1、自動(dòng)控制原理1第第 8 章章 非線性控制系統(tǒng)非線性控制系統(tǒng)機(jī)械工業(yè)出版社機(jī)械工業(yè)出版社自動(dòng)控制原理2第第 8 章章 非線性控制系統(tǒng)非線性控制系統(tǒng)8.1概述8.2非線性系統(tǒng)的特點(diǎn)8.3相平面分析法8.4描述函數(shù)分析法自動(dòng)控制原理3 非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)有著很大的差別，諸如非線性系統(tǒng)的響應(yīng)取決于輸入信號(hào)的幅值和形式，不能應(yīng)用疊加原理，目前還沒(méi)有統(tǒng)一的且普遍適用的處理方法。 由于非線性系統(tǒng)的復(fù)雜性和特殊性，受數(shù)學(xué)工具限制，一般情況下難以求得非線性微分方程的解析解，通常采用工程上適用的近似方法。 （1）相平面法 （2）描述函數(shù)法 （3）逆系統(tǒng)法自動(dòng)控制原理4 1.相平面法: 一種圖解分析方法，適用于具

2、有嚴(yán)重非線性特性的一階、二階系統(tǒng)，該方法通過(guò)在相平面繪制相軌跡曲線，確定非線性微分方程在不同初始條件下解的運(yùn)動(dòng)形式。 2.描述函數(shù)法: 一種等效線性化的圖解分析方法，該方法對(duì)于滿足結(jié)構(gòu)要求的非線性系統(tǒng)，通過(guò)諧波線性化，將非線性特性近似為復(fù)變?cè)鲆姝h(huán)節(jié)，然后推廣應(yīng)用頻率法，分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性或自激振蕩。自動(dòng)控制原理5 3.逆系統(tǒng)法: 運(yùn)用內(nèi)環(huán)非線性反饋控制，構(gòu)造偽線性系統(tǒng)，以此為基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)外環(huán)控制網(wǎng)絡(luò)，該方法直接應(yīng)用數(shù)學(xué)工具研究非線性控制問(wèn)題，是非線性系統(tǒng)研究的一個(gè)發(fā)展方向。但是，這些方法主要是解決非線性系統(tǒng)的“分析”問(wèn)題，且以穩(wěn)定性問(wèn)題為主展開的。非線性系統(tǒng)的“綜合”方法的研究成果遠(yuǎn)不如穩(wěn)定

3、性問(wèn)題研究所取得的成果。自動(dòng)控制原理61. 飽和特性 2. 死區(qū)特性 3.間隙特性 圖8.1 飽和非線性特性圖8.2 死區(qū)非線性特性 圖8.3 間隙非線性特性 8.2.1典型非線性特性典型非線性特性自動(dòng)控制原理74. 繼電器特性 圖8.4 繼電器型非線性特性自動(dòng)控制原理88.2.2非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn) 由于描述非線性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型為非線性微分方程，疊加原理不再適用，因此非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)出以下特點(diǎn)： 1.穩(wěn)定性分析復(fù)雜 2.系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)形式 3.自激振蕩(極限環(huán)) 4.頻率響應(yīng) 自動(dòng)控制原理9 1.穩(wěn)定性分析復(fù)雜: 在研究非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題時(shí)，必須要明確兩點(diǎn)：

4、 a.指明給定系統(tǒng)的初始狀態(tài)或輸入信號(hào) b.指明相對(duì)于哪一個(gè)平衡狀態(tài)來(lái)分析系統(tǒng)的 穩(wěn)定性。 2.系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)形式: 線性系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)形式與系統(tǒng)初始狀態(tài)的幅值無(wú)關(guān) 。某些非線性系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)形式與系統(tǒng)的初始狀態(tài)有關(guān)。當(dāng)初始狀態(tài)不同時(shí)，同一個(gè)非線性系統(tǒng)可能有不同的響應(yīng)形式，如單調(diào)收斂、振蕩收斂或振蕩發(fā)散等。自動(dòng)控制原理10例如：具有分段線性特性的非線性增益控制系統(tǒng)，當(dāng)初始狀態(tài)(初始誤差)。 E時(shí)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)形式為振蕩收斂形式 ，如圖8.5所示0e0e0e自動(dòng)控制原理11 3.自激振蕩(極限環(huán)): 線性定常系統(tǒng)：例如典型二階線性系統(tǒng)，如果阻尼比=0，在初始狀態(tài)的激勵(lì)下，系統(tǒng)的零輸入響

5、應(yīng)為等幅周期振蕩,其角頻率 取決于系統(tǒng)的參數(shù)，其振幅A與初始狀態(tài)有關(guān)。但是，實(shí)際的線性系統(tǒng)要維持振幅A和角頻率 不變的等幅周期振蕩是不可能的。一是系統(tǒng)的參數(shù)會(huì)發(fā)生變化，即使很微小的變化，也將導(dǎo)致 0 ；二是假定系統(tǒng)的參數(shù)不變， 0 ，然而，系統(tǒng)不可避免地會(huì)受到擾動(dòng)，將使響應(yīng)的振幅A發(fā)生變化，因此，原來(lái)的等幅周期振蕩不復(fù)存在。自動(dòng)控制原理12 有些非線性系統(tǒng)，在初始狀態(tài)的激勵(lì)下，可以產(chǎn)生固定振幅和固定頻率的周期振蕩，這種周期振蕩稱為非線性系統(tǒng)的自激振蕩或極限環(huán)。如果非線性系統(tǒng)有一個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán)，則它的振幅和頻率不受擾動(dòng)和初始狀態(tài)的影響。 自動(dòng)控制原理13 4.頻率響應(yīng): 在正弦輸入信號(hào)作用下，非

