1、1第三章第三章 FIR數(shù)字濾波器的設計數(shù)字濾波器的設計3.1 數(shù)字濾波器設計概述數(shù)字濾波器設計概述3.2 窗口設計法（時間窗口法）窗口設計法（時間窗口法） 3.3 頻率取樣法頻率取樣法3.4 等波紋優(yōu)化設計等波紋優(yōu)化設計23.1 數(shù)字濾波器設計概述數(shù)字濾波器設計概述濾波器設計濾波器設計：根據(jù)給定濾波器的頻率特性，求根據(jù)給定濾波器的頻率特性，求得滿足該特性的傳輸函數(shù)。得滿足該特性的傳輸函數(shù)。數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器0)()()(nnjezjenhzHeHj任何線性時不變?nèi)魏尉€性時不變離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)都是一個數(shù)字濾波器（簡都是一個數(shù)字濾波器（簡稱稱DF）。設計數(shù)字濾波器的）。設計數(shù)字濾波器的任務任務就

2、是尋求一個就是尋求一個因因果穩(wěn)定的線性時不變系統(tǒng)果穩(wěn)定的線性時不變系統(tǒng)，使其系統(tǒng)函數(shù)，使其系統(tǒng)函數(shù)H(z)具有具有指定的指定的頻率特性頻率特性。33.1 數(shù)字濾波器設計概述數(shù)字濾波器設計概述 DFDF的幅度特性性能要求（低通為例）的幅度特性性能要求（低通為例）)(H0psp1p1s通帶通帶過渡帶過渡帶阻帶阻帶p：通帶波紋：通帶波紋s：阻帶波紋：阻帶波紋：通帶截止頻率：通帶截止頻率p：阻帶截止頻率：阻帶截止頻率s：過渡帶：過渡帶43.1 數(shù)字濾波器設計概述數(shù)字濾波器設計概述 DFDF的相位特性性能要求的相位特性性能要求從信號不失真角度，其相位特性通常必須滿足以下兩個從信號不失真角度，其相位特性通

3、常必須滿足以下兩個要求之一：要求之一： 相位線性。即：相位線性。即： 具有群恒時延特性。即：具有群恒時延特性。即：)(常數(shù))()(dd其中 稱為時延常數(shù)時延常數(shù))(53.1 數(shù)字濾波器設計概述數(shù)字濾波器設計概述數(shù)字濾波器設計采用角頻率，如何與實際信號頻率數(shù)字濾波器設計采用角頻率，如何與實際信號頻率對應？對應？角頻率角頻率w w，采樣頻率，采樣頻率f fs s , ,實際信號頻率實際信號頻率f f的轉(zhuǎn)換關系的轉(zhuǎn)換關系2/swff 采樣頻率的角頻率為采樣頻率的角頻率為263.1 數(shù)字濾波器設計概述數(shù)字濾波器設計概述 例如：設計一個帶通濾波器，通帶可通過例如：設計一個帶通濾波器，通帶可通過中心頻率中

4、心頻率為為3MHz3MHz，帶寬為帶寬為1.2MHz1.2MHz的帶通信號的帶通信號，系統(tǒng)采樣頻率為，系統(tǒng)采樣頻率為24MHz24MHz。帶通濾波器通帶。帶通濾波器通帶3dB3dB衰減處距離帶通信號通帶邊緣衰減處距離帶通信號通帶邊緣100kHz100kHz，阻帶衰減，阻帶衰減40dB40dB處距離帶通信號通帶邊緣處距離帶通信號通帶邊緣300kHz300kHz。根據(jù)數(shù)字帶通濾波器的角頻率技術指標：根據(jù)數(shù)字帶通濾波器的角頻率技術指標： 通帶截止頻率（以通帶截止頻率（以3dB3dB衰減為準）衰減為準） 阻帶截止頻率（以阻帶截止頻率（以40dB40dB衰減為準）衰減為準） 帶通濾波器中心頻率帶通濾波器

5、中心頻率畫出數(shù)字帶通濾波器的角頻率幅頻響應頻譜示意圖畫出數(shù)字帶通濾波器的角頻率幅頻響應頻譜示意圖 703fM1.2BMHz100pfKHZ3000.3cfKHZMHZ24sfMHZ102 *(/2)/0.1917ppswfBff202 *(/2)/0.31ppswfBff102 *(/2)/0.175ccswfBff202 *(/2)/0.325ccswfBff002 */0.25swff解：（解：（1）3.1 數(shù)字濾波器設計概述數(shù)字濾波器設計概述8（2 2）數(shù)字帶通濾波器的角頻率頻譜示意圖為：）數(shù)字帶通濾波器的角頻率頻譜示意圖為：3.1 數(shù)字濾波器設計概述數(shù)字濾波器設計概述93.1 數(shù)字濾波

6、器設計概述數(shù)字濾波器設計概述設計設計濾波器理想頻響濾波器理想頻響包含：低通，高通，帶通，帶阻包含：低通，高通，帶通，帶阻對應到數(shù)字濾波器的頻譜為：對應到數(shù)字濾波器的頻譜為：10低通濾波器低通濾波器1 ()0 cjwcwwH eww幅頻響應幅頻響應相頻響應相頻響應awcw稱為截止頻率稱為截止頻率wcw()jwH ecw3.1 數(shù)字濾波器設計概述數(shù)字濾波器設計概述 1( )sin()2 ()cccwjawjwncwwnah needww nanana11低通濾波器低通濾波器3.1 數(shù)字濾波器設計概述數(shù)字濾波器設計概述 1( )sin()2 ()cccwjawjwncwwnah neednw nan

