1、第2章 數(shù)制與編碼學(xué)習(xí)目的與要求目的闡述在數(shù)字系統(tǒng)中數(shù)字量的表示和處理，非數(shù)值數(shù)據(jù)、事件、條件等事物的表示。要求掌握二、十、八、十六進(jìn)制及相互轉(zhuǎn)換掌握二進(jìn)制的原碼、反碼和補(bǔ)碼表示及其加減運(yùn)算掌握常用的幾種編碼學(xué)習(xí)內(nèi)容： 按位計(jì)數(shù)制 八進(jìn)制和十六進(jìn)制 常用按位計(jì)數(shù)制的轉(zhuǎn)換 非十進(jìn)制數(shù)的加法和減法 負(fù)數(shù)的表示二進(jìn)制補(bǔ)碼的加法和減法十進(jìn)制數(shù)的二進(jìn)制編碼格萊碼字符編碼動(dòng)作、條件和狀態(tài)的編碼n維體與距離檢錯(cuò)碼和糾錯(cuò)碼用于串行數(shù)據(jù)傳輸與存儲(chǔ)的編碼作業(yè)：2.4，2.6(a)、（f）、（j），2.11，2.12，2.13，2.51思考1、在我們的日常生活中常用的進(jìn)制計(jì)數(shù)制，成語(yǔ)“半斤對(duì)八兩”、英寸？2、在數(shù)字

2、系統(tǒng)中除使用二進(jìn)制、十進(jìn)制外，用何使用八進(jìn)制和十六進(jìn)制，而不用五進(jìn)制、九進(jìn)制或其他進(jìn)制2.1 按位計(jì)數(shù)制 十進(jìn)制數(shù)的表示 位置計(jì)數(shù)法- 不同位置的數(shù)碼其大小不同 例：223. 34 讀作：二百二十三點(diǎn)三四 進(jìn)位計(jì)數(shù)制（按權(quán)展開(kāi)式） 例：123.45=1102+2101+3100+410-1+510-2一般而言，形如d1d0.d-1d-2 的數(shù)D，其值為D = d11 01 + d01 00 + d-11 0-1 + d-21 0-2基與基數(shù)- 用來(lái)表示數(shù)的數(shù)碼的集合稱為基,集合的大小稱為基數(shù)。權(quán)-用一串?dāng)?shù)碼來(lái)表示一個(gè)數(shù)，每個(gè)數(shù)碼的位置對(duì)應(yīng)有一個(gè)相關(guān)的權(quán)（weight）在十進(jìn)制數(shù)中，10的整冪次

3、方稱為十進(jìn)制數(shù)的權(quán)。數(shù)D的值為每個(gè)數(shù)碼乘以其對(duì)應(yīng)的權(quán)再求和 二進(jìn)制數(shù)的表示 對(duì)于任意一個(gè)二進(jìn)制數(shù)N, 用位置記數(shù)法可表示為: (N)2=(an-1 an-2 a1 a0. a-1 a-2 a-m)2進(jìn)位計(jì)數(shù)制的一般形式為bp-1bp-2.b1b0 . b-1b-2.b-n二進(jìn)制數(shù)最左邊的位叫最高有效位或高階位，最右邊的叫最低有效位或低階位二進(jìn)制數(shù)的特點(diǎn) 只有兩個(gè)數(shù)碼, 很容易用物理器件來(lái)實(shí)現(xiàn) 運(yùn)算規(guī)則簡(jiǎn)單 可使用邏輯代數(shù)這一數(shù)學(xué)工具按位計(jì)數(shù)制中數(shù)的表示是惟一的2.2 八進(jìn)制和十六進(jìn)制八進(jìn)制（octal number system）使用基數(shù)8，十六進(jìn)制（hexadecimal number sy

4、stem）使用基數(shù)16采用八進(jìn)制和十六進(jìn)制的優(yōu)勢(shì)2.3 常用按位計(jì)數(shù)制的轉(zhuǎn)換 二進(jìn)制數(shù)和十進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換 二進(jìn)制數(shù)十進(jìn)制數(shù)-按權(quán)展開(kāi)式在十進(jìn)制數(shù)域中計(jì)算 例如： 十進(jìn)制數(shù)二進(jìn)制數(shù) 整數(shù)部分：除2取余法例：將(58)10轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制形式解:等式兩邊同時(shí)除2，有得a0=0得a1=1等式兩邊再同時(shí)除2，有 則 (58)10 = (111010)2等式兩邊同時(shí)乘2，有得a-1=1等式兩邊的小數(shù)部分再同時(shí)乘2，有得a-2=0 小數(shù)部分：乘2取整法例：將(0.625)10轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制形式解:等式兩邊的小數(shù)部分再同時(shí)乘2，有得a-3 =1 則：注意：不能進(jìn)行精確轉(zhuǎn)換的情況 八進(jìn)制數(shù)、十六進(jìn)制數(shù)與二進(jìn)制數(shù)的

