1、專題二 二進制問題知識要點用 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 這 10 個數(shù)字表示所有整數(shù)的方法被叫做十進制，十進制是最常見的進制，世界上絕大數(shù)國家和地區(qū)都用這種方法來計數(shù)，它的特點是滿十進一，退一當十。除了十進制外，有其它一些進位制，如時間是 60 進制的，即 60 秒是一分，60 分時 1 小時。還有三進制、五進制、八進制、十六進制等。它們和十進制計數(shù)法的道理實質(zhì)是一樣的。 現(xiàn)代計算機上大多用二進制， 即滿二進一，退一當二， 這種進位制只用兩個數(shù)字0 和 1，如“ 1” 在二進制中記作1，“ 2”就要滿二進一， 記作 10，“ 3” 記作 11，“ 4” 又一次滿二進一， 記作 1

2、00， 。為了區(qū)別十進制和二進制，只要在這個數(shù)的右下角標上 2 或 10 即可。任何一個十進制正整數(shù) N 都可以寫成各數(shù)位上的數(shù)字與 10 的次方數(shù)的乘積的和的形式，如 9758（10）=9 10 3+7 10 2+5 10 1+8 10 0（注： 10 0=1）。任何一個二進制數(shù)也像十進制數(shù)一樣，也可以寫成各個數(shù)位上的數(shù)字與2的次方數(shù)的乘積的和的形式， 如 110101（2）=1 2 5+1 2 4+0 2 3+1 2 2+0 2 1+10 2典例評析例 1 將 139（10）化成二進制【分析】要將十進制數(shù)化為二進制數(shù)，只要連續(xù)除以 2. 因為 139=692+1，即有 69 個“2” 及

3、1 個“ 1” ，故應向第二位上進“69” ，個位則有 1 個1；而 69=34 2+1，即第二位 69 又要向第三位進“34”，而本位數(shù)字為“1” 。但 34=17 2，即第三位上的 34 還應向第四位進“17” ，且本位數(shù)字為“0” ；接下去 17=8 2+1，即第四位為 1；8=4 2，即第五位為 0；4=2 2，即第六位為 0；2=2 1，即第七位為 0，第八位為 1；所以 139（10）=10001011（2）。這個過程也可以簡算以“ 短除法” 求得。解 因為說明 十進制數(shù) 139（10）的下標 10，是為了與其它進位制區(qū)別開來，同理小學五年級奧數(shù) 第 1 頁 共 5 頁100010

4、11（2）的下標 2 是表示的二進制， 有時十進制的下標可以省略， 但其余的進制，則下標不可省。特別提出的是，在用“ 短除法” 求得數(shù)時，要將每次除以 2 所得的余數(shù)寫在被除數(shù)的后面，一直得到商是 1 為止。例 2 將 101101（2）改成十進制數(shù)。【分析】我們可以思考一下二進制數(shù) 101101（2）上各個數(shù)位上的 1 是怎么進上來的，從右往左數(shù)第 6 位是 1，是從第 5 位上滿 2 才進上去是，這個數(shù)可以看做 21101，第 5 位上是 2，是因為第 4 位上滿 2 個 2 才進過來的，可以看作 5101，同理第 4 位上 5，是因為第 3 位上滿 5 個 2 才進過來的，應是（11,0

5、1 ），同理得出（ 22,1 ），（22,1 ）得 45。對于一個十進制數(shù)，如果是7385，可以寫成 7385=7 10 3+3 10 2+8 10 1+5 10 0。同理二進制也可以寫成這種形式，只不過要將上述形式中的數(shù)字換成2 的次方數(shù)與 0 或 1 的乘積，就沒必要像上述改寫那樣麻煩了。解 101101 （2）=1 2 5+0 2 4+1 2 3+1 2 2+0 2 1+1 =2 5+2 3+2 2+1 =32+8+4+1 =45 說明 對于任意一個二進制數(shù) amam-1am-2 a2a1(2) 改寫成十進制數(shù)， 都有如下的方法： amam-1am-2 a2a1(2) =am 2 m-1

