1、常微分方程習(xí)題解答東北師范大學(xué)微分方程教研室高等教育出版社（第二版） # 習(xí)題1.21求卜列可分離變量微分方程的通解：ydy=xdx解：積分，得ly2=ix2+c,即x2-y2=c2*2dy-=ynydx解：y二0,y二1為特解，當(dāng)仔0,時(shí)，-=dx,yiny積分，得ln|lny|=x+q,Iny=eCex=cexc工0,即y=ece=eJ-vdx解：變形得edy=exdx積分，得R/=ctanydx一cotxdy=0解：變形得空=竺丄，y=0為恃解，當(dāng)VO時(shí)，竺丄y=曲上dxcotxsinycosx積分,得ln|siny=-ln|cosx|+c】,ln|sinycosx=c,H|Jsinyc

2、osx=eC=c,c工02.求卜列方程滿(mǎn)足給定初值條件的解：學(xué)=)m(o)=idx解：v=0,y=l為特解，當(dāng)yO,時(shí)，(一-)cly=dx,y-1積分,得In=x+C,-=eceK=cex,c工0II將y(0)=l代入，得c=：0,即y二1為所求的解。x2-l)y+2xr=0,y(0)=l解：字二_2芝_,y=0為特解，當(dāng)，工0時(shí)，2=-一dx,dx-對(duì)_ #積分，得一丄=-lnT-l+cv # # # #將y(O)=l代入，得c=1,即)，=lnx2-l+1為所求的解。 /=3/,(2)=0解：y=0為特解，當(dāng)y=0時(shí)，2=3眉1積分，得y3=x+c,y=(x+c)3將y(2)=0代入，得

3、c=2,U卩y=(x2)和y=0均為所求的解。(4)(y2+xy2)dx一(x2+yx2)dy=0,y(l)=-1解：x=O,y=0為特解，當(dāng)時(shí)，匕二.丫一孚冷，=0,11r.1-11-1積分，得一一+ln|M+-ln|y|二5=eCex=cexxyy將y二_1代入，得c=-2,-=-e2e為所求的解。y4.求解方程Xyl-y2dx+y-x2dy=0解：x=1(-1yl),y=1(-1x0)6.求一曲線(xiàn)，使其具有以卜性質(zhì)：曲線(xiàn)上各點(diǎn)處的切線(xiàn)與切點(diǎn)到原點(diǎn)的向徑及x軸可圍成一個(gè)等腰三角形(以X軸為底)，且通過(guò)點(diǎn)(1,2).解：設(shè)所求曲線(xiàn)為y二y(x)對(duì)其上任一點(diǎn)(工刃的切線(xiàn)方程：Y-y=yX-無(wú))

4、于x軸上的截距為=由題意建立方程:yfx-x=x-0即0=-丄，y(l)=2求得方程的通解為小二CHO再由2=ec得C=ln2,得所求曲線(xiàn)為為Q二27人工繁殖細(xì)菌，其增氏速度和當(dāng)時(shí)的細(xì)菌數(shù)成正比如果4小時(shí)的細(xì)菌數(shù)為原細(xì)菌數(shù)的2倍，那么經(jīng)過(guò)12小時(shí)應(yīng)有多少？如果在3小時(shí)時(shí)的細(xì)菌數(shù)為得1(/個(gè)，在5小時(shí)時(shí)的細(xì)菌數(shù)為得4X10個(gè)，那么在開(kāi)始時(shí)有多少個(gè)細(xì)菌？解：設(shè)I時(shí)刻的細(xì)菌數(shù)為q(l),由題意建立微分方程色二居/0dt求解方程得q二ce再設(shè)1=0時(shí)，細(xì)菌數(shù)為佈，求得方程的解為q=qoek,由q=2q即二2%得&二晉。(=qoei2k=qoe4=8g)由條件q(3)=/)e=104,q(5)=qoe5

5、k=4xl04比較兩式得鳥(niǎo)=罟，再由水3)=/)嚴(yán)=geF=&你=(/得久=1.25x10習(xí)題1.31解下列方程：(2)(y2一2xy)clx+x2dy=0解：方程改寫(xiě)為=2(-)-(-)2dxXX令=丄，有u+x=2u-u2整理為()du=(癥0,1)xdxu“一1x積分，得ln|#4|in|c測(cè)即=上?一j代回變量，得通解x(y-x)=c”y=0也是方程的解(4)xy-v=xtanx解：方程改寫(xiě)為-=tandxxx人y厶(I人sinurlll厶7dxz小令u=,flx=tanu=即cotudu=(sinu0)xdxcosux積分，得sinu=ex代回變量，得通解sin21=cvx兀+”-y

