1、統(tǒng)計學-從典型案例到問題和思想 經(jīng)濟管理類“十三五規(guī)劃教材主講人：朱芳芳. 典型案例【6】 第一節(jié) 抽樣分布根本概念 第二節(jié) 幾個常見的抽樣分布 第五章 抽樣分布.【典型案例6】如何決議能否購買一批蘋果？ 俗話說“一日一蘋果，醫(yī)生遠離我。假設(shè)如今面對一批蘋果，人們?nèi)绾瘟私馑鼈兛诟械木岛筒顒e值，以便作出能否購買這批蘋果的更好決策呢？ 眾所周之，不能夠經(jīng)過將一切的蘋果都咬一口品味來處理這個問題，由于這樣做蘋果就全部報廢了，對買賣雙方都毫無益處！人們常用作法：從這批蘋果中隨機挑出幾個品味后，得出這幾個蘋果口感的均.值和差別值，以此作為這批蘋果口感的均值和差別值，從而作出能否購買這批蘋果的更好決策。

2、從統(tǒng)計學角度來講，挑出的這幾個蘋果口感的均值和差別值就是樣本平均數(shù) 和樣本方差 ，這批蘋果口感的均值和差別值是總體平均數(shù) 和總體方差 ?！镜湫桶咐?】如何決議能否購買一批蘋果？ 這種用商質(zhì)量量數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù) 、樣本方差 作為總體平均數(shù) 、總體方差. 的作法，是人們購買商品時常用的有效估計方法，其實際根據(jù)是本章將要學習的內(nèi)容?！镜湫桶咐?】如何決議能否購買一批蘋果？.第一節(jié) 抽樣分布根本概念一、樣本容量和樣本個數(shù) 二、參數(shù)和統(tǒng)計量三、抽樣分布四、抽樣分布的數(shù)字特征. 總體是研討的一切個體構(gòu)成的集合，其中的個體的數(shù)目常用 表示。 從中隨機抽取部分個體構(gòu)成一個樣本，構(gòu)成樣本的個體的數(shù)目，常用 表示

3、，稱為樣本容量，也稱樣本量。 例如，典型案例6中，一批蘋果有400個，從中抽取8個進展品味，那么 ，而 。顯然，從中可以得到很多個樣本。 從一個含有N個個體的總體中，隨機第一節(jié) 抽樣分布根本概念.抽取樣本容量為n的樣本，可得到很多個樣本，此即樣本的個數(shù)。例如，從一個含有5個個體的總體中，隨機抽取樣本容量為2的樣本假設(shè)采取反復抽樣方式，那么可以得到52=25個樣本。 典型案例6中，將400個蘋果編號，那么隨機抽取的樣本能夠是由編號為18的這8個蘋果構(gòu)成，也能夠是由編號為101108的8個蘋果構(gòu)成等等。第一節(jié) 抽樣分布根本概念. 參數(shù)是用來描畫總體數(shù)量特征的，如總體均值 、總體比例 、總體方差 等

4、； 統(tǒng)計量是用來描畫樣本數(shù)量特征的，是由樣本構(gòu)造的函數(shù)，如樣本均值 、樣本比例 、樣本方差 等。 由于總體是獨一的、固定不變的，故參數(shù)往往是一個未知的常數(shù)；而樣本不唯一，且一旦抽取出來，就成為知，故統(tǒng)計量是隨機變量，其取值隨著樣本的變化第一節(jié) 抽樣分布根本概念.而改動。 抽樣的目的就是要根據(jù)樣本統(tǒng)計量去估計或推斷總體參數(shù)。 比如，常用樣本均值 去推斷總體均值 、用樣本比例 去推斷總體比例 、用樣本方差 去推斷總體方差 。 以上做法的實際根據(jù)就是樣本統(tǒng)計量的抽樣分布。第一節(jié) 抽樣分布根本概念. 統(tǒng)計量是隨機變量。抽樣分布就是統(tǒng)計量的概率分布。 如樣本均值的概率分布、樣本比例的概率分布、樣本方差的

