1、第六章 離散系統(tǒng)z域分析 6.1 z 變換一、從拉普拉斯變換到z變換二、收斂域6.2 z 變換的性質(zhì)6.3 逆z變換6.4 z 域分析一、差分方程的變換解二、系統(tǒng)的z域框圖三、利用z變換求卷積和四、s域與z域的關(guān)系五、離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)點(diǎn)擊目錄 ，進(jìn)入相關(guān)章節(jié)第六章 離散系統(tǒng)z域分析 在連續(xù)系統(tǒng)中，為了避開解微分方程的困難，可以通過拉氏變換把微分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程。出于同樣的動(dòng)機(jī)，也可以通過一種稱為z變換的數(shù)學(xué)工具，把差分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程。 6.1 z變換一、從拉氏變換到z變換對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行均勻沖激取樣后，就得到離散信號(hào): 取樣信號(hào)兩邊取雙邊拉普拉斯變換，得 令z = esT，上式將成為復(fù)變

2、量z的函數(shù)，用F(z)表示；f(kT) f(k) ，得稱為序列f(k)的雙邊z變換稱為序列f(k)的單邊z變換若f(k)為因果序列，則單邊、雙邊z 變換相等，否則不等。今后在不致混淆的情況下，統(tǒng)稱它們?yōu)閦變換。 F(z) = Zf(k) ,f(k)= Z-1F(z) ；f(k)F(z)6.1 z變換二、收斂域 z變換定義為一無窮冪級(jí)數(shù)之和，顯然只有當(dāng)該冪級(jí)數(shù)收斂，即時(shí)，其z變換才存在。上式稱為絕對(duì)可和條件，它是序列f(k)的z變換存在的充分必要條件。 收斂域的定義： 對(duì)于序列f(k)，滿足 所有z值組成的集合稱為z變換F(z)的收斂域。 6.1 z變換例1求以下有限序列的z變換(1) f1(k

3、)=(k) k=0 (2) f2(k)=1 , 2 , 3 , 2,1 解(1) 可見，其單邊、雙邊z變換相等。與z 無關(guān)，所以其收斂域?yàn)檎麄€(gè)z 平面。 (2)f2(k)的雙邊z 變換為 F2(z) = z2 + 2z + 3 + 2z-1 + z-2 收斂域?yàn)?z 0 對(duì)有限序列的z變換的收斂域一般為0z，有時(shí)它在0或/和也收斂。 6.1 z變換例2 求因果序列 的z變換（式中a為常數(shù)）。 解：代入定義 可見，僅當(dāng)az-1a =時(shí)，其z變換存在。 收斂域?yàn)閨z|a|6.1 z變換例3 求反因果序列 的z變換。解 可見，b-1z1,即zb時(shí)，其z變換存在， 收斂域?yàn)閨z| |b|6.1 z變換

4、例4 雙邊序列f(k)=fy(k)+ff(k)= 解 的z變換。可見，其收斂域?yàn)閍zb （顯然要求a2 f2(k)= 2k( k 1)F2(z)=, z0(k)，z1，z1( k 1)6.2 z變換的性質(zhì)一、線性 6.2 z變換的性質(zhì) 本節(jié)討論z變換的性質(zhì)，若無特殊說明，它既適用于單邊也適用于雙邊z變換。 若 f1(k)F1(z) 1z1, f2(k) F2(k) 2z16.2 z變換的性質(zhì)二、移位（移序）特性 單邊、雙邊差別大！雙邊z變換的移位： 若 f(k) F(z) , z0，則 f(km) zmF(z), z ，且有整數(shù)m0, 則f(k-1) z-1F(z) + f(-1)f(k-2)

5、 z-2F(z) + f(-2) + f(-1)z-1 6.2 z變換的性質(zhì)f(k+1) zF(z) f(0)zf(k+2) z2F(z) f(0)z2 f(1)z 證明：Zf(k m)= 上式第二項(xiàng)令k m=n特例：若f(k)為因果序列，則f(k m) z-mF(z)6.2 z變換的性質(zhì)例1：求周期為N的有始周期性單位序列 的z變換。 解z1例2：求f(k)= k(k)的單邊z變換F(z). 解f(k+1)= (k+1)(k+1) = (k+1)(k) = f(k) + (k) zF(z) zf(0) = F(z) + F(z)=6.2 z變換的性質(zhì)三、序列乘ak(z域尺度變換) 若 f(k

6、) F(z) , z ， 且有常數(shù)a0 則 akf(k) F(z/a) , aza 證明：Zakf(k)= 例1：ak(k) 例2：cos(k)(k) ? cos(k)(k)=0.5(ej k+ e-j k)(k) 6.2 z變換的性質(zhì)四、卷積定理 若 f1(k) F1(z) 1z1, f2(k) F2(z) 2z2 則 f1(k)*f2(k) F1(z)F2(z) 對(duì)單邊z變換，要求f1(k)、 f2(k)為因果序列其收斂域一般為F1(z)與F2(z)收斂域的相交部分。 例：求f(k)= k(k)的z變換F(z). 解： f(k)= k(k)= (k)* (k-1)6.2 z變換的性質(zhì)五、序

