1、高考立體設(shè)計(jì)理數(shù)通用版 8.9 曲線與方程挑戰(zhàn)真題1.重慶到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點(diǎn)，在過(guò)其中一條直線且平行于另一條直線的平面內(nèi)的軌跡是 ( )A.直線 B.橢圓 C.拋物線 解析：在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中建立如下列圖的空間直角坐標(biāo)系，易知直線AD與D1C1是異面垂直的兩條直線，過(guò)直線AD與D1C1平行的平面是面ABCD，設(shè)在平面ABCD內(nèi)動(dòng)點(diǎn)Mx,y滿足到直線AD與D1C1的距離相等，作MM1AD于M1，MNCD于N，NPD1C1于P，連結(jié)MP，易知MN面CDD1C1，MPD1C1,那么有MM1=MP，|y|2=x2+a2其中a是異面直線AD與D1C1間的距離，即有y2-

2、x2=a2，因此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是雙曲線，選D.答案：D2.(北京) 假設(shè)點(diǎn)P到直線x1的距離比它到點(diǎn)(2,0)的距離小1，那么點(diǎn)P的軌跡為 ()A圓 B橢圓 C雙曲線 D拋物線解析：點(diǎn)P到直線x1的距離比它到(2,0)的距離小于1，所以等價(jià)于點(diǎn)P到直線x2的距離等于它到(2,0)的距離，轉(zhuǎn)化為圓錐曲線的統(tǒng)一定義答案：D3.湖北一條曲線C在y軸右邊，C上每一點(diǎn)到點(diǎn)F1,0的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1.1求曲線C的方程；2是否存在正數(shù)m，對(duì)于過(guò)點(diǎn)Mm,0且與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B的任一直線，都有0?假設(shè)存在，求出m的取值范圍；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解:1設(shè)Px,y是曲線C上任意一點(diǎn)，那么點(diǎn)Px

3、,y滿足：=1x0，化簡(jiǎn)得y2=4xx0.2設(shè)過(guò)點(diǎn)Mm,0m0的直線l與曲線C的交點(diǎn)為Ax1,y1,Bx2,y2.設(shè)l的方程為x=ty+m,由x=ty+m, y2=4x得，y2-4ty-4m=0,=16t2+m0.于是y1+y2=4t,y1y2=-4m. 又=x1-1,y1, =x2-1,y2.0 x1-1x2-1+y1y2=x1x2-x1+x2+1+y1y20, 又x=,于是不等式等價(jià)于由式，不等式等價(jià)于m2-6m+14t2. 對(duì)任意實(shí)數(shù)t,4t2的最小值為0，所以不等式對(duì)于一切t成立等價(jià)于m2-6m+10，即3-2m3+2.由此可知，存在正數(shù)m，對(duì)于過(guò)點(diǎn)Mm,0且與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B的

4、任一直線，都有0，且m的取值范圍是3-2,3+2.4.北京在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B與點(diǎn)A-1,1關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，P是動(dòng)點(diǎn)，且直線AP與BP的斜率之積等于-.1求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程;2設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于點(diǎn)M、N，問(wèn)：是否存在點(diǎn)P使得PAB與PMN的面積相等？假設(shè)存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由.解：1因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)A-1,1關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為1,-1.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為x,y,化簡(jiǎn)得x2+3y2=4x1.故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x2+3y2=4x1.2解:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為x0,y0,點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為3,yM，3,yN,故存在點(diǎn)P使得PAB與PMN的面積相等，

5、此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為5.廣東曲線C：yx2與直線l：xy20交于兩點(diǎn)A(xA，yA)和B(xB，yB)，且xAxB.記曲線C在點(diǎn)A和點(diǎn)B之間那一段L與線段AB所圍成的平面區(qū)域(含邊界)為D.設(shè)點(diǎn)P(s，t)是L上的任一點(diǎn)，且點(diǎn)P與點(diǎn)A和點(diǎn)B均不重合(1)假設(shè)點(diǎn)Q是線段AB的中點(diǎn)，試求線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程；(2)假設(shè)曲線G：x22axy24ya2eq f(51,25)0與D有公共點(diǎn)，試求a的最小值解：(1)聯(lián)立yx2與yx2得xA1，xB2，那么AB中點(diǎn)Qeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(5,2)，設(shè)線段PQ的中點(diǎn)M坐標(biāo)為(x，y)，那么xeq f(f(1,2)s,2

6、)，yeq f(f(5,2)t,2)，即s2xeq f(1,2)，t2yeq f(5,2)，又點(diǎn)P在曲線C上，所以2yeq f(5,2)eq blc(rc)(avs4alco1(2xf(1,2)2，化簡(jiǎn)可得y2x2xeq f(11,8).又點(diǎn)P是L上的任一點(diǎn)，且不與點(diǎn)A和點(diǎn)B重合，那么12xeq f(1,2)2，即eq f(1,4)xeq f(5,4)，所以中點(diǎn)M的軌跡方程為y2x2xeq f(11,8)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)xf(5,4).(2)曲線G：x22axy24ya2eq f(51,25)0，即圓E：(xa)2(y2)2eq f(49,25)，其圓心坐標(biāo)為E(a,2)，半徑req f(7,5).由圖可知，當(dāng)0aeq r(2)時(shí)，曲線G：x22axy24ya2eq f(51,25)0與點(diǎn)D有公共點(diǎn)； 當(dāng)a0時(shí)，要使曲線G：x22axy24ya2eq f(51,25)0與點(diǎn)D