1、第2課時(shí)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(一)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能由兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的余弦公式、兩角和與差的正弦，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.2.掌握兩角和與差的正弦、余弦公式，并能靈活運(yùn)用這些公式進(jìn)行簡單的恒等變換知識點(diǎn)一兩角和與差的余弦公式名稱簡記符號公式使用條件兩角差的余弦公式C()cos()cos cos sin sin ，R兩角和的余弦公式C()cos()cos cos sin sin ，R思考利用cos()推導(dǎo)cos()的過程中，利用了什么方法？答案推導(dǎo)過程中，利用了角的代換的方法()知識點(diǎn)二兩角和與差的正弦公式名稱簡記符號公式使用條件兩角和的正弦S()sin()sin cos co

2、s sin ，R兩角差的正弦S()sin()sin cos cos sin ，R預(yù)習(xí)小測自我檢驗(yàn)1cos 57cos 3sin 57sin 3 .答案eq f(1,2)解析原式cos(573)cos 60eq f(1,2).2sin 45cos 15cos 225sin 15 .答案eq f(1,2)3若cos eq f(3,5)，是第三象限的角，則sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4) .答案eq f(r(2),10)解析cos eq f(3,5)，是第三象限的角，sin eq r(1cos2)eq f(4,5)，sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)

3、eq f(r(2),2)sin eq f(r(2),2)cos eq f(r(2),2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,5)eq f(r(2),2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,5)eq f(r(2),10).4已知是銳角，sin eq f(3,5)，則coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4) .答案eq f(r(2),10)解析因?yàn)槭卿J角，sin eq f(3,5)，所以cos eq f(4,5)，所以coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)cos eq f(,4)cos sin eq f(,4)sin eq f(r(

4、2),2)eq f(4,5)eq f(r(2),2)eq f(3,5)eq f(r(2),10).一、給角求值例1計(jì)算：(1)cos 105；(2)eq f(sin 47sin 17cos 30,cos 17).解(1)cos 105cos(6045)cos 60cos 45sin 60sin 45eq f(1,2)eq f(r(2),2)eq f(r(3),2)eq f(r(2),2)eq f(r(2)r(6),4).(2)eq f(sin 47sin 17cos 30,cos 17)eq f(sin1730sin 17cos 30,cos 17)eq f(sin 17cos 30cos 1

5、7sin 30sin 17cos 30,cos 17)eq f(cos 17sin 30,cos 17)sin 30eq f(1,2).反思感悟解決給角求值問題的方法(1)對于非特殊角的三角函數(shù)式求值問題，一定要本著先整體后局部的基本原則，如果整體符合三角函數(shù)公式的形式，則整體變形，否則進(jìn)行各局部的變形(2)一般途徑有將非特殊角化為特殊角的和或差的形式，化為正負(fù)相消的項(xiàng)并消項(xiàng)求值，化分子、分母形式進(jìn)行約分，解題時(shí)要逆用或變用公式跟蹤訓(xùn)練1計(jì)算：(1)sin 14cos 16sin 76cos 74；(2)sin(54x)cos(36x)cos(54x)sin(36x)解(1)原式sin 14c

6、os 16sin(9014)cos(9016)sin 14cos 16cos 14sin 16sin(1416)sin 30eq f(1,2).(2)原式sin(54x)(36x)sin 901.二、給值求值例2已知eq f(,2)eq f(3,4)，cos()eq f(12,13)，sin()eq f(3,5)，求cos 2的值解eq f(,2)eq f(3,4)，eq f(3,4)eq f(,2).0eq f(,4)，eq f(3,2).sin()eq r(1cos2)eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(12,13)2)eq f(5,13)，cos()eq r(1sin2)

7、eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(3,5)2)eq f(4,5).cos 2cos()()cos()cos()sin()sin()eq f(12,13)eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,5)eq f(5,13)eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,5)eq f(33,65)，即cos 2eq f(33,65).延伸探究1若本例的條件不變，求sin 2的值解由本例解析知sin 2sin()()sin()cos()cos()sin()eq f(5,13)eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,5)eq f(12,13)eq blc(rc)(a