5、概率分布等都稱為抽樣分布。 以下將以樣本均值為例闡明統(tǒng)計量的抽樣分布。第一節(jié) 抽樣分布根本概念. 【例5-1】設(shè)有一個總體，含有5個個體：10、20、30、40、50，即 。采取反復抽樣的方式從中抽取樣本容量為2的樣本，即 。 試寫出樣本均值 的抽樣分布。 解：由于 =5， =2，從總體中采取重復抽樣的方式抽取樣本，那么樣本共有 =52=25個。計算出這25個樣本的均值 ，其結(jié)果如表5-1所示。第一節(jié) 抽樣分布根本概念.樣本序號樣本個體樣本均值樣本均值的概率110,1010125210,2015225310,3020325410,4025425510,5030525620,1015720,20

6、20820,3025920,40301020,50354251130,10201230,2025表5-1 n=2時樣本均值的抽樣及其取值情況樣本序號樣本個體樣本均值樣本均值的概率1330,30301430,40351530,50403251640,10251740,20301840,30351940,40402040,50452252150,10302250,20352350,30402450,40452550,5050125.表5-2 =2時樣本均值 的抽樣分布從而，樣本均值 的概率分布如表5-2所示。第一節(jié) 抽樣分布根本概念. 在例5-1中，假設(shè)樣本容量n=4，那么樣本共有 =54=625

7、個,并且例5-1中的總體是一個非常小的總體，現(xiàn)實世界中，我們面對的總體往往很大，進而樣本數(shù)目將很可觀，不能夠?qū)⒁磺械臉颖径汲槿〕鰜怼?因此抽樣分布本質(zhì)上是一種實際分布。它能夠是準確的某知分布，也能夠是以某知分布為極限的極限分布。第一節(jié) 抽樣分布根本概念. 抽樣分布實際在推斷統(tǒng)計中具有重要的作用，它是后續(xù)參數(shù)估計和假設(shè)檢驗的實際根據(jù)和根底。第一節(jié) 抽樣分布根本概念.在例5-1中，樣本均值的平均數(shù)總體均值 樣本均值的方差 總體方差 由于n =2，從而驗證了5.1的正確性。第一節(jié) 抽樣分布根本概念. 由式5.1可知： 的平均數(shù)為 ，方差為 。隨著 的增大，其方差越來越小，從而 的取值越來越向著 靠攏

8、，故用 去估計 實際根據(jù)成立。 由此可見，典型案例6中，人們用挑選出的幾個蘋果口感的均值去估計這批蘋果口感的均值的做法是站得住腳的。第一節(jié) 抽樣分布根本概念. 以上結(jié)論均建立在反復抽樣情形下，假設(shè)是在反復抽樣情形下，方差需求用系數(shù) 進展修正，從而樣本均值的數(shù)字特征為：5.2可見：用 去估計 實際根據(jù)同樣成立。第一節(jié) 抽樣分布根本概念. 比例：總體或樣本中具有某種屬性的個體數(shù)與全部個體數(shù)之比，總體比例記為 。 現(xiàn)有 ，采取反復抽樣的方式從中抽取獨立同分布的樣本： ， 。樣本中變量值1出現(xiàn)次數(shù)記為 ，那么變量值1出現(xiàn)次數(shù)所占的比例為 ，即 為樣本比例。二樣本比例的數(shù)字特征第一節(jié) 抽樣分布根本概念.

9、 根據(jù)數(shù)學期望和方差的性質(zhì)，可推出樣本比例 的數(shù)學期望、方差與總體的平均數(shù)、方差之間的關(guān)系：5.3 由式5.3可知： 的平均數(shù)為總體比例 ，方差為 。隨著 的增大，方差越來越小，從而 的取值越來越向 靠攏，故用 去估計 實際根據(jù)成立。第一節(jié) 抽樣分布根本概念. 以上結(jié)論均建立在反復抽樣情形下，假設(shè)是在不反復抽樣情形下，當樣本容量很大時，方差需求用系數(shù)進展修正，從而樣本比例的數(shù)字特征為：5.4可見：用 去估計 實際根據(jù)同樣成立。第一節(jié) 抽樣分布根本概念. 設(shè)總體 的方差為 ，采取反復抽樣的方式，從中抽取獨立同分布的樣本： ， ， 。根據(jù)數(shù)學期望和方差的性質(zhì)，可推出樣本方差的數(shù)學期望、方差與總體的