6、線性系統(tǒng)呈現(xiàn)出一些在線性系統(tǒng)中見(jiàn)不到的特殊現(xiàn)象，諸如跳躍諧振和多值響應(yīng)、倍頻振蕩和分頻振蕩、頻率捕捉(跟蹤)現(xiàn)象等。 圖8.6為一機(jī)械系統(tǒng)，由重物、阻尼器、非線性彈簧組成。其動(dòng)態(tài)特性的微分方程為 (8-1) 式中 重物的位移； M質(zhì)量； B阻尼器的粘性摩擦系數(shù)； 非線性彈簧力。3xKxK03xKxKxBxM 自動(dòng)控制原理14 參數(shù)M、B和K均是正的常數(shù)，而k可為正，也可為負(fù)。如果為正，彈簧就稱為硬彈簧；如果為負(fù)，則稱為軟彈簧。系統(tǒng)非線性的程度用K的值來(lái)表征。非線性微分方程(8-1)稱為杜芬(Duffing)方程，它常常在非線性力學(xué)中進(jìn)行討論。如果該系統(tǒng)受到一個(gè)非零初始條件的作用，則方程(8-1

7、)的解代表一個(gè)阻尼振蕩，在實(shí)驗(yàn)中可觀察到： 1、當(dāng)振幅減小時(shí)，自由振蕩的頻率或減小，或增加，這分別取決于 或 ； 2、隨著自由振蕩的振幅減小，頻率將保持不變，這時(shí)系統(tǒng)又相當(dāng)于一個(gè)線性系統(tǒng)。0K0K自動(dòng)控制原理15 圖8.7描繪了大于零、等于零、小于零三種情況下頻率和振幅的關(guān)系。在對(duì)圖8.6所示的系統(tǒng)進(jìn)行強(qiáng)迫振蕩實(shí)驗(yàn) 時(shí)，系統(tǒng)的微分方程為式中為外作用函數(shù)。 式中 為外作用函數(shù) tPxKxKxBxMcos3 tPcos圖8.6 機(jī)械系統(tǒng) 圖8.7 頻率和振幅的關(guān)系曲線自動(dòng)控制原理16 在進(jìn)行實(shí)驗(yàn)時(shí)，使外作用函數(shù)的振幅P保持常數(shù)，緩慢地改變其頻率，并觀察響應(yīng)的振幅A，可得到與圖8.8(a)和8.8(

8、b)類似的頻率響應(yīng)曲線。假定，并且從圖8.8(a)曲線上外作用頻率 低的點(diǎn)1開始。當(dāng) 增加，A也增加，直到點(diǎn)2為止。若頻率繼續(xù)增加，將引起從點(diǎn)2到點(diǎn)3的跳躍，并伴有振幅和相位的改變，此現(xiàn)象稱為跳躍諧振。當(dāng)頻率 繼續(xù)增加時(shí)，振幅A沿著曲線從點(diǎn)3到點(diǎn)4。若換一個(gè)方向來(lái)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，即從高頻開始，這時(shí)可觀察到，當(dāng) 減小時(shí)，振幅通過(guò)點(diǎn)3 逐漸增加，直到點(diǎn)5為止。當(dāng) 繼續(xù)減小時(shí)，將引起從點(diǎn)5到點(diǎn)6的另一個(gè)跳躍，也伴有振幅和相位的改變。在這個(gè)跳躍之后，振幅A隨著頻率 的減小 一起減小，并且沿著曲線從點(diǎn)6趨向點(diǎn)1。 自動(dòng)控制原理17 因此，響應(yīng)曲線實(shí)際上是不連續(xù)的，并且對(duì)于頻率增加和減小的兩種情況,響應(yīng)曲線上的

9、點(diǎn)沿著不同的路線移動(dòng)。點(diǎn)2與點(diǎn)5之間曲線對(duì)應(yīng)的振蕩是不穩(wěn)定的振蕩，在實(shí)驗(yàn)中是觀測(cè)不到的。 (a)具有硬彈簧的機(jī)械系統(tǒng) (b)具有軟彈簧的機(jī)械系統(tǒng) 圖8.8 機(jī)械系統(tǒng)的頻率響應(yīng)自動(dòng)控制原理188.3相平面分析法相平面分析法 相平面法是龐卡萊(H.Poincare)提出來(lái)的一種用圖解法求解一階、二階微分方程的方法，它實(shí)質(zhì)上屬于狀態(tài)空間分析法在二維空間中的應(yīng)用，該方法適合于研究給定初始狀態(tài)的二階自由運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)和給定初始狀態(tài)及非周期輸入信號(hào)(如階躍、斜坡或脈沖信號(hào)等)的二階系統(tǒng) 8.3.1 相平面的基本概念 8.3.2 相平面圖的繪制方法 8.3.3 奇點(diǎn)和極限環(huán) 8.3.4 相平面分析舉例自動(dòng)控制原理

10、198.3.1相平面的基本概念相平面的基本概念 考慮二階線性系統(tǒng) (8-2) 式中 與 是阻尼比和無(wú)阻尼自然振蕩頻率。 設(shè)系統(tǒng)僅由初始條件激勵(lì)。這一系統(tǒng)的狀態(tài)可以用兩個(gè)變量， 和 來(lái)描述。若令，則方程(8-2)可化為 (8-3) (8-4) 只要給定初始條件 、 或 、 ，由這兩個(gè)一階聯(lián)立微分方程便可唯一地確定系統(tǒng)的狀態(tài)。如此定義的變量和稱為相變量(或狀態(tài)變量)。圖8.9(a)繪出了初始條件為及時(shí)，和在不同阻尼下的時(shí)間響應(yīng)曲線。nnnxxx220 xxxx21 ,nnxxx 22122)0(1x)0(2x)0( x)0( x 自動(dòng)控制原理20 （a） (b) 圖8.10 相平面圖圖8.9 時(shí)間