6、=(x+y)ln_-解：方程改寫(xiě)為-2=(i+2)inAlaxxxx令=丄，有%=(l+w)ln(l+w)xdx當(dāng)弄0,工一1時(shí)積分，得ln(l+z/)=cx代回變量,得通解ln(l+2)=cxXx/=jX_y2+y解：方程改寫(xiě)為=Jl-(-)2+-dxxx令=丄，有X=V1-W2xdx分離變量.JU=(1VMV1)J1一“2%_y=x也是方程的解積分，得arcsinu=Inex代回變量，得通解arcsin丄二Inc兒2解下列方程:(2x-4y+6)dx+(x+y-3)dy=0解：方程改寫(xiě)為字=47二6dxx+y3令嚴(yán)+40+0-3二0解得a二小=2作變換x二：+1,y二可+2有礬切7%+匚再

7、令t亠et八尸dit4/2上方程可化為U+(=(i(工1,2)北+it # # #積分，得（“2）（）2C+f(s)e5ds皿一Vf0,對(duì)充分大的召，當(dāng)XX|時(shí)，有l(wèi)/(x).故ICI+l/(s)l必y(x)4,2-2=0解:因?yàn)?y+y)(y-y)=O,所以y=-y或y=y.由y=_y得y=Cex；由$=)，得y=CM.因此原方程的通解為y=Cex.(2)8y,3=27y解：令p=y可得8/,=27兒此式關(guān)于x求導(dǎo)數(shù)整理得24冬=27dx77于是2=pX+C從而原方程的通解為y2=(X+C)3.另外,y=0也是原方程的解.y2(y,2+l)=l解：首先，y=l是方程的解.令y=則于是dx=J

8、=dy=fJ=dt,從而x=f-?J=d/+C=V?一cJJl_f2由此可得原方程的通解為即(x+C)2+y2=.x2yy=(y-xyY解：方程關(guān)于y,y,y是齊次的，作代換y=丿沁可把方程降一階，其中z是x的新的未知函數(shù)故 y”=(疋+z2)把”XX的表達(dá)式代入方程并消去）=嚴(yán)，得x2(zr+z2)=(l-xz)2，或x2z*+2xz=1這是線(xiàn)性方程，它的左邊可以寫(xiě)成（x2z）9=l9由此得x2z=x+C,或z=-+4IccJ=J(+=ln|x|-+lnC?XX.X原方程的通解是y=eM=JnIMF/WnG或此外，方程還仃解y=0.習(xí)題2.11.試?yán)L出下列各方程的積分曲線(xiàn)圖：(1)y=aa為

9、常數(shù));(2)y=w/=|i；dy(4)=_dx5=解:(1)由于/(x,y)=a,不依賴(lài)于X和y,所以線(xiàn)素場(chǎng)的線(xiàn)素均平行,其斜率為a.從而可以根據(jù)線(xiàn)素場(chǎng)線(xiàn)素的趨勢(shì)，大體描出積分曲線(xiàn).如圖（1）所示.(2)由于f(x,y)=x2,不依賴(lài)于y,因而，在直線(xiàn)土長(zhǎng)=k上線(xiàn)素場(chǎng)的線(xiàn)素都平行，其斜率為函數(shù)f（x,y）橫坐標(biāo)的平方.于是，橫坐標(biāo)的絕對(duì)值大，線(xiàn)素場(chǎng)的方向越陡.從而，可以根據(jù)線(xiàn)素場(chǎng)線(xiàn)素的趙勢(shì)，大體上描出積分曲線(xiàn).如圖（2）所示.（3）由于/（如），）=卜|,不依賴(lài)于尤，因而在直線(xiàn)y=k（k為常數(shù)）上，線(xiàn)素場(chǎng)的線(xiàn)素都平行，斜率為縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，故當(dāng)），0時(shí)，其積分曲線(xiàn)如圖（3）所示；曲線(xiàn)如圖（4

10、）所示越 圖(4)由于f(x.y)=-,不依賴(lài)于y,所以，萬(wàn)線(xiàn)素場(chǎng)的線(xiàn)素都平行，其斜率為右端函數(shù)f(x,y)橫坐標(biāo)平方的倒數(shù)的相反數(shù).于是，橫坐標(biāo)越大，線(xiàn)素場(chǎng)的方向越平緩從而，可以根據(jù)線(xiàn)索場(chǎng)線(xiàn)素圖的趨勢(shì)，大體上描出積分曲線(xiàn)如圖(5)所示.(5)fy,因而在直線(xiàn)x=k(k為常數(shù))上，線(xiàn)素場(chǎng)的線(xiàn)素都平行,故當(dāng)兀0時(shí),其積分曲線(xiàn)如圖(6)所示；當(dāng)xvO時(shí)，其積分曲線(xiàn)如圖(7)所示. # # 試畫(huà)出方程=x2-y2dx在xoy平面上的積分曲線(xiàn)的大致圖像解：這個(gè)方程是不可積的，但易于畫(huà)出它的線(xiàn)素場(chǎng)在同一以原點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心的雙曲線(xiàn)上，圖(8)線(xiàn)素場(chǎng)的線(xiàn)素都平行其斜率等于雙曲線(xiàn)實(shí)半軸氏的平方于是，實(shí)半軸越匕，