10、方差之間的關(guān)系為：5.5三樣本方差的數(shù)字特征第一節(jié) 抽樣分布根本概念. 由式(5.5)可知：樣本方差的平均數(shù)為 ，方差為 ，隨著 的增大，其方差越來越小，從而 的取值越來越向著 靠攏，故用 去估計 實際根據(jù)成立。 由此可見，典型案例6中，人們用挑選出的幾個蘋果口感的差別值去估計這批蘋果口感的差別值的做法是站得住腳的。第一節(jié) 抽樣分布根本概念. 以上結(jié)論均建立在反復抽樣情形下，假設(shè)是在不反復抽樣情形下，方差需求用系數(shù)進展修正，從而樣本方差的數(shù)字特征為：5.6可見：用 去估計 實際根據(jù)同樣成立。第一節(jié) 抽樣分布根本概念. 統(tǒng)計量抽樣分布的規(guī)范差，稱為統(tǒng)計量的規(guī)范誤，也稱規(guī)范誤差。 規(guī)范誤可用于闡明

11、抽樣誤差的大小。抽樣誤差是指由抽樣的隨機性引起的樣本結(jié)果與總體的真實值之間的差別，它描畫的是一切樣本能夠的結(jié)果與總體真值之間的平均性差別。假設(shè)總體規(guī)范差未知，可用樣本規(guī)范差替代，此時的規(guī)范誤稱為估計規(guī)范誤。四規(guī)范誤第一節(jié) 抽樣分布根本概念. 樣本比例的規(guī)范誤為 。當總體比例 未知時，可用樣本比例替代，此時得到的規(guī)范誤稱為估計規(guī)范誤。 樣本方差的規(guī)范誤為 。當總體規(guī)范差未知時，可用樣本規(guī)范差替代，此時得到的規(guī)范誤稱為估計規(guī)范誤。 樣本均值的規(guī)范誤為 。當總體規(guī)范差未知時，可用樣本規(guī)范差替代，此時得到的規(guī)范誤稱為估計規(guī)范誤。第一節(jié) 抽樣分布根本概念.一、樣本均值的抽樣分布二、樣本比例的抽樣分布三、

12、樣本方差的抽樣分布四、t分布和F分布第二節(jié) 幾個常見的抽樣分布. 抽樣分布即統(tǒng)計量的概率分布。本節(jié)將分別對樣本均值、樣本比例以及樣本方差的抽樣分布作詳細的討論。 如無特別闡明，本章中的抽樣方式均指反復抽樣。第二節(jié) 幾個常見的抽樣分布. 樣本均值的抽樣分布，就是采取反復抽樣的方式，選取容量為 的一切樣本，由樣本均值一切能夠的取值構(gòu)成的概率分布。它是推斷總體均值 的實際根底。 以下分兩種情況來討論樣本均值 的抽樣分布類型。第二節(jié) 幾個常見的抽樣分布.正態(tài)分布：假設(shè) 的概率密度函數(shù)為 5.7圖5-1 正態(tài)分布概率密度函數(shù)圖其中， 和 都是常數(shù)，且 ，那么稱 服從參數(shù)為 和 的正態(tài)分布，記作 。其概率

13、密度函數(shù)圖像見圖5-1。第二節(jié) 幾個常見的抽樣分布. 特別地，當參數(shù) =0， =1時，這樣的正態(tài)分布為規(guī)范正態(tài)分布，記為 ，其概率密度函數(shù)為：第二節(jié) 幾個常見的抽樣分布. 正態(tài)分布的再生定理：假設(shè)總體變量 ,從這個總體中抽取容量為 的樣本，那么樣本均值 。 一總體服從正態(tài)分布第二節(jié) 幾個常見的抽樣分布. 獨立同分布中心極限定理闡明：無論總體服從何種分布，只需其平均數(shù)和方差存在，那么從中抽取的獨立同分布樣本 ， ，其均值在當 很大時，就會近似服從正態(tài)分布 。 實踐運用中，普通取 ，此時的樣本稱為大樣本。假設(shè)為小樣本，且總體分布不是正態(tài)分布，此時不能按照正態(tài)分布來處置，要運用小樣本的相關(guān)實際來討論

