1、1 3 微觀粒子的不可分辯性與泡利不相容原理波函數(shù)的重疊導(dǎo)致同種粒子的不可分辨性箱中兩粒子波函數(shù)：粒子1出現(xiàn)在dx區(qū)間且粒子2出現(xiàn)在dx區(qū)間的概率為將兩粒子交換，粒子1出現(xiàn)在dx區(qū)間且粒子2出現(xiàn)在dx區(qū)間的概率為23 微觀粒子的不可分辯性與泡利不相容原理由于兩個(gè)粒子的不可分辨性，交換后的概率分布必須與交換前的相同粒子1出現(xiàn)在dx區(qū)間且粒子2出現(xiàn)在dx區(qū)間的概率為于是，滿足下列條件之一的兩粒子波函數(shù)：可以保持交換前后概率不變33 微觀粒子的不可分辯性與泡利不相容原理滿足第一式的為對稱波函數(shù)。波函數(shù)為對稱的粒子為玻色子。滿足第二式的為反對稱波函數(shù)。波函數(shù)為反對稱得粒子為費(fèi)米子。4同一支殼層內(nèi)的電子

2、可有 (2l+1)2 種量子態(tài)，所以 主量子數(shù)為 n 的殼層內(nèi)可容納的電子數(shù)為：同一個(gè) n 組成一個(gè)殼層（K, L, M, N, O, P）,相同 n, l 組成一個(gè)支殼層（s, p, d, f, g, h）,泡利不相容原理 (Pauli exclusion principle) 泡利 1925 年提出：“一個(gè)原子內(nèi)不可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的電子具有完全相同的狀態(tài)(即具有相同的四個(gè)量子數(shù))”5獲1945年諾貝爾 物理學(xué)獎(jiǎng)Wolfgang Pauli 奧地利人 1900-1958 泡 利6四. 廣義泡利原理和玻色愛因斯坦凝聚微觀粒子可分成兩大類 ：自旋是整數(shù): 0，1，2 稱為玻色子,如: , o

3、 , + ，自旋為半整數(shù)：1/2，3/2 稱為費(fèi)米子,如: p , n, e，廣 義 的 泡 利 原 理 ： 同 一 體 系 中 ,不 能 有 兩 個(gè) 或 兩 個(gè) 以 上 的 同 類費(fèi) 米 子 處 于 完 全 相 同 的 量 子 態(tài) 上 。泡利原理不僅對電子適用，對一切費(fèi)米子都適用。稱為廣義泡利原理。7玻色子與費(fèi)米子的一個(gè)類比學(xué)生宿舍與床鋪號為“量子態(tài)”。學(xué)生為費(fèi)米子。每個(gè)床鋪只能容納一個(gè)學(xué)生。若同一房間里有兩個(gè)學(xué)生，他們一定分占不同床鋪！人影子是“玻色子”。同一床鋪（“量子態(tài)”）可容納無數(shù)多個(gè)影子！一個(gè)狀態(tài)（ ）只能容納一個(gè)電子！即不可能有兩個(gè)或多于兩個(gè)電子共占一個(gè)態(tài)。8本章下列內(nèi)容主要取自

4、D. Griffiths的書。請同學(xué)們自行參閱。9交換力（exchange force）對稱或反對稱空間波函數(shù)為要能構(gòu)造成反對稱波函數(shù)，必須要求否則波函數(shù)無法歸一化10例題無限深勢阱中的兩個(gè)自旋相同的不可分辨粒子玻色子基態(tài)：第一激發(fā)態(tài)若為費(fèi)米子，不允許兩個(gè)粒子同為基態(tài)。能量最低的態(tài)是11交換力（exchange force）設(shè)對稱或反對稱空間波函數(shù)為計(jì)算其距離分隔的平均值正交歸一12交換力（exchange force）13交換力（exchange force）14交換力（exchange force）可見，對稱波函數(shù)兩個(gè)粒子結(jié)合更緊密；反稱波函數(shù)兩個(gè)粒子分隔較遠(yuǎn)。差值15可見，對稱波函數(shù)兩個(gè)

