1、第一章 函數(shù)與極限1.1 數(shù)列的極限1 (1) 對任意的自然數(shù)有 ，所以有，即，因此數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列顯然對于任意的自然數(shù)有 ，因而有進而存在，對任意的自然數(shù)有，所以數(shù)列是有界的綜上數(shù)列是單調(diào)遞減有界數(shù)列，因此必有極限觀察出，要使，只要，于是取正整數(shù)則當(dāng)時，就有，故(2) 對任意的自然數(shù)有 ，所以有，因此數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列顯然對于任意，存在，使得，因此數(shù)列是無界的綜上數(shù)列是單調(diào)遞增無界數(shù)列，因此數(shù)列的極限不存在(3) 從數(shù)列的前幾項可以看出數(shù)列既非單調(diào)遞減數(shù)列也非單調(diào)遞增數(shù)列顯然對于任意，存在，使得，因此數(shù)列是無界的綜上數(shù)列既不是單調(diào)數(shù)列也不是無界數(shù)列，因此數(shù)列的極限不存在2 分析 用“”語言

2、證明數(shù)列極限的步驟如下：(1) 化簡(往往需將它適當(dāng)放大后)得；(2) 逆序分析求，要使，(解不等式后知)，于是取正整數(shù)；(3) 按定義作結(jié)論 則當(dāng)時，就有故證明 (1) ，要使，只要，于是取正整數(shù)則當(dāng)時，就有，故(2) ，要使，只要，于是取正整數(shù)則當(dāng)時，就有，故(3) ，要使，只要，于是取正整數(shù)則當(dāng)時，就有，故3證明 4 證明 當(dāng)時，顯然；當(dāng)時，顯然()，要使，由于，因此只要，于是取正整數(shù)則當(dāng)時，就有，故綜上所述，當(dāng)時，5證明 (定義證明)令，則有，即，進而，即，要使，只要，即，于是取正整數(shù)則當(dāng)時，就有，故(夾逼定理證明) 由于，并且，因此5 證明 由數(shù)列有界知，使得數(shù)列的每一項都有又，則有

3、，存在，當(dāng)時，進而當(dāng)時，因此1.2 函數(shù)的極限1證明 ，當(dāng)時，因此2證明 ，要使，只要，于是取正數(shù)則當(dāng)時，就有，故3 4解 5解 另解 6 因為，即因此函數(shù)在點處極限存在，并且7 8 9 另解 10 另解 1.3 無窮小與無窮大1因為， ，即時是有界變量，是無窮小量，因此2 (利用無窮大的定義求解) ，要使，只要，即，于是取，當(dāng)時，所以是時的無窮大量，即另解 (利用無窮大與無窮小的關(guān)系求解)顯然當(dāng)時，但是，進而根據(jù)無窮大與無窮小的關(guān)系有，3 (利用無窮大的定義求解)，要使，只要，即，于是取，當(dāng)時，所以是時的無窮大量，即4 5 6設(shè)，當(dāng)時，有界，則存在，使得當(dāng)時，當(dāng)時，是無窮大量，則，存在，當(dāng)時

4、，取，則當(dāng)時，因此是時的無窮大量7 在不是有界變量，即在是無界的因為，存在，使得下面證明當(dāng)時，不是無窮大量，對于，存在，使得，并且因此當(dāng)時，不是無窮大量1.4 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點1 (1) 函數(shù)的定義域是由于函數(shù)是初等函數(shù)，因此的連續(xù)區(qū)間是(2) 函數(shù)的定義域是由于函數(shù)是初等函數(shù)，因此的在區(qū)間內(nèi)連續(xù)又，則在處右連續(xù)；，則在處左連續(xù)因此的連續(xù)區(qū)間是(3) 函數(shù)的定義域是顯然函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)又，則在處右連續(xù)；，即，則在處連續(xù)；，即在處不左連續(xù)，則在處不連續(xù)；，則在處左連續(xù)因此的連續(xù)區(qū)間是2 (1) 函數(shù)的定義域是，進而函數(shù)的間斷點只可能為和對于，因此是函數(shù)的第一類間斷點中的可去間斷點對于，因此是

