1、 數(shù)學(xué)建模課程簡介數(shù)學(xué)建模課程簡介 數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模 數(shù)學(xué)建模示例數(shù)學(xué)建模示例 數(shù)學(xué)建模的方法與步驟數(shù)學(xué)建模的方法與步驟 數(shù)學(xué)建模競賽簡介數(shù)學(xué)建模競賽簡介 數(shù)學(xué)建模論文的寫作數(shù)學(xué)建模論文的寫作數(shù)學(xué)建模概述數(shù)學(xué)建模概述數(shù)學(xué)建模課程的產(chǎn)生數(shù)學(xué)建模課程的產(chǎn)生數(shù)學(xué)建模是一門新興的學(xué)科，20世紀(jì)70年代初誕生于英、美等現(xiàn)代工業(yè)國家。在短短幾十年的歷史瞬間輻射至全球大部分國家和地區(qū)。數(shù)學(xué)建模就是通過計算得到的結(jié)果來解釋實際問題，并接受實際的檢驗，來建立數(shù)學(xué)模型的全過程。當(dāng)需要從定量的角度分析和研究一個實際問題時，人們就要在深入調(diào)查研究、了解對象信息、作出簡化假設(shè)、分析內(nèi)在規(guī)律等工作的基

2、礎(chǔ)上，用數(shù)學(xué)的符號和語言作表述來建立數(shù)學(xué)模型。80年代初，我國高等院校也陸續(xù)開設(shè)了數(shù)學(xué)建模課程，隨著數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動（包括數(shù)學(xué)建模課程、數(shù)學(xué)建模競賽和數(shù)學(xué)（建模）試驗課程等）的開展，這門課越來越得到重視，也深受廣大學(xué)生的喜愛。原因：一是由于新技術(shù)特別是計算機技術(shù)的飛速發(fā)展，大量的實際問題需要用計算機來解決，而計算機與實際問題之間需要數(shù)學(xué)模型來溝通。二是社會對大學(xué)生的要求越來越高 ，大學(xué)生畢業(yè)后要適應(yīng)社會的需求，一到工作崗位就能創(chuàng)造價值。課程特點課程特點很強的實用性：教材的內(nèi)容來自于實際。知識的廣泛性：依賴于各方面的基礎(chǔ)知識。內(nèi)容的趣味性：有些問題就象是做游戲，引人入勝。教學(xué)方式的多樣性：教師講

3、授方式，小組討論方式， 學(xué)生報告方式，課堂教學(xué)方式，課外教學(xué)方式等。教學(xué)目的教學(xué)目的培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的綜合能力。1）“雙向翻譯”能力 2）運用數(shù)學(xué)思想進行綜合分析能力3）結(jié)合其他專業(yè)特別是應(yīng)用計算機解決問題的能力4）觀察力和想象力 5）提高撰寫科研論文的能力6）團結(jié)協(xié)作的精神教學(xué)參考書教學(xué)參考書1 姜啟源,謝金星,葉俊.數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型(第三版).高等教育出版社.2 楊啟帆等.數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模.高等教育出版社.3 周義倉,赫孝良.數(shù)學(xué)建模實驗數(shù)學(xué)建模實驗.西安交通大學(xué)出版社.4 蔡鎖章.數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模.海洋出版社.玩具、照片、飛機、火箭模型玩具、照片、飛機、火箭模型

4、實物模型實物模型水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機 物理模型物理模型地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖 符號模型符號模型模型模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分是為了一定目的，對客觀事物的一部分進行簡縮、抽象、提煉出來的進行簡縮、抽象、提煉出來的原型原型的替代物的替代物模型模型集中反映了集中反映了原型原型中人們需要的那一部分特征中人們需要的那一部分特征數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模你碰到過的數(shù)學(xué)模型你碰到過的數(shù)學(xué)模型“航行問題航行問題”用用 x 表示船速，表示船速，y 表示水速，列出方程：表示水速，列出方程：75050)(75030)(yxyx答：船速每