11、響應(yīng)與相軌跡自動(dòng)控制原理21 如果以相變量和 為 坐標(biāo)構(gòu)成平面，稱為相平面，則系統(tǒng)在某一時(shí)刻t1的狀態(tài)就成為相平面上的一個(gè)點(diǎn)( )。在相平面上，由 或 以時(shí)間為參變量構(gòu)成的曲線，稱為相軌跡。圖8.9(b)對(duì)應(yīng)圖8.9(a)繪出了相應(yīng)的相軌跡。相軌跡上的箭頭表示時(shí)間參量的增大方向。若以一些初始狀態(tài)作為起始點(diǎn)，在相平面上做出一簇相軌跡，稱為系統(tǒng)的相平面圖，如圖8.10所示。圖中用實(shí)線表示了二階線性系統(tǒng)過(guò)阻尼時(shí)在三種不同初始條件下的相軌跡，其余用虛線表示了在其它初始條件下的相軌跡，它們共同構(gòu)成一幅相平面圖，它清晰地表明系統(tǒng)在各種初始條件下的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。 1x2x12( ),( )x tx t),(21

12、xx),(xx自動(dòng)控制原理228.3.2 相平面圖的繪制方法相平面圖的繪制方法 設(shè)描述二階系統(tǒng)的微分方程為 (8-5) 是的線性函數(shù)或非線性函數(shù)。若令為相變量，并將式(8-5)化為兩個(gè)一階微分方程 (8-6) (8-7) 用式(8-6)去除式(8-7)，于是得到一個(gè)以x為自變量，為因變量，不顯含時(shí)間t的一階微分方程 (8-8) 式(8-8)給出了相軌跡通過(guò)點(diǎn)的斜率。根據(jù)此式，用解析法或圖解法即可繪出相平面圖。 0)(xxfx ,xtxdd)(ddxxfxtx ,xxxfxx)(dd,自動(dòng)控制原理23 1.相平面圖的特點(diǎn)相平面圖的特點(diǎn) :相平面圖的對(duì)稱性 相平面圖往往是關(guān)于原點(diǎn)或坐標(biāo)軸對(duì)稱的，故

13、繪制時(shí)可只畫其中的一部分， 而另一部分可根據(jù)對(duì)稱原理添補(bǔ)上。相平面圖的對(duì)稱性可以從相軌跡的斜率來(lái)判斷。 若相平面圖關(guān)于軸對(duì)稱，則相軌跡曲線在 和 點(diǎn)上的斜率相等，符號(hào)相反。由式(8-8)，應(yīng)有 即 是關(guān)于x的奇函數(shù)。 若相平面圖關(guān)于x軸對(duì)稱，則相軌跡曲線和的斜率相等，符號(hào)相反，應(yīng)有 即 是關(guān)于 的偶函數(shù)。 )(xx ,)(-xx ,)(-)(或)(-)(xxfxxfxxxfxxxf, , ,f x xf xxf x xf xxxx()()或()()(xxf,)(xxf,x 自動(dòng)控制原理24 若相平面圖關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則相軌跡曲線在 和 點(diǎn)上的斜率相等，符號(hào)相同，應(yīng)有 即有 。,f x xfxxx

14、x()(-)(xx , xx(-),(,xxfxxf)(自動(dòng)控制原理25 1.相平面圖的特點(diǎn)相平面圖的特點(diǎn) :相平面圖上的奇點(diǎn)和普通點(diǎn) 相平面上任一點(diǎn) ，只要不同時(shí)滿足 和 ，則由式(8-8)確定的斜率是唯一的，通過(guò)該點(diǎn)的相軌跡有且僅有一條，這樣的點(diǎn)稱為普通點(diǎn)。在相平面上，同時(shí)滿足 和 的點(diǎn)，由于 相軌跡的斜率不是一個(gè)確定的值，說(shuō)明通過(guò)該點(diǎn)的相軌跡曲線有一條以上，這樣的點(diǎn)稱為奇點(diǎn)，顯然奇點(diǎn)只分布在相平面的x軸上。)(xx ,0 x 0)(xxf,0 x 0)(xxf,00)()(xxxfxxxf,自動(dòng)控制原理26（3）相軌跡通過(guò)x軸的斜率在x軸上，所有點(diǎn)都滿足 。除奇點(diǎn)外相軌跡在x軸上的斜率為

15、所以，除了奇點(diǎn)外，相軌跡和x軸垂直相交。 （4）相軌跡移動(dòng)的方向 在相平面的上半平面，由于，則x隨著參變量時(shí)間t的加而增大，所以系統(tǒng)狀態(tài)沿相軌跡由左向右運(yùn)動(dòng)；反之，下半平面，由于，則x隨著時(shí)間t的增加而減小，所以系統(tǒng)態(tài)沿相軌跡由右向左運(yùn)動(dòng)。系統(tǒng)狀態(tài)沿相軌跡的移動(dòng)方向相軌跡上的箭頭表示。0 x xxxfxxxf)()(,自動(dòng)控制原理27 2.繪制相平面圖的解析法繪制相平面圖的解析法 若系統(tǒng)微分方程比較簡(jiǎn)單，則對(duì)式(8-8)直接積分即可求得相軌跡方程 (8-9) 式中包含了初始條件。給定不同初始條件，由 式(8-9)可直接繪出系統(tǒng)的相平面圖。 若系統(tǒng)微分方程不能直接積分求解，則可先求得時(shí)間解 ，

