1、PAGE 北京市西城區(qū)2011年高三一模試卷參考答案及評分標準數(shù)學（理科） 2011.4一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分. 題號12345678答案CBADBCAD二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分. 9. 10. 11. ，12. 13. ， 14.；或注：11題，13題，14題第一問2分，第二問3分.三、解答題：本大題共6小題，共80分.若考生的解法與本解答不同，正確者可參照評分標準給分. 15.（本小題滿分13分）解：（）因為，所以. 2分因為，由正弦定理可得. 4分因為，所以是銳角，所以. 6分（）因為的面積， 7分所以當最大時，的面積最大.因為，所以.

2、9分因為，所以， 11分所以，（當時等號成立） 12分所以面積的最大值為. 13分16.（本小題滿分13分）解：記“甲、乙、丙三人各自破譯出密碼”分別為事件，依題意有且相互獨立.（）甲、乙二人中至少有一人破譯出密碼的概率為. 3分（）設“三人中只有甲破譯出密碼”為事件，則有， 5分所以，. 7分（）的所有可能取值為. 8分所以，= . 11分分布列為： 12分所以，. 13分yBCAEzDFxMyBCAEzDFx17.（本小題滿分13分）()證明： 因為平面，所以. 2分因為是正方形，所以，從而平面. 4分()解：因為兩兩垂直，所以建立空間直角坐標系如圖所示.因為與平面所成角為，即， 5分所以

3、.由可知，. 6分則，所以， 7分設平面的法向量為，則，即，令，則. 8分因為平面，所以為平面的法向量，所以. 9分因為二面角為銳角，所以二面角的余弦值為. 10分()解：點是線段上一個動點，設.則，因為平面，所以， 11分即，解得. 12分此時，點坐標為，符合題意. 13分18. （本小題滿分14分）解：（），（）， 3分在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，.所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是和，單調(diào)遞增區(qū)間是. 4分（）設切點坐標為，則 7分（1個方程1分）解得，. 8分（），則， 9分解，得，所以，在區(qū)間上，為遞減函數(shù)，在區(qū)間上，為遞增函數(shù). 10分當，即時，在區(qū)間上，為遞增函數(shù)，所以最大值為. 11分當，即時

4、，在區(qū)間上，為遞減函數(shù)，所以最大值為. 12分當，即時，的最大值為和中較大者；，解得，所以，時，最大值為， 13分時，最大值為. 14分綜上所述，當時，最大值為，當時，的最大值為.19. （本小題滿分14分） 解：（）由已知,設，則，圓心坐標為，圓心到軸的距離為， 2分圓的半徑為， 4分所以，以線段為直徑的圓與軸相切. 5分（）解法一：設，由,得， 6分所以， 8分由，得.又，所以 . 10分代入，得，整理得， 12分代入，得，所以， 13分因為，所以的取值范圍是. 14分解法二：設，將代入，得，所以（*）， 6分由，得， 7分所以， 8分將代入（*）式，得， 10分所以，. 12分代入，得. 13分因為，所以的取值范圍是. 14分20（本小題滿分13分）（）解： 1分. 3分（）證明：因為，所以. 4分因為，所以，或.若，則當時，上式，當時，上式，當時，上式，即當時，. 6分若，則，.（同前）所以，當時，成立. 7分（）證明：由（）易知對于四個數(shù)的數(shù)列，若第三項的值介于前兩項的值之間，則交換第二項與第三項的位置將使數(shù)列波動強度減小或不變.（將此作為引理）下面來證明當時，為遞減數(shù)列.（）證明.若，則由引理知交換的位置將使波動強度減小或不變，與已知矛盾.若，則，與已知矛盾.所以，. 9分（）設，證明.若，則由引理知交換的位置將使波動強度減小或不變，與已知矛盾.