5、函數(shù)的第二類間斷點中的無窮間斷點綜上，是函數(shù)的第一類間斷點中的可去間斷點，是第二類間斷點中的無窮間斷點(2) 顯然函數(shù)的定義域是，進而函數(shù)的間斷點只可能為和對于，因此是函數(shù)的第一類間斷點中的可去間斷點對于， ，因此當(dāng)時，是函數(shù)的第二類間斷點中的無窮間斷點對于， ， 因此是函數(shù)的第一類間斷點中的可去間斷點綜上，和是函數(shù)的第一類間斷點中的可去間斷點，是第二類間斷點中的無窮間斷點(3) 顯然函數(shù)的定義域是，進而函數(shù)的間斷點只可能為和對于， 因此是的第二類間斷點中的無窮間斷點對于，即函數(shù)在處的左右極限存在，但不相等，因此是的第一類間斷點中的跳躍間斷點綜上，是的第二類間斷點中的無窮間斷點，是第一類間斷點

6、中的跳躍間斷點(4) 顯然函數(shù)的定義域為，進而的間斷點只可能為， ，即在處的左右極限存在，但不相等，因此函數(shù)的第一類間斷點中的跳躍間斷點(5) 顯然函數(shù)的定義域為，進而的間斷點只可能為和對于， 因此是的第一類間斷點中的可去間斷點對于， 因此是的第二類間斷點中的無窮間斷點因此是的第一類間斷點中的可去間斷點，是第二類間斷點中的無窮間斷點(6) 顯然函數(shù)的定義域為，進而的間斷點只可能為，即在處的左右極限存在，但不相等，因此函數(shù)的第一類間斷點中的跳躍間斷點(7) 顯然函數(shù)的定義域為，進而的間斷點只可能為， 因此是的第二類間斷點中的無窮間斷點1.5 連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性1 (1) 當(dāng)時，則有

7、；當(dāng)時，并且，則有；當(dāng)時，則有因此顯然函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)對于， ，即在處的左右極限存在，但不相等，因此函數(shù)的第一類間斷點中的跳躍間斷點對于， ，即在處的左右極限存在，但不相等，因此函數(shù)的第一類間斷點中的跳躍間斷點綜上，函數(shù)的連續(xù)區(qū)間是，函數(shù)的第一類間斷點中的跳躍間斷點 (2) 顯然時，函數(shù)無定義；當(dāng)時，則有；當(dāng)時，則有；當(dāng)時，則有因此顯然函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)對于， ，即在處的左右極限存在，但不相等，因此函數(shù)的第一類間斷點中的跳躍間斷點對于， ，即在處的左右極限存在，但不相等，因此函數(shù)的第一類間斷點中的跳躍間斷點綜上，函數(shù)的連續(xù)區(qū)間是，函數(shù)的第一類間斷點中的跳躍間斷點(3) 當(dāng)時，則有；當(dāng)時，則有；當(dāng)

8、時，則有因此顯然函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)對于，因此在處右連續(xù)對于， ，即在處的左右極限存在，但不相等，因此函數(shù)的第一類間斷點中的跳躍間斷點綜上，函數(shù)的連續(xù)區(qū)間是，函數(shù)的第一類間斷點中的跳躍間斷點(4) 當(dāng)時，則有；當(dāng)時，則有；當(dāng)時，則有因此顯然函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)對于， ，即在處的左右極限存在，但不相等，因此函數(shù)的第一類間斷點中的跳躍間斷點綜上，函數(shù)的連續(xù)區(qū)間是，函數(shù)的第一類間斷點中的跳躍間斷點 (5) 顯然時，函數(shù)無定義又，因此，并且定義域為顯然函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)對于，因此函數(shù)的第二類間斷點中的無窮間斷點綜上，函數(shù)的連續(xù)區(qū)間是，函數(shù)的第二類間斷點中的無窮間斷點 2 (1) 因為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是初等函數(shù)，因此

9、函數(shù)在連續(xù)，只需在分段點處連續(xù)，即又在處， ，因此由于，即，因此綜上當(dāng)時，函數(shù)在上連續(xù)(2) 因為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是初等函數(shù)，因此函數(shù)在連續(xù)，只需在分段點處連續(xù)，即，在處， ，因此在處， ，因此于是有，解得綜上當(dāng)時，函數(shù)在上連續(xù)3 在處連續(xù)，則，即由于，則有，即，進而從而因此，即，于是綜上當(dāng)時，在處連續(xù)1.6 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1若，則或因此下面假設(shè)令顯然在上連續(xù)，并且由于，所以有，從而根據(jù)根的存在定理知，使得，即 綜上存在一點，使得2由于，則令顯然在上連續(xù)，并且，從而根據(jù)根的存在定理知，使得，即3令顯然在上連續(xù)，并且，又，因此從而根據(jù)根的存在定理知，使得，即4方程可以變?yōu)榱铒@然在上連續(xù)，并且