8、vs4alco1(f(3,5)eq f(56,65).2若本例條件變?yōu)椋篹q f(,2)eq f(3,4)，sin()eq f(5,13)，sin()eq f(5,13)，求sin 2的值解因?yàn)閑q f(,2)eq f(3,4)，所以0eq f(,4)，eq f(3,2).所以cos()eq f(12,13)，cos()eq f(12,13)，所以sin 2sin()()sin()cos()cos()sin()eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,13)eq f(12,13)eq blc(rc)(avs4alco1(f(12,13)eq f(5,13)0.反思感悟給值(式)求值的策

9、略(1)當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，“所求角”一般表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式(2)當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”跟蹤訓(xùn)練2已知sin()eq f(1,2)，sin()eq f(1,3)，求eq f(tan ,tan )的值解sin()eq f(1,2)，sin cos cos sin eq f(1,2).sin()eq f(1,3)，sin cos cos sin eq f(1,3).由，解得sin cos eq f(5,12)，cos sin eq f(1,12)，eq f(tan ,tan )eq f(s

10、in cos ,cos sin )eq f(f(5,12),f(1,12)5.三、給值求角例3已知cos eq f(1,7)，sin()eq f(5r(3),14)，0eq f(,2)，0eq f(,2)，求角的值解因?yàn)?eq f(,2)，cos eq f(1,7)，所以sin eq f(4r(3),7).又因?yàn)?eq f(,2)，所以0.因?yàn)閟in()eq f(5r(3),14)sin ，所以cos()eq f(11,14)，所以sin sin()sin()cos cos()sin eq f(5r(3),14)eq f(1,7)eq blc(rc)(avs4alco1(f(11,14)eq

11、f(4r(3),7)eq f(r(3),2).又因?yàn)?eq f(,2)，所以eq f(,3).延伸探究若把本例中的“0eq f(,2)”改為“eq f(,2)”，求角的值解因?yàn)?eq f(,2)，cos eq f(1,7)，所以sin eq f(4r(3),7).又因?yàn)閑q f(,2)，所以eq f(,2)eq f(3,2).因?yàn)閟in()eq f(5r(3),14)，所以cos()eq f(11,14)，所以sin sin()sin()cos cos()sin eq f(5r(3),14)eq f(1,7)eq blc(rc)(avs4alco1(f(11,14)eq f(4r(3),7)e

12、q f(r(3),2).又因?yàn)閑q f(,2)，所以eq f(2,3).反思感悟解決給值(式)求角問題的方法解決此類題目的關(guān)鍵是求出所求角的某一三角函數(shù)值，而三角函數(shù)的選取一般要根據(jù)所求角的范圍來確定，當(dāng)所求角范圍是(0，)或(，2)時(shí)，選取求余弦值，當(dāng)所求角范圍是eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，f(3,2)或eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，f(,2)時(shí)，選取求正弦值跟蹤訓(xùn)練3已知，均為銳角，且sin eq f(r(5),5)，cos eq f(r(10),10)，求的值解因?yàn)?，均為銳角，且sin eq f(r(5),5)，cos eq f(r(10

13、),10)，所以cos eq f(2r(5),5)，sin eq f(3r(10),10).所以sin()sin cos cos sin eq f(r(5),5)eq f(r(10),10)eq f(2r(5),5)eq f(3r(10),10)eq f(r(2),2).又因?yàn)?，均為銳角，所以eq f(,2)eq f(,2).故eq f(,4).1sin 20cos 10cos 160sin 10等于()Aeq f(r(3),2) B.eq f(r(3),2) Ceq f(1,2) D.eq f(1,2)答案D解析sin 20cos 10cos 160sin 10sin 20cos 10cos

14、 20sin 10sin 30eq f(1,2).2若cos eq f(4,5)，是第三象限的角，則sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)等于()Aeq f(7r(2),10) B.eq f(7r(2),10) Ceq f(r(2),10) D.eq f(r(2),10)答案A3已知coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)eq f(4,5)(為銳角)，則sin 等于()A.eq f(3r(3)4,10) B.eq f(34r(3),10) C.eq f(34r(3),10) D.eq f(3r(3)4,10)考點(diǎn)兩角和與差的正弦公式題點(diǎn)利用和與差的正弦公式