7、列乘k（z域微分） 若 f(k) F(z) , z則 , z例：求f(k)= k(k)的z變換F(z). 解：6.2 z變換的性質(zhì)六、序列除(k+m)(z域積分） 若 f(k) F(z) , z0， 則, z0，則 例：求序列 的z變換。 解6.2 z變換的性質(zhì)七、k域反轉(zhuǎn)(僅適用雙邊z變換） 若 f(k) F(z) , z則 f( k) F(z-1) , 1/za求a k( k 1)的z變換。 解，|z| a，|z| 1/a乘a得 ，|z| 1/a6.2 z變換的性質(zhì)八、部分和 若 f(k) F(z) , z，則, max(,1)zmax(|a|,1)6.2 z變換的性質(zhì)九、初值定理和終值定

8、理 初值定理適用于右邊序列，即適用于kM(M為整數(shù))時(shí)f(k)=0的序列。它用于由象函數(shù)直接求得序列的初值f(M),f(M+1),，而不必求得原序列。 初值定理： 如果序列在kM時(shí)，f(k)=0，它與象函數(shù)的關(guān)系為 f(k)F(z) ，z 則序列的初值對(duì)因果序列f(k)，6.2 z變換的性質(zhì)證明：兩邊乘zM得zMF(z) = f(M) + f(M+1)z-1 + f(M+2)z-2+6.2 z變換的性質(zhì)終值定理： 終值定理適用于右邊序列，用于由象函數(shù)直接求得序列的終值，而不必求得原序列。 如果序列在kM時(shí)，f(k)=0，它與象函數(shù)的關(guān)系為 f(k) F(z) ，z 且01 則序列的終值 含單位

9、圓6.3 逆z變換6.3 逆z變換求逆z變換的方法有：冪級(jí)數(shù)展開法、部分分式展開法和反演積分（留數(shù)法）等。 一般而言，雙邊序列f(k)可分解為因果序列f1(k)和反因果序列f2(k)兩部分，即 f(k) = f2(k)+f1(k) = f(k)(k 1) + f(k) (k)相應(yīng)地，其z變換也分為兩部分 F(z) = F2(z) + F1(z)， |z| F2(z)=Zf(k)(k 1)= ，|z| 2 (2) |z| 1 (3) 1 |z| 2 6.3 逆z變換解（1） 由于F(z)的收斂域在半徑為2的圓外，故f(k)為因果序列。用長除法將F(z)展開為z-1的冪級(jí)數(shù)： z2/(z2-z-2

10、)=1+ z-1 + 3z-2 + 5z-3 + f(k)=1，1，3，5， k=0（2） 由于F(z)的收斂域?yàn)閦1，故f(k)為反因果序列。用長除法將F(z)（按升冪排列）展開為z的冪級(jí)數(shù): z2/( 2 z + z2)=6.3 逆z變換(3) F(z)的收斂域?yàn)?z1 ，z)和F2(z)(z2 (2) z1 (3) 1z2，故f(k)為因果序列 (2) 當(dāng)z1，故f(k)為反因果序列 (3)當(dāng)1z2， 6.3 逆z變換例2：已知象函數(shù) ,1z1，后兩項(xiàng)滿足z , f(k)=2K1kcos(k+)(k)若z1)，則逆變換為 若z ,對(duì)應(yīng)原序列為 6.3 逆z變換以z為例：當(dāng)r=2時(shí)，為 k

11、ak-1(k)當(dāng)r=3時(shí)，為 可這樣推導(dǎo)記憶： Zak(k)=兩邊對(duì)a求導(dǎo)得 Zkak-1(k)= 再對(duì)a求導(dǎo)得Zk(k-1)ak-2(k)=故Z0.5k(k-1)ak-2(k)=6.3 逆z變換例：已知象函數(shù)，z1的原函數(shù)。解f(k)=k(k-1)+3k+1(k)6.4 z域分析6.4 z域分析 單邊z變換將系統(tǒng)的初始條件自然地包含于其代數(shù)方程中，可求得零輸入、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。 一、差分方程的變換解 設(shè)f(k)在k=0時(shí)接入，系統(tǒng)初始狀態(tài)為y(-1),y(-2),y(-n)。 取單邊z變換得 6.4 z域分析令稱為系統(tǒng)函數(shù)h(k)H(z) 例1：若某系統(tǒng)的差分方程為 y(k) y(k 1