11、線(xiàn)素場(chǎng)的方向越陡從而，根據(jù)線(xiàn)素場(chǎng)線(xiàn)素的趨勢(shì)，大體上可以描出積分曲線(xiàn)如圖(8)所示試用歐拉折線(xiàn)法，取步長(zhǎng)力=0.1,求初值問(wèn)題dy?丁=對(duì)+八dxXD=1的解在x=1.4時(shí)的近似值.解令=1,兒=1則M=xo+O=1丄y,=1+20.1=1.2;x2=+01=12y2=12+2.65-0.1=1.465;x3=x2+0.1=1.3,y3=1.465+3.5860.1=1.824;x4=乃+0.1=14兒=1.824+5.0170.1=2.326.習(xí)題2.21試判斷方程字=xtanx在區(qū)域dxR:-1x1,0y;R.:-1a1,-y0,一在整個(gè)xoy平y(tǒng)o,在除去y0 x軸外的整個(gè)xoy平面上x(chóng)o

12、y平而上初值解存在且唯一 # # # #3討論方程字=y了在怎么樣的區(qū)域中滿(mǎn)足定理2.2的條件并求通過(guò)ax2(0,0)的一切解.解：右端函數(shù)對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)些=丄顯然它在任何一個(gè)不包含X軸d.v2(y=0)上的點(diǎn)的有界閉區(qū)域中是有界的，因此在這種區(qū)域中解是存在唯一的.即，只有通過(guò)y=0上的點(diǎn)可能出現(xiàn)多個(gè)解的情況(方程右端的連續(xù)性保證在任何有界區(qū)域中，解是存在的).原方程分離變量得 # # # #上式兩端取積分得 23y=x-cy其中（x-c）no此外有特解y=0因此過(guò)點(diǎn)（0,0）有無(wú)窮多個(gè)解（如圖（9）所示）.TOC o 1-5 h zQxCy=C0,xC4.試用逐次逼近法求方程=x-v2滿(mǎn)足初值

13、條件y（o）=o的近似解dx%（兀），卩（兀）,0（X），03解：久（x）=y（0）=0(P(x)=0+(5-0)cls=x2TOC o 1-5 h zo2(p2(x)=0+s-(yj2)2Vs=y-箱牙5(p,(x)=0+s-(丄$2_丄芒尸燉=丄兀2_J_x5+!J8!3Jo22022016044005.試用逐次逼近法求方程字=y2_/滿(mǎn)足初值條件y（0）=1的近似解：dx久(X),0(x),(p2(x)解%a)=y(0)=i(P(x)=0+(1-s)ds=1+X-X33(X)=1+fl+5-53)2-s2ls=+X+X2-X4一二X5+X1.r23615636.試證明定理2.2中的n次近

14、似解久（x）與精確解仇切有如卜的誤差估計(jì) 2他(x)-如)卜誥討X廠(chǎng)證:由0(x)=兒+f(s、(p(s)ds及迭代列久(Q=)d0。)=兒+f(s3)dsH=1,2,(p(x)-(p)(x)Mx-x0MNnG+1)!対-0”+1M5JJ/G，卩($)-/(幾(s)W$wMNz5+1)!/|嚴(yán)2(n+2)!11由歸納法可知，對(duì)任意川次近似解，估計(jì)式|久(切-俠兀)|成立7.利用上面的估計(jì)式估計(jì)：(1)4題中的三次近似(2)5題中的二次近似03在X=丄和兀=1時(shí)的誤差；20(x)在兀=+時(shí)的誤差.解：(1)顯然初值問(wèn)題z7y=y(0)=0在區(qū)域R:Lvldx111|y|i上存在唯一解，由解的存在

15、唯-性定理知，解的定義區(qū)間為其中/?0=min(仏上-),M=maxxy2=2這里d=1,方=1,M(.v.yfeZ?(.v,y)/e從而0=丄，即 #2得解的定義區(qū)間為|x|則由誤差估計(jì)公式|y/r(x)-y(x)|MN”S+l)!k-r+,其中W是李普希茲常數(shù)因?yàn)?|-2y|2,可取N=乙.22141|y3Cv)-y(x)|(-)=9o39卜3（n）a）|s旨（i）“=?。?）顯然初值問(wèn)題=V2-x2,y(O)=l在區(qū)域R:xU|y-l|l上存dx在唯一解，由解的存在唯一性定理知，解的定義區(qū)間為其中=min(,),M=maxy2-x2=4.這里a=1,b=l,從而九=丄，即Mg)eR4得解的定義區(qū)間為|x|(x.yieR1一4，則由誤差估計(jì)公式|y/r(x)-y(x)|MN”S+l)!k-r+,其中W是李普希茲常數(shù)因?yàn)閨2y|2,可取N=2,則有49*1|y2(x)-y(A-)|(-)31248.在條形區(qū)域axb.|y