5、粒子結(jié)合更緊密；反稱波函數(shù)兩個(gè)粒子分隔較遠(yuǎn)。這就好像有一個(gè)吸引力或者排斥力一樣。注意，交換力并不真的是力，我們僅僅是采用這個(gè)名詞術(shù)語來形象地表示空間波函數(shù)的對稱性導(dǎo)致粒子間距變化。用此指標(biāo)，我們可以定量描述對稱性所引發(fā)的“后果”。特別的，若空間波函數(shù)完全沒有交疊，此時(shí)兩個(gè)粒子實(shí)際上是可以區(qū)分的，即便寫成對稱或反對稱形式，我們會發(fā)現(xiàn)平均距離沒有變化。此時(shí)我們不必把它們當(dāng)成全同粒子來處理。例如，你身上的一個(gè)電子和我身上的一個(gè)電子，它們的波函數(shù)可以就簡單地寫成兩個(gè)波函數(shù)的乘積形式，不必理會“反對稱性”。因?yàn)榇藭r(shí)它們的空間波函數(shù)沒有交疊，即便把寫成反對稱形式，此反對稱性也不會引發(fā)任何“后果”。但是，在

6、一些別的情況下對稱性要求會導(dǎo)致明顯“后果”！16按自旋分兩套能級: (單態(tài),仲氦) (三重態(tài),正氦)三重態(tài)沒有基態(tài)（兩個(gè)電子都處于1s態(tài)）三重態(tài)能級低于相應(yīng)獨(dú)態(tài)能級Pauli原理與氦原子能級為什么？我們可以用Pauli原理解釋17三重態(tài)沒有基態(tài)，相同量子數(shù)的三重態(tài)能級低于相應(yīng)獨(dú)態(tài)能級Pauli原理與氦原子能級為什么？我們可以用Pauli原理解釋解釋思路：1）兩個(gè)核外電子相互作用能為正值，其大小不可忽略；2）電子是費(fèi)米子，Pauli原理要求其整體狀態(tài)為反對稱的，即要求：若自旋部分為對稱，則空間波函數(shù)反對稱，若自旋部分反對稱，則空間波函數(shù)對稱。3）自旋三重態(tài)是對稱態(tài)，要求空間波函數(shù)為反對稱。而前面

7、已經(jīng)說明，反對稱波函數(shù)要求兩個(gè)粒子不能處于相同波函數(shù)，當(dāng)然也就要求它們不能都處于1s態(tài)，因此，三重態(tài)沒有基態(tài)。4）若兩個(gè)電子的空間波函數(shù)是對稱的，則電子結(jié)合較緊密，相互作用能較大，若是反對稱的，則電子平均間距較大，相互作用能較小。18氫原子中電子的電勢能 能級由此類推，如果忽略電子間相互作用能，氦原子基態(tài)能量為Pauli原理與氦原子能級氦原子兩個(gè)電子相互作用能不可忽略。19He energy levels由此類推，氦原子基態(tài)能量為實(shí)驗(yàn)觀察值為-79eV！這么大的差別只能來源于電子間相互作用 ！即下列式右邊最后一項(xiàng)。20Simplified calculationexperimentGround

8、 state energy-108.8eV-79.0eVIonization energy54.4eV24.6eV簡化表示注：氫原子能級：21Pauli Exclusion PrincipleStatement 1: No two electrons in an atom may have the same set of quantum numbers (n,l,m,ms ).Wolfgang Pauli (1925, Nobel Prize in 1945)22Statement 2: Total wave functions of a many-electron system must b

9、e antisymmetric.Pauli Exclusion Principlea restriction to antisymmetric wavefunction23氦原子空間波函數(shù): 24Spin-up state: Spin-down state: Spin state: (1,2)Possible spin states:1(1,2) and 4(1,2) are symmetric.2(1,2) and 3(1,2) are not symmetric.氦原子25氦原子Total state:26Singlet states (related to symmetric spati

10、al wave functions, para helium仲氦):Triplet states (related to antisymmetric spacial wave functions, ortho helium正氦):Singlet and triplet states27基態(tài)是 a singlet state. 為什么不可能是 triplet state?Pauli proposed exclusion principle in order to explain the fact that ground state is a singlet state. Singlet and

