1、押第19題 立體幾何對于立體幾何的解答題，在高考中常借助柱、錐體考查線面、平行與垂直，考查利用空間向量求二面角、線面角、線線角的大小，考查利用空間向量探索存在性問題及位置關(guān)系等，難度中等偏上1用向量法求異面直線所成的角（1）建立空間直角坐標(biāo)系；（2）求出兩條直線的方向向量；（3）代入公式求解，一般地，異面直線AC，BD的夾角的余弦值為.2用向量法求直線與平面所成的角（1）分別求出斜線和它所在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；（2）通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角3用向量法求二面角求二面角最常用的

2、方法就是分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角4平面所成的二面角為，則，如圖，AB，CD是二面角l的兩個面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小如圖，分別是二面角l的兩個半平面，的法向量，則二面角的大小滿足|cos|，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角)1（2021湖南高考真題）如圖，四棱錐中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，E為PD的中點.（1）證明：平面ACE；（2）設(shè)，直線PB與平面ABCD所成的角為，求四棱錐的體積.【詳解】（1）連接交于點，連接. 在中，因為，所以，因為平面，平

3、面，則平面.（2）因為平面ABCD，所以就是直線PB與平面ABCD所成的角，所以，又，所以，所以四棱錐的體積，所以四棱錐的體積為.2（2021天津高考真題）如圖，在棱長為2的正方體中，E為棱BC的中點，F(xiàn)為棱CD的中點（I）求證：平面；（II）求直線與平面所成角的正弦值（III）求二面角的正弦值【詳解】（I）以為原點，分別為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則,，因為E為棱BC的中點，F(xiàn)為棱CD的中點，所以，所以,設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，因為，所以，因為平面，所以平面；（II）由（1）得，設(shè)直線與平面所成角為，則；（III）由正方體的特征可得，平面的一個法向量為，則，所以二面角的正弦值為.

4、3（2021浙江高考真題）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，M，N分別為的中點，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）在中，由余弦定理可得，所以， 由題意且，平面，而平面，所以，又，所以（2）由，而與相交，所以平面，因為，所以，取中點，連接，則兩兩垂直，以點為坐標(biāo)原點，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系, 則,又為中點，所以.由（1）得平面，所以平面的一個法向量從而直線與平面所成角的正弦值為4（2021北京高考真題）如圖：在正方體中，為中點，與平面交于點（1）求證：為的中點；（2）點是棱上一點，且二面角的余弦值為，求的值【詳解】(1)如圖所示，取的中點，連結(jié)，由于為正方體

5、，為中點，故，從而四點共面，即平面CDE即平面，據(jù)此可得：直線交平面于點，當(dāng)直線與平面相交時只有唯一的交點，故點與點重合，即點為中點.(2)以點為坐標(biāo)原點，方向分別為軸，軸，軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長為2，設(shè)，則：，從而：，設(shè)平面的法向量為：，則：，令可得：，設(shè)平面的法向量為：，則：，令可得：，從而：，則：，整理可得：，故（舍去）.5（2021全國高考真題）在四棱錐中，底面是正方形，若（1）證明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值【詳解】（1）取的中點為，連接.因為，則 ，而，故.在正方形中，因為，故，故，因為，故，故為直角三角形且，因為，故平面，因為平面，故平面平

6、面.（2）在平面內(nèi)，過作，交于，則，結(jié)合（1）中的平面，故可建如圖所示的空間坐標(biāo)系.則，故.設(shè)平面的法向量，則即，取，則，故.而平面的法向量為，故.二面角的平面角為銳角，故其余弦值為.1（2022河北秦皇島二模）如圖，在四棱錐中，.(1)證明：平面.(2)若為的中點，求二面角的大小.【解析】(1)證明：由題可知為等邊三角形，所以，.在中，由余弦定理得，所以，所以.因為，且，所以平面.因為平面，所以.因為，且相交，所以平面.(2)以為坐標(biāo)原點，以，的方向分別為，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則，.設(shè)平面的法向量為，則令，得.取平面的一個法向量為，則.由圖可知二面角為銳角，所以二面角的大

7、小為.2（2022湖南永州三模）如圖，在三棱柱中，.(1)求證：；(2)若，點滿足，求二面角的余弦值.【解析】(1)連接交于點，連接，四邊形為菱形，為中點，又，平面，平面，又平面，.(2)，在中，在中，有，又，平面，平面，則以為坐標(biāo)原點，為軸可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，解得：，設(shè)平面的法向量，令，解得：，；又平面，則平面的一個法向量為，又二面角為銳二面角，二面角的余弦值為.3（2022江蘇南京市第一中學(xué)三模）在正三棱柱中，D為中點，E為上一點(1)求四棱錐的體積；(2)若，求三棱錐的體積【解析】(1)解：取的中點為，因為三棱柱為正三棱柱，所以為正三角形，四邊形為矩形，且平面，所以