7、anaa12高通濾波器高通濾波器0 ()1 cjwcwwH eww幅頻響應幅頻響應相頻響應相頻響應cw稱為通帶開始頻率稱為通帶開始頻率wcw()jwH ecw3.1 數(shù)字濾波器設計概述數(shù)字濾波器設計概述aw1 ( )sin() 0()ccwnah nw nanna133.1 數(shù)字濾波器設計概述數(shù)字濾波器設計概述高通高通低通低通時域除時域除n=a點外點外符號相符號相反反頻域上頻域上相當于相當于低通平低通平移移14帶通濾波器帶通濾波器11220 01 ()0 cjwcccwwwwwH eww幅頻響應幅頻響應相頻響應相頻響應12,ccww稱為通帶截止頻率稱為通帶截止頻率w1cw()jwH e1cw2

8、cw2cw3.1 數(shù)字濾波器設計概述數(shù)字濾波器設計概述aw2121 ( )sin()sin() ()ccccwwnah nwnawnanana可看成是兩個低通濾波器時域相減得到可看成是兩個低通濾波器時域相減得到153.1 數(shù)字濾波器設計概述數(shù)字濾波器設計概述低通低通wc1低通低通wc2帶通帶通wc1wc216帶阻濾波器帶阻濾波器11221 00 ()1 cjwcccwwwwwH eww幅頻響應幅頻響應相頻響應相頻響應cw稱為通帶開始頻率稱為通帶開始頻率w1cw()jwH e1cw2cw2cw3.1 數(shù)字濾波器設計概述數(shù)字濾波器設計概述aw21211 ( )sin()sin() ()ccccww

9、nah nwnawnanana與帶通濾波器互補與帶通濾波器互補17（二）帶阻濾波器（二）帶阻濾波器3.1 數(shù)字濾波器設計概述數(shù)字濾波器設計概述帶通濾波器帶通濾波器帶阻濾波器帶阻濾波器183.1 數(shù)字濾波器設計概述數(shù)字濾波器設計概述無論哪種數(shù)字濾波器，設計過程一般包括以下三個基本問題：無論哪種數(shù)字濾波器，設計過程一般包括以下三個基本問題： 根據(jù)實際要求根據(jù)實際要求確定數(shù)字濾波器性能指標確定數(shù)字濾波器性能指標； 用一個用一個因果穩(wěn)定的系統(tǒng)函數(shù)去逼近因果穩(wěn)定的系統(tǒng)函數(shù)去逼近這個理想性能指標；這個理想性能指標； 用一個用一個有限精度的運算去實現(xiàn)有限精度的運算去實現(xiàn)這個傳輸函數(shù)。這個傳輸函數(shù)。 現(xiàn)在要討

10、論的是問題現(xiàn)在要討論的是問題2 2數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器IIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器：其系統(tǒng)函數(shù)通?？杀硎荆浩湎到y(tǒng)函數(shù)通常可表示成關于成關于 的有理分式的有理分式1zFIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器：其系統(tǒng)函數(shù)通?？杀硎荆浩湎到y(tǒng)函數(shù)通常可表示成關于成關于 的多項式的多項式1z19FIRFIR數(shù)字濾波器的特點：數(shù)字濾波器的特點： 優(yōu)點優(yōu)點 ：（：（1 1）很容易獲得嚴格的線性相位，很容易獲得嚴格的線性相位，避免被處理避免被處理 的信號產(chǎn)生相位失真，這一特點在的信號產(chǎn)生相位失真，這一特點在 寬頻帶信號處理、陣寬頻帶信號處理、陣 列信號列信號處理、數(shù)據(jù)傳輸?shù)认到y(tǒng)中非常重要；處理、數(shù)據(jù)傳輸?shù)认到y(tǒng)中非常重要； （

11、2 2）可得到多帶幅頻特性可得到多帶幅頻特性； （3 3）極點全部在原點（永遠穩(wěn)定），極點全部在原點（永遠穩(wěn)定），無穩(wěn)定性問題；無穩(wěn)定性問題； （4 4）任何一個非因果的有限長序列，總可以通過一）任何一個非因果的有限長序列，總可以通過一 定的延時，轉(zhuǎn)變?yōu)橐蚬蛄?，定的延時，轉(zhuǎn)變?yōu)橐蚬蛄校?所以所以因果性總是滿足；因果性總是滿足； （5 5）無反饋運算，）無反饋運算，運算誤差小運算誤差小。3.1 數(shù)字濾波器設計概述數(shù)字濾波器設計概述20缺點：（缺點：（1 1）因為無極點，要獲得好的過渡帶特性，需以）因為無極點，要獲得好的過渡帶特性，需以較較 高的階數(shù)高的階數(shù)為代價；為代價； （2 2）無法利用

12、模擬濾波器的設計結果無法利用模擬濾波器的設計結果，一般無解析，一般無解析設計公式，要借助計算機輔助設計程序完成。設計公式，要借助計算機輔助設計程序完成。3.1 數(shù)字濾波器設計概述數(shù)字濾波器設計概述213.1 數(shù)字濾波器設計概述數(shù)字濾波器設計概述線性相位線性相位FIRFIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器102121cos)(| )()(NnNjezjnNnhezHeHj11/220()( )|1( )sin2jjz eNNjjnH eH zNeh nn223.1 數(shù)字濾波器設計概述數(shù)字濾波器設計概述下表給出了上述4種類型的線性相位濾波器的相位響應相位響應、時時域幅度響應域幅度響應和頻域幅度響應頻域幅度響應

