1、第五章 矩陣的特征值與特征向量內(nèi)容提要1 . 特征值和特征向量定義1 設(shè)是數(shù)域P上的n階矩陣，若對(duì)于數(shù)域P中的數(shù)，存在數(shù)域P上的非零n維列向量X，使得 則稱為矩陣A的特征值，稱X為矩陣A屬于（或?qū)?yīng)于）特征值的特征向量注意：1）是方陣； 2）特征向量 X 是非零列向量； 3）方陣 與特征值 對(duì)應(yīng)的特征向量不唯一 4）一個(gè)特征向量只能屬于一個(gè)特征值. = 2 * Arabic 2特征值和特征向量的計(jì)算計(jì)算矩陣A的特征值與特征向量的步驟為：（1） 計(jì)算n階矩陣A的特征多項(xiàng)式EA；（2） 求出特征方程EA的全部根，它們就是矩陣A的全部特征值；（3） 設(shè)1 ，2 ， ，s 是A的全部互異特征值。 對(duì)于

2、每一個(gè)i，解齊次線性方程組0，求出它的一個(gè)基礎(chǔ)解系，該基礎(chǔ)解系的向量就是A屬于特征值i的線性無關(guān)的特征向量，方程組的全體非零解向量就是A屬于特征值i的全體特征向量. = 3 * Arabic 3 特征值和特征向量的性質(zhì)性質(zhì)1 （1）若X是矩陣A屬于特征值的特征向量，則kX（）也是A屬于的特征向量； （2）若是矩陣A屬于特征值的特征向量，則它們的非零線性組合也是A屬于的特征向量； （3）若A是可逆矩陣，是A的一個(gè)特征值，則是A1的一個(gè)特征值，是A*的一個(gè)特征值； （4）設(shè)是n階矩陣A的一個(gè)特征值，f（x）= amxm + am-1xm-1 + + a1x + a0為一個(gè)多項(xiàng)式，則是f（A）的一個(gè)

3、特征值。性質(zhì)2（1） （2） 性質(zhì)3 n階矩陣A和它的轉(zhuǎn)置矩陣有相同的特征值性質(zhì)4 n階矩陣A 不同的特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量線性無關(guān)4. 相似矩陣定義2 設(shè)A、B為n階矩陣，若存在可逆矩陣P，使得P1P 則稱A與B相似。記作AB. 并稱P為相似變換矩陣. 矩陣的相似關(guān)系是等價(jià)關(guān)系，滿足：1 反身性：AA. 2 對(duì)稱性：若A，則A. 3 傳遞性：若A，B 則 A.5矩陣相似的性質(zhì)：設(shè)A、B為n階矩陣，若AB，則 （1） ； （2） ；（3）A、B 有相同的跡和特征多項(xiàng)式，相同的特征值；（4） A，B或者都可逆或者都不可逆. 當(dāng)A，B都可逆時(shí)，； （5）設(shè)f（x）= amxm + am-1xm-1

4、 + + a1x + a0 為一個(gè)多項(xiàng)式，則 f（A） f（B） ； 6n階矩陣A相似對(duì)角化的條件（1）n階矩陣A與對(duì)角矩陣相似的充分必要條件是A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量.（2）n階矩陣A與對(duì)角陣相似的充要條件是A的每個(gè)k重特征值恰好對(duì)應(yīng)有k個(gè)線性無關(guān)的特征向量.注（1）與單位矩陣相似的 n 階矩陣只有單位陣 E 本身，與數(shù)量矩陣 kE 相似的 n 階方陣只有數(shù)量矩陣 kE本身（2）有相同特征多項(xiàng)式的矩陣不一定相似。7n階矩陣A相似對(duì)角化的方法（1）解特征方程，求出的全部特征值，設(shè)是重根（2）對(duì)每個(gè)特征值，解齊次線性方程組，求得基礎(chǔ)解系；（3）令可逆矩陣 則8.實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量8.

5、 = 1 * Arabic 1實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)實(shí)對(duì)稱矩陣的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量是正交的對(duì)于任意一個(gè)n階實(shí)對(duì)稱矩陣A，都存在一個(gè)n階正交矩陣Q，使得為對(duì)角陣8.2 用正交變換法化實(shí)對(duì)稱陣為對(duì)角陣的步驟 1） 解特征方程求出對(duì)稱陣的全部的特征值（根），設(shè)是重根；2）對(duì)每個(gè)特征值，解齊次線性方程組，求得基礎(chǔ)解系3）將基礎(chǔ)解系正交單位化，得正交 單位向量組4）令可逆矩陣則 = 2 * CHINESENUM3 二重點(diǎn)難點(diǎn) = 1 * GB1 矩陣的特征值和特征向量 矩陣的特征值與特征向量的定義、性質(zhì)與求法；矩陣的特征值與跡、矩陣行列式的關(guān)系. = 2 *