16、，然后消去變量t求得相軌跡方程。若消去t有困難或過(guò)于煩雜，則可求得不同t時(shí)的x， 值，據(jù)此數(shù)值關(guān)系畫出相軌跡曲線。)(xgx )(tx)(tx x 自動(dòng)控制原理28例例8-1 二階系統(tǒng)的微分方程為，試?yán)L制系統(tǒng)的相平面圖。解解 系統(tǒng)方程可改寫為 (8-10)方程(8-10)可用分離變量法進(jìn)行積分，求得相軌跡方程為 (8-11)式中C為常量，由初始條件確定。設(shè)初始狀態(tài)為 ，則C= 。由方程(8-11)可知，系統(tǒng)相軌跡為一組以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心的橢圓軌跡簇，如圖8.11所示。其中粗實(shí)線是初始條件為 的相軌跡。 圖8.11 例8-1的相平面圖0dd2xxxxxxC22220(,0)x0)0 ,(0 x自動(dòng)

17、控制原理293.繪制相平面圖的圖解法繪制相平面圖的圖解法等傾線法等傾線法例例8-2 試用等傾線法求下列方程的相平面圖。 (8-17)解解 式(8-17)是非線性微分方程,但可分解為兩個(gè)線性微分方程 ， (8-18) , (8-19)由方程(8-17)可知 ,而 。因此相平面圖對(duì)稱于x軸，只需繪制上半平面的相軌跡,再用對(duì)稱性確定下半平面的相軌跡。由式(8-18)可得上半平面的等傾線方程： 設(shè)，求得等傾線如圖8.13實(shí)線所示，畫出等傾線上的平行短線,作為相軌跡線段的近似。適當(dāng)配置短線并把它們連成曲線即相軌跡曲線，如圖8.13中虛線所示。由于圖形對(duì)稱于x軸，所以相軌跡為一組封閉的卵形圓。0 xxax

18、| 0 xaxx0 xaxx0 x 0 x ,| |f x xa xx() ,f x xf xx()()xxa 1自動(dòng)控制原理30在任何非零初始條件下，系統(tǒng)將沿相軌跡作周期運(yùn)動(dòng)。 圖8.13 例8-2相平面圖自動(dòng)控制原理314.由相軌跡求時(shí)間響應(yīng)曲線由相軌跡求時(shí)間響應(yīng)曲線 相平面圖清晰地描繪出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性，因此，可以根據(jù)系統(tǒng)的相軌跡，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析。但是倘若還對(duì)系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)感興趣,可以采用圖解計(jì)算的方法，由相軌跡逐步求出時(shí)間信息，從而獲得系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)曲線x(t)。這里介紹一種按平均速度求時(shí)間信息 的方法。 由 可得到 (8-20) 設(shè)系統(tǒng)相軌跡如圖8.14(a)所示，從初始值A(chǔ)點(diǎn)開始，截

19、取 ， ， ，。相應(yīng)地A、B兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的平均值為 ，B、C兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的平均值為 。則式(8.20)相應(yīng)地成為 ， ， .根據(jù)逐段求的 和 ，在x(t)和 t 的直角坐標(biāo)系中畫圖，就得到系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)曲線x(t)，如圖8.14(b)所示。顯然，這種求解法的精確程度，取決于每步間隔 的選擇。t txxddxxtdd ABxBCxCDx2/ )(BAABxxx , 2/ )(CBBCxxxABABABxxt/BCBCBCxxt/,/CDCDCDxxtt自動(dòng)控制原理32 圖8.14 從相軌跡求取時(shí)間特性自動(dòng)控制原理338.3.3奇點(diǎn)和極限環(huán)奇點(diǎn)和極限環(huán) 1.奇點(diǎn)奇點(diǎn) 對(duì)于二階系統(tǒng) (8-21) 相軌跡

20、的斜率可表示為 (8-22) 在奇點(diǎn)處，相軌跡的斜率不確定，即同時(shí)滿足 (8-23) 如果把相變量x視為位移，于是和可以理解為速度和加速度。在奇點(diǎn)處，由于系統(tǒng)的速度和加速度均為零，因此奇點(diǎn)就是系統(tǒng)的平衡點(diǎn)。0)(xxfx ,xxxfxx)(dd,0)(0 xxfx,自動(dòng)控制原理34系統(tǒng)奇點(diǎn)的分類系統(tǒng)奇點(diǎn)的分類n焦點(diǎn) n節(jié)點(diǎn)n中心點(diǎn)n鞍點(diǎn)自動(dòng)控制原理352極限環(huán)極限環(huán) （1）穩(wěn)定極限環(huán)（2）不穩(wěn)定極限環(huán) （3）半穩(wěn)定極限環(huán) 圖8.16 極限環(huán)示意圖 一般情況下，極限環(huán)使系統(tǒng)性能變壞，或是產(chǎn)生自激振蕩，或是穩(wěn)定范圍減小。在系統(tǒng)設(shè)計(jì)中應(yīng)避免產(chǎn)生極限環(huán)。若極限環(huán)不可避免，則應(yīng)盡可能使穩(wěn)定極限環(huán)縮小，使

21、自激振蕩的幅度在允許范圍之內(nèi)；或者應(yīng)盡可能使不穩(wěn)定極限環(huán)加大，以擴(kuò)大系統(tǒng)穩(wěn)定范圍。在某些特殊情況下，可以利用系統(tǒng)的自激振蕩(信號(hào)發(fā)生器)產(chǎn)生周期性運(yùn)動(dòng)。自動(dòng)控制原理36 解解 由 求得系統(tǒng)的奇點(diǎn)為 根據(jù)式(8.25)在奇點(diǎn)處進(jìn)行線性化來(lái)確定奇點(diǎn)的性質(zhì)。在(xi ,0)奇點(diǎn)附近，系統(tǒng)的線性化方程為 在奇點(diǎn)(0，0)處，xi = x1 =0，則系統(tǒng)的線性化方程為n式中阻尼比0 1，因此奇點(diǎn)(0，0)為穩(wěn)定焦點(diǎn)。n 在奇點(diǎn)(-2，0)處，xi = x2 =-2，代入前式得線性化方程為n由奇點(diǎn)類型可知，奇點(diǎn)(-2，0)為鞍點(diǎn)，是不穩(wěn)定奇點(diǎn)。020.52xxxx 0)( 0,xxfx,2 0,0 0,2