13、的示意圖。23四種線性相位四種線性相位FIR DFFIR DF特性，特性，第一種情況第一種情況 ，偶對稱、奇數(shù)長度，四種濾波器都可設計偶對稱、奇數(shù)長度，四種濾波器都可設計。第二種情況，偶對稱、偶數(shù)長度，可設計低、帶通濾波器第二種情況，偶對稱、偶數(shù)長度，可設計低、帶通濾波器，不能設計高通和帶阻。在，不能設計高通和帶阻。在處有零點處有零點第三種情況，奇對稱、奇數(shù)長度，只能設計帶通濾波器，第三種情況，奇對稱、奇數(shù)長度，只能設計帶通濾波器，其它濾波器都不能設計。在其它濾波器都不能設計。在0 0，2 處都有零點處都有零點第四種情況，奇對稱、偶數(shù)長度，可設計高通、帶通濾波第四種情況，奇對稱、偶數(shù)長度，可設

14、計高通、帶通濾波器，不能設計低通和帶阻。器，不能設計低通和帶阻。0 0， 2 2 處有零點處有零點3.1 數(shù)字濾波器設計概述數(shù)字濾波器設計概述243.1 數(shù)字濾波器設計概述數(shù)字濾波器設計概述例例1 1 N N=5, =5, h h (0) = (0) = h h (1) = (1) = h h (3) = (3) = h h (4) = -1/2, (4) = -1/2, h h (2) = 2 (2) = 2，求頻響函數(shù)，求頻響函數(shù)H H () ()，畫出幅頻響應，畫出幅頻響應253.1 數(shù)字濾波器設計概述數(shù)字濾波器設計概述例例1 1 N N=5, =5, h h (0) = (0) = h

15、 h (1) = (1) = h h (3) = (3) = h h (4) = -1/2, (4) = -1/2, h h (2) = 2 (2) = 2，求頻響函數(shù)，求頻響函數(shù)H H () ()，畫出幅頻響應，畫出幅頻響應H () = e-j2w (2 - cos- cos2)26 四種四種FIRFIR數(shù)字濾波器的數(shù)字濾波器的相位特性相位特性只取決于只取決于h(n)h(n)的對稱性的對稱性，而與而與h(n)h(n)的值無關。的值無關。幅度特性取決于幅度特性取決于h(n)h(n)。設計設計FIRFIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器時，在保證時，在保證h(n)h(n)對稱的條件下，對稱的條件下，只只要完

16、成幅度特性的逼近即可。要完成幅度特性的逼近即可。注意：當注意：當H()H()用用H()H()表示時，表示時，H()H()為為奇對稱奇對稱時，時，其相頻特性中還應加一個其相頻特性中還應加一個固定相移固定相移。3.1 數(shù)字濾波器設計概述數(shù)字濾波器設計概述結論：結論：273.2 窗口設計法（時域）窗口設計法（時域）FIRFIR濾波器的設計就在于尋找一個傳遞函數(shù)濾波器的設計就在于尋找一個傳遞函數(shù) 去逼近去逼近 ，逼近方法有三種：，逼近方法有三種： 窗口設計法（時域逼近）窗口設計法（時域逼近） 頻率采樣法（頻域逼近）頻率采樣法（頻域逼近） 最優(yōu)化設計（等波紋逼近）最優(yōu)化設計（等波紋逼近） 時間窗口設計法

17、時間窗口設計法是從單位脈沖響應序列著手，使是從單位脈沖響應序列著手，使h(n)h(n)逼近理想的單位脈沖響應序列逼近理想的單位脈沖響應序列h hd d(n)(n)。我們知道。我們知道h hd d(n)(n)可以從可以從理想頻響通過付氏反變換獲得理想頻響通過付氏反變換獲得 10)(NnjnjenheH)(jdeH221)(onjjdddeeHnh28理想頻響理想頻響 是分段恒定，在邊界頻率處有突變是分段恒定，在邊界頻率處有突變點點理想單位脈沖響應理想單位脈沖響應h hd d(n)(n)往往都是往往都是無限長序列無限長序列，而且，而且是非因果是非因果辦法辦法: :直接截取一段直接截取一段 h hd

18、 d(n) (n) 代替代替 h(n)h(n) )(jdeH 3.2 窗口設計法（時域）窗口設計法（時域）29 3.2 窗口設計法（時域）窗口設計法（時域）h(n)h(n)是通過一個是通過一個“窗口窗口”所看到所看到的一段的一段h hd d(n) (n) 表達為表達為h(n)h(n)和一和一個個“窗函數(shù)窗函數(shù)”的的乘積，即乘積，即 h(n)=w(n) hh(n)=w(n) hd d(n) (n) 在這里窗口函數(shù)在這里窗口函數(shù)就是矩形脈沖函就是矩形脈沖函數(shù)數(shù)R RN N（n n）30設計步驟：設計步驟：)()()()(nwnhnheHddjd)()(nheHj)()(nheHdjd設10)(Nn