11、triplet states單態(tài)仲氦要求空間波函數(shù)必須是對稱的，以便整個(gè)兩電子態(tài)是反稱的。這種對稱的空間波函數(shù)允許兩個(gè)電子都處于1s態(tài)上。而對于三重態(tài)，其空間波函數(shù)必須是反對稱的，因此不允許兩個(gè)電子都處于1s態(tài)。對于三重態(tài)，至少有一個(gè)電子主量子數(shù)大于1。28本圖的能級限于一個(gè)電子處于 即n=1，l=0, 的情況，即空間按態(tài)由另外一個(gè)電子狀態(tài)決定。如果是三重態(tài)，不可能兩個(gè)電子都是 ，因?yàn)檫@樣無法構(gòu)成反對稱態(tài)。氦原子29為什么，在量子數(shù)相同的情況下，triplet states 能級低于singlet states ？Singlet and triplet states對于三重態(tài)，空間波函數(shù)反對稱

12、，因此兩個(gè)電子平均距離較遠(yuǎn),能量較低 ！對于單態(tài)，空間波函數(shù)對稱，因此兩個(gè)電子平均距離較近，能量較高！30各種原子核外電子的排布一.原子中電子的四個(gè)量子數(shù) 描述原子中電子的運(yùn)動狀態(tài)需要一組量子數(shù)（ n，l，ml，ms ）。主量子數(shù) n=1, 2, 3, 決定能量的主要因素；角(軌道)量子數(shù) l = 0, 1, 2(n-1) ，對能量有 一定影響；n一定時(shí), 有n 個(gè)不同的 l , l 越小能量越低。31自旋角動量不變，可不計(jì)入。另有自旋量子數(shù) s = 1/2自旋磁量子數(shù) ，產(chǎn)生能級精細(xì)結(jié)構(gòu)。磁量子數(shù) ，引起磁場中的能級分裂；原子中核外電子的排布要遵守以下兩個(gè)原理:泡利不相容原理;能量最低原理。

13、32同一支殼層內(nèi)的電子可有 (2l+1)2 種量子態(tài)，所以 主量子數(shù)為 n 的殼層內(nèi)可容納的電子數(shù)為：同一個(gè) n 組成一個(gè)殼層（K, L, M, N, O, P）,相同 n, l 組成一個(gè)支殼層（s, p, d, f, g, h）,二.泡利不相容原理 (Pauli exclusion principle) 泡利 1925 年提出：“一個(gè)原子內(nèi)不可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的電子具有完全相同的狀態(tài)(即具有相同的四個(gè)量子數(shù))”33三.能量最低原理“電子優(yōu)先占據(jù)最低能態(tài)”ZeKLMnl1021032103d3p3s 2p2s 1s n=1n=2n=334第五章 固體中的電子費(fèi)米能量能帶35第五章，固體中的電

14、子1， 金屬自由電子模型與費(fèi)米能量金屬中的“公共”電子受晶格上正離子庫侖勢作用。但是由于其德布羅意波長遠(yuǎn)大于庫侖勢周期，因此電子感受到的勢場可近似為平均勢場（常數(shù)），因而不受力的作用。在這個(gè)意義上講，金屬中的那些公共電子可被認(rèn)為是自由電子。對于銅塊，晶格正離子間距為室溫下電子德布羅意波長為36第五章，固體中的電子7.1， 金屬自由電子模型與費(fèi)米能量在常溫或者低溫下，電子很難逸出金屬表面?？烧J(rèn)為電子處于一個(gè)三維箱中（無限深方勢阱。）aaa37第五章，固體中的電子7.1， 金屬自由電子模型與費(fèi)米能量在常溫或者低溫下，電子很難逸出金屬表面。可認(rèn)為電子處于一個(gè)三維箱中（無限深方勢阱。）aaa由Paul