8、，又，所以平面，即為四棱錐的高，又，所以，所以四棱錐的體積；(2)解：因為，即，所以為的中點，所以.4（2022廣東汕頭二模）如圖所示，C為半圓錐頂點，O為圓錐底面圓心，BD為底面直徑，A為弧BD中點是邊長為2的等邊三角形，弦AD上點E使得二面角的大小為30，且(1)求t的值；(2)對于平面ACD內(nèi)的動點P總有平面BEC，請指出P的軌跡，并說明該軌跡上任意點P都使得平面BEC的理由【解析】(1)易知面，以所在直線為軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則，易知面的一個法向量為，設(shè)面的法向量為，則，令，則，可得，解得或3，又點E在弦AD上，故.(2)P的軌跡為過靠近的三等分點及中點的直線，證明如下：取靠近

9、的三等分點即中點，中點，連接，由為中點，易知，又面，面，所以平面BEC，又，面，面，所以平面BEC，又，所以面平面BEC，即和所在直線上任意一點連線都平行于平面BEC，又面，故P的軌跡即為所在直線，即過靠近的三等分點及中點的直線.5（2022福建模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形，.(1)證明：平面平面；(2)若二面角的余弦值為，求二面角的正弦值.【解析】(1)設(shè)，連接， 在菱形中，為中點，且，因為，所以，又因為，且，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面；(2)作平面，以為，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，易知，則，因為，所以為二面角的平面角，所以，則，所以，設(shè)平面的法向量為，由，得取，則，所

10、以，設(shè)平面的法向量為，由，得取，則，所以，設(shè)二面角為，則，又，則.（限時：30分鐘）1如圖（1），平面四邊形中，將沿邊折起如圖（2），使_，點，分別為，中點在題目橫線上選擇下述其中一個條件，然后解答此題為四面體外接球的直徑平面平面（1）判斷直線與平面的位置關(guān)系，并說明理由；（2）求二面角的正弦值【詳解】（1）若選：，在中，可得，所以，又由，且,平面，所以平面，又因為平面，所以，又由，且,平面，所以平面，又因為，分別為，中點，可得，所以平面若選：為四面體外接球的直徑，則，可得，又由，且,平面，所以平面，因為，分別為，中點，可得，所以平面若選：平面平面，平面平面，因為，且平面，所以平面，又因為平面

11、，所以，又由，且,平面，所以平面，因為，分別為，中點，可得，所以平面（2）以為原點，射線為軸建立如圖直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以設(shè)平面的法向量為，則,取，可得，所以，故二面角的正弦值.2如圖，在三棱錐中，是邊長為3的等邊三角形，平面，點、分別為、的中點，點為線段上一點，且平面.（1）求證：；（2）求平面與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）證明：因為面，面，所以.又正中，面，.（2）解：連接交于點，連接，因為平面，所以，由重心性質(zhì)知為靠近點的三等分點.，設(shè)面的法向量為，令，則，平面的法向量為，平面與平面所成角的正弦值為.3如圖（1），平面四邊形中，將沿邊折起如圖（2

12、），使_，點，分別為，中點在題目橫線上選擇下述其中一個條件，然后解答此題為四面體外接球的直徑平面平面（1）判斷直線與平面的位置關(guān)系，并說明理由；（2）求三棱錐的體積【詳解】（1）若選：，在中，可得，又由，所以，所以，因為，且，平面，所以平面，又因為平面，所以，又由，且平面，所以平面，又因為，分別為，中點，所以，所以平面若選：為四面體外接球的直徑，則，因為，可證得平面，又，分別為，中點，所以平面若選：平面平面，平面平面，因為，且平面，所以平面，又由平面，所以，因為，且平面，所以平面，又因為，分別為，中點，所以平面（2）由（1）知平面，其中為直角三角形，可得，故三棱錐的體積為4如圖，在四棱錐中，平面，是的中點.（1）證明：平面平面；（2）求三棱錐的體積.【詳解】（1）取中點，連接，因為，所以，由平面，平面，所以，又由，且平面，所以平面，因為是中位線，所以，四邊形是平行四邊形，于是平而，平面，所以平面平面.（2）由（1）可得，且平面，所以平面， 所以，因為平面，可得，又由，所以，所以.5如圖，三棱柱中，分別是和的中點，點在棱上