19、jnjenheH由定義3.2 窗口設計法（時域）窗口設計法（時域）該式為有限項，該式為有限項，NN越大，誤差越小。但對越大，誤差越小。但對矩形窗截取還存在矩形窗截取還存在“吉吉布斯（布斯（GibbsGibbs）效應）效應”，這將使濾波器的特性很這將使濾波器的特性很差。差。31一一. .矩形窗口法矩形窗口法)(jdeH則 以一個截止頻率為 c的線性相位理想低通濾波器線性相位理想低通濾波器為例,討論FIR的設計問題。a. 對于給定的理想低通濾波器 ，計算：低通濾波器的延時：低通濾波器的延時)(nhd3.2 窗口設計法（時域）窗口設計法（時域） ( )sin() ()cdcwnah nw nanan

20、a為保證所得到的是線性相位FIR濾波器，延時延時 a應為應為h(n)長度長度N的一半的一半,即(1)/2N32為其它值nNnonhnwnhnhdRd01)()()()(其中)()(nRnwNRb.計算)(nh3.2 窗口設計法（時域）窗口設計法（時域）33c.計算 。設 為窗口函數(shù)的頻譜: 用幅度函數(shù)和相位函數(shù)來表示，則有 其線性相位部分 則是表示延時一半長度 ， )(jeWnNnjjNnjnjRjeeeenweW1011)()()2/sin()2/sin(21NeNjjRjeWeW)()(je2/ ) 1( N)(jeH)(*)()(jRjdjeWeHeH3.2 窗口設計法（時域）窗口設計法

21、（時域）34兩個信號時域的乘積對應于頻域卷積，所以有deWeHeWeHeHjRjdjRjdj)(21)(*)()()(3.2 窗口設計法（時域）窗口設計法（時域）()1( )()21( )()2jjdRjdRHeWedeHWd 相頻響應未發(fā)生變化相頻響應未發(fā)生變化35則實際FIR濾波器的幅度函數(shù)H（）為正好是理想濾波器幅度函數(shù)與窗函數(shù)幅度函數(shù)的卷積理想濾波器幅度函數(shù)與窗函數(shù)幅度函數(shù)的卷積。jjeHeH)()(dWHHRd)()(21)(3.2 窗口設計法（時域）窗口設計法（時域）363.2 窗口設計法（時域）窗口設計法（時域）37)(RWNc2)(RW4 4個特殊頻率點看卷積結果：個特殊頻率點

22、看卷積結果：（1 1）=0=0時時,H(0),H(0)等于等于在在-c, c-c, c內(nèi)的積分面積內(nèi)的積分面積因一般因一般故故H(0) H(0) 近似為近似為在在-, -, 內(nèi)的積分面積內(nèi)的積分面積3.2 窗口設計法（時域）窗口設計法（時域）(2)=(2)=c c時，一半重疊，時，一半重疊，H(H(c c)=0.5 H(0);)=0.5 H(0);(3)=(3)=c c2/N2/N時，第一旁瓣（負數(shù)）在通帶外，時，第一旁瓣（負數(shù)）在通帶外，出現(xiàn)出現(xiàn)正肩峰正肩峰； (4)=(4)=c c+2/N +2/N 時，第一旁瓣（負數(shù)）在通帶內(nèi)，時，第一旁瓣（負數(shù)）在通帶內(nèi)，出現(xiàn)出現(xiàn)負肩峰負肩峰。38窗口

23、函數(shù)對理想特性的影響： 改變了理想頻響的邊沿特性，形成過渡帶，寬為 ， 等于WR()的主瓣寬度。（決定于窗長） 過渡帶兩旁產(chǎn)生肩峰和余振（帶內(nèi)、帶外起伏），取決于 WR()的旁瓣，旁瓣多，余振多；旁瓣相對值大，肩峰強 ，與 N無關。（決定于窗口形狀） N增加,過渡帶寬減小,肩峰值不變。 因主瓣附近 其中x=N/2,所以N的改變不能改變主瓣與旁瓣的比例關系，只能改變WR（）的絕對值大小和起伏的密度，當N增加時，幅值變大，頻率軸變密，而最大肩峰永遠為8.95%，這種現(xiàn)象稱為吉布斯（Gibbs）效應。 xxNNNNNWRsin2/)2/sin()2/sin()2/sin()(N43900.250.5

24、0.751-40-30-21-100N=15N=31用矩形窗設計的c=/2 FIR濾波器的幅度響應3.2 窗口設計法（時域）窗口設計法（時域）40 改變窗函數(shù)的形狀改變窗函數(shù)的形狀，可改善濾波器的特性，窗函數(shù)有許多種，但要滿足以下兩點要求：窗譜主瓣寬度要窄，以獲得較陡的過渡帶；相對于主瓣幅度，旁瓣要盡可能小旁瓣要盡可能小，使能量盡量集中在主瓣中，這樣就 可以減小肩峰和余振，以提高阻帶衰減和通帶平穩(wěn)性。但實際上對同樣長度的窗同樣長度的窗這兩點不能兼得，一般總是通過增加主瓣寬度來換取對旁瓣的抑制。 肩峰值的大小肩峰值的大小決定了濾波器通帶內(nèi)的平穩(wěn)程度和阻帶內(nèi)決定了濾波器通帶內(nèi)的平穩(wěn)程度和阻帶內(nèi)的衰