5、小時答：船速每小時20千米千米/ /小時小時. .甲乙兩地相距甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順?biāo)叫行枨?，船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時，小時，從乙到甲逆水航行需從乙到甲逆水航行需50小時，問船的速度是多少小時，問船的速度是多少?x =20y =5求解求解航行問題航行問題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟 作出簡化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）；作出簡化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）； 用符號表示有關(guān)量（用符號表示有關(guān)量（x, y表示船速和水速）；表示船速和水速）； 用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以 時間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）；時間）列出數(shù)

6、學(xué)式子（二元一次方程）； 求解得到數(shù)學(xué)解答（求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20, y=5）；）； 回答原問題（船速每小時回答原問題（船速每小時20千米千米/小時）。小時）。數(shù)學(xué)模型：數(shù)學(xué)模型：1）近藤次郎（日）的定義：數(shù)學(xué)模型是將現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型是將現(xiàn)象的特征或本質(zhì)給以數(shù)學(xué)表述的數(shù)學(xué)關(guān)系式。特征或本質(zhì)給以數(shù)學(xué)表述的數(shù)學(xué)關(guān)系式。它是模型的一種。2）本德（美）的定義：數(shù)學(xué)模型是關(guān)于部分現(xiàn)實數(shù)學(xué)模型是關(guān)于部分現(xiàn)實世界和為一種特殊目的而作的一個抽象的簡化的數(shù)世界和為一種特殊目的而作的一個抽象的簡化的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。學(xué)結(jié)構(gòu)。3）姜啟源（中）的定義：是指對于現(xiàn)實世界的某是指對于現(xiàn)實世界的某一特定對象，為了某個特定的目的，

7、做出一些必要一特定對象，為了某個特定的目的，做出一些必要的簡化和假設(shè)，運用的簡化和假設(shè)，運用 適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具得到一個數(shù)學(xué)適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具得到一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)：是指數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)關(guān)系式、數(shù)學(xué)命題、圖形圖表等，這些基于數(shù)學(xué)思想與方法的數(shù)學(xué)問題。總之，數(shù)學(xué)模型是對實際問題的一種抽象，基于數(shù)學(xué)理論和方法，用數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)關(guān)系式、數(shù)學(xué)命題、圖形圖表等來刻畫客觀事物的本質(zhì)屬性與其內(nèi)在聯(lián)系。建立數(shù)學(xué)模型的全過程建立數(shù)學(xué)模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗等）（包括表述、求解、解釋、檢驗等）數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)建模建模數(shù)學(xué)建模過程數(shù)學(xué)建模過程現(xiàn)實對象的信息數(shù)學(xué)模型的解答現(xiàn)實對象的解答數(shù)學(xué)模型表述（歸

8、納）求解（演繹）解釋驗證現(xiàn)實對象與數(shù)學(xué)模型的關(guān)系數(shù)學(xué)模型的特點數(shù)學(xué)模型的特點模型的逼真性和可行性模型的逼真性和可行性模型的漸進性模型的漸進性模型的強健性模型的強健性模型的可轉(zhuǎn)移性模型的可轉(zhuǎn)移性模型的非預(yù)制性模型的非預(yù)制性模型的條理性模型的條理性模型的技藝性模型的技藝性模型的局限性模型的局限性 數(shù)學(xué)建模示例數(shù)學(xué)建模示例椅子的穩(wěn)定性問題椅子的穩(wěn)定性問題問題：將四條腿一樣長的正方形椅子放在不平的地面上，是否總能設(shè)法使它的四條腿同時著地，即放穩(wěn)。假設(shè)假設(shè) 1）地面為光滑曲面； 2）相對地面的彎曲程度而言，椅子的腿是足夠長的； 3）只要有一點著地就視為已經(jīng)著地，即將與地面的接 觸視為幾何上的點接觸； 4

9、）椅子的中心不動。xyAABBCCDDO2 2 建模分析建模分析)(g表示A,C與地面距離之和)(f表示B,D與地面距離之和則由三點著地，有200)()(gf不失一般性，設(shè)初始時：0)0(,0)0(,0fg假設(shè)： 是 的連續(xù)函數(shù)， 且 對任意 ，求證：至少存在 ，使得數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)命題：數(shù)學(xué)命題：.000)()( gf)(),(gf,)(00g)2,0(00)()(gf,)(00 f4 4 模型求解模型求解證明： 將椅子轉(zhuǎn)動 ，對角線互換，由2, 0)0(, 0)0(fg可得,0)2(,0)2(gf令 , 0)0()0()0( ),()()(gfhgfh則 ,0)2()2()2( gfh