6、Arabic 2 相似矩陣與矩陣對(duì)角化矩陣對(duì)角化的必要條件與充分條件；矩陣對(duì)角化的判定與對(duì)角化的方法；矩陣對(duì)角化的應(yīng)用. = 3 * Arabic 3 實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)，實(shí)對(duì)稱矩陣正交相似于對(duì)角陣的化法.三學(xué)習(xí)要求理解矩陣的特征值、特征向量的概念，掌握矩陣特征值的性質(zhì)，掌握求矩陣特征值和特征向量的方法.理解矩陣相似的概念，掌握相似矩陣的性質(zhì)，掌握矩陣可相似對(duì)角化的充分必要條件，掌握將矩陣化為相似對(duì)角矩陣的方法.掌握實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì).掌握實(shí)對(duì)稱陣化為正交相似對(duì)角陣的方法.四典型題分析 例1 設(shè)A是四階矩陣，已知?jiǎng)tA的伴隨矩陣的一個(gè)特征值是_分

7、析：考慮根據(jù)可得A的一個(gè)特征值，再根據(jù)A與其伴隨矩陣的關(guān)系即可求解.解 由于，于是有是A的一個(gè)特征值.又由于易知 由，所以是A的一個(gè)特征值，則是的特征值，因此的一個(gè)特征值是例2 已知三階矩陣A=有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則參數(shù)=_分析 三階矩陣A有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則A可以對(duì)角化，可通過先求特征根中的重根再代入即可求得解 矩陣A的特征多項(xiàng)式為 解得矩陣A的特征值為因?yàn)锳有個(gè)線性無關(guān)的特征向量，所以A可以對(duì)角化，則其二重根有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量。于是，對(duì)作初等變換，有例設(shè)矩陣 A、B 均為階矩陣，則矩陣A與B相似的充分條件是：A與B有相同的特征值.A與B有相同的特征向量.A與B和同一矩陣

8、相似.與相似.分析 A與B有相同的特征值不一定相似，因?yàn)椴灰欢苷业娇赡婢仃?，?（ = 2 * ALPHABETIC B） 顯然，易舉反例 （ = 3 * ALPHABETIC C）由相似的傳遞性可知正確 （ = 4 * ALPHABETIC D）舉反例：設(shè) 顯然相似，但是矩陣A與B不相似解 選(A)例4設(shè)矩陣，其行列式，又的伴隨矩陣有一個(gè)特征值，屬于的一個(gè)特征向量為，求的值 .分析 本題可根據(jù)特征值和特征向量的定義求得未知參數(shù).解 根據(jù)題設(shè)可得： 兩邊同時(shí)左乘得 ： 即所以有由此可得： 解得：由于 又得：因此：例5：設(shè)矩陣 ，已知有3個(gè)線性無關(guān)的特征向量，是的二重特征值，試求可逆矩陣，使得

9、為對(duì)角陣.分析 根據(jù)有3個(gè)線性無關(guān)的特征向量，是的二重特征值，代入，即可求出中未知參數(shù)。解 因?yàn)橛?個(gè)線性無關(guān)的特征向量，是的二重特征值，所以的屬于的線性無關(guān)的特征向量必有2個(gè) ，故秩 即：于是解得：矩陣 先求的特征值：最后解得可逆矩陣：例6設(shè)階矩陣 .() 求的特征值和特征向量;() 求可逆矩陣, 使得為對(duì)角矩陣.解 () 當(dāng)時(shí)， ,得的特征值為，對(duì)，解得，所以的屬于的全部特征向量為(為任意不為零的常數(shù))對(duì)， 得基礎(chǔ)解系為，故的屬于的全部特征向量為(是不全為零的常數(shù))當(dāng)時(shí)，,特征值為，任意非零列向量均為特征向量() 當(dāng)時(shí)，有個(gè)線性無關(guān)的特征向量，令，則當(dāng)時(shí)，對(duì)任意可逆矩陣, 均有 【注】本題

10、通過考查矩陣的特征值和特征向量而間接考查了行列式的計(jì)算, 齊次線性方程組的求解和矩陣的對(duì)角化等問題, 屬于綜合性的題. 另外,本題的解題思路是容易的, 只要注意矩陣中含有一個(gè)未知參數(shù), 從而一般要討論其不同取值情況.例7設(shè)是階矩陣A的兩個(gè)不同的特征值，是A的屬于的特征向量，試證明不是A的特征向量.分析 該結(jié)論用定義即可證明，為敘述方便運(yùn)用反證法.證明 用反證法。設(shè)是的屬于特征值的特征向量，則 因?yàn)槭菍儆谔卣髦档奶卣飨蛄?，且，則有：代入上式，有： 于是 即 由于屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān)，故 從而 與已知矛盾，所以不是A的特征向量.五習(xí)題解析 習(xí)題7.11. (1) 若A2 = E，證明A

