1、一、條件概率二、乘法定理三、全概率公式與貝葉斯公式四、小結(jié)第五節(jié)條件概率 將一枚硬幣拋擲兩次 ,觀察其出現(xiàn)正反兩方面的情況,設(shè)事件 A為 “至少有一次為正面”,事件B為“兩次擲出同一面”. 現(xiàn)在來求已知事件A 已經(jīng)發(fā)生的條件下事件 B 發(fā)生的概率.分析事件A 已經(jīng)發(fā)生的條件下事件B 發(fā)生的概率,記為1. 引例一、條件概率同理可得為事件 B 發(fā)生的條件下事件 A 發(fā)生的條件概率.2. 定義3. 性質(zhì)二、 乘法定理例1 一盒子裝有4 只產(chǎn)品,其中有板有3 只一等品1只二等品.從中取產(chǎn)品兩次,每次任取一只,作不放回抽樣.設(shè)事件A為“第一次取到的是一等品” 事件B 為“第二次取到的是一等品”試求條件概

2、 P(B|A).解由條件概率的公式得例2 某種動(dòng)物由出生算起活20歲以上的概率為0.8, 活到25歲以上的概率為0.4, 如果現(xiàn)在有一個(gè)20歲的這種動(dòng)物, 問它能活到25歲以上的概率是多少? 設(shè) A 表示“ 能活 20 歲以上 ” 的事件; B 表示 “ 能活 25 歲以上”的事件,則有解例3 五個(gè)鬮, 其中兩個(gè)鬮內(nèi)寫著“有”字, 三個(gè)鬮內(nèi)不寫字 , 五人依次抓取,問各人抓到“有”字鬮的概率是否相同?解則有抓鬮是否與次序有關(guān)? 依此類推故抓鬮與次序無關(guān).摸球試驗(yàn) 解例4此模型被波利亞用來作為描述傳染病的數(shù)學(xué)模型.例5 設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡, 第一次落下時(shí)打破的概率為1/2,若第一次落下未打

3、破, 第二次落下打破的概率為7/10 , 若前兩次落下未打破, 第三次落下打破的概率為9/10.試求透鏡落下三次而未打破的概率.解以B 表示事件“透鏡落下三次而未打破”.1. 樣本空間的劃分三、全概率公式與貝葉斯公式2. 全概率公式全概率公式圖示證明化整為零各個(gè)擊破說明 全概率公式的主要用處在于它可以將一個(gè)復(fù)雜事件的概率計(jì)算問題,分解為若干個(gè)簡單事件的概率計(jì)算問題,最后應(yīng)用概率的可加性求出最終結(jié)果.例6 有一批同一型號的產(chǎn)品,已知其中由一廠生產(chǎn)的占 30% , 二廠生產(chǎn)的占 50% , 三廠生產(chǎn)的占 20%, 又知這三個(gè)廠的產(chǎn)品次品率分別為2% , 1%, 1%,問從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的

4、概率是多少?設(shè)事件 A 為“任取一件為次品”,解由全概率公式得30%20%50%2%1%1%稱此為貝葉斯公式. 3. 貝葉斯公式貝葉斯資料證明證畢例7解(1) 由全概率公式得(2) 由貝葉斯公式得解例8 由貝葉斯公式得所求概率為上題中概率 0.95 是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的, 叫做先驗(yàn)概率.而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97叫做后驗(yàn)概率.先驗(yàn)概率與后驗(yàn)概率解例9由貝葉斯公式得所求概率為即平均1000個(gè)具有陽性反應(yīng)的人中大約只有87人患有癌癥.1.條件概率全概率公式貝葉斯公式四、小結(jié)乘法定理貝葉斯資料Thomas BayesBorn: 1702 in London, EnglandD

5、ied: 17 April 1761 in Tunbridge Wells, Kent, England例1 設(shè)袋中有4只白球, 2只紅球 , (1) 無放回隨機(jī)地抽取兩次, 每次取一球, 求在兩次抽取中至多抽到一個(gè)紅球的概率? (2) 若無放回的抽取 3次, 每次抽取一球, 求 (a) 第一次是白球的情況下, 第二次與第三次均是白球的概率? (b) 第一次與第二次均是白球的情況下 , 第三次是白球的概率?備份題解則有例2 擲兩顆骰子, 已知兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和為7, 求其中有一顆為1點(diǎn)的概率.解設(shè)事件A 為“ 兩顆點(diǎn)數(shù)之和為 7 ”, 事件 B為 “ 一顆點(diǎn)數(shù)為1 ”.故所求概率為擲骰子試驗(yàn) 兩顆點(diǎn)數(shù)之和為 7 的種數(shù)為 3,其中有一顆為 1 點(diǎn)的種數(shù)為 1,例3 設(shè)一倉庫中有10 箱同種規(guī)格的產(chǎn)品, 其中由甲、乙、丙三廠生產(chǎn)的分別有5箱 , 3箱, 2 箱,三廠產(chǎn)品的廢品率依次為 0.1, 0.2, 0.3 從