10、，由于，所以，進而根據(jù)根的存在定理知，使得，即，使得，5 (反證法)假設(shè)存在，使得 若 (或)， 則 函數(shù)在 (或)內(nèi)連續(xù)，并且，即因此存在 (或)， 即，使得這與和是相鄰的兩個根相矛盾故都有6若，則顯然方程有一個根是下面假設(shè)令顯然在上連續(xù)，并且， (因為)， 進而因此存在，使得，即在區(qū)間上至少有一個根綜上方程至少有一正根，并且它不超過7 令，則中至少有一個使得，至少有一個使得，顯然有若這個不等式中有一等號成立，則對應(yīng)的或即為所求的點若不等式都是嚴格不等式時，又在或上連續(xù)，由介值定理知，至少存在一點介于與之間，使得 綜上存在，使得習(xí) 題 11 ，要使，只要，于是取正整數(shù)，當(dāng)時，因此2由于當(dāng)時，

11、所以進而3因為，則有，并且，因此4 令，則，并且因此5 6任取，對，存在，當(dāng)時，因此，即在處連續(xù)由的任意性知，在上連續(xù)當(dāng)時, 因此， 即在處右連續(xù)當(dāng)時，因此，即在處左連續(xù)綜上在上連續(xù)，又由于，所以根據(jù)根的存在定理知，存在使得7 函數(shù)的定義域為顯然的間斷點只可能是，和由于在區(qū)間，內(nèi)是初等函數(shù)，因此在這些區(qū)間上連續(xù)對于，則有不存在，但是在到1之間來回振蕩，因此是的第二類間斷點中的振蕩間斷點對于， ，即左右極限存在但不相等, 因此是的第一類間斷點中的跳躍間斷點對于, ， 因此是的第一類間斷點中的可去間斷點對于，因此 是的第二類間斷點中的無窮間斷點綜上所述，函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)連續(xù)；是第一類間斷點中的跳躍間

12、斷點；是第一類間斷點中的可去間斷點；是第二類間斷點中的振蕩間斷點；是第二類間斷點中的無窮間斷點8先證命題：若在上連續(xù)，則在上也連續(xù)由于在上連續(xù)，則任取， (時取右極限，時取左極限)若，則根據(jù)極限的局部保號性知，在的某個鄰域內(nèi)，進而()，注意時取右極限，時取左極限因此在上也連續(xù)由于在上連續(xù)，則在上連續(xù)，進而在上連續(xù)又，因此在上連續(xù)9由于n為非零有理數(shù)，則可令，其中為非零整數(shù)，并且進而與方程同解(存在性)令則在內(nèi)連續(xù)，并且當(dāng)時，因此存在使得 顯然在上連續(xù)，并且，根據(jù)介值定理知，存在，使得， 即是方程的一個正根(唯一性)假設(shè)是方程的兩個正根. 進而有，即，由于，則因此，即方程只有一個正根10狄利克雷

13、(Dirichlet)函數(shù) 顯然狄利克雷函數(shù)在上每一點都有定義, 但是在每一點都不連續(xù)第二章 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分2.1 導(dǎo)數(shù)的概念1 分析 (1) A ；(2) 2 函數(shù)在處可導(dǎo)，則函數(shù)在處必連續(xù)；(3) 0 是常值函數(shù)，因此；(4) 0 駐點：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值為0的點2 (1) (2) (3) (4) 3 (1) ；(2) ；(3) ；(4) 4因為，即，因此在處連續(xù)因為不存在，因此在處不可導(dǎo)5 (1) 因為，故曲線在點處的切線斜率為，進而曲線在點處的切線方程是，法線方程是(2) 因為，故曲線在點處的切線斜率為，進而曲線在點處的切線方程是，法線方程是(3) 因為，故曲線在點處的切線斜率為，進而

14、曲線在點處的切線方程是，法線方程是6因為速度是，加速度是，因此速度，即秒時，運動物體的速度是，加速度是2.2 求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則1 (1)(2)(3)(4) (5)(6)(7)(8)(9) (10)(11) (12) 另解(13) (14) (15) 另解(16)2 (1) (2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)另解(15)(16)(17)(18)3 (1) 由于，因此(2) 由于，因此(3) 由于，因此(4) 由于，因此4 (1) (2) (3) (4) 5 (1) (2) (3) (4) 2.3 隱函數(shù)的求導(dǎo)方法1 (1) 方程兩邊求導(dǎo) ，