22、1xxxx0)2(20.5xxxxi 020.5xxx 020.5xxx 例例8-3 某系統(tǒng)方程如下，試分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性自動(dòng)控制原理37 利用等傾線法可求得相平面圖，如圖8.17所示?？梢钥吹酵ㄟ^(guò)鞍點(diǎn)的一條分界線，把相平面分為兩個(gè)區(qū)域。在陰影區(qū)域內(nèi)，所有相軌跡都收斂于穩(wěn)定焦點(diǎn)(0，0)，是穩(wěn)定區(qū)域。在此范圍外，則所有相軌跡都將趨于無(wú)窮，是不穩(wěn)定區(qū)域。這證實(shí)了非線性系統(tǒng)的重要特點(diǎn)：系統(tǒng)的穩(wěn)定性與初始條件有關(guān)。 圖8.17 例8-3的相平面圖自動(dòng)控制原理388.3.4 相平面分析舉例相平面分析舉例1.繼電型控制系統(tǒng)的分析繼電型控制系統(tǒng)的分析:（1）理想繼電器特性）理想繼電器特性 圖8.18 理想繼

23、電器型非線性系統(tǒng) 0 設(shè)繼電型控制系統(tǒng)如圖8.18(a)所示,試分析在階躍信號(hào)作用下系統(tǒng)的性能。繼電型特性為：當(dāng)e0時(shí)，m = M；當(dāng)e0時(shí)，m = -M。因此分界線為直線e = 0。它把相平面分成兩個(gè)線性區(qū)域區(qū)、區(qū) 。 如圖8.18(b)所示。在階躍輸入r(t)=1(t)作用下，根據(jù)e=r- c及線性部分的傳遞函數(shù)K/s(Ts+1)可求得各線性區(qū)內(nèi)系統(tǒng)的微分方程。 自動(dòng)控制原理39 在區(qū)域內(nèi)，e0，m=M，系統(tǒng)方程為 (8-26) 由(8-26)式可得等傾線方程 等傾線是平行于e軸的直線，其中有一條特殊的等傾線，即當(dāng)a = 0時(shí)的等傾線 ，此時(shí)，相軌跡的斜率與相應(yīng)的等傾線斜率相等，全部相軌跡

24、曲線都趨近于該直線 。相軌跡曲線簇如圖8.18(b)右半平面所示。 在區(qū)域內(nèi)，e0，m = -M，系統(tǒng)方程為 (8-27) 比較方程(8-26)、(8-27)可知，其相平面圖對(duì)稱于原點(diǎn)。利用對(duì)稱性求得相軌跡曲線簇如圖8.18(b)左半面所示。 KMeeT TTKMe/1KMeKMeKMeeT 自動(dòng)控制原理40 在階躍輸入作用下，系統(tǒng)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)軌跡如圖8.18(b)中實(shí)線所示。在區(qū)域內(nèi)，系統(tǒng)由初始點(diǎn)A0沿相軌跡曲線運(yùn)動(dòng)到分界線上的銜接點(diǎn)A1，再沿以點(diǎn)A1為起點(diǎn)的相軌跡曲線移動(dòng)到分界線上的A2點(diǎn)，然后再進(jìn)入?yún)^(qū)域。經(jīng)過(guò)幾次往返運(yùn)動(dòng)，逐漸收斂于原點(diǎn)。 自動(dòng)控制原理41 （2）滯環(huán)繼電特性）滯環(huán)繼電特性圖

25、8.18(a)所示的非線性系統(tǒng)中，若繼電器元件換成如圖8.19(a)所示的滯環(huán)特性，則該非線性特性可用以下方程描述： 在0時(shí)的平面內(nèi)，分界線為e = + 。在0的平面內(nèi)，分界線為e = - 。它們把相平面分為兩部分。其右半平面，系統(tǒng)在+M信號(hào)作用下，系統(tǒng)方程為式(8-26)，相軌跡為曲線簇。其左半平面，系統(tǒng)在-M信號(hào)作用下，系統(tǒng)方程為式(8-27)，相軌跡為曲線簇。相平面如圖8.19(b)所示。在階躍輸入作用下，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖中粗實(shí)線所示。相軌跡收斂于穩(wěn)定極限環(huán)，極限環(huán)隨 的增大而增大。 MeemMeMeemMe ，當(dāng)0時(shí), ，當(dāng)0時(shí), ，自動(dòng)控制原理42mMe-M(a)-mM-M(a)e

26、圖8.19 滯環(huán)繼電型非線性系統(tǒng) 圖8.20 死區(qū)繼電型非線性系統(tǒng)自動(dòng)控制原理43(3)死區(qū)繼電特性死區(qū)繼電特性:圖:8.18所示的非線性系統(tǒng)中，若繼電元件具有如圖8.20(a)所示的死區(qū)特性，則可用以下方程描述 當(dāng) e ，m = + M 當(dāng) e- ，m = - M 當(dāng) - e ， m = 0 分界線為e = + 和e = - ，它們將相平面分為三個(gè)區(qū)域，如圖8.20(b)所示。在區(qū)域、中，系統(tǒng)方程分別用式(8-26)、(8-27)描述，相軌跡分別為曲線族、。在區(qū)域中，m = 0，系統(tǒng)的誤差方程為 可求得相軌跡的斜率 為常數(shù)，即其相軌跡是一組 斜率為 的直線。由上式還可得到：當(dāng) 時(shí), 必有 。