15、求值答案D解析因?yàn)閑q blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)，所以eq f(,6)eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)，f(2,3).所以sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)eq r(1cos2blc(rc)(avs4alco1(f(,6)eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(4,5)2)eq f(3,5).所以sin sineq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(f(,6)f(,6)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)cos eq f(,6)coseq blc(rc)(a

16、vs4alco1(f(,6)sin eq f(,6)eq f(3,5)eq f(r(3),2)eq f(4,5)eq f(1,2)eq f(3r(3)4,10).4已知sin cos 1，cos sin 0，則sin() .答案eq f(1,2)解析sin cos 1，cos sin 0，sin2cos22sin cos 1，cos2sin22cos sin 0，兩式相加可得sin2cos2sin2cos22(sin cos cos sin )1，sin()eq f(1,2).5已知銳角，滿足sin eq f(2r(5),5)，cos eq f(r(10),10)，則 .答案eq f(3,4)

17、解析，為銳角，sin eq f(2r(5),5)，cos eq f(r(10),10)，cos eq f(r(5),5)，sin eq f(3r(10),10).cos()cos cos sin sin eq f(r(5),5)eq f(r(10),10)eq f(2r(5),5)eq f(3r(10),10)eq f(r(2),2).又0，eq f(3,4).1知識清單：(1)公式的推導(dǎo)；(2)給角求值、給值求值、給值求角；(3)公式的正用、逆用、變形用2方法歸納：公式的構(gòu)造，角的構(gòu)造3常見誤區(qū)：求值或求角時(shí)忽視角的范圍1化簡cos(xy)sin ysin(xy)cos y等于()Asin(

18、x2y) Bsin(x2y)Csin x Dsin x答案D解析cos(xy)sin ysin(xy)cos ysiny(xy)sin x.2sin 40cos 10sin 130sin 10等于()Aeq f(r(3),2) B.eq f(r(3),2) Ceq f(1,2) D.eq f(1,2)答案D解析sin 40cos 10sin 130sin 10cos 50cos 10sin 50sin 10cos(5010)cos 60eq f(1,2)，故選D.3化簡sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,3)sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,3)等于(

19、)Asin x Bsin x Ccos x Dcos x答案B解析sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,3)sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,3)eq f(1,2)sin xeq f(r(3),2)cos xeq f(1,2)sin xeq f(r(3),2)cos xsin x.4在ABC中，若sin(BC)2sin Bcos C，則ABC是()A銳角三角形 B直角三角形C鈍角三角形 D等腰三角形答案D解析因?yàn)閟in(BC)2sin Bcos C，所以sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bcos C，即sin Bcos Ccos Bsin

20、 C0，所以sin(BC)0，所以BC.所以ABC是等腰三角形5已知cos eq f(3,5)，cos()eq f(7r(2),10)，且0eq f(,2)，那么等于()A.eq f(,12) B.eq f(,6) C.eq f(,4) D.eq f(,3)答案C解析0eq f(,2)，0eq f(,2)，由cos eq f(3,5)得sin eq f(4,5)，由cos()eq f(7r(2),10)得sin()eq f(r(2),10)，sin sin()sin cos()cos sin()eq f(4,5)eq f(7r(2),10)eq f(3,5)eq f(r(2),10)eq f(

21、25r(2),50)eq f(r(2),2)，eq f(,4).6sin 105的值為 答案eq f(r(2)r(6),4)解析sin 105sin(4560)sin 45cos 60cos 45sin 60eq f(r(2),2)eq f(1,2)eq f(r(2),2)eq f(r(3),2)eq f(r(2)r(6),4).7已知sin cos eq f(1,2)，cos sin eq f(1,3)，則sin() .答案eq f(59,72)解析由sin cos eq f(1,2)兩邊平方得sin22sin cos cos2eq f(1,4)，由cos sin eq f(1,3)兩邊平方