15、即，因此(2) 方程兩邊求導(dǎo) ， 即 ，因此另解 方程兩邊求導(dǎo) ， 即 ，因此(3) 方程兩邊求導(dǎo) ，即，因此，即另解 方程兩邊求導(dǎo)，即，進而，因此(4) 方程兩邊求導(dǎo)，即， 因此另解 方程兩邊求導(dǎo)，即， 因此(5) 方程兩邊求導(dǎo)，即，因此另解 方程可以變?yōu)椋匠虄蛇吳髮?dǎo)，即，因此(6) 方程兩邊求導(dǎo)，即，因此2對方程兩邊求導(dǎo)，即，解出得當(dāng)時，則代入方程得因此3對曲線方程兩邊求導(dǎo)，解出得因此在點處的切線斜率為，進而切線方程是， 即為4 (1) 取對數(shù) ， 求導(dǎo)數(shù) ，解出 ， 即另外的書寫方式 由于，則有(2) 取對數(shù) ， 求導(dǎo)數(shù) ，解出 ， 即另外的書寫方式 由于，則有(3) 取對數(shù) ， 求導(dǎo)

16、數(shù) ，解出 ， 即 (4) 取對數(shù) ， 求導(dǎo)數(shù) ，解出 ， 即 (5) 取對數(shù) ， 求導(dǎo)數(shù) ，即， 因此 5 (1) 因為，因此參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是參數(shù)方程(2) 因為，因此參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是參數(shù)方程6 (1)方程兩邊求導(dǎo)， 再次求導(dǎo)，解出得，因此， 即(2) 方程兩邊求導(dǎo)， 再次求導(dǎo)，解出得，因此，即另解 方程兩邊求導(dǎo)， 再次求導(dǎo)，解出得，因此，即7 (1) ，因此參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是進而，即參數(shù)方程確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)是(2) ，因此參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是進而，即參數(shù)方程確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)是2.4 高階導(dǎo)數(shù)1 (1) ，(2) ，(3) ，(4) ，(5) ，(6

17、) ，(7) ，(8) ，(9) ，2 (1) ，(2) ，3 (1) ，(2) ，(3) ，(4) ，(5) ，(5) ， ，2.5 微分1 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 2 (1) ，(2) ，(3) ，3改變量微分4 由1變化到的改變量，改變量微分5 ，當(dāng)時，.因此6設(shè)球的半徑為，則球的體重為根據(jù)題意假設(shè)，即，進而，7令當(dāng)時，即進而時，習(xí) 題 2一、1 分析 由于，因此選A2 分析 由于，即，因此不存在選D3 分析 選A4 分析 選D5分析 因為，即，因此在處連續(xù)又，即選B6 分析 由于，故函數(shù)在點處連續(xù)；又極限不存在，因此在點處不可導(dǎo)選A7 分析 在處

18、連續(xù)不可導(dǎo)，在其它點處可導(dǎo)；是上的可導(dǎo)函數(shù)；是上的可導(dǎo)函數(shù)只有在處連續(xù)不可導(dǎo)選B8 分析 A ，即,故在點處不可導(dǎo)B ，故在點處不可導(dǎo)C ，故在點處可導(dǎo) D 由于函數(shù)在處無定義，所以在點處不可導(dǎo)選C9 分析 例如在處不可導(dǎo)，但是曲線點處有垂直于軸的切線；在處不可導(dǎo)，并且曲線點處沒有切線選D10分析 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，容易得到選A二、1分析 (過點的切線的斜率為)2分析 3 (根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義)3分析 (復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則)4分析 (復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則)5分析 (， ，)6分析 (求導(dǎo)公式與四則運算求導(dǎo)法則)7分析 (，)8分析 0 (是常數(shù)，而常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0)9分析 (復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則)10分

19、析 2 (，2)11分析 (，)12分析 (求導(dǎo)公式與四則運算求導(dǎo)法則)13分析 ()14分析 (，)15分析 (復(fù)合函數(shù)微分運算法則)16分析 (函數(shù)微分就是函數(shù)增量的近似值，)三、1因為，所以2 3 4 5 ， ，6 ，7 ，8因為，所以點處的切線的斜率為，進而在點處的切線是，即9 ，即10 ，即11 ，12 ，13由于，并且，同理因此14 ，當(dāng)時，代入方程得，進而14 ，當(dāng)時，代入方程得，進而第三章 微分中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.1 微分中值定理1顯然函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，并且，因此函數(shù)滿足羅爾定理的條件，即存在，使得2顯然函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo)，因此函數(shù)滿足拉格朗日中值定理的條件，即存在，使得3 (正根存在性) 令，則在上連續(xù)，并且，根據(jù)根的存在定理知，存在一點，使得， 即是方程的一個小于1的正根(唯一性) 用反證法證明設(shè)是方程的兩個不同的根不妨設(shè)，則顯然有在上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，并且，即在上滿足羅爾定理因