躍響應實驗曲線確定T T1063.2%86.5%95%98.2%99.3%T2T3T4T5T0.632tc(

19、t)T1Ttetc1)(例：某一階系統(tǒng)如圖，（1）求調(diào)節(jié)時間ts1 . 0)(sR-)(sC)(sEs100解：1 . 0)/100(1100)()(1)()(sssHsGsGs10/11010100ss與標準形式對比得：sTT3 . 03t 1 . 0101s（2）若要求ts0.1，求反饋系數(shù)Kh解：hhhKsKsKss100/11/100.1100)( 0.3 31 . 01001 s1 . 03s1 . 0tshhKKT得：，即，即要求hK)(sR-)(sC)(sEs100一階系統(tǒng)的單位階躍響應特點：一階系統(tǒng)的單位階躍響應特點：1 1）在在T=0T=0時，斜率最大，并隨時間的推移而下降；

20、時，斜率最大，并隨時間的推移而下降；2 2）可用時間常數(shù)可用時間常數(shù)T T去度量系統(tǒng)輸出量的數(shù)值，可用去度量系統(tǒng)輸出量的數(shù)值，可用 實驗法測定一階系統(tǒng)的時間常數(shù)，或判斷所測系統(tǒng)實驗法測定一階系統(tǒng)的時間常數(shù)，或判斷所測系統(tǒng)是否屬于一階系統(tǒng)；是否屬于一階系統(tǒng)；3 3）動態(tài)性能與時間常數(shù)有關，動態(tài)性能與時間常數(shù)有關，0.69 ,dtTTtr20. 23 4 (5% 2%stTT ）pt和 不存在4 4）系統(tǒng)的時間常數(shù)系統(tǒng)的時間常數(shù)T T越?。☉T性越?。?，調(diào)節(jié)時間越?。☉T性越小），調(diào)節(jié)時間 越小，響應過程越快。反之，越小，響應過程越快。反之， T T越大（慣性越大）越大（慣性越大）響應過程越慢；響應過

21、程越慢；5 5）系統(tǒng)的終值為系統(tǒng)的終值為1 1，在階躍信號下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤，在階躍信號下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零；差為零；6 6）是一個單調(diào)上升的指數(shù)曲線。是一個單調(diào)上升的指數(shù)曲線。st2 2 一階系統(tǒng)的單位脈沖響應一階系統(tǒng)的單位脈沖響應 當當輸入信號為理想單位脈沖函數(shù)時，輸入信號為理想單位脈沖函數(shù)時，R(S)1，輸出量的輸出量的拉氏變換與系統(tǒng)的傳遞函數(shù)相同，即拉氏變換與系統(tǒng)的傳遞函數(shù)相同，即 1( )1C sTS求拉氏反變換，得到單位脈沖相應表達式：求拉氏反變換，得到單位脈沖相應表達式：1( ),(0)tTc tetT單位脈沖響應特點：單位脈沖響應特點：1 1）響應曲線的斜率為）響應曲線的斜率為

22、 t=0 t=0，斜率最大，斜率最大 ；2 2）閉環(huán)傳遞函數(shù)與脈沖傳遞函數(shù)包）閉環(huán)傳遞函數(shù)與脈沖傳遞函數(shù)包含相同的動態(tài)信息，利用脈沖響應含相同的動態(tài)信息，利用脈沖響應可以測得系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)；可以測得系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)；3) 3) 動態(tài)特性只用動態(tài)特性只用tsts表示，且表示，且tsts=3T=3T4 4）穩(wěn)態(tài)誤差為零）穩(wěn)態(tài)誤差為零5 5）曲線單調(diào)下降）曲線單調(diào)下降2( )1tTdc tedtT 21T工程上常用一定寬度工程上常用一定寬度b（b0.1T）和有限幅度的矩形脈沖來代替和有限幅度的矩形脈沖來代替t趨于無窮大時， 衰減為零。3 3 一階一階系統(tǒng)的單位斜坡響應系統(tǒng)的單位斜坡響應2S1R(s

23、) TSTSTSSTSsRssC11111)()()(222當 對上式求拉氏反變換，得單位斜坡響應表達式：TtTtTeTteTttc)1 ()(其中TtCss 代表穩(wěn)態(tài)分量；TtTeCtt 代表暫態(tài)分量；Ctt一階系統(tǒng)能跟蹤斜坡輸入信號。一階系統(tǒng)能跟蹤斜坡輸入信號。由于系統(tǒng)存在慣性，對應的輸出信號在數(shù)值上要滯后于輸入由于系統(tǒng)存在慣性，對應的輸出信號在數(shù)值上要滯后于輸入信號一個常量信號一個常量T T。 減少時間常數(shù)減少時間常數(shù)T T不僅可以不僅可以加快瞬態(tài)響應的速度加快瞬態(tài)響應的速度，還可，還可減少系統(tǒng)減少系統(tǒng)跟蹤斜坡信號的穩(wěn)態(tài)誤差跟蹤斜坡信號的穩(wěn)態(tài)誤差。 ( ) ( )( )()limlimlimtTsstttee tr tc tttTTeT顯然，一階系統(tǒng)的單位斜坡響應存在誤差，穩(wěn)態(tài)誤差為：顯然，一階系統(tǒng)的單位斜坡響應存在誤差，穩(wěn)態(tài)誤差為：4 4 一階系統(tǒng)的單位加速度響應一階系統(tǒng)的單位加速度響應221)(ttr 31)(SsR TSTSTSTSTSDSCSBSASTSsRssC1111)11()()