5、轉(zhuǎn)換 按位分組法例： 八進(jìn)制： 2 5 7 0 5 5 4 二進(jìn)制：010 101 111 000 101 101 100 十六進(jìn)制： A F 1 6 C 因此，(257.0554)8=(10101111. )2 =(AF.16C)162.4 非十進(jìn)制數(shù)的加法和減法非十進(jìn)制數(shù)加法和減法的手算過(guò)程,類似于十進(jìn)制數(shù)的手算過(guò)程，惟一的難點(diǎn)在于加法和減法表不同二進(jìn)制加法和減法運(yùn)算2.5 負(fù)數(shù)的表示 真值與機(jī)器數(shù) 真值-直接用“+”和“”表示符號(hào)的二進(jìn)制數(shù)，它不能在機(jī)器中使用. 機(jī)器數(shù)-將符號(hào)數(shù)值化了的二進(jìn)制數(shù),可在機(jī)器中使用。 一般將符號(hào)位放在數(shù)的最高位。 例： 01011； -1011 11011符

6、號(hào)-數(shù)值表示法-又稱“原碼”一個(gè)數(shù)是由表示該數(shù)為正或負(fù)的符號(hào)和數(shù)值兩部分組成;對(duì)于正數(shù), 符號(hào)位為0, 對(duì)于負(fù)數(shù)、符號(hào)位為1, 其余各位表示數(shù)的絕對(duì)值例： N1 = N2 = 01010 N1原= 010011 N2原= 101010用位串的最高有效位表示符號(hào)位十進(jìn)制數(shù)通常寫(xiě)成+ 98、-57、+ 13 . 5、-13等形式如果沒(méi)寫(xiě)符號(hào)則約定符號(hào)為正“零”有兩種可能的表示（“+0”和“-0”）即 +0原= 000, 0原= 1 00 但是這兩種所表示的值是相同的“符號(hào)-數(shù)值”數(shù)制具有相同數(shù)目的正整數(shù)和負(fù)整數(shù)一個(gè)n位“符號(hào)-數(shù)值”整數(shù)表示的范圍是- ( 2n-1-1 )+ (2n-1-1 )例：

7、n=8，則數(shù)值位為7，其表示范圍是-127+127補(bǔ)碼數(shù)制“符號(hào)-數(shù)值”數(shù)制通過(guò)改變其符號(hào)將一個(gè)數(shù)變?yōu)樨?fù)數(shù)補(bǔ)碼數(shù)制將一個(gè)數(shù)變負(fù)的方法是按照數(shù)制的定義求其補(bǔ)碼設(shè)基數(shù)r的數(shù)D的形式為：Ddn-1dn-2 .d1d0 .如果對(duì)D兩次求補(bǔ)，結(jié)果仍為D基數(shù)補(bǔ)碼表示法(對(duì)十進(jìn)制而言，就是十進(jìn)制補(bǔ)碼)n位數(shù)的補(bǔ)碼等于從rn中減去該數(shù)。數(shù)D的基數(shù)補(bǔ)碼就等于將數(shù)D的每一位分別求反再加1例如， 1 8 4 9的十進(jìn)制補(bǔ)碼是8 1 5 0 + 1或8 1 5 1，二進(jìn)制補(bǔ)碼表示法對(duì)二進(jìn)制數(shù)制而言，基數(shù)補(bǔ)碼稱做二進(jìn)制補(bǔ)碼對(duì)于正數(shù)，其補(bǔ)碼表示與原碼表示相同，對(duì)于負(fù)數(shù)，符號(hào)位為1，其余各位是在反碼數(shù)值的末位加“1”.例1

