1、第19章矩形、菱形與正方形 華師版 八年級下19.3正方形第3課時(shí) 正方形性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用提示：點(diǎn)擊 進(jìn)入習(xí)題答案顯示1234見習(xí)題5見習(xí)題見習(xí)題見習(xí)題見習(xí)題678見習(xí)題見習(xí)題見習(xí)題1如圖，在正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別在OD，OC上，且DECF，連結(jié)DF，AE，延長AE交DF于點(diǎn)M.求證：AMDF.證明：AC，BD是正方形ABCD的兩條對角線，ACBD，OAODOCOB.DECF，OEOF.在AOE與DOF中，AOEDOF.OAEODF.DOF90，DFOFDO90.DFOFAE90.AMF90，即AMDF.2【2021重慶沙坪壩區(qū)期末】在正方形ABCD中，點(diǎn)

2、E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，連結(jié)AE，AF.(1)如圖，過E作EMAF交AD于點(diǎn)M，求證：AFEM；證明：(1)如圖，過點(diǎn)E作EGAD于點(diǎn)G，設(shè)AF交EM于點(diǎn)N.四邊形ABCD是正方形，DABBD90，ABAD，又AGE90，四邊形ABEG是矩形，ABEG，EGAD，EMAF，MNF90D，NMDDFN3609090180，AMNNMD180，AMNDFN，又EGMD，EMGAFD，AFEM.(2)如圖，若AE平分BAF，求證：AFBEDF.解：四邊形ABCD是正方形，ABAD，BAD90.將ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到ABH，如圖.DABH90，DAFBAH，AFAH，DFBH.易得C，B

3、，H在同一直線上，四邊形ABCD是正方形，ADBC，AEHDAEDAFFAE，AE平分BAF，BAEFAE，HAEBAHBAEDAFFAEAEH，AHEHBEHBBEDF.AFBEDF.3如圖，在ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E是BD延長線上的點(diǎn)，且ACE是等邊三角形(1)求證：四邊形ABCD是菱形；證明：四邊形ABCD是平行四邊形，AOCO.又ACE是等邊三角形，EOAC，即DBAC，四邊形ABCD是菱形(2)若AED2EAD，求證：四邊形ABCD是正方形證明ACE是等邊三角形，AEC60.AED2EAD，EAD15，ADOEADAED45. 四邊形ABCD是菱形，ADC2ADO9

4、0，四邊形ABCD是正方形4如圖，在ABC中，點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，將ADE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180得到CFE.(1)求證：四邊形ADCF是平行四邊形；證明：CFE是由ADE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180得到的，點(diǎn)A、E、C三點(diǎn)共線，點(diǎn)D、E、F三點(diǎn)共線，且AECE，DEFE，四邊形ADCF是平行四邊形(2)當(dāng)ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADCF是正方形？請說明理由解：當(dāng)ACB90，ACBC時(shí)，四邊形ADCF是正方形理由如下：在ABC中，ACBC，點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，CDAB，即ADC90.由(1)知，四邊形ADCF是平行四邊形，四邊形ADCF是矩形又ACB90，5.【中考青島】已知：如圖，在菱形ABC

5、D中，點(diǎn)E，O，F(xiàn)分別為AB，AC，AD的中點(diǎn)，連結(jié)CE，CF，OE，OF.(1)求證：BCEDCF；證明：四邊形ABCD是菱形，ABBCCDDA，BD.又E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，BEDF，BCEDCF.(2)當(dāng)AB與BC滿足什么關(guān)系時(shí)，四邊形AEOF是正方形？請說明理由解：當(dāng)ABBC時(shí)，四邊形AEOF是正方形理由如下：連結(jié)BD. ABBC，菱形ABCD是正方形，BAD90，ABAD.由O是AC的中點(diǎn)，易知O是BD的中點(diǎn)，OAOBOCOD.又F為AD的中點(diǎn)，AFFD，OFOF，AOFDOF，易得OFAD.同理可得OEAB，四邊形AEOF為矩形又E為AB的中點(diǎn)，四邊形AEOF是正方形6如圖

6、，在ABC中，ABAC，ADBC，垂足為點(diǎn)D，AN是ABC外角的平分線，CEAN，垂足為點(diǎn)E，連結(jié)DE交AC于點(diǎn)F.(1)求證：四邊形ADCE為矩形；證明：ABAC，ADBC，垂足為點(diǎn)D，ADBC，CEAN，ADCCEA90，四邊形ADCE為矩形(2)當(dāng)ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADCE是正方形？并給出證明；解：當(dāng)ABC為等腰直角三角形，即BAC90且ABAC時(shí)，四邊形ADCE是正方形證明：BAC90，且ABAC，ADBC，ACDCAD45，ADCD.四邊形ADCE為矩形，四邊形ADCE為正方形解：在RtACD中，由勾股定理，得AD2CD2AC2.ADCD，2AD22，AD1，正方形ADCE

7、的周長為4AD4.7如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別在AB、BC、CD、DA上，且AEBFCGDH.(1)四邊形EFGH是正方形嗎？為什么？解：四邊形EFGH是正方形四邊形ABCD是正方形，ABCD90，ABBCCDDA.AEBFCGDH，AHBECFDG.AEHBFECGFDHG，EHFEGFHG，AEHBFE，四邊形EFGH是菱形BEFBFE90，BEFAEH90，HEF90，四邊形EFGH是正方形(2)若正方形ABCD的邊長為4 cm，且BECFDGAH1 cm，請求出四邊形EFGH的面積解：正方形ABCD的邊長為4 cm，且BECFDGAH1 cm，AEBFCGDH3 cm

8、，四邊形EFGH的面積EH2AH2AE2123210(cm2)8【中考玉林】如圖，在ABC中，ACB90，ACBC4，D是AB的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AC，BC上的點(diǎn)(點(diǎn)E不與端點(diǎn)A，C重合)，且AECF，連結(jié)EF并取EF的中點(diǎn)O，連結(jié)DO并延長至點(diǎn)G，使GOOD，連結(jié)GE，GF，DE，DF.(1)求證：四邊形EDFG是正方形；證明：O是EF的中點(diǎn)，OEOF.又GOOD，四邊形EDFG是平行四邊形連結(jié)CD.在ABC中，ACB90，ACBC，AB45.又D是AB的中點(diǎn)，AACDDCF.ADCD.在ADE和CDF中，ADECDF，DEDF，ADECDF.四邊形EDFG是菱形ADCADEEDC90，EDCCDFEDF90.四邊形EDFG是正方形(2)當(dāng)點(diǎn)E在什么位置時(shí)，四邊形EDFG的面積最小？并求四