10、而由 的連續(xù)性， 根據(jù)介值定理，在 中至少存在一點 ,使得 ,即)(h0)(0h)2,0(0)()(00gf0)()(00gf又0)()(00gf所以結(jié)論：能放穩(wěn)。連續(xù)函數(shù)的介值定理連續(xù)函數(shù)的介值定理. 0)(,),( 0,)()(,)(fbabfafbaxf使內(nèi)至少存在一點則在開區(qū)間上連續(xù)，在閉區(qū)間若oxyab建立數(shù)學(xué)模型的方法和步驟建立數(shù)學(xué)模型的方法和步驟方法方法 機理分析法：以經(jīng)典數(shù)學(xué)為工具，分析其內(nèi)部的機理規(guī)律。maF 統(tǒng)計分析法：以隨機數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，經(jīng)過對統(tǒng)計數(shù)據(jù)進行分 析，得到其內(nèi)在的規(guī)律。如：多元統(tǒng)計分析。系統(tǒng)分析法：對復(fù)雜性問題或主觀性問題的研究方法。把 定性的思維和結(jié)論用定量的

11、手段表示出來。如：層次分析法。建模步驟模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型建立模型求解模型分析模型檢驗?zāi)Ｐ蛻?yīng)用1）模型準(zhǔn)備： 了解問題的實際背景實際背景，明確建模目目的的，掌握對象的各種信息各種信息如統(tǒng)計數(shù)據(jù)等，弄清實際對象的特征特征。 有時需查資料或到有關(guān)單位了解情況等。建模步驟建模步驟2）模型假設(shè)：根據(jù)實際對象的特征特征和建模目的目的，對問題進行必要地合理地簡化必要地合理地簡化。不同的假設(shè)會得到不同的模型。如果假設(shè)過于簡單可能會導(dǎo)致模型的失敗或部分失敗，于是應(yīng)該修改或補充假設(shè)，如“四足動物的體重問題”；如果假設(shè)過于詳細(xì)，試圖把復(fù)雜的實際現(xiàn)象的各個因素都考慮進去，可能會陷入困境，無法進行下一步工作。分清問題

12、的主要方面和次要方面，抓主要因素，盡量將問題均勻化、線性化。3）模型建立： 分清變量類型，恰當(dāng)使用數(shù)學(xué)工具；抓住問題的本質(zhì)，簡化變量之間的關(guān)系；要有嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推理，模型本身要正確；要有足夠的精確度。4）模型求解：可以包括解方程、畫圖形、證明定理以及邏輯運算等。會用到傳統(tǒng)的和近代的數(shù)學(xué)方法，計算機技 術(shù)（編程或軟件包）。特別地近似計算方法（泰勒級數(shù)，三角級數(shù)，二項式展開、代數(shù)近似、有效數(shù)字等）。6）模型檢驗： 把模型分析的結(jié)果“翻譯”回到實際對象中，用實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等檢驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇院瓦m應(yīng)性檢驗結(jié)果有三種情況：符合好，不好，階段性和部分性符合好。7）模型應(yīng)用：應(yīng)用中可能發(fā)現(xiàn)新問題，需繼續(xù)完善。5