15、i不相容原理，同一個(gè)態(tài)上只能有一個(gè)電子。在量子數(shù)空間，任何一組量子數(shù)給出一個(gè)空間態(tài)。每個(gè)空間態(tài)的“體積”為1。不同的空間量子數(shù)態(tài)能量可以相同。38aaa考慮自旋，能量小于E的總態(tài)數(shù)為單位體積狀態(tài)數(shù)39考慮自旋，能量小于E的總態(tài)數(shù)為單位體積狀態(tài)數(shù)考慮T=0的情況。結(jié)合能量最低原理與Pauli不相容原理，則電子可能的最高能量為此為費(fèi)米能量，它只取決于金屬的自由電子數(shù)密度。對應(yīng)的能級為費(fèi)米能級。40金屬自由電子模型與費(fèi)米能量自學(xué)：費(fèi)米速度，費(fèi)米溫度，態(tài)密度常溫下金屬中自由電子的能量分布與0K時(shí)幾乎相同。常溫下，kT=0.03eV. 電子同離子碰撞最多得到這點(diǎn)能量。這個(gè)能量遠(yuǎn)小于費(fèi)米能級。0K時(shí)費(fèi)米能

16、級以下的態(tài)都被填滿。由于Pauli不相容原理，電子如果要改變狀態(tài)，必須躍遷到費(fèi)米能級以上。因此，溫度只改變據(jù)費(fèi)米能級0.03eV薄層內(nèi)的電子態(tài)。41解釋金屬摩爾熱容。經(jīng)典理論對金屬熱容的解釋歸結(jié)為離子振動。后來發(fā)現(xiàn)，按同樣的理論，電子振動對熱容的貢獻(xiàn)應(yīng)該是實(shí)驗(yàn)值的一半左右，但是實(shí)際上卻沒有。原因：大部分電子狀態(tài)都被固定死了，它們不可能吸收熱運(yùn)動能量。只有在費(fèi)米能級附近的薄層內(nèi)的電子才對熱容有貢獻(xiàn)。在室溫下，這一貢獻(xiàn)不到經(jīng)典預(yù)計(jì)值得1%。42 幾個(gè)原子有相互作用構(gòu)成一個(gè)體系時(shí)電子的能級如何？ 大量原子有相互作用構(gòu)成一個(gè)體系時(shí)，電子的能量狀態(tài)（能級）如何？從原子能級到固體能帶原子中的電子處于不同的

17、能級。 固體的能帶43先看兩個(gè)原子的情況。Mg。Mg1s2s2p3s3p 根據(jù)泡利不相容原理，原來的能級已填滿不能再填充電子分裂為兩條1s2s2p3s3p空帶價(jià)帶兩個(gè)原子靠近時(shí)，波函數(shù)重疊44若有N個(gè)原子組成一體系，對于原來孤立原子的一個(gè)能級，就分裂成N條靠得很近的能級，能帶的寬度記作 E， E eV 的量級， 若 N 1023，則能帶中兩相鄰能級的間距約 10-23 eV。稱為能帶（Energy band）。45能級能帶 EN條能隙，禁帶46原來孤立原子中的電子可處能量是一個(gè)個(gè)能級，現(xiàn)在，晶體中的電子可處能量是一個(gè)個(gè)能帶。下面集中介紹有關(guān)能帶的幾個(gè)結(jié)論：孤立原子 晶體電子能級電子能帶對比：4

18、75. 電子在晶體中按能級是如何排布的呢？電子是費(fèi)密子，它的排布原則有以下兩條：（1） 服從泡里不相容原理（2） 服從能量最小原理按照泡里不相容原理，對于孤立原子的一個(gè) 能級 Enl 最多能容納 2（2 l +1）個(gè)電子。例：。Mg(Z=12)1s2s2p3s3p48對于晶體，每一能級“分裂”成 由 N 條能級組成 的能帶了，按照泡里不相容原理，每條能帶 最多能容納 的電子數(shù)為 2 N (2l+1)個(gè)。例如，對孤立原子的1S、2S能級, 在形成晶體后 相應(yīng)地成為兩個(gè)能帶。它們最多能容納的 電子數(shù)為 2N個(gè)。 對孤立原子的 2P、3P能級, 在形成晶體后也相應(yīng)地成為兩個(gè)能帶。它們最多能容納的電子