8、：N1 = N2 = 01010 n=5 N1補(bǔ)= 010011 N2補(bǔ)= 110110真值0只有一種表示形式，即 +0補(bǔ)=-0補(bǔ)= 000一個(gè)n位整數(shù)（包括1位符號(hào)位和n-1位數(shù)值位）表示的范圍是- 2n-1+ (2n-1-1 )例：n=8，則數(shù)值位為7，其表示范圍是-128+127例2基數(shù)減1補(bǔ)碼表示法(九進(jìn)制補(bǔ)碼，對(duì)十進(jìn)制而言)n位數(shù)D的反碼等于從rn-1）中減去D可以通過(guò)對(duì)D的每個(gè)數(shù)位分別求反來(lái)實(shí)現(xiàn)，但不必像基數(shù)補(bǔ)碼數(shù)制中那樣再加1在十進(jìn)制中，稱做十進(jìn)制反碼 二進(jìn)制反碼對(duì)于二進(jìn)制而言，基數(shù)減1補(bǔ)碼就叫做二進(jìn)制反碼對(duì)于正數(shù)，其反碼表示與原碼表示相同，對(duì)于負(fù)數(shù)，符號(hào)位為1，其余各位是將原碼

9、數(shù)值按位求反。例： N1 = N2 = 01010n=5 N1反=0 10011 N2反=（25-1）+（-01010）=1000000-01010= 110101一個(gè)n位整數(shù)表示的范圍是- ( 2n-1-1 )+ (2n-1-1 )例1：n=8，則數(shù)值位為7，其表示范圍是-127+127例2： 反碼表示的特點(diǎn):真值0也有兩種反碼表示形式，即 +0反= 000, 0反= 1 11余碼最常用在浮點(diǎn)數(shù)系統(tǒng)中，浮點(diǎn)數(shù)的階碼部分一般采用正整數(shù)形式的余碼表示由1位符號(hào)位和m-1位數(shù)值位組成的二進(jìn)制形式的階碼，它的余碼的定義為D余=2m-1+D-2m-1D2m-1在余2m-1數(shù)制中，一個(gè)m-1位整數(shù)表示的

10、范圍是-2m-1+ 2m-1-1 同m位的二進(jìn)制補(bǔ)碼表示范圍完全相同。除了符號(hào)位總是相反外，對(duì)任何數(shù)而言，補(bǔ)碼和余碼兩種表示法中的其他位都是一樣的例：m=8，則數(shù)值位m-1=7，其表示范圍是-128+1272.6 二進(jìn)制補(bǔ)碼的加法和減法加法規(guī)則普通的加法就是計(jì)數(shù)的擴(kuò)展，忽略超過(guò)M S B的進(jìn)位，二進(jìn)制補(bǔ)碼數(shù)可以按普通二進(jìn)制加法相加，只要不超過(guò)記數(shù)系統(tǒng)的范圍，該結(jié)果就總是正確的和規(guī)則 N1 +N2補(bǔ) N1補(bǔ)+ N2補(bǔ)補(bǔ)碼的符號(hào)位參與運(yùn)算例圖示法模-是一個(gè)計(jì)量器的最大容量，即一個(gè)計(jì)量系統(tǒng)的測(cè)量范圍逆時(shí)針?lè)较虬鸭^移動(dòng)n個(gè)位置，通過(guò)遞增n次在該數(shù)上減n 順時(shí)針?lè)较虬鸭^移動(dòng)n個(gè)位置，通過(guò)遞增n次在該

11、數(shù)上加n注意：加法操作產(chǎn)生的結(jié)果不允許超出數(shù)制定義的范圍，否則發(fā)生溢出溢出判斷規(guī)則：規(guī)則1：如果加數(shù)的符號(hào)相同，而和的符號(hào)與加數(shù)的符號(hào)不同，則有加法溢出規(guī)則2：符號(hào)位的進(jìn)位輸入cin與符號(hào)位的進(jìn)位輸出cout不同，則加法有溢出兩個(gè)異號(hào)數(shù)相加絕不會(huì)溢出，但是兩個(gè)同號(hào)數(shù)相加有可能溢出例減法規(guī)則 補(bǔ)碼減法運(yùn)算規(guī)則： N1 N2補(bǔ) N1補(bǔ)+ N2補(bǔ) N1 N2補(bǔ) N1補(bǔ)+ N2反+1 補(bǔ)碼的符號(hào)位參與運(yùn)算。例： N1 =0011，N2 = 1011,求 N1 N2補(bǔ)解： N1 補(bǔ)11101， N2 補(bǔ)01011, N2 補(bǔ)10101 N1 N2補(bǔ)=11101 =10010 1 1 1 0 1 +) 1

