1、3、CCS的數(shù)學(xué)描述3.1 離散系統(tǒng)時域描述差分方程3.2 z變換 3.3 脈沖傳遞函數(shù)3.4 離散系統(tǒng)的方塊圖分析 3.5 離散系統(tǒng)的頻域描述 （自學(xué)，基本了解）3.6 離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（第六章講述）3.7 應(yīng)用實例 （不講）課堂測驗3.3.1 脈沖傳遞函數(shù)的定義 定義：在初始條件為零時， 離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù) 又稱為z傳遞函數(shù)輸出量z變換輸入量z變換輸出的采樣信號： 脈沖傳遞函數(shù) 3.3 脈沖傳遞函數(shù) *輸出虛設(shè)采樣開關(guān)3.3.2 脈沖傳遞函數(shù)特性 離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的求取 離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)可以看作是系統(tǒng)輸入為單位脈沖時，其脈沖響應(yīng)的z變換。 若已知采樣系統(tǒng)的連續(xù)傳遞函數(shù)G(

2、s)，當其輸出端加入虛擬開關(guān)變?yōu)殡x散系統(tǒng)時，其脈沖傳遞函數(shù)可按下述步驟求?。?（1）對G(s)做拉氏反變換，求得脈沖響應(yīng) （2）對 采樣，求得離散系統(tǒng)脈沖的響應(yīng)為（3）對離散脈沖響應(yīng)做z變換，即得系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為 幾種脈沖傳遞函數(shù)的表示法均可應(yīng)用 脈沖傳遞函數(shù)完全表征了系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的輸入與輸出之間的特性，并且也只由系統(tǒng)或環(huán)節(jié)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)決定，與輸入信號無關(guān)。 2. 脈沖傳遞函數(shù)的極點與零點極點當G(z)是G(s)由通過z變換得到時，它的極點是G(s)的極點按z=e-sT的關(guān)系一一映射得到。由此可知，G(z)的極點位置不僅與G(s)的極點有關(guān)，還與采樣周期T密切相關(guān)。當采樣周期T足夠小時，G

3、(s)的極點都將將密集地映射在z=1附近。零點G(z)的零點是采樣周期T的復(fù)雜函數(shù)。采樣過程會增加額外的零點。若連續(xù)系統(tǒng)G(s)沒有不穩(wěn)定的零點，且極點數(shù)與零點數(shù)之差大于2，當采樣周期較小時，G(z)總會出現(xiàn)不穩(wěn)定的零點，變成非最小相位系統(tǒng)。 有不穩(wěn)定零點的連續(xù)系統(tǒng)G(s)，只要采樣周期取得合適，離散后也可得到?jīng)]有不穩(wěn)定零點的G(z) 。3.3.3 差分方程與脈沖傳遞函數(shù)1. 由差分方程求脈沖傳遞函數(shù)已知差分方程 ，設(shè)初始條件為零。兩端進行z變換 脈沖傳遞函數(shù) 系統(tǒng)的特征多項式 系統(tǒng)輸出 2. 由脈沖傳遞函數(shù)求差分方程 z反變換 z反變換 3.4.1 環(huán)節(jié)連接的等效變換1. 采樣系統(tǒng)中連續(xù)部分

4、的結(jié)構(gòu)形式并不是所有結(jié)構(gòu)都能寫出環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù) 3.4 離散系統(tǒng)的方塊圖分析 2. 串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)3. 并聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)根據(jù)疊加定理有： 3.4.2 閉環(huán)反饋系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)采樣控制系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)E(z) = R(z)-B(z)B(z) = G2G3H(z)U(z)E(z) = R(z) - G2G3H(z)U(z)U(z) = G1(z)E(z)E(z) = R(z) / 1+G1(z)G2G3H(z) 一般系統(tǒng)輸出z變換可按以下公式直接給出： C(z) = G2G3(z)U(z) C(z) = G2G3(z)G1(z)E(z) 3.4.3 CCS閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)1. 數(shù)字部

5、分的脈沖傳遞函數(shù)控制算法，通常有以下兩種形式：差分方程 脈沖傳遞函數(shù)D(z)連續(xù)傳遞函數(shù) 脈沖傳遞函數(shù)D(z)(z變換法)(第5章的離散法)2. 連續(xù)部分的脈沖傳遞函數(shù)計算機輸出的控制指令u*(t)是經(jīng)過零階保持器加到系統(tǒng)的被控對象上的，因此系統(tǒng)的連續(xù)部分由零階保持器和被控對象組成。 被控對象傳遞函數(shù) 圖3-11 連續(xù)部分的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)3. 閉環(huán)傳遞函數(shù)的求取 例： 求下圖所示計算機控制系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，已知T=1秒。 解： T=1s3.4.4 干擾作用時閉環(huán)系統(tǒng)的輸出根據(jù)線性系統(tǒng)疊加定理，可分別計算指令信號和干擾信號作用下的輸出響應(yīng)。 有干擾時的計算機控制系統(tǒng)R(s)單獨作用時的系統(tǒng)輸出N(

