1、第2節(jié) 平面向量基本定理及坐標表示考試要求1.了解平面向量的基本定理及其意義；2.掌握平面向量的正交分解及 其坐標表示；3.會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算；4.理解用坐標 表示的平面向量共線的條件.知識衍化體驗鏡洞顧教材I?夯賣基礎濤知識梳理1平面向量的基本定理如果如 血是同一平面內(nèi)的兩個 不共線 向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a, 有且只有一對實數(shù)八 &，使a= 也+也 .其中，不共線的向量e1, e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.2平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個 互相垂直 的向量，叫做把向量正交分解.平面向量的坐標運算若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向

2、量的坐標.設力（兀1，尹1）, E（X2,尹 2），貝 V 孟=（兀2一x1，y2y1）, |麗=1（兀2兀） +（X2門）4平面向量共線的坐標表示a = (x1, yj, b = (x2, y2)，貝allb0 兀1歹2一兀2卩1_0 .微點提醒1右a=(Xi, yj, b =(X2,尹2)且a=b,則X=x?且y=y2若a與b不共線，Xa+b = 0,貝耽= = 0.向量的坐標與表示向量的有向線段的起點、終點的相對位置有關(guān)系.兩個相等的向量, 無論起點在什么位置，它們的坐標都是相同的.基礎自測疑誤辨析1判斷下列結(jié)論正誤（在括號內(nèi)打“丁”或“X”）（1）平面內(nèi)的任何兩個向量都可以作為一組基底

3、（）（2）同一向量在不同基底下的表示是相同的.（）（3）設a,方是平面內(nèi)的一組基底，若實數(shù)久,“,久2, 2滿足久a+卩、b=&a+卩2b,則久1=久2，1=2（）（；4）若伉=（兀1，乃），方=（兀2，尹2），則ab的充要條件可以表示成丁=*（）解析(1)共線向量不可以作為基底.(2)同一向量在不同基底下的表示不相同.若6 = (0, 0),則嚴=嚴無意義|I答案(1)X X (3)V (4)X教材衍化(必修4P118A2 (6)改編)下列各組向量中，可以作為基底的是()i = (O, 0), 02 = (1，2) = ( 1, 2),纟2 = (5, 7) = (3, 5),侖2 = (6

4、, 10)ri 3D = (2, _3),侖2=總，_&解析兩個不共線的非零向量構(gòu)成一組基底，故選B答案B(必修4P99例8改編)設P是線段P1P2上的一點，若P1(1, 3), P2(4, 0)且P是線段P1P2的 一個三等分點(靠近點P1),則點P的坐標為()A.(2, 2)B.(3,-1)C.(2, 2)或(3,-1)D.(2, 2)或(3, 1)f1 ff解析 由題意得PP = qPP2且尸1尸2 = (3, 3).設P(x, y),則(x1,y3) = (1,1),*x = 2 j, = 2,則點P(2, 2).答案A考題體驗(2015-全國 I 卷)已知點力(0, 1), 5(3,

5、 2),向量花=(4, 3),則向fi5C=( )A.(-7, -4)B.(7, 4)C.(1, 4)D.(l, 4)解析根據(jù)題意AB=(3, 1), /.BC=ACAB=(4, 3) (3, 1) = (7, 4), 故選A.答案A（2017山東卷）已知向量a = （2, 6）, b = （1,久）,aHb，貝胱=解析、：a “ b .: 22 + 6 = 0,解得久=3.答案一3(2019蘇州月考)已知口ABCD的頂點A(1, 2), B(3, 1), C(5, 6),則頂點D的坐標為解析設 D(x, y),則由AB=DC，得(4, 1) = (5-%, 6-y),即答案(1，5)I考點聚

6、焦突破I 錢屢覺蠢蠹鑼薫靈薫逐i類講練讒以例求法鑿鴛考點一平面向量基本定理及其應用【例1】（1）（2019衡水中學調(diào)研）一直線/與平行四邊形/BCD中的兩邊4B, AD分別交于點E, F,且交其對角線/C于點 M,若応=2応,AD=3AF, TOC o 1-5 h z UR）,則嚴一久=（）13A._2B.lC，2D.-3（2）（2019-北京海淀區(qū)調(diào)研）在AABC中,D為三角形所在平面內(nèi)一點,Ub=jAB+AC.延長4D交BC于若応=曲+“花，則久一的值是.解析(1 )AM= MB -)aAC=XAB (鮎 + 25) = (2 “屈-AD=2(2 “)益一3辭. 因為E M, F三點共線，

7、所以2(2) + ( 3)=1,艮卩2久5“= 1,A=2(2)設龐v2b=ZB+|jC, Ai=|45+|jC.y y由于 E, E, C 三點共線，.*.3+2=1, x=.根據(jù)平面向量基本定理，得久=扌，屯E H X XX1因 此 a/u = 22 g= 答案(1)A (2)-|規(guī)律方法1.應用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角 形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算.2.用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將 條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.【訓練1】(1)(2019 濟南質(zhì)檢)AABC中，麗=應，若戶是直線BN上的一

