1、微積分教學(xué)中的思維培養(yǎng)微積分教學(xué)中的思維培養(yǎng)高等數(shù)學(xué)教論文聯(lián)盟.Ll.學(xué)注重培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)才能，其中思維才能至關(guān)重要.思維才能是指通過分析、綜合、概括、抽象、比較、詳細化和系統(tǒng)化等一系列過程，對感性材料進展加工并轉(zhuǎn)化為理性認識及解決問題的才能.毋庸置疑，學(xué)生的學(xué)習(xí)活動離不開思維，思維才能是學(xué)習(xí)才能的核心.微積分是高等數(shù)學(xué)中的重要教學(xué)內(nèi)容,我結(jié)合教學(xué)理論，就微積分對學(xué)生思維才能的培養(yǎng)談幾點粗淺認識.一、培養(yǎng)創(chuàng)新思維才能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，首先要引導(dǎo)學(xué)生有創(chuàng)新意識.創(chuàng)新意識是人意識活動中的一種積極的、富有成果性的表現(xiàn)形式，是人們進展創(chuàng)造活動的出發(fā)點和內(nèi)在動力，是創(chuàng)造性思維和創(chuàng)造力的前提.為此應(yīng)積極

2、提供給學(xué)生獨立考慮的時機，讓他們對所學(xué)知識進展綜合分析挑選，大膽提出自己的想法，從而到達思維的創(chuàng)新變通和打破.比方求不定積分?蘩xdx，按照常規(guī)思維看到大部分學(xué)生會想到首先設(shè)x+1=t，求出dx=2tdt,從而去掉根號將原式轉(zhuǎn)化為2?蘩(t-1)tdt,最后根據(jù)根本公式求出不定積分.那么假設(shè)不去呢？讓學(xué)生自己大膽考慮另辟蹊徑.經(jīng)過一番自我思索、互相討論、積極嘗試，他們找到了新方法：先進展恒等變形，然后利用湊微分法詳細如下：?蘩(x+1-1)dx=?蘩(x+1)dx-?蘩dx=?蘩(x+1)d(x+1)-?蘩d(x+1)=(x+1)-(x+1)+再比方：求不定積分?蘩dx，根據(jù)被積函數(shù)的形式先分

3、析出第一步要恒等變形，拋磚以后把引玉的工作交給學(xué)生，及時調(diào)動他們的學(xué)習(xí)主動性、積極性和創(chuàng)始性，果然收效甚好，得出了兩種不同的解法：方法一：?蘩dx=?蘩dx=?蘩dx=?蘩dx=?蘩(+)dx=?蘩sxdx+?蘩dsinx=-tx-(sinx)+方法二：?蘩dx=?蘩dx=?蘩sdx=-t+兩種不同的求法，既讓學(xué)生復(fù)習(xí)穩(wěn)固了有關(guān)三角函數(shù)關(guān)系式，又及時開拓了他們的思維.二、培養(yǎng)逆向思維才能逆向思維也叫求異思維，它是對司空見慣的似乎已成定論的事物或觀點反過來考慮的一種思維方式.敢于反其道而思之，讓思維向?qū)α⒚娴姆较蜷_展，從問題的相反面深化地進展探究，樹立新思想，創(chuàng)立新形象.數(shù)學(xué)教學(xué)中通常是從推到結(jié)

4、論的思維方式，其實，對于某些問題，假設(shè)正向思維有時會有較大的運算量，有時甚至無法解決，這種情況下就要積極換一個角度看問題，從而使問題簡單化.例1：從半徑為r的圓形鐵片上截去一扇形，并將剩下的部分做成一個漏斗，問截下扇形的圓心角?準為何值時，漏斗的容積最大.假設(shè)正向思維要求漏斗容積最大，首先要表示出漏斗容積的表達式V=rh其中r為漏斗底面半徑，h為漏斗的高，根據(jù)題義及圓錐的有關(guān)知識得V=(2-?準)式此表達式比較復(fù)雜，必定導(dǎo)致求導(dǎo)過程的煩瑣.假設(shè)反過來考慮，問題就轉(zhuǎn)化為求剪剩下的扇形圍成漏斗的容積最小的問題，其體積表達式如下V=()式很明顯式比式要簡單，容易求導(dǎo)準確地求出?準值.利用逆向思維不僅