6、s)=0干擾單獨作用時的系統(tǒng)輸出 R(s)=0共同作用時的系統(tǒng)輸出第3章 內(nèi)容結(jié)束！ 3.1.1 差分的定義連續(xù)函數(shù) ，采樣后為 簡寫一階向前差分：二階向前差分： n階向前差分： 一階向后差分： 二階向后差分： n階向后差分： 3.1 離散系統(tǒng)的時域描述差分方程3.1.2 差分方程差分方程是時間序列的方程 連續(xù)系統(tǒng)微分用差分代替 一般離散系統(tǒng)的差分方程： 差分方程還可用向后差分表示為：代替代替（線性常系數(shù)差分方程）3.1.3 差分方程（迭代）求解差分方程的解也分為通解與特解。通解是與方程初始狀態(tài)有關(guān)的解。特解與外部輸入有關(guān)，它描述系統(tǒng)在外部輸入作用下的強迫運動。例3-1 已知差分方程 ，試求解

7、：采用遞推迭代法，有：說明：另一個求解方法是利用z變換求解。 （通式困難；計算機有限項）3.2.1 Z變換定義1. z變換采樣信號 采樣信號的z變換注意：z變換中，z-1代表信號滯后一個采樣周期，可稱為單位延遲因子。 3.2 Z變換特殊的拉氏變換（超越函數(shù)；冪級數(shù)）采樣脈沖序列進行z變換的寫法在實際應(yīng)用中，對控制工程中多數(shù)信號，z變換所表示的無窮級數(shù)是收斂的，并可寫成閉和形式。z的有理分式：z-1的有理分式:零、極點形式：表達式形式（實際中，有理分式）1）級數(shù)求和法步驟：i)代入采樣信號的定義式； ii)求出相應(yīng)的F（z）的級數(shù)展開式； iii)找出收斂條件，寫出閉公式。 2）部分分式展開法（

8、常用。查表）步驟：i)將F（s）展開成簡單分式； （f(t)時） ii)利用F（s）與F（z）的對應(yīng)關(guān)系查表。3）留數(shù)法（不記）步驟：直接利用公式：2 求Z變換的方法（對f(t)或F(s)）1）級數(shù)求和法步驟：i)代入采樣信號的定義式； ii)求出相應(yīng)的F（z）的級數(shù)展開式； iii)找出收斂條件，寫出閉公式。當?shù)缺燃墧?shù)的公比例例求 F(z)表中查不到，部分分式分解：求系數(shù)方法： 解方程組。 得到查表，得到：說明： 極點按 對應(yīng)； T。 零點 無對應(yīng)； 個數(shù)一般多于F(s)。 2）部分分式展開法（常用）步驟：i)將F（s）展開成簡單分式； ii)利用F（s）與F（z）的對應(yīng)關(guān)系查表。2）右位移

9、（延遲）定理3）左位移（超前）定理4）位移定理3 Z變換的基本定理1）線性定理5）初值定理6）終值定理*條件：系統(tǒng)穩(wěn)定 假定函數(shù)全部極點均在z平面的單位圓內(nèi)或最多有一個極點 在z=1處，則 建立在理想采樣基礎(chǔ)上（ ）；只反映采樣時刻的信息；系統(tǒng)為零初始輸出。*G（s）中分母比分子高兩個階次時，可保證輸出有零初值。Z變換應(yīng)注意問題Z反變換只反映了采樣時刻的信息。1）求法冪級數(shù)展開法（長除法）留數(shù)法部分分式展開法（查表法）對F(z)/z進行求解（分子中通常含z） 。查表。 f(t) f(kT)f(k)i）無重根：ii）有重根：4 Z反變換 （ F(z)f(t) ）（）例1 長除法， 求 難于得到通

10、式；計算機便于實現(xiàn)。）例2 部分分式展開法， 求（方程組求系數(shù)）3.2.4 差分方程 z變換解法例3-11 用z變換法求差分方程 利用z變換求解線性常系數(shù)差分方程，將差分方程的求解轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程的求解c(k+2)-3c(k+1)+2c(k)=4k解：(1) 對每一項做z變換(2) 歸納整理 特解 通解 (3) z反變換 查表得 部分分式展開 假設(shè)初始條件為零，上式第2項為零 例：3.5.1 離散系統(tǒng)頻率特性定義在離散系統(tǒng)中，一個系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的頻率特性是指，在正弦信號作用下，系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的復(fù)數(shù)比隨輸入正弦信號頻率變化的特性。 頻率特性定義： 離散系統(tǒng)的頻率特性3.5 離散系統(tǒng)的頻域描述3.5.2 離散系統(tǒng)頻率特性的計算離散系統(tǒng)頻率特性的指數(shù)形式 幅頻特性相頻特性1. 數(shù)值計算法按 表達式逐點計算它的幅相頻率特性。 連續(xù)系統(tǒng)：離散系統(tǒng)：例 例 的幅頻和相頻特性曲線3.5.3 離散系統(tǒng)頻率特性的特點1. 特點 (1)周期性：周期為 (2)幅頻特性為 的偶對稱 (3)相頻特性為 的奇對稱說明： 由于離散環(huán)節(jié) 頻率特性不是 的有理分式函數(shù)，在繪制對數(shù)頻率特性時，不能像連續(xù)系統(tǒng)那樣使用漸近對數(shù)頻率特性。 2. 應(yīng)注意問題 離散環(huán)節(jié)頻率特性不是的有理分式函數(shù)，在繪制對數(shù)頻率特性時，不能像連續(xù)系統(tǒng)那樣使用漸近對數(shù)頻率特性。但由于對數(shù)橫坐標能壓縮頻率區(qū)間、簡化運