12、) 2y(k 2)= f(k)+2f(k 2)已知y( 1)=2，y( 2)= 1/2，f(k)= (k)。求系統(tǒng)的yx(k)、yf(k)、y(k)。 解方程取單邊z變換 6.4 z域分析Y(z)-z-1Y(z)+y(-1)-2z-2Y(z)+y(-2)+y(-1)z-1=F(z)+2z-2F(z) 6.4 z域分析例2： 某系統(tǒng)，已知當(dāng)輸入f(k)=( 1/2)k(k)時(shí)，其零狀態(tài)響應(yīng) 求系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h(k)和描述系統(tǒng)的差分方程。 解h(k)=3(1/2)k 2( 1/3)k(k) 6.4 z域分析二、系統(tǒng)的z域框圖 另外兩個(gè)基本單元：數(shù)乘器和加法器，k域和z域框圖相同。6.4 z域分

13、析例3： 某系統(tǒng)的k域框圖如圖，已知輸入f(k)= (k)。(1) 求系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h(k)和零狀態(tài)響應(yīng)yf(k)。(2) 若y(-1)=0，y(-2)=0.5 ，求零輸入響應(yīng)yx(k)解:(1)畫z域框圖z-1z-1F(z)Yf(z)設(shè)中間變量X(z)X(z)z-1X(z)z-2X(z)X(z)=3z-1X(z) 2z-2X(z) +F(z)Yf(z)=X(z) 3z-1X(z)= ( 1 3z-1)X(z)6.4 z域分析h(k) = 2 (2)k(k)當(dāng)f(k)= (k)時(shí)，F(xiàn)(z)= z/(z-1)yf(k) = 2k + 3 2 (2)k(k)(2)由H(z)可知，差分方程的特征

14、根為1=1， 2=26.4 z域分析yx(k) = Cx1 + Cx2 (2)k由y(-1)=0，y(-2)=0.5，有Cx1 + Cx2 (2)-1= 0Cx1 + Cx2 (2)-2= 0.5Cx1 =1, Cx2 = - 2yx(k) = 1 2 (2)k三、利用z變換求卷積和 例：求2k (k)*2-k (k)解：原式象函數(shù)為原式=1* 2-k (k)？6.4 z域分析四、s域與z域的關(guān)系 z=esT 式中T為取樣周期如果將s表示為直角坐標(biāo)形式 s = +j ，將z表示為極坐標(biāo)形式 z = ej= eT ， = T由上式可看出： s平面的左半平面（z平面的單位圓內(nèi)部（z=0)-z平面的

15、單位圓外部（z=1) s平面的j軸（=0)-z平面中的單位圓上（z=1) s平面上實(shí)軸（=0)-z平面的正實(shí)軸（=0)s平面上的原點(diǎn)（=0，=0）-z平面上z=1的點(diǎn)（=1，=0） 6.4 z域分析五、離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng) 由于z = esT ， s=+j，若離散系統(tǒng)H(z)收斂域含單位園，則若連續(xù)系統(tǒng)的H(s)收斂域含虛軸，則連續(xù)系統(tǒng)頻率響應(yīng)離散系統(tǒng)頻率響應(yīng)定義為存在。令T = ，稱為數(shù)字角頻率。式中H(ej)稱為幅頻響應(yīng),偶函數(shù)；()稱為相頻響應(yīng)。 只有H(z)收斂域含單位園才存在頻率響應(yīng)6.4 z域分析設(shè)LTI離散系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)為h(k),系統(tǒng)函數(shù)為H(z)，其收斂域含單位園，則系統(tǒng)的

16、零狀態(tài)響應(yīng) yf(k)=h(k)*f(k) 當(dāng)f(k)=ejk時(shí)若輸入f(k)=Acos(k+)則其正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為ys(k)= 0.5A ej ej k H(ej) + 0.5A e-j e-j k H(e - j)= 0.5A ej ej k |H(ej)|ej() + 0.5A e-j e-j k |H(e-j)| e-j() =A |H(ej)| cos k + + () = 0.5Aej k ej + 0.5Ae-j k e-j 6.4 z域分析例 圖示為一橫向數(shù)字濾波器。（1）求濾波器的頻率響應(yīng)；（2）若輸入信號(hào)為連續(xù)信號(hào)f(t)=1+2cos(0t)+3cos(20t)經(jīng)取樣得到的離散序列f(k)，已知信號(hào)頻率f0=100Hz，取樣fs=600Hz，求濾波器的穩(wěn)態(tài)輸出yss(k) 解 （1）求系統(tǒng)函數(shù)Y(z)=F(z)+2z-1F(z)+2z-2F(z)+z-3F(z) H(z)=1+2z-1+2z-2+z-3 ，|z|0令=TS，z取e j H(ej) =1+ 2e-j+2e-j2+ e-j3 =e-j1.52cos(1.5)+ 4cos(0.5)6.4 z域分析(2)連續(xù)信號(hào)f(t) =