5、可以簡化計算，而且可以培養(yǎng)學(xué)生活學(xué)活用知識的才能.例2：?蘩f(x)sinxdx=0，f()=-f(0),求證：?蘩f(x)sinxdx=0.通過分析，此題主要考察的是定積分的分部積分法.方法一：從條件出發(fā)?蘩f(x)sinxdx=f(x)sinx|-?蘩f(x)sxdx=-?蘩f(x)sxdx=-f(x)sx|-?蘩f(x)sinxdx=f()+f(0)-?蘩f(x)sinxdx根據(jù)條件?蘩f(x)sinxdx=0，f()=-f(0)得?蘩f(x)sinxdx=0.方法二：從結(jié)果出發(fā)?蘩f(x)sinxdx=-f(x)sx|+?蘩f(x)sxdx=f()+f(0)+f(x)sinx|-?蘩f

6、(x)sinxdx=-?蘩f(x)sinxdx=0可見正逆運算殊途同歸，但思維方式不同.不同的解法使學(xué)生進一步理解掌握了分部積分法.三、培養(yǎng)邏輯思維才能論文聯(lián)盟.Ll.邏輯思維才能是學(xué)好數(shù)學(xué)必須具備的才能，是指正確、合理考慮的才能，即對事物進展觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括、判斷、推理的才能.邏輯思維是一種有條件，有步驟漸進式的思維方式，最終到達解決問題的目的.例：f(x)=lnx-?蘩f(x)dx,求證：?蘩f(x)dx=.學(xué)生一看題目似乎無從入手，怎么辦？先問學(xué)生引導(dǎo)性的問題：直接由原式能否得出結(jié)論？結(jié)論中定積分的值可能從哪兒來？經(jīng)過考慮分析推理學(xué)生意識到要想得出，只利用原式中的?蘩f

7、(x)dx是不可能的，必須經(jīng)過運算，即兩邊同時求定積分再出現(xiàn)一個新的?蘩f(x)dx，于是鼓勵學(xué)生大膽做下去得到式：?蘩f(x)dx=?蘩lnxdx-?蘩?蘩f(x)dxdx=1-?蘩?蘩f(x)dxdx式但式中的?蘩?蘩f(x)dxdx又怎么處理？雙重積分還沒有學(xué)，那么能否將定積分?蘩f(x)dx提出來呢？學(xué)生都知道假設(shè)是常數(shù)就可以提出來，那么?蘩f(x)dx是不是常數(shù)呢？反響快的同學(xué)馬上意識到?蘩f(x)dx確實是一個數(shù)，因為根據(jù)定積分的幾何意義可知，定積分表示的是一個平面圖形的面積，至此學(xué)生豁然開朗，通過一步一步推理推導(dǎo)，最后得出結(jié)論：?蘩f(x)dx=1-?蘩f(x)dx?蘩dx=1-

8、(e-1)?蘩f(x)dx即?蘩f(x)dx=1-(e-1)?蘩f(x)dx最后移項得e?蘩f(x)dx=1得?蘩f(x)dx=邏輯思維是對知識的綜合考慮和挑選，可幫助學(xué)生進步分析問題、解決問題的才能.四、培養(yǎng)應(yīng)用思維才能微積分從實際應(yīng)用中產(chǎn)生并開展，最終也要運用于解決實際問題.老師不僅要教會學(xué)生數(shù)學(xué)理論計算，更要讓學(xué)生學(xué)會應(yīng)用于實際，最終到達學(xué)以致用的目的.微積分是解決一些幾何和物理問題的重要工具.為了培養(yǎng)學(xué)生的實際應(yīng)用思維，首先要讓他們理解一些數(shù)學(xué)概念的實際意義，比方：函數(shù)y=f(x)的求導(dǎo)實際上是y隨x的變化率問題，所以物理中s=s(t)位移對時間求導(dǎo)是路程隨時間的變化率問題即：v(t)=s(t)，同理加速度a(t)=v(t)=s(t)，這樣就賦予了函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)實際意義.求導(dǎo)的逆過程是求積分，所以加速度或速度的表達式求位移表達式，就是以t為積分變量以a(t)或v(t)速為被積函數(shù)求積分.遇到如下題目學(xué)生也就容易理解并應(yīng)用了.例：某質(zhì)點做直線變速運動，其加速度為t+1，且在初始時刻的速度v=1，位移s=0，求質(zhì)點的運動方程.解：v=?蘩a(t)dt=?蘩(t+1)dt=t+t+又t=0時v=1，得=1,v=t+t+1