27、因此在區(qū)域內(nèi)，直線 上所有點(diǎn)都是奇點(diǎn)(又稱奇線或平衡線)。系統(tǒng)的相平面圖如8.20(b)所示。由圖可知系統(tǒng)可能穩(wěn)定在奇線上任一點(diǎn)。0eeT Tee1ddT10e 0e 0e 自動(dòng)控制原理44 為了縮短調(diào)節(jié)時(shí)間，減少振蕩次數(shù)，繼電控制系統(tǒng)可采用速度反饋校正，如圖8.21(a)所示。繼電元件的輸入信號(hào)為 ，當(dāng)系統(tǒng)在階躍信號(hào)r(t)=1(t)作用下，由e=r-c可得繼電元件輸入信號(hào) ，因此 當(dāng) 則 當(dāng) 則 分界線由方程 確定，這是一條通過(guò)原點(diǎn)，斜率為-1/Kt的直線。它將相平面分為、兩個(gè)區(qū)域，分別由方程(8-26)、(8-27)描述。圖8.21(b)中給出了分界線及其相軌跡曲線、。 cKeteKec

28、Kett0eKetMm 0eKetMm 0eKet自動(dòng)控制原理45在階躍輸入作用下，系統(tǒng)狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)如圖中實(shí)線所示。相軌跡由初始點(diǎn)A0開始，沿相軌跡移動(dòng)到達(dá)分界線上的銜接點(diǎn)A1；進(jìn)入線性區(qū)后，沿相軌跡移動(dòng)到下一個(gè)銜接點(diǎn)A2，。當(dāng)銜接點(diǎn)位于分界線B1B2線段內(nèi)時(shí)，相軌跡將沿分界線向原點(diǎn)滑動(dòng)，最后趨近于原點(diǎn)，這就是非線性系統(tǒng)的“滑動(dòng)”現(xiàn)象，該現(xiàn)象可以縮短系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間。比較圖8.19(b)及圖8.21，可以明顯看到速度反饋校正的效果：超調(diào)量減小，調(diào)節(jié)時(shí)間縮短，振蕩次數(shù)減少。 圖8.21 繼電型非線性系統(tǒng)的速度反饋校正自動(dòng)控制原理462.具有非線性增益控制系統(tǒng)的分析具有非線性增益控制系統(tǒng)的分析在線性系

29、統(tǒng)中，增益的選擇需要兼顧調(diào)節(jié)時(shí)間、超調(diào)量及振蕩次數(shù)等性能指標(biāo)，當(dāng)增益K值取得較大時(shí)，系統(tǒng)快速性較好，但超調(diào)量大，振蕩次數(shù)多,如圖8.22曲線1所示。若K值較小，超調(diào)量、振蕩次數(shù)將減小，但系統(tǒng)快速性較差，如圖曲線2所示。在線性系統(tǒng)中只能選取折中方案。若采用非線性校正，則可能得到較好效果，圖8.23(a)給出具有非線性增益的控制系統(tǒng)，其中N是非線性放大元件，其特性如圖8.23(b)所示。當(dāng)誤差ee0時(shí)，N具有較大增益，以保證系統(tǒng)的快速性；當(dāng)e e0而接近穩(wěn)態(tài)值時(shí)，增益較小以防止超調(diào)過(guò)大。采用非線性增益后，有可能獲得較理想的響應(yīng)曲線，如圖8.22曲線3所示。自動(dòng)控制原理47（1）階躍響應(yīng)分析 設(shè)系統(tǒng)

30、輸入信號(hào)為階躍函數(shù)r(t)=R ，當(dāng)t0時(shí)， 故在區(qū)內(nèi)系統(tǒng)方程為 (8-34) 系統(tǒng)奇點(diǎn)位于原點(diǎn)(0，0)，為穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。 在區(qū)內(nèi)，系統(tǒng)方程為 (8-35) 系統(tǒng)奇點(diǎn)位于原點(diǎn)(0，0)，為穩(wěn)定焦點(diǎn)，但是由于該奇點(diǎn)不在區(qū)內(nèi)，系統(tǒng)狀態(tài)實(shí)際上不能到達(dá)該點(diǎn)，故稱該點(diǎn)為虛奇點(diǎn)。 在階躍輸入作用下，系統(tǒng) 狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖8.24 所示。相軌跡的起點(diǎn)A由 初始條件e(0)=R ， 所決定，它經(jīng)過(guò)BCDEF 最終趨向于相平面的原點(diǎn)， 雖然響應(yīng)曲線是振蕩的，但 超調(diào)量，振蕩次數(shù)都減小很多。0 rr 0kKeeeT 0KeeeT 0(0)e 自動(dòng)控制原理48（2）斜坡響應(yīng)分析 設(shè)輸入信號(hào)r(t)=R+V t，當(dāng)t

31、0時(shí)， ，由式(8.32)和(8.33)可得 (8-36) (8-37) 與前面階躍輸入情況相比，相平面的分界線沒(méi)有變化，但奇點(diǎn)的位置不同。式(8-36)對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)P1位于(V/kK，0)，式(8-37)對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)P2位于(V/K，0)，因?yàn)閗1，所以P1總在P2的右邊。 圖8.25 圖8.26 VkKe0 ，Re0時(shí)的相軌跡 kKe0VKe0 ，R =0時(shí)的相軌跡 0rVr , , | |T eekKeVee 0 , | |T eeKeVee0自動(dòng)控制原理49 3.時(shí)間最優(yōu)控制系統(tǒng)的分析及綜合時(shí)間最優(yōu)控制系統(tǒng)的分析及綜合 以圖8.27所示直流電動(dòng)機(jī)隨動(dòng)系統(tǒng)為例，電動(dòng)機(jī)輸出力矩極限為，其中為電