14、。 第二節(jié) 幾個常見的抽樣分布.圖5-2 樣本均值的抽樣分布圖大樣本小樣本正態(tài)分布非正態(tài)分布總體 非正態(tài)分布正態(tài)分布第二節(jié) 幾個常見的抽樣分布. 根據(jù)本章第一節(jié)，在不反復抽樣情形下，樣本均值的抽樣分布為：5.8第二節(jié) 幾個常見的抽樣分布. 【例5-2】假設(shè)在一個飯店門口等待出租車的時間是服從左偏分布的，均值為12分鐘，規(guī)范差為3分鐘。現(xiàn)從飯店門口隨機抽取100名顧客并記錄他們等待出租車的時間，調(diào)查100名顧客的平均等待時間的抽樣分布。第二節(jié) 幾個常見的抽樣分布. 解：依題意，總體均值 =12， =3，根據(jù)中心極限定理可知：樣本均值100名顧客的平均等待時間的抽樣分布為：第二節(jié) 幾個常見的抽樣分

15、布，即 。. 【例5-3】人口普查發(fā)現(xiàn)，某地域成年男子的身高服從正態(tài)分布N(175, 62)，采取反復抽樣的方式從該地域抽取64名成年男子構(gòu)成樣本，求樣本均值的平均數(shù)和方差。 解：依題意，總體服從正態(tài)分布，且 =175， =62。根據(jù)正態(tài)分布的再生定理，樣本均值 ，即樣本均值的平均數(shù) =175，樣本均值的方差 。第二節(jié) 幾個常見的抽樣分布. 樣本比例 的抽樣分布，就是采取重復抽樣的方式，選取容量為 的一切樣本，由樣本比例 的一切能夠的取值構(gòu)成的概率分布。它是推斷總體比例 的實際根底。第二節(jié) 幾個常見的抽樣分布. 可以看到，樣本比例是一種特殊的樣本均值。從而，根據(jù)樣本均值的抽樣分布實際可得樣本比

16、例的抽樣分布。 普通地，假設(shè)能同時滿足 和 ，就可以以為樣本容量很大。 樣本比例 的抽樣分布為：在滿足條件的情況下，即當樣本容量很大時5.9第二節(jié) 幾個常見的抽樣分布. 在不反復抽樣情形下，當樣本容量很大時，樣本比例的抽樣分布為：5.10 闡明：在不反復抽樣情形下，對于無限總體也可以按反復抽樣來處置，即方差不用修正；對于有限總體，要用修正系數(shù)修正，另外，假設(shè)此時 很大而抽樣比 時，修正系數(shù)趨于1，方差可以按反復抽樣情形時即不用修正的公式計算。第二節(jié) 幾個常見的抽樣分布. 樣本方差 的抽樣分布，就是采取重復抽樣的方式，選取容量為 的一切樣本，由樣本方差 的一切能夠的取值構(gòu)成的概率分布。它是推斷總

17、體方差 的實際根底。第二節(jié) 幾個常見的抽樣分布. 設(shè)總體的均值為 ，方差為 ， ， 為來自該總體的樣本，那么樣本方差 的抽樣分布為：5.11稱 服從自在度為 的 分布卡方分布。第二節(jié) 幾個常見的抽樣分布. 卡方分布：設(shè) , 為來自于標準正態(tài)總體N0,1的樣本，那么 服從自在度為 的 分布，記為 ，讀作卡方分布。第二節(jié) 幾個常見的抽樣分布.圖5-3 卡方分布的概率密度函數(shù)圖第二節(jié) 幾個常見的抽樣分布.卡方分布的數(shù)字特征為： 假設(shè) ，那么總體平均數(shù) ，方差 。由卡方分布的數(shù)字特征，可得：5.12 在不反復抽樣情形下，方差為 。第二節(jié) 幾個常見的抽樣分布.一 t分布 設(shè) 且 與 相互獨立，那么稱隨機變量 服從自在度為 的t分布，記作 。第二節(jié) 幾個常見的抽樣分布.圖5-4 分布的概率密度函數(shù)圖第二節(jié) 幾個常見的抽樣分布. 分布概率密度函數(shù)曲線是以縱軸為對稱軸的單峰對稱圖形，其與規(guī)范正態(tài)分布曲線類似， 分布曲線頂部略低，兩尾部稍高而平。自在度 越大， 分布越趨近于規(guī)范正態(tài)分布，當 時， 分布與規(guī)范正態(tài)分