25、減，所以對濾波器的性能有很大的影響。的衰減，所以對濾波器的性能有很大的影響。3.2 窗口設計法（時域）窗口設計法（時域）41幾種常用的窗函數(shù)： 1. 矩形窗，矩形窗，上面已講過，不再細述 2. 漢寧窗漢寧窗（升余弦窗） 利用付氏變換的移位特性，漢寧窗頻譜的幅度函數(shù)W（）可用矩形窗的幅度函數(shù)表示為： )(12cos1 21)(nRNnnwN)(25.0)(5.01212nReenRNNnjNnjN 211221122121121225. 05 . 011225. 05 . 0NjRRRNNjRNNjRNjRjeNWNWWeNWeNWeWeW3.2 窗口設計法（時域）窗口設計法（時域）42)12(

26、)12(25. 0)(5 . 0)(NWNWWWRRR三部分矩形窗頻譜相加，使旁瓣互相抵消，能量集中在主瓣，旁瓣大大減小，主瓣寬度增加1倍，為 。 N83.2 窗口設計法（時域）窗口設計法（時域）433. 漢明窗漢明窗（改進的升余弦窗） 它是對漢寧窗的改進，在主瓣寬度（對應第一零點的寬度）相同的情況下，旁瓣進一步減小，可使旁瓣進一步減小，可使99.96%的能量集的能量集中在窗譜的主瓣內(nèi)中在窗譜的主瓣內(nèi)。 4. 布萊克曼窗布萊克曼窗（三階升余弦窗） 增加一個二次諧波余弦分量，可進一步降低旁瓣，但主瓣可進一步降低旁瓣，但主瓣寬度進一步增加寬度進一步增加，為 。增加N可減少過渡帶。頻譜的幅度函數(shù)為：

27、 )(12cos46.054.0)(nRNnnwN)(14cos08.012cos5.042.0)(nRNnNnnwN)12()12(25. 0)(42. 0)(NWNWWWRRR)14()14(04. 0NWNWRRN1244下圖為N=31時，矩形窗矩形窗、三角窗三角窗、漢寧窗漢寧窗、漢明窗漢明窗及布萊布萊克曼克曼這5種窗口函數(shù)的包絡曲線3.2 窗口設計法（時域）窗口設計法（時域）45下圖為下圖為N=51N=51時時矩形窗矩形窗、漢寧窗漢寧窗、漢明窗漢明窗及及布萊克曼布萊克曼4 4種窗口種窗口函數(shù)的幅度響應函數(shù)的幅度響應3.2 窗口設計法（時域）窗口設計法（時域）465 . 051cN下圖為

28、下圖為N=51N=51時用時用矩形窗矩形窗、漢寧窗漢寧窗、漢明窗漢明窗及及布萊克曼布萊克曼設計設計的低通濾波器的幅度響應的低通濾波器的幅度響應3.2 窗口設計法（時域）窗口設計法（時域）475.凱塞窗 以上四種窗函數(shù)，都是以增加主瓣寬度為代價來降低旁瓣。凱塞窗則可自由選擇主瓣寬度和旁瓣衰減。 101/211)(2NnINnInwooI0(x)是零階修正貝塞爾函數(shù)，參數(shù)可自由選擇，決定主瓣寬度與旁瓣衰減。越大，w(n)窗越窄，其頻譜的主瓣變寬，旁瓣變小。一般取 49。=5.44 接近漢明=8.5 接近布萊克曼=0 為矩形3.2 窗口設計法（時域）窗口設計法（時域）483.2 窗口設計法（時域）窗

29、口設計法（時域）2crc1）根據(jù)逼近濾波器的理想頻率響應，計算截止頻率）根據(jù)逼近濾波器的理想頻率響應，計算截止頻率設計過程設計過程2）確定通帶和阻帶波動，通帶最大衰減為）確定通帶和阻帶波動，通帶最大衰減為Ap，阻帶，阻帶最大衰減為最大衰減為Ar0.050.05101101ppApA3）由于通帶和阻帶等波動，因此選擇最小的波動）由于通帶和阻帶等波動，因此選擇最小的波動0.0510rAr4）用最小波動重新計算）用最小波動重新計算Ap， Ar5）計算過渡帶）計算過渡帶 =wr-wp6）計算）計算值值210!)2/(1)(kkkxxI49過渡帶寬過渡帶寬 Ar為最小衰減，此為經(jīng)驗公式為最小衰減，此為經(jīng)

30、驗公式0.40.1102(8.7),500.5842(21)0.07886(21),21500,2182.286rrrrrrrAAdBAAdBAdBAdBAN3.2 窗口設計法（時域）窗口設計法（時域）503.2 窗口設計法（時域）窗口設計法（時域） 過渡帶 通帶波紋（ dB） 阻帶最小衰減(dB) 2.120 3.00 /N 0.27 -30 3.384 4.46 /N 0.08647 -40 4.538 5.86 /N 0.0274 -50 5.658 7.24 /N 0.00868 -60 6.764 8.64 /N 0.00275 -70 7.865 10.0 /N 0.000868

31、-80 8.960 11.4 /N 0.000275 -90 10.056 12.8 /N 0.000087 -100 513.2 窗口設計法（時域）窗口設計法（時域）窗函數(shù)設計濾波器步驟：窗函數(shù)設計濾波器步驟：1 1、根據(jù)要求求出理想濾波器的單位脈沖響應，通常無限長、根據(jù)要求求出理想濾波器的單位脈沖響應，通常無限長2 2、根據(jù)阻帶衰減的要求，選擇窗函數(shù)類型；根據(jù)過渡帶寬、根據(jù)阻帶衰減的要求，選擇窗函數(shù)類型；根據(jù)過渡帶寬要求，估計窗口的長度要求，估計窗口的長度3 3、計算、計算FIRFIR濾波器的窗函數(shù)濾波器的窗函數(shù)h h（n n）hdhd（n n）w w（n n）4 4、計算、計算h h（n