22、得cos22cos sin sin2eq f(1,9)，得(sin2cos2)2(sin cos cos sin )(cos2sin2)eq f(1,4)eq f(1,9)，12sin()1eq f(13,36).sin()eq f(59,72).8已知coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)eq f(12,13)eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)f(,2)，則cos .答案eq f(12r(3)5,26)解析由于0eq f(,6)eq f(,3)，coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)eq f(12,13)，所以sineq blc(rc

23、)(avs4alco1(f(,6)eq f(5,13).所以cos coseq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(f(,6)f(,6)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)cos eq f(,6)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)sin eq f(,6)eq f(12,13)eq f(r(3),2)eq f(5,13)eq f(1,2)eq f(12r(3)5,26).9已知sin()cos cos()sin eq f(4,5)，是第三象限角，求sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)的值解sin(

24、)cos cos()sin sin()cos cos()sin sin()sin()sin eq f(4,5)，sin eq f(4,5)，又是第三象限角，cos eq r(1sin2)eq f(3,5)，sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)sin coseq f(,4)cos sin eq f(,4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,5)eq f(r(2),2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,5)eq f(r(2),2)eq f(7r(2),10).10已知函數(shù)f(x)Asineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,3)，xR

25、，且feq blc(rc)(avs4alco1(f(5,12)eq f(3r(2),2).(1)求A的值；(2)若f()f()eq r(3)，eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)，求feq blc(rc)(avs4alco1(f(,6).考點(diǎn)兩角和與差的正弦公式題點(diǎn)兩角和與差的正弦公式的綜合應(yīng)用解(1)由feq blc(rc)(avs4alco1(f(5,12)Asineq blc(rc)(avs4alco1(f(5,12)f(,3)Asin eq f(3,4)eq f(r(2),2)Aeq f(3r(2),2)，可得A3.(2)由(1)知，f(x)3sineq blc(r

26、c)(avs4alco1(xf(,3)，又f()f()eq r(3)，則3sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)3sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)eq r(3)，即3eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)sin f(r(3),2)cos )3eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)cos f(1,2)sin )eq r(3)，故sin eq f(r(3),3).因?yàn)閑q blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)，所以cos eq f(r(6),3)，所以feq blc(rc)(avs4alco1(f(,

27、6)3sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)f(,3)3sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)3cos eq r(6).11在ABC中，已知sin C2sin(BC)cos B，則ABC一定是()A等腰直角三角形 B等腰三角形C直角三角形 D等邊三角形考點(diǎn)兩角和與差的正弦公式題點(diǎn)利用兩角和與差的正弦公式求角答案B解析由sin C2sin(BC)cos B得sin(AB)2sin Acos B，所以sin Acos B cos Asin B0，所以sin(AB)0，即AB，所以ABC為等腰三角形12形如eq blc|rc|(avs4alco1(ab,cd)

28、的式子叫做行列式，其運(yùn)算法則為eq blc|rc|(avs4alco1(ab,cd)adbc，則行列式eq blc|rc|(avs4alco1(cos f(,3)sin f(,6),sin f(,3)cos f(,6) 的值是 答案0解析eq blc|rc|(avs4alco1(cos f(,3)sin f(,6),sin f(,3)cos f(,6)cos eq f(,3)cos eq f(,6)sin eq f(,3)sin eq f(,6)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)f(,6)cos eq f(,2)0.13若sineq blc(rc)(avs4alco1(

29、f(,4)eq f(1,2)，sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(r(3),2)，其中eq f(,4)eq f(,2)，eq f(,4)eq f(,2)，則角的值為 答案eq f(5,6)解析eq f(,4)eq f(,2)，eq f(,4)eq f(,2)，eq f(,4)eq f(,4)0，eq f(,2)eq f(,4)eq f(3,4).coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq r(1sin2blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(r(3),2)，coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq r(1sin2blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(1,2)，cos()coseq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(f(,4)blc(rc)(avs4alco1(f(,4)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq f(r(3),2)e