6、+a m-1 2 m-2+ a2 2 1+a1 2 0。例 3 計算： 10110（2）+1010（2）。【分析】二進制數(shù)的加減可以用豎式來計算解 10110（2）+ 1010（2） 100000 （2）10110（2）+1010（2）=100000（2）說明 在將相同數(shù)位上的數(shù)相加時， 與十進制加法有所不同， 十進制加法中滿十進一，而二進制加法中是滿二進一，本題中從右往左第 2 位開始，便連續(xù)出現(xiàn)了 4 次“ 滿二進一” 。例 4 計算 1101101（2）-1011110（2），并要求驗算?！痉治觥慷M制的減法也可以用豎式來計算，并且可以用加法來檢驗結果是否正確。解 1101101 （2）

7、 1011110（2） -1011110 （2）驗算 + 1111（2） 1111（2） 1101101（2）說明 在計算二進制數(shù)的減法時，與十進制的減法也是有所區(qū)別的，十進制減法計算中，本位不夠減時，是向前一位借一當十，而在二進制數(shù)減法當中，出現(xiàn)不夠減時時借一當二。如在本題中，從右往左第 2 位不夠減時向前一位借一當二，得2-1=1，其余數(shù)位上則依次類推。為了計算的正確，用減法的逆運算作適當檢驗。例 5 計算： 11101（2） 11（2）【分析】二進制數(shù)的乘法計算，同整數(shù)乘法一樣，也可以列豎式計算，在計算過程當中要注意兩點： （1）1 乘任何數(shù)仍得原數(shù)； （2）0 乘任何數(shù)都 得零。解 1

8、1101（2） 11（2）=1010111（2）小學五年級奧數(shù) 第 2 頁 共 5 頁11101（2） 11101 11（2）（2） 11101（2） 1010111（2）說明 通過兩次乘法得出乘積后，用加法求出結果時，要按照二進制數(shù)加法的方法計算出結果。例 6 計算： 1001011（2） 1111（2）。【分析】二進制數(shù)的除法同十進制數(shù)的除法一樣，也可以用豎式計算，但在除的過程當中，要綜合運用二進制數(shù)的加、減、乘法的計算方法輔助除法計算。解 1001011（2） 1111（2）=101（2）101 ( 2 )1111 ( 2 ) 1001011 ( 2 )1111 ( 2 )1111 (

9、2 )鞏 1111 ( 2 ) 固練習1. 將下列二進制數(shù)化成十進制的數(shù)0（1） 1101101（2）解：原式 1 2 6+1 2 5+1 2 3+1 2 2+1 64+32+8+4+1 109 （2） 111101101（2）解：原式 1 2 8+1 2 7+1 2 6+1 2 5+1 2 3+1 2 2+1 256+128+64+32+8+4+1 493 2. 將下列十進制數(shù)化成二進制數(shù)。（1）28 解：短除法可得： 11100（2）（2）63 解：短除法可得： 111111（2）3計算（1） 1100110（2）+10011（2）1100110（2） + 10011（2） 1111001

10、（2）（2） 1010011（2）-11011 （2）（要求驗算）解： 1010011（2）小學五年級奧數(shù)第 3 頁 共 5 頁 - 11011（2） 111000（2）（3） 101101（2） 1101（2）解： 101101（2） 1101（2） 101101 101101 101101 1001001001（2）（4） 11011101(2) 1011(2) 解： 10100（2） 1011（2）11011101（2） 1011 1011 1011 1 4. 150 粒糖果需至少裝在幾個盒子，就能保證150 以內(nèi)所有糖果都可以幾只盒子湊齊，而不必打開盒子？此時每只盒子里面多少粒糖果？分

11、析與解： 先用 1+2 1+2 2+2 3+ +2 n150，找出 n 最大是多少， 然后計算出 1+2 1+2 2+2 3+ +2 n 的結果。把每一個加數(shù)作為一個盒子的糖果數(shù)，最后一盒用 150 減去前面所有盒子中糖果數(shù)的和。1+2 1+22+2 3+ +26=127150（粒）150-127=23（粒）150=1+2 1+2 2+2 3+ +2 6+23 答：這 8 個盒子，每個盒子中分別是1,2,4,8,16,32,64,23粒即可。5. 一位老大爺帶上了1000 元錢上街買東西。東西的價格都是整元數(shù)，為了保證至少 1000 元的東西都能立即付錢，他把錢包分成若干包。付錢時只要拿出幾包