11、的特征值為1或1;(2) 若A2 = A，證明A的特征值為0或1.證明（1）（2）2. 若正交矩陣有實(shí)特征值，證明它的實(shí)特征值為1或 1.證明3求數(shù)量矩陣A=aE的特征值與特征向量.解所以：特征值為a(n重), A屬于a的特征向量為 k1(1,0,0)T + k2(0,1,0)T + kn(0,0,1)T ，(k1, k2, , kn不全為0)4求下列矩陣的特征值與特征向量.（1） （2）（3）（4）解（1）A屬于特征值1的全部特征向量為k(1,0,0)T ，(k0)A屬于特征值2的全部特征向量為k(1，2，1)T，(k0)解（2）將其代入，求得特征向量：，不全為零 解（3）代入，求得特征向量

12、：A屬于特征值-1的全部特征向量為k(1,-1,0)T ，(k0)；A屬于特征值1的全部特征向量為k(1,-1,1)T ，(k0)；A屬于特征值3的全部特征向量為k(0,1,-1)T ，(k0)解（4）特征值為-1，-1，-1；A屬于特征值-1的全部特征向量為k(1,1,-1)T ，(k0)解（5）設(shè)為的任一特征值，的屬于的特征向量為：，則 于是 而故 =0，因?yàn)樘卣飨蛄?，所?，即矩陣的所有特征值為0. 解得基礎(chǔ)解系：特征值為0（n重）；A屬于n重特征值0的全部特征向量為：k1+ k2+ + kn1（ k1，k2，kn1不全為零）解 (1）(2）6. 已知12是矩陣的一個(gè)特征值，求a的值.解

13、7. 已知X = 是矩陣A = 的一個(gè)特征向量.求k及X所對(duì)應(yīng)的特征值.解 習(xí)題7.2判斷習(xí)題7.1第4題中各矩陣能否與對(duì)角矩陣相似.如果相似，求出相似變換矩陣與對(duì)角矩陣.1）2）二重根有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量，可以對(duì)角化.相似變換矩陣為 對(duì)角陣為3）矩陣有三個(gè)互異的特征值，故可以對(duì)角化. 對(duì)角陣為4）不能對(duì)角化.5），所以可以對(duì)角化.2判斷下列矩陣是否與對(duì)角陣相似，若相似，求出可逆矩陣P,使為對(duì)角陣.（1） （2）解 (1) 代入解得對(duì)應(yīng)的特征向量分別為：所以：可逆矩陣 解 (2)3設(shè)A是一個(gè)3階矩陣，已知A的特征值為1，1，0，A屬于這3個(gè)特征值的特征向量分別為求A.解 A有三個(gè)互異的特征

14、值，所以可以對(duì)角化.4計(jì)算解 ，5設(shè) A與B相似.求a,b的值；求可逆矩陣P,使=B.解 1）A與B相似，故A與B有相同的特征多項(xiàng)式，即： （2）最后解得可逆矩陣使得6. 設(shè)A =與對(duì)角陣相似，求x，y滿足的條件.解由于與對(duì)角矩陣相似，7設(shè)A與B相似，f（x）= a0 xn + a1xn1 + + an1x + an（a0 0），證明 f（A）與 f（B）相似證明故f（A）與 f（B）相似8若A與B相似，C與D相似，證明 與 相似.證明習(xí)題7.31求正交矩陣Q，使為對(duì)角陣.(1) （2）解 （1）先求特征值和特征向量解得特征向量：于是構(gòu)成正交矩陣 ,解（2）先求特征值和特征向量單位化于是構(gòu)成正

15、交矩陣 2已知 = 6，= 3是實(shí)對(duì)稱矩陣A的三個(gè)特征值，A的屬于 = 3的特征向量為X2 = ， X3 = ，求A的屬于= 6的特征向量及矩陣A 解 令的屬于的特征向量為：且A的屬于的特征向量為：解 （1）的另一特征值為0，令其相應(yīng)的特征向量為，滿足習(xí)題七(A)一、填空題1已知3階矩陣A的特征值為1，3，-2，則A-E的特征值為 , 的特征值為 的特征值為 .解 A-E的特征值為A的特征值減1，故A-E的特征值為0，2，-3.的特征值為2n階矩陣A的特征值為1，2 ，3 ， ，n ，則 .解3. 已知3階矩陣A的特征值為1，3，5，則= .解4. 設(shè)A為3階方陣，且，則= ， = ，= .解