32、動(dòng)機(jī)力矩系數(shù)。若負(fù)載為純慣性的，則加速度的上限為，J為負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 圖8.27 直流電動(dòng)機(jī)隨動(dòng)控制系統(tǒng) 圖8.28系統(tǒng)的響應(yīng)曲線 據(jù)上述限制，為使系統(tǒng)在階躍輸入作用下，響應(yīng)時(shí)間最短，系統(tǒng)的響應(yīng)過(guò)程應(yīng)如圖8.28所示。當(dāng)t0時(shí)，控制器應(yīng)給出信號(hào)，使系統(tǒng)以加速，此時(shí)電動(dòng)機(jī)的速度以直線上升。為使當(dāng)系統(tǒng)輸出c = R時(shí),也同時(shí)為零而結(jié)束響應(yīng)過(guò)程，要求在c到達(dá)R值之前的適當(dāng)時(shí)刻，控制器就給出信號(hào)，使系統(tǒng)以減速，以直線下降。當(dāng)c = R時(shí)，恰好使=0，這時(shí)控制器給出零信號(hào)，階躍響應(yīng)過(guò)程結(jié)束。 0tRrci自動(dòng)控制原理508.4描述函數(shù)分析法描述函數(shù)分析法 相平面法適用于一階或二階非線性系統(tǒng)的分相平面法適

33、用于一階或二階非線性系統(tǒng)的分析，但對(duì)于高于二階的系統(tǒng)，需要討論變量空間中析，但對(duì)于高于二階的系統(tǒng)，需要討論變量空間中的曲面結(jié)構(gòu)，從而大大增加了工程使用的困難。描的曲面結(jié)構(gòu)，從而大大增加了工程使用的困難。描述函數(shù)法是一種近似方法，相當(dāng)于線性理論中頻率述函數(shù)法是一種近似方法，相當(dāng)于線性理論中頻率法的推廣。描述函數(shù)法不受系統(tǒng)階次的限制，且所法的推廣。描述函數(shù)法不受系統(tǒng)階次的限制，且所得結(jié)果也比較符合實(shí)際，故在非線性系統(tǒng)分析中得得結(jié)果也比較符合實(shí)際，故在非線性系統(tǒng)分析中得到了廣泛的應(yīng)用。到了廣泛的應(yīng)用。8.4.1 描述函數(shù)的基本概念描述函數(shù)的基本概念8.4.2 典型非線性特性的描述函數(shù)典型非線性特性的

34、描述函數(shù)8.4.3 用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)自動(dòng)控制原理51 描述函數(shù)法的基本原理描述函數(shù)法的基本原理：當(dāng)系統(tǒng)滿足一定條件時(shí)，系統(tǒng)中非線性環(huán)節(jié)在正弦信號(hào)作用下的輸出可用一次諧波分量來(lái)近似，由此導(dǎo)出非線性環(huán)節(jié)的近似等效頻率特性，表達(dá)形式上類似于線性理論中的幅相頻率特性。1. 1. 諧波線性化諧波線性化 系統(tǒng)中常見(jiàn)的非線性特性，當(dāng)輸入為正弦函數(shù)時(shí)，其輸出一般為同周期的非正弦函數(shù)。例如對(duì)理想繼電特性加以正弦輸入信號(hào)，則輸出y(t)為與輸入同周期的方波，見(jiàn)圖8.30。圖8.30 理想繼電特性在正弦輸入時(shí)的輸出波形 8.4.1描述函數(shù)的基本概念描述函數(shù)的基本概念自動(dòng)控制原理5

35、2將方波信號(hào)用傅里葉級(jí)數(shù)表示，即為sinsinsinsin nMMy ttttntn041141( )(35)(21)3521y t ( ),( )sin,x tAt(8-42) 設(shè)非線性環(huán)節(jié)描述為非線性特性的輸入信號(hào)為cossinsin nnnnnnAAy tAn tBn tYn t0011( )()22cos , nAy tn ttn201( )d()0, 1,2sin , nBy tn ttn201( )d()1,2,3輸出信號(hào)可以表示為傅氏級(jí)數(shù)形式式中(8-43) ; arctannnnnnnAYABB22 若非線性特性具有奇對(duì)稱特性，則A0=0，如果略去輸出高次諧波分量，僅以基波分量

36、近似地代替整個(gè)輸出，則有1cossinsiny tAtBtYt111( )(8-44)自動(dòng)控制原理53式中cosAy ttt2101( )d()sinBy ttt2101( )d() ; arctanAYABB221111112描述函數(shù)描述函數(shù) 非線性特性在進(jìn)行諧波線性化后，參照幅相頻率特性的定義，建立非線性特性的等效幅相特性，即描述函數(shù)。把非線性元件輸出信號(hào)y(t)中的一次諧波分量y1(t)與正弦輸入信號(hào)x(t)的復(fù)數(shù)比，稱為非線性元件的描述函數(shù)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為BjAYN AAA1111( )(8-45)式中 A為非線性元件正弦輸入信號(hào)的振幅 11Y為非線性元件輸出信號(hào)中一次諧波分量的振幅；

37、為非線性元件輸出信號(hào)中一次諧波分量的相位移。自動(dòng)控制原理548.4.2典型非線性特性的描述函數(shù)典型非線性特性的描述函數(shù)1.飽和特性飽和特性飽和特性以及它對(duì)正弦輸入的輸出波形如圖8.31sin, , kAtAby tkbAb( )(8-46)圖8.31 飽和非線性及其輸入、輸出波形自動(dòng)控制原理55Ay tk AtA 0 ( ) ( sin) arcsin , YBkbbbN AAbAAAAA21112( )1() 飽和特性的描述函數(shù)為(8-48)2.死區(qū)特性死區(qū)特性死區(qū)特性以及它對(duì)正弦輸入的輸出波形如圖8.32所示于是死區(qū)特性的描述函數(shù)為arcsin , YBkN AkAAAAAA 21112(