32、 n）的）的DFTDFT驗證頻譜響應是否滿足技術要求，如不驗證頻譜響應是否滿足技術要求，如不滿足，重復滿足，重復2 2，3 3，4 4H edj()H edj()02nkMjkMjdMkMeeHMnh2210)(1)(hnd( )若得不到 封閉式或不能用上式計算 時，可對 在 到 間等間隔采樣M，用下式代替上式的積分523.2 窗口設計法（時域）窗口設計法（時域）例例1 1：根據(jù)下面的技術指標設計一個：根據(jù)下面的技術指標設計一個FIRFIR線性相位低通濾波器線性相位低通濾波器0.99()1.01, 00.19()0.01, 0.21jwjwH ewH ew例例2 2：確定幅度頻響應為下圖的理想

33、脈沖響應：確定幅度頻響應為下圖的理想脈沖響應21/6/3533.2 窗口設計法（時域）窗口設計法（時域）例：根據(jù)下面的技術指標設計一個例：根據(jù)下面的技術指標設計一個FIRFIR線性相位線性相位LPFLPF20log(0.01)40dB 阻帶衰減：阻帶衰減：過渡帶：過渡帶：0.21 0.190.02漢寧漢寧：0.026.6 / 6.6/0.02330N N漢明：漢明：0.026.2 / 6.2/0.02310N N布萊克曼：布萊克曼：0.0211 / 11/0.02550N N543.2 窗口設計法（時域）窗口設計法（時域）例：確定幅度頻響應為下圖的理想脈沖響應例：確定幅度頻響應為下圖的理想脈沖

34、響應21/6/3121/3 ( )( )( )sin ()/3sin ()/6,()dddnah nhnhnnananana553.2 窗口設計法（時域）窗口設計法（時域）56nnnndeenhccnjjdcc/,)()(sin21)(2 . 0cr302 . 0285. 2850N55. 4)7 . 850(1102. 03.2 窗口設計法（時域）窗口設計法（時域）573.2 窗口設計法（時域）窗口設計法（時域）58 wn=kaiser(30,4.55);nn=0:1:29;alfa=(30-1)/2;hd=sin(0.4*pi*(nn-alfa)./(pi*(nn-alfa);h=hd.*

35、wn;h1,w1=freqz(h,1);plot(w1/pi,20*log10(abs(h1);axis(0,1,-80,10);grid;xlabel(歸一化頻率/)ylabel(幅度/dB)3.2 窗口設計法（時域）窗口設計法（時域）593.3 頻率采樣法頻率采樣法一、基本思想一、基本思想 使所設計的FIR數(shù)字濾波器的頻率特性在某些離散頻率某些離散頻率點上的值準確地等于所需濾波器在這些頻率點處的值點上的值準確地等于所需濾波器在這些頻率點處的值，在其它頻率處的特性則有較好的逼近。jnhNIDFTNNkjdjdeHnhkHeHeHd )(2)()(不同于點點頻率取樣確定內(nèi)插公式60二二.設計方

36、法設計方法1）確定頻率采樣值2）利用IDFT計算3）計算系統(tǒng)函數(shù)或頻率響應,kkH(),()jwHeHZ)(nh,)()(2kjkNkjdeHkHeH0,1,1kN,)(1)(10/2NkNnkjekHNnh1, 1 , 0Nn1010()( )( )( )NjwjwnnNnnH eh n eH zh n z3.3 頻率采樣法頻率采樣法61三、 約束條件 為了設計線性相位的FIR濾波器，采樣值 H（k）要滿足一定的約束條件。 前已指出,具有線性相位的線性相位的FIR濾波器，其單位脈沖濾波器，其單位脈沖響應響應h(n)是實序列，且滿足是實序列，且滿足 ，由此得到的幅頻和相頻特性，就是對H(k)的

37、約束。)1()(nNhnh3.3 頻率采樣法頻率采樣法下面以偶對稱條件下面以偶對稱條件h(n)=h(N-n-1)為例說明設計公式為例說明設計公式。62kNjeHkH2)()(H ej()( )02 對 在 等間隔N點采樣得H(k) ,k=0,1,N-1 ) 1(21)(N對線性相位濾波器，其相位響應為： )()()(jgjeHeH 幅度響應幅度響應)(nh)()()(kjgekHkH令kNggHkH2)()(則：kNk2)()(,3.3 頻率采樣法頻率采樣法63)(kHg對頻率采樣的幅度值 有：)()(kNHkHggN N為奇數(shù)為奇數(shù) )()(kNHkHgg0)2()2(NHNHgg及N N為

38、偶數(shù)為偶數(shù) 按線性相位的偶對稱條件: )(gH)2()(ggHH若若N N為偶數(shù)，為偶數(shù)，對對為奇對稱為奇對稱: : )(gH)2()(ggHH對對為偶對稱為偶對稱: : 若若N為奇數(shù)，為奇數(shù)，kNNNkNNNkN1) 1()(1)(kNNkNNk12) 1(21)( ，k =0,1,(N-1)/2按式 對相位進行頻率采樣得： 2/) 1()(N3.3 頻率采樣法頻率采樣法64NkNjjNkNjNjee) 1() 1() 1(對對N N為偶數(shù)為偶數(shù)，(N-1)為奇數(shù) 取kNNkN1)( ，k=0,1,N/2-1NkNjNkNjNjee) 1() 1() 1(對對N N為奇數(shù)為奇數(shù)，(N-1)為