13、）模型分析：結(jié)果分析、數(shù)據(jù)分析。變量之間的依賴關(guān)系或穩(wěn)定性態(tài)；數(shù)學(xué)預(yù)測；最優(yōu)決策控制。模型的分類模型的分類1）按變量的性質(zhì)分：）按變量的性質(zhì)分：離散模型確定性模型 線性模型單變量模型連續(xù)模型隨機性模型 非線性模型 多變量模型2）按時間變化對模型的影響分）按時間變化對模型的影響分靜態(tài)模型參數(shù)定常模型動態(tài)模型參數(shù)時變模型3 3）按模型的應(yīng)用領(lǐng)域（或所屬學(xué)科）分）按模型的應(yīng)用領(lǐng)域（或所屬學(xué)科）分人口模型、交通模型、生態(tài)模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、水資源模型、再生資源利用模型、污染模型、生物數(shù)學(xué)模型、醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)模型、地質(zhì)數(shù)學(xué)模型、數(shù)量經(jīng)濟學(xué)模型、數(shù)學(xué)社會學(xué)模型等。4 4）按建立模型的數(shù)學(xué)方法（或所屬數(shù)學(xué)分支）分

14、）按建立模型的數(shù)學(xué)方法（或所屬數(shù)學(xué)分支）分初等模型、幾何模型、線性代數(shù)模型、微分方程模型、圖論模型、馬氏鏈模型、運籌學(xué)模型等。5 5）按建模目的分）按建模目的分描述性模型、分析模型、預(yù)報模型、優(yōu)化模型、決策模型、控制模型等。6 6）按對模型結(jié)構(gòu)的了解程度分）按對模型結(jié)構(gòu)的了解程度分白箱模型：白箱模型：其內(nèi)在機理相當(dāng)清楚的學(xué)科問題，包括力學(xué)、熱學(xué)、電學(xué)等?；蚁淠Ｐ突蚁淠Ｐ停浩鋬?nèi)在機理尚不十分清楚的現(xiàn)象和問題，包括生態(tài)、氣象、經(jīng)濟、交通等。黑箱模型：黑箱模型：其內(nèi)在機理（數(shù)量關(guān)系）很不清楚的現(xiàn)象，如生命科學(xué)、社會科學(xué)等。練習(xí)1 某甲早8時從山下旅店出發(fā)沿一條路徑上山，下午5時到達(dá)山頂并留宿；次日早

15、8時沿同一條路徑下山，下午5時回到旅店。某乙說，甲必在兩天中的同一時刻經(jīng)過路徑中的同一地點。為什么？AB甲乙37支球隊進行冠軍爭奪賽，每輪比賽中出場的每兩支 球隊中的勝者及輪空者進入下一輪，直至比賽結(jié)束。問共需進行多少場比賽？36112591812224210218236一般思維：逆向思維：每場比賽淘汰一名失敗球隊，只有一名冠軍，即就是淘汰了36名球隊，因此比賽進行了36場。3 某人家住T市在他鄉(xiāng)工作，每天下班后乘火車于6時抵達(dá)T市車站，它的妻子駕車準(zhǔn)時到車站接他回家。一日他提前下班搭早一班火車于5時半抵達(dá)T市車站，隨即步行回家，它的妻子像往常一樣駕車前來，在半路上遇到他接回家時，發(fā)現(xiàn)比往常提

16、前了10分鐘。問他步行了多長時間？車站家5：30相遇早10鐘5分鐘5分鐘6：005：55共走了25分鐘。甲乙兩站有電車相通，每隔10分鐘甲乙兩站互發(fā)一趟車，但發(fā)車時間不一定相同。甲乙兩站有一中間站丙，某人每天在隨機的時刻到達(dá)丙站，并搭乘最先經(jīng)過丙站的那趟車，結(jié)果發(fā)現(xiàn)100天中約有90天到達(dá)甲站，僅約有10天到達(dá)乙站。問開往甲乙兩站的電車經(jīng)過丙站的時刻表是如何安排的？8:008:108:208:30甲至乙乙至甲xX-8:00=0:09 x=8:098:098:19思考題 思考題思考題1 長方形椅子穩(wěn)定性問題長方形椅子穩(wěn)定性問題思考題思考題2 大小包裝問題大小包裝問題 在超市購物時你注意到大包裝商