16、由題意知：5若3階方陣A與B相似，A的特征值為，則= . 解6已知3階矩陣A-1的特征值為1，2，3，則的特征值為 . 解7. 已知矩陣的特征值為1,2,3,則x= .解8. 已知3階矩陣A的特征值為1，3，2，則的特征值為 .解9. 設(shè)A，B均為3階方陣，A 的特征值為1，2，3，= 1，則= . 解10. 設(shè) 有相同的特征值，則a= ， b = .解有相同的特征值，即11. 已知矩陣A的各行元素之和為2,則A有一個(gè)特征值為 .解顯然A有一個(gè)特征值為212已知0是的一個(gè)特征值，則a= . 解 由于0是的一個(gè)特征值，則：，即，即二、單項(xiàng)選擇題1. 若4階方陣A與B相似，A的特征值為，則（ ）.

17、 (A) 24 (B) -24 (C) -32 (D) 32解 選(A)2. 設(shè)A為n階矩陣,為A的一個(gè)特征值,則A的伴隨矩陣的一個(gè)特征值為( ).解 3. 設(shè)A為n階矩陣, X為A屬于的一個(gè)特征向量, 則與A相似的矩陣B=P-1AP的屬于的一個(gè)特征向量為( ).(A) PX (B) P-1X (C) P TX (D) P nX解4. 已知X = 是矩陣A = 的一個(gè)特征向量,則a,b的值分別為( ).(A) 5, 2 (B) -1, 3 (C) 1, -3 (D) -3, 1解選(D)5. 下列結(jié)論正確的是( ).X1, X2是方程組()X=O的一個(gè)基礎(chǔ)解系, 則k1X1+k2X2是A的屬于

18、的全部特征向量,其中k1, k2 是全不為零的常數(shù)A, B有相同的特征值, 則A與B相似如果=0, 則A至少有一個(gè)特征值為零若同是方陣A與B的特征值, 則也是A+B的特征值解(C) 正確 （D）顯然不是A+B的特征值6. 設(shè)1 ，2是矩陣A的兩個(gè)不相同的特征值，是A的分別屬于1 ，2的特征向量，則（ ）.（A）對(duì)任意k1 0 ，k2 0 ，k1 + k2都是A的特征向量（B）存在常數(shù)k1 0 ，k2 0 ，使k1 + k2是A的特征向量（C）當(dāng)k1 0 ，k2 0時(shí) ，k1 + k2不可能是A的特征向量（D）存在唯一的一組常數(shù)k1 0 ，k2 0 ，使k1 + k2是A的特征向量解（A）顯然不

19、成立；（B）不存在；（C）正確；（D）不存在.所以選（C）7. 與矩陣相似的矩陣是（ ）. 解是二重根，將分別代入,只有在(C)中，故選(C)8. 下列矩陣中,不能相似對(duì)角化的是( ).解 答案(C)中，是三重特征值，代回中，顯然(C)不能對(duì)角化.9. 若A與B相似，則（ ）.（A） （B） （C） A=B （D） A*= B*解 因?yàn)榇嬖诳赡婢仃?使則選(B)10. 設(shè)向量=（a1 ，a2 ， ，an）T ，=（b1 ，b2 ， ，bn）T都是非零向量，且滿足條件T= 0，記n階矩陣A =T,則( ). (A) A是可逆矩陣 (B) A2不是零矩陣 (C) A的特征值全為0 (D) A的特征

20、值不全為0解故的特征值全為零，而若設(shè)A的特征值為，則的特征值為，顯然有 選(C) (B)1設(shè)3階矩陣A的特征值為1，2，3，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為解（1）由題意 （2）化為線性方程組形式求解，得增廣矩陣（3）解2設(shè)A為4階方陣，且，=9，（1）求的一個(gè)特征值；（2）的一個(gè)特征值.解（1）由已知：（2）3已知向量X = 是可逆矩陣A = 的伴隨矩陣的一個(gè)特征向量，求a,b與X所對(duì)應(yīng)的特征值解 兩邊同乘以 得解得：4. A是n階正交矩陣，證明1是A的特征值.證明5. 設(shè)A是正交矩陣，證明故是的特征值，也是的特征值.6已知矩陣解7，已知A可相似對(duì)角化，求與它相似的對(duì)角陣和An.解 先求A的特征值：是二重特征值，則有：解得特征向量解得特征向量：所以得相似變換矩陣：8設(shè)A是3階方陣，A有3個(gè)不同的特征值1，2，3，對(duì)應(yīng)的特征向量依次為令證明：線性無關(guān).解線性無關(guān)，（它們是不同特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量）故有：由于 （范德蒙行列式結(jié)論）所以方程只有零解.即線性無關(guān)9若A與B相似且A可逆，證明：A*與B*相似.證明