38、 )1-()(8-49) (8-51)自動(dòng)控制原理56圖8.32 死區(qū)非線性及其輸入、輸出波形自動(dòng)控制原理57sin/2sink Atbty tk Abtk Atbt11() , 0 ( )() , /2 () , arcsin , BjAN AAkbbbbkbbjAbAAAAAA11( )22412 111()2于是間隙特性描述函數(shù)為(8-53) (8-54) 3.間隙特性間隙特性 間隙特性以及它對(duì)正弦輸入的輸出波形如圖8.33所示 自動(dòng)控制原理58圖8.33 間隙非線性及其輸入、輸出波形 自動(dòng)控制原理59 , , Mty tMt1234( ) arcsin , arcsin mAA12ar

39、csin , arcsinmAA332 m(01)(8-55)式中4.繼電器特性繼電器特性 （1）具有死區(qū)和滯環(huán)的繼電器 其輸出量y(t)的方程為 具有死區(qū)和滯環(huán)的繼電器特性以及它對(duì)正弦輸入的輸出波形如圖8.34所示。自動(dòng)控制原理60圖8.34 具有死區(qū)和滯環(huán)的繼電特性及其輸入、輸出波形自動(dòng)控制原理61于是，具有死區(qū)和滯環(huán)繼電器的描述函數(shù)為BjAN AAMmMjmAAAAA 11222( )2211(1) , () (8-56)（2）雙位繼電器 雙位繼電器非線性的描述函數(shù) MN AA4( )(8-57) 圖8.35 雙位繼電器非線性 自動(dòng)控制原理62（4）具有滯環(huán)的繼電器 三位繼電器特性的描述

40、函數(shù)MN AAAA 24( )1 () (8-58) 圖8.36 三位繼電器非線性 具有滯環(huán)繼電器非線性的描述函數(shù)MMN AjAAAA 2244( )1 ()(8-59) 圖8.37 滯環(huán)繼電器非線性（3）三位繼電器自動(dòng)控制原理638.4.3用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)1.描述函數(shù)法的應(yīng)用條件描述函數(shù)法的應(yīng)用條件 （1）非線性系統(tǒng)能簡(jiǎn)化成一個(gè)非線性環(huán)節(jié)和一個(gè)線性部分且閉環(huán)連接 的典型結(jié)構(gòu)形式，如圖8.38所示，其中G(s)代表系統(tǒng)的線性部分。)()(xfxf圖8.38 非線性控制系統(tǒng)（2）非線性環(huán)節(jié)輸入輸出特性y(x)應(yīng)是x的奇函數(shù)，即以保證非線性環(huán)節(jié)的正弦響應(yīng)不含有常

41、值分量，即00A （3）系統(tǒng)的線性部分應(yīng)具有較好的低通濾波性能。當(dāng)非線性環(huán)節(jié)的輸入為正弦信號(hào)時(shí)，實(shí)際輸出必定含有高次諧波分量，但經(jīng)線性部分傳遞之后，由于低通濾波的作用，高次諧波分量將被大大削弱，從而保證描述函數(shù)法所分析的結(jié)果比較準(zhǔn)確。自動(dòng)控制原理64 非線性系統(tǒng)經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化后，具有圖8.38所示的典型結(jié)構(gòu)形式，且非線性環(huán)節(jié)與線性部分滿足描述函數(shù)法的應(yīng)用條件，則非線性系統(tǒng)經(jīng)過(guò)諧波線性化后變成一個(gè)等效的線性系統(tǒng)，可以應(yīng)用線性系統(tǒng)理論中的頻域穩(wěn)定判據(jù)來(lái)分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性 當(dāng)非線性特性采用描述函數(shù)近似等效時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為1+N(A)G(jw )=0 或 N(A)G(jw )= -1 (8-60

42、) 即G(jw )= -1/N(A) (8-61) -1/N(A)稱為非線性環(huán)節(jié)的負(fù)倒描述函數(shù)。由線性控制系統(tǒng)理論知，線性系統(tǒng)的特征方程為G(jw )= -1 (8-62) 根據(jù)復(fù)平面內(nèi)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G(jw )曲線與臨界點(diǎn)(-1，j0)的相對(duì)位置，應(yīng)用奈魁斯特(Nyquist)穩(wěn)定判據(jù)，可以分析線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。將方程(8-61)與(8-62)對(duì)照，顯然可以把奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)，推廣應(yīng)用于諧波線性化的非線性系統(tǒng)，需要修改的僅僅是將復(fù)平面內(nèi)的臨界點(diǎn)(-1，j0)擴(kuò)展為臨界曲線，即-1/N(A)曲線。 根據(jù)奈魁斯特穩(wěn)定性判據(jù)，如果-1/N(A)曲線不被G(jw )曲線包圍(8.39(a)則

43、系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 2. 非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 自動(dòng)控制原理65 如果-1/N(A)曲線被G(jw )曲線全部包圍 (圖8.39(b)，則系統(tǒng)狀態(tài)在干擾作用下，不能回到平衡狀態(tài)，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 如果-1/N(A)曲線與線性部分頻率特性G(j )曲線相交(圖8.39(c)，交點(diǎn)處的參數(shù)，即振幅Ai和頻率i使方程(8-60)或(8-61)成立，非線性系統(tǒng)可能產(chǎn)生siniiAt的自激振蕩.圖8.39 非線性系統(tǒng)零平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性3描述函數(shù)分析舉例描述函數(shù)分析舉例 例例8-4 雙位繼電器非線性系統(tǒng)（圖8.40）線性部分的傳遞函數(shù)為 2G ss s4( )(1)系統(tǒng)的參考輸入r(t)=0，系統(tǒng)開始處于靜止?fàn)顟B(tài)。(1)分析非線性系統(tǒng)零平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性和自激振蕩的穩(wěn)定性； 自動(dòng)控制原理66(2)如果系統(tǒng)產(chǎn)生自激振蕩，確定自激振蕩的參數(shù)A和w 。 解解 由式(8-57)求得AN AM 1( )4-1/N(A