19、數(shù)為 6N個(gè)。491s2s2p3s3p晶體Mg（N個(gè)原子）每個(gè)能帶最多容納 2個(gè)電子1s、2s能帶每個(gè)能帶最多容納 6個(gè)電子2p、3p能帶Mg原子(Z=12)50 按照能量最小原理， 電子排布時(shí)還得從最低的能級排起。孤立原子的內(nèi)層電子能級一般都是填滿的， 在形成晶體時(shí)，其相應(yīng)的能帶也填滿了電子。孤立原子的外層電子能級可能填滿了電子 也可能未填滿電子。若原來未填滿電子的，在形成晶體時(shí)，其相應(yīng)的能帶也未填滿電子。若原來填滿電子的，在形成晶體時(shí)，其相應(yīng)的能帶也填滿了電子。 孤立原子中較高的電子能級上沒有電子， 在形成晶體時(shí)，其相應(yīng)的能帶上也沒有電子。51排了電子但未排滿的也稱為未滿帶； 價(jià)帶上面相鄰

20、的那個(gè)未排電子的能帶稱為導(dǎo)帶；兩個(gè)能帶之間是禁帶，不能排電子。和價(jià)電子能級相應(yīng)的能帶稱為價(jià)帶 （即最上面的有電子存在的能帶）；幾個(gè)名詞：排滿電子的也稱為滿帶。 52晶體Mg（N個(gè)原子）1s2s2p3s3p每個(gè)能帶最多容納 2個(gè)電子1s、2s 、3s 能帶每個(gè)能帶最多容納 6個(gè)電子2p、3p 能帶Mg原子(Z=12)導(dǎo)帶價(jià)帶53只有不滿帶中的電子才能導(dǎo)電導(dǎo)電大量共有化電子在電場作用下作定向運(yùn)動，三. 能帶對電導(dǎo)的貢獻(xiàn)滿帶 對導(dǎo)電無貢獻(xiàn),能帶中的電子不能導(dǎo)電。E54得到附加能量電子，要到較高的能級上去，只有不滿帶中的電子才有可能。E電子受電場力作用，以一定速度漂移， v 10 -2 cm/s, 電

21、子得到附加的能量。55導(dǎo)體、半導(dǎo)體和絕緣體導(dǎo)體 電阻率 10 8 m半導(dǎo)體 電阻率 10 4 107 m絕緣體 電阻率 10 12 1020 m各種晶體都有大量電子，為什么導(dǎo)電性有很大的差別 ?這要用能帶理論來說明56導(dǎo) 體：價(jià)帶是不滿帶某些一價(jià)金屬，如: Li 某些二價(jià)金屬，如: Be, Ca, Mg, Zn, Ba 57絕緣體：價(jià)帶是滿帶能隙寬在外電場的作用下, 電子很難接受外電場的能量，形不成電流。半導(dǎo)體：在 T=0K時(shí), 為絕緣體但能隙較窄, 溫度升高時(shí), 一部分電子從價(jià)帶躍遷到導(dǎo)帶，形成不滿帶。具有一定的導(dǎo)電性。 = 3eV10eV0.1eV3.0eVPauli 不相容原理58旋轉(zhuǎn)磁

22、場中電子自旋演化的嚴(yán)格解要解方程 (1)要S變換。 代入原方程，得到59旋轉(zhuǎn)磁場中電子自旋演化的嚴(yán)格解代入原方程，得到左乘一個(gè) 化簡得到， H能不能不含時(shí)？60旋轉(zhuǎn)磁場中電子自旋演化的嚴(yán)格解H能不能不含時(shí)？不含時(shí)！61旋轉(zhuǎn)磁場中電子自旋演化的嚴(yán)格解本征值：本征態(tài)：其中：或者62旋轉(zhuǎn)磁場中電子自旋演化的嚴(yán)格解假設(shè)初始時(shí)刻電子自旋向上 63PBS與Bell測量|h|vPBSPBSR為偏振空間45度轉(zhuǎn)動D1D2D3D4PBSPBSRR探測器聯(lián)合相應(yīng)：（D1,D4)或（D2，D3）代表 ； （D1,D3)或（D2，D4）代表 。若上下側(cè)只有一側(cè)相應(yīng)，結(jié)果不確定。64量子芝諾效應(yīng)量子芝諾效應(yīng)與量子糾纏65利用反量子芝諾效應(yīng)制備量子態(tài)量子芝諾效應(yīng)與量子糾纏同理，若逐步改變測量基，我們還可以做態(tài)制備66利用量子芝諾效應(yīng)作普適量子計(jì)算Rotate