17、品比小包裝商品便宜這種現(xiàn)象嗎？比如潔銀牙膏50g裝的每支1.50元，120g裝的每支3.00元，二者單位重量的價格比是1.2:1，試用比例方法構(gòu)造模型解釋這種現(xiàn)象。（1）分析商品價格C與商品重量w的關(guān)系。（2）給出單位重量價格c與w的關(guān)系，并解釋其 實際意義。大大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的由來學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的由來 1985年在美國出現(xiàn)了一種叫做年在美國出現(xiàn)了一種叫做MCM的一年一度的一年一度大學(xué)生數(shù)學(xué)模型競賽大學(xué)生數(shù)學(xué)模型競賽( (1987年全稱為年全稱為Mathematical Competition in Modeling,1988年改全稱為年改全稱為Mathematical Contest i

18、n Modeling) )。在。在1985年以前年以前美國只有一種大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽美國只有一種大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽( (The william Lowell Putnam mathematial Competition,簡稱簡稱Putman(普特普特南南)數(shù)學(xué)競賽數(shù)學(xué)競賽) )，這是由美國數(shù)學(xué)協(xié)會（，這是由美國數(shù)學(xué)協(xié)會（MAA-即即Mathematical Association of America的縮寫）主持。的縮寫）主持。在國際上產(chǎn)生很大影響，現(xiàn)已成為國際性的大學(xué)生在國際上產(chǎn)生很大影響，現(xiàn)已成為國際性的大學(xué)生的一項著名賽事，該競賽每年的一項著名賽事，該競賽每年2月或月或3月進行。月進行。我國自我

19、國自19891989年首次參加這一競賽，歷屆均取得優(yōu)異年首次參加這一競賽，歷屆均取得優(yōu)異成績。成績。全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽 全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽，是全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽，是由由教育部高等教育司與中國工業(yè)與教育部高等教育司與中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會（應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會（ CSIAM CSIAM ）聯(lián)合舉辦聯(lián)合舉辦的大學(xué)生科技活動。的大學(xué)生科技活動。 競賽每年競賽每年 9 9月下旬舉行，月下旬舉行，競賽競賽面向全國大專院校的學(xué)生面向全國大專院校的學(xué)生，不分專，不分專業(yè)。業(yè)。 1992 1992 年我國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競年我國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽開始舉辦，從最初的幾十所學(xué)校、賽開始舉辦，從最初的幾十所學(xué)校、

20、幾百個隊發(fā)展到今年，除西藏外的幾百個隊發(fā)展到今年，除西藏外的 30 30 個省（市、自治區(qū)）以及香港都個?。ㄊ小⒆灾螀^(qū)）以及香港都有院校參賽。有院校參賽。競賽內(nèi)容：題目由工程技術(shù)、管理科學(xué)中的實際問競賽內(nèi)容：題目由工程技術(shù)、管理科學(xué)中的實際問題簡化而成，沒有事先設(shè)定的標(biāo)準(zhǔn)答案，但留有充題簡化而成，沒有事先設(shè)定的標(biāo)準(zhǔn)答案，但留有充分余地供參賽者發(fā)揮其聰明才智和創(chuàng)造精神。分余地供參賽者發(fā)揮其聰明才智和創(chuàng)造精神。競賽形式：三名大學(xué)生組成一隊，可以自由地收集競賽形式：三名大學(xué)生組成一隊，可以自由地收集資料、調(diào)查研究，使用計算機、互聯(lián)網(wǎng)和任何軟件，資料、調(diào)查研究，使用計算機、互聯(lián)網(wǎng)和任何軟件，在三天時間內(nèi)分工合作完成一篇論文。在三天時間內(nèi)分工合作完成一篇論文。評獎標(biāo)準(zhǔn)：假設(shè)的合理性、建模的創(chuàng)造性、結(jié)果的正評獎標(biāo)準(zhǔn)：假設(shè)的合理性、建模的創(chuàng)造性、結(jié)果的正確性、文字表述的清晰程度。確性、文字表述的清晰程度。競賽宗旨：創(chuàng)新意識競賽宗旨：創(chuàng)新意識 團隊精神團隊精神 重在參與重在參與 公平競爭公平競爭全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的特點全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的特點綜合運用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識和計算機技術(shù)綜合運用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識和計算機技術(shù)(選擇、使用合適選擇、使用合適的數(shù)學(xué)軟件的數(shù)學(xué)軟件)通過數(shù)學(xué)