39、偶數(shù)kNNkN1)( 取 ，k=0,1,(N-1)/2綜合以上分析，可得到設計公式如下：綜合以上分析，可得到設計公式如下：3.3 頻率采樣法頻率采樣法65綜合以上分析，可得到設計公式如下：綜合以上分析，可得到設計公式如下：)()(kNHkHggkNNk1)(kNNkN1)(,對對N N為奇數(shù)，設計公式為：為奇數(shù)，設計公式為：k=0,1,(N-1)/20)2(,NHg)()(kNHkHggkNNk1)(kNNkN1)(,，k=0,1,N/2-1對對N N為偶數(shù)，設計公式為：為偶數(shù)，設計公式為：3.3 頻率采樣法頻率采樣法66 濾波器的頻率響應jez 將 代入頻率采樣公式頻率采樣公式得：)2()(

40、)()(10kNkHzHeHNkezjj21)2/sin()2/sin(1)(NjeNN其中Nk21, 2 , 1 , 0,Nk1)2(Nk在采樣點在采樣點與NkjkkeH/2)(無誤差)()(2NkjdeHkH但在采樣點之間在采樣點之間， 兩者誤差與 特性的平滑程度有關： )(jdeH在 幅度曲線的平滑段，誤差較小幅度曲線的平滑段，誤差較小，但在曲線的間曲線的間斷點附近，會產(chǎn)生較大的誤差斷點附近，會產(chǎn)生較大的誤差，使得濾波器的阻帶性能變壞 。誤差還與采樣點數(shù)N有關，N越大誤差越小越大誤差越小。)(jdeH3.3 頻率采樣法頻率采樣法67為提高阻帶衰減，常用增加過渡帶法如右圖為提高阻帶衰減，常

41、用增加過渡帶法如右圖3.3 頻率采樣法頻率采樣法68| )()(|jdjeHeH優(yōu)化原則：優(yōu)化原則：在通帶內(nèi)要求min| )()(|maxjdjeHeH在阻帶內(nèi)要求例例 用頻率采樣法設計一個低通濾波器，通帶截止頻率radp2 . 0的偶對稱情況。，采樣點數(shù)N=20，采用h(n)=h(N-n-1)2 , 0解解：N=20，在范圍內(nèi)等間隔采樣，顯然，在通帶共有3個采樣點，分別是k=0,1,2radN1 . 0/2采樣間隔為：173019181201)(kkkkHg1918)20(95. 02095. 02025 . 9)(kkkkkk又N為偶數(shù)，可得：3.3 頻率采樣法頻率采樣法69)()()(k

42、jgekHkH)(kHg)(k將 和 代入)(kH)(zH)(nh求得 ，進而求得或其相位響應為線性相位。過渡帶為：2/20 /10其幅度響應如下圖，圖中還給出了其單位脈沖響應3.3 頻率采樣法頻率采樣法70346035, 53904. 03936, 401)(kkkkkkHg3935)40(975. 050975. 04025 .19)(kkkkkk)(nh)(kHg)(k由上圖 d）可見，所設計的濾波器的阻帶衰減很小，只有-16dB。為了改進阻帶衰減，在邊界頻率處增加一個過渡點，為了保證過渡帶寬不變，將采樣點數(shù)增加一倍，變?yōu)镹=40，并將過渡點的采樣值進行優(yōu)化，取H1=0.3904，得到

43、和 分別為過渡帶為（2/402） /10，求得的單位脈沖響應和幅度響應如下圖所示。3.3 頻率采樣法頻率采樣法713.3 頻率采樣法頻率采樣法72)(kHg)(k由上圖 d）可見，這時阻帶衰減達到了-43dB。為了進一步增加阻帶衰減，可再增加一個過渡采樣點，并將采樣點數(shù)增加到60，兩個過渡樣點值經(jīng)優(yōu)化分別為=0.5925和=0.1099, 相應的 和 分別為106,54590.59257,53( )0.10998,520851gkkkkHkkkk5952)60(983. 080983. 06025 .29)(kkkkkk)(nh過渡帶為（2/603） /10所得單位脈沖響應和幅度響應如下圖所示

44、。 3.3 頻率采樣法頻率采樣法733.3 頻率采樣法頻率采樣法74增大阻帶衰減三種方法：增大阻帶衰減三種方法：1）加寬過渡帶寬，以犧牲過渡帶換取阻帶衰減的增加。加寬過渡帶寬，以犧牲過渡帶換取阻帶衰減的增加。 2）過渡帶的優(yōu)化設計過渡帶的優(yōu)化設計利用線性最優(yōu)化的方法確定過渡帶采樣點的值，得到要求的濾波器的最佳逼近（而不是盲目地設定一個過渡帶值）。上例中H9=0.3904。對應的 H(ej)的幅頻特性，比H9=0.5時 的阻帶衰減大大改善。 3）增大增大N 如果要進一步增加阻帶衰減，但又不增加過渡帶寬，可增加采樣點數(shù)N。代價是濾波器階數(shù)增加，運算量增加。代價是濾波器階數(shù)增加，運算量增加。75小結