8、 TOC o 1-5 h z 點，且滿AP=mAB+AC,則實數(shù)的值為()A.-4B.-lC.lD.42 1(2)在平面直角坐標系中，O為坐標原點，A, B, C三點滿足OC=OA+dB,則|JC|_麗解析根據(jù)題意設BP=nBN(nR),則AP=ABrRP=AB+叔=砸+a Yl A=(1 n)AB+昇 C.2AP=mAB+AC, kfl-n = m,2 解得刃=2, m= 1.答案(1)B (2)|考點二平面向量的坐標運算【例 2】(1)設力(0, 1), 3(1, 3), C(1, 5), D(0, -1),則AB+AC于()A-2ADB.2ADD.3AD(2)向量伉，b, c在正方形網(wǎng)格

9、中的位置如圖所示，若c=M+妙(久，“WR),貝叮円A.1D.4解析 (1)由題意得施=(1, 2), AC=(19 4), Jb=(o, 2),所以Jb+Jc=(o, 6)= 一3(0, 2)= 一3AD.(2)以向量仇和方的交點為原點建立如圖所示的平面直角坐標系(設 1 每個小正方形邊長為1),貝lA(1,l), B(6, 2), C(5,1),o/.a=AO=(l, 1), b = OB = (6, 2), c=5C=(1, 一3),c=Aa +yb, /.(1, 3)=久(1, 1)+(6, 2),久+6“=1,厶1久 2則3, 解得 2=_2, =2，=二1=42答案(1)C (2)

10、D規(guī)律方法1.巧借方程思想求坐標：若已知向量兩端點的坐標，則應先求出向量的 坐標，解題過程中注意方程思想的應用.2.向量問題坐標化：向量的坐標運算，使得向量的線性運算都可以用坐標來進行， 實現(xiàn)了向量運算的代數(shù)化，將數(shù)與形結(jié)合起來，使幾何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量運算問題.【訓練2】(1)己知0為坐標原點，點C是線段上一點，且力(1, 1), CQ, 3),BC=2AC,則向量勵的坐標是.(2)(2019-天津和平區(qū)一模)如圖，在直角梯形4BCD中，AB/DC,昇。丄DC, AD=DC=2AB, EJ AD的中點，若藥 =2碇+“厲(2, UR),貝U+m的值為()A5BiC.2DI解析(1)由點C是線段4

11、B上一點，|BC = 2AC, #5C= 2疋.設點B為(兀，尹)， 則(2-x, 3-y)=2(1, 2).則、尹=_4解得=?所以向量05的坐標是(4, 7).2久+“=2,匕 艱+2“ = 2,解如-AEADC x建立如圖所示的平面直角坐標系，則D(0, 0).不妨設AB = 1,則CD=AD=2,所以C(2, 0), A(0, 2), B(1, 2), E(0, 1),看=(2, 2),在=(2, 1), P5=(l, 2),&=涎+艇,(一2, 2)=；(-2, 1)+“(1, 2),2=65兒5Q2 貝(久+“=答案(1)(4, 7) (2)B考點三 平面向量共線的坐標表示 A多維

12、探究角度1利用向量共線求向量或點的坐標【例3 1】(一題多解)已知點A(4, 0), B(4, 4), C(2, 6),貝lAC與OB的交點P的坐標 為.解析法一由O, p, B三點共線，可設=42),則APOP-OA(424, 42). XlC=OC-04 = (-2, 6),3由麗與處共線，得(4久一4)X642X(2) = 0,解得2=4, 所以商=才筋=(3, 3),所以點尸的坐標為(3, 3).法二 設點戶(兀，叨，則OP=(x, y),因為05 = (4, 4),且商與筋共線，所以 即 x=y.又茜=(兀一4, y), AC=(2, 6),且茜與花共線,所以(兀一4)X6 yX(2

13、) = 0,解得兀=y=3, 所以點P的坐標為(3, 3).答案(3, 3)角度2利用向量共線求參數(shù) TOC o 1-5 h z 【例3-2】(1)(2018全國III卷)已知向量伉二(1, 2), b = (2, 2), c = (1, 2).若c(2a +b)，貝耽=.(2)已知向量伉=(2, 3),方=(一1, 2),若ma+nb與a3b共線，則一=.-解析(1)由題意得 2a+方=(4, 2),因為 c=(l,久),且 c/(2db)9 所以 422 = 0, 1即久弓23-(2)由二工所以仇與方不共線，又a3b = (2, 3)3(1, 2) = (5, 3)H0.那么當ma+nb與

14、a 3b共線時，有v=即得=13n j答案(1)| (2)-|規(guī)律方法1.兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：若a =(兀1，y) b = (x2, y2),貝Uab的充要條件是x1y2x2y1 = 0 ; (2)若ab(bHO),貝a=Ab.2.向量共線的坐標表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù).當兩向量的坐 標均非零時，也可以利用坐標對應成比例來求解. TOC o 1-5 h z 【訓練3】(1)(2019北師大附中檢測)已知向量=(b 1),點力(3, 0),點3為直線尹= 2兀上的一個動點，若血a,則點3的坐標為.(2)設向量04 = (1, -2),況=(2匕-1), OC=(2 0), m,O 為坐標原點,若兒B, C三點共線，則加+刃的最大值為()A. 3B.2C.2D.3解析由題意設B(x, 2x),則AB=(x3, 2x),AB/a, /3 2x = 0,解得兀=3,:B(3, 6).由題意易知，AB/AC.其中盤=Q5-O4 = (2W-1, 1), AC=0C-O4 = (-2n-l, 2), 所以(2加一l)X2=lX(-2一 1)，得：2加+1+2=1.2卅1十2三2寸2卅+1,所以2m+n+122,即加+刃W3.答案(