12、而無需折散也無需找零便行。他應如何包這些錢？解：應分別包成 1 元、2 元、4 元、8 元、16 元、32 元、64 元、128 元、256 元及 489 元功 10 包。支付不超過 511 元時，把錢化為二進制數(shù)， 易知取前九包中的若干包可按要求支付；超過 化為二進制數(shù)再選取若干包支付。511 元，可支付 489 元，再把余錢轉(zhuǎn)6. 有 1、2、4、8 克的砝碼各 1 個，每次從中取 3 個稱重，如果天平的兩邊都可以放砝碼，能稱出多少種重量？解：由于每次取 3 個砝碼和天平兩邊可以同時放，可知：用 1、2、4 三種砝碼，可稱出 用 1、2、8 三種砝碼，可稱出 用 1、4、8 三種砝碼，可稱

13、出 用 2、4、8 三種砝碼，可稱出4 2 1 克，即 1、3、5、7 克；8 2 1 克，即 5、7、9、11 克；8 4 1 克，即 3、5、11、13 克；8 4 2 克，即 2、6、10、14 克；答：可稱出 1、2、3、5、6、7、9、10、11、13、14 共 11 種重量。7. 歡歡、迎迎各有4 張卡片，每張卡片上各寫有一個正整數(shù)，兩人各 小學五年級奧數(shù) 第 4 頁 共 5 頁出一張卡片，計算兩張卡片上所寫數(shù)的和，結果發(fā)現(xiàn)一共能得到 16 個不同的和，那么，兩人卡片上所寫數(shù)中最大最小是多少？（全國第二屆兩岸四地“ 華羅庚金杯” 少年數(shù)學精英邀請賽總決賽試題）分析與解：因為涉及的4

14、 和 16 是 2 的次方數(shù)，所以想到二進制。兩張卡片的和至少是 2,16 個不同的和中的最大的至少是 17。這樣考慮不方便，所以假設兩張卡片上是非負整數(shù)，可以包含0，和是 0 到 15，也就是二進制的 0000 到 1111。那么，顯然了，每個人控制其中兩位的開關，兩個人就能 控制全部四位的開關了。為了使得最大的數(shù)最小，控制最高位的那個人再控制最低位就行了。一個人控制最高位和最低位：0000,0001，1000,1001；另一個人控制中間兩位： 0000,0010,0100,0110 。最大數(shù)最小是 1001 也就是 9，容易發(fā)現(xiàn) 8 不行。原題要求正整數(shù)，所以每個數(shù)再加1，答案是 10 8

15、市中心的建設大廈高26.5 米，先將一張足夠大的厚度均勻且為0.01厘米的紙，進行“ 對折裁開疊放整齊” 算作一次操作，至少要進行多少次這樣的操作后，所有紙片疊放的總高度比建設大廈還高？解； 26.5 米=2650厘米 2650 0.01=265000（層）210 28262144 26144265000 218265000 18+1=19（次）18 次，即至少 答：所有紙片疊放的總高度要比建設大廈高，必需超過 19 次。9. 有一批規(guī)格相同的圓棒，每根劃分為長度相同的五節(jié)，每節(jié)用紅黃 藍三種顏色來涂，問可以得到多少種著色不同的圓棒。分析與解：用 2 表示“ 紅” 、1 表示“ 黃” 、0 表示“ 藍” ，于是一種涂色 對應著一個五位數(shù)，如“ 紅紅黃藍黃” 對應“22101” 。由于這種五位數(shù)只用三個數(shù)碼，即為三進制數(shù)。 這種五位數(shù)中最大是 22222，而 22222（3）=2 3 4+2 3 3+2 3 2+2 3+2242，再加上“00000” 共計 243 種。但像“22101” 與“ 10122” 互為反序數(shù)， 表示了同