45、：小結：頻率采樣設計法優(yōu)點： 直接從頻域進行設計，物理概念清楚，直觀方便； 適合于窄帶濾波器設計，這時頻率響應只有少數(shù)幾個非零值。典型應用：用一串窄帶濾波器組成多卜勒雷達接收機，覆蓋不同的頻段，多卜勒頻偏可反映被測目標的運動速度； 缺點：截止頻率難以控制截止頻率難以控制。 因頻率取樣點都局限在2/N的整數(shù)倍點上，所以在指定通帶和阻帶截止頻率時，這種方法受到限制，比較死板。 充分加大N，可以接近任何給定的頻率，但計算量和復雜性增加。76最優(yōu)化設計的前提是最優(yōu)準則的確定，在FIR濾波器最優(yōu)化設計中，常用的準則有 最小均方誤差準則 最大誤差最小化準則。3.4 最大誤差最小化設計最大誤差最小化設計77

46、deEdeHeHjjjd22221211) 均方誤差最小化準則， 若以E(ej)表示逼近誤差，則 那么均方誤差為)()(jjdjeHeHeE）（3.4 最大誤差最小化設計最大誤差最小化設計就是選擇一組時域采樣值，以使均方誤差就是選擇一組時域采樣值，以使均方誤差 ，這一方，這一方法注重的是在整個法注重的是在整個-頻率區(qū)間內(nèi)頻率區(qū)間內(nèi)總誤差的全局最小總誤差的全局最小，但，但不不能保證局部頻率點的性能能保證局部頻率點的性能，有些頻率點可能會有較大的誤差。，有些頻率點可能會有較大的誤差。min278對于窗口法窗口法FIR濾波器設計濾波器設計，因采用有限項的h(n)逼近理想的hd(n)，所以其逼近誤差為

47、：如果采用矩形窗 則有ndnhnh22)()(其它01)()(Nnonhnhd1222| )()(| )()(|nNnddnhnhnhnh3.4 最大誤差最小化設計最大誤差最小化設計這是一個最小均方誤差。矩形窗窗口設計法是一個最小均方矩形窗窗口設計法是一個最小均方誤差誤差FIR設計設計其優(yōu)點是過渡帶較窄過渡帶較窄，缺點是局部點誤差大局部點誤差大,或者說誤差分布不均勻。792) 最大誤差最小化準則最大誤差最小化準則（也叫最佳一致逼近準則）表示為其中F是根據(jù)要求預先給定的一個頻率取值范圍，可以是通帶，也可以是阻帶。最佳一致逼近即選擇選擇N個頻率采樣值個頻率采樣值 （ 或或時域時域 h(n) 值值

48、），在給定頻帶范圍內(nèi)使頻響的最大逼近誤差達），在給定頻帶范圍內(nèi)使頻響的最大逼近誤差達到最小。也叫等波紋逼近。到最小。也叫等波紋逼近。優(yōu)點：可保證局部頻率點的性能也是最優(yōu)的，誤差分布均勻，誤差分布均勻， 相同指標下，可用相同指標下，可用最少的階數(shù)最少的階數(shù)達到最佳化達到最佳化。 min| )(|maxjeEF3.4 最大誤差最小化設計最大誤差最小化設計80切比雪夫最佳一致逼近切比雪夫最佳一致逼近用等波紋逼近法設計濾波器需要確定五個參數(shù)： M、c、r、1、2按上圖所示的誤差容限設計低通濾波器，就是說要在通帶 0 p 內(nèi)以最大誤差 1 逼近1，在阻帶r 內(nèi) 以最大誤差2逼近零。 3.4 最大誤差最小

49、化設計最大誤差最小化設計cr813.4 最大誤差最小化設計最大誤差最小化設計要同時確定上述五個參數(shù)較困難。常用的兩種逼近方法兩種逼近方法： 1）給定M、1、2，以c和r為變量。 缺點：邊界頻率不能精確確定。 2）給定M、c和r，以1和2為變量，通過迭代運算 ，使逼近誤差1和2 最小，并確定h(n)切比雪切比雪 夫最佳一致逼近夫最佳一致逼近。 特點：能準確地指定通帶和阻帶邊界頻率。 82一.誤差函數(shù)誤差函數(shù) 定義逼近誤差函數(shù)： )()(HHWEd E 為所設計的濾波器與理想濾波器的幅頻特性在通帶和阻帶內(nèi)的誤差值， 是已知的權函數(shù)權函數(shù)，在不同頻帶可取不同的值， 所要設計的濾波器的幅頻特性 理想濾

50、波器的幅頻特性 W H dH3.4 最大誤差最小化設計最大誤差最小化設計83 rcdH001 rckW101例如，希望在固定 M, c, r 的情況下逼近一個低通濾波器，這時有21k21cos)()(0NMnnaHMn21, 2 , 1,212)(,21)0(NnnNhnaNha對于第一種線性相位濾波器（偶對稱，奇數(shù)長度）3.4 最大誤差最小化設計最大誤差最小化設計840( )( )( )( )cosMdnEWHa nn切比雪夫逼近問題變?yōu)椋瑢で笠唤M系數(shù)使逼近誤差的最大切比雪夫逼近問題變?yōu)?，尋求一組系數(shù)使逼近誤差的最大值達到最小，即值達到最小，即, 1 , 0),(Mnna2minmaxE 給定后等效于求 最小。c0r21/k3.4 最大誤差最小化設計最大誤差最小化設計85二二.交替定理（最佳逼近定理）交替定理（最佳逼近定理） 令F表示閉區(qū)間 的任意閉子集，為了使 在 F 上唯一最佳地逼近于 ,其充分必要條件是誤差函數(shù) 在 F 上至少應