12、 0 1 0 1 丟棄 1 1 0 0 1 0真值為： N1 N2=1110二進(jìn)制補(bǔ)碼與無(wú)符號(hào)二進(jìn)制數(shù)類似有符號(hào)的二進(jìn)制補(bǔ)碼運(yùn)算差別：加法操作超出了4位無(wú)符號(hào)數(shù)的范圍，最高有效位就有進(jìn)位（c a r r y）產(chǎn)生。箭頭逆時(shí)針移動(dòng)，經(jīng)過(guò)不連續(xù)點(diǎn)，那么減法操作就超出了4位無(wú)符號(hào)數(shù)的范圍，最高有效位就有借位（b o r r o w）產(chǎn)生?？偨Y(jié)無(wú)符號(hào)數(shù)加法中，如果最高有效位上的發(fā)生進(jìn)位或借位，就指示出結(jié)果超出范圍有符號(hào)的二進(jìn)制補(bǔ)碼加法中，則由較早時(shí)定義的溢出條件來(lái)指示出結(jié)果超出范圍。在有符號(hào)數(shù)加法中，溢出產(chǎn)生與否與進(jìn)位產(chǎn)生與否無(wú)關(guān)。從這個(gè)意義上講，最高有效位的進(jìn)位與溢出是沒(méi)有關(guān)系2.7 二進(jìn)制反碼加法

13、和減法可以證明有如下反碼加、減運(yùn)算規(guī)則： N1 +N2反 N1反+ N2反 N1 N2反 N1反+ N2反 當(dāng)符號(hào)位有進(jìn)位時(shí)，應(yīng)在結(jié)果的最低位再加1.例： N1 =0011，N2 = 1011,求 N1 +N2反和 N1 N2反。解： N1 反11100， N2 反01011, N2 反10100 N1 +N2反=11100 1 1 1 0 0 ) 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 ) 1 0 1 0 0 0 真值為： N1 +N2= N1 N2反 11100 真值為：N1 N2=1110 1 1 1 0 0 +) 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 +) 1 1 0 0 0

14、 1二進(jìn)制反碼加法和減法的溢出規(guī)則，與二進(jìn)制補(bǔ)碼加/減法的情況相同。2.10 十進(jìn)制數(shù)的二進(jìn)制編碼在數(shù)字系統(tǒng)中用位串來(lái)表示十進(jìn)制數(shù)，位串的不同組合代表不同的十進(jìn)制數(shù)。例，如果用4位二進(jìn)制碼表示1位十進(jìn)制數(shù)，則可以指定用0 0 0 0表示十進(jìn)制數(shù)字0，用0 0 0 1表示1，用0 0 1 0表示2，編碼（c o d e）-用于表示不同的數(shù)或其他事件的一組n位二進(jìn)制碼的集合碼字（code word）-含義確切的特定的n位組合使用n位二進(jìn)制碼的編碼，并不一定需要包含全部2n個(gè)有效的碼字。最“自然的”十進(jìn)制編碼該是二-十進(jìn)制（binary coded decimal, BCD）編碼負(fù)的B C D數(shù)有很

15、多可能的表示有符號(hào)的B C D數(shù)，其符號(hào)另外占1個(gè)數(shù)字位B C D數(shù)加法類似于4位無(wú)符號(hào)二進(jìn)制數(shù)加法，但如果結(jié)果超過(guò)1 0 0 1則必須校正,，其方法是將其結(jié)果再加6。 例： 8421 BCD碼-簡(jiǎn)稱8421碼。按4位二進(jìn)制數(shù)的自然順序，從小到大取前十個(gè)數(shù)依次表示十進(jìn)制數(shù)的09，后6個(gè)數(shù)不允許出現(xiàn)，若出現(xiàn)則認(rèn)為是非法的或錯(cuò)誤的。 8421碼是一種有權(quán)碼，每位有固定的權(quán)，從高到低依次為8, 4, 2, 1，如: 8421碼0111=08+14+12+11=7 余3碼-由8421碼加3形成，是一種無(wú)權(quán)碼。如果兩個(gè)余3碼相加沒(méi)有進(jìn)位，則和數(shù)要減3，否則和數(shù)要加3。 0 1 0 0+ ) 0 1 1 0 1 0 1 0- ) 0 0 1 1 0 1 1 1例： 0100 = 0