1、清華大學 姜啟源 會 議 籌 備全國大學生數(shù)學建模競賽2021年D題 題目 題目的背景 問題分析和解決方法 一種參考解法 對學生論文的評述 某市的一家會議效勞公司負責承辦某專業(yè)領域的一屆全國性會議, 會議籌備組要為與會代表預訂賓館客房, 租借會議室, 并租用客車接送代表。由于預計會議規(guī)模龐大, 而適于接待這次會議的幾家賓館的客房和會議室數(shù)量均有限, 所以只能讓與會代表分散到假設干家賓館住宿。為了便于管理, 除了盡量滿足代表在價位等方面的需求之外, 所選擇的賓館數(shù)量應該盡可能少, 并且距離上比較靠近。 籌備組經(jīng)過實地考察, 篩選出10家賓館作為備選, 它們的名稱用代號至表示, 相對位置見附圖,

2、有關(guān)客房及會議室的規(guī)格、間數(shù)、價格等數(shù)據(jù)見附表1。 根據(jù)這屆會議代表回執(zhí)整理出來的有關(guān)住房的信息見附表2。從以往幾屆會議情況看, 有一些發(fā)來回執(zhí)的代表不來開會, 同時也有一些與會的代表事先不提交回執(zhí), 相關(guān)數(shù)據(jù)見附表3。附表2, 3都可以作為預訂賓館客房的參考。題 目 需要說明的是，雖然客房房費由與會代表自付，但是如果預訂客房的數(shù)量大于實際用房數(shù)量，籌備組需要支付一天的空房費，而假設出現(xiàn)預訂客房數(shù)量缺乏，那么將造成非常被動的局面，引起代表的不滿。 會議期間有一天的上下午各安排6個分組會議，籌備組需要在代表下榻的某幾個賓館租借會議室。由于事先無法知道哪些代表準備參加哪個分組會，籌備組還要向汽車租

3、賃公司租用客車接送代表?，F(xiàn)有45座、36座和33座三種類型的客車，租金分別是半天800元、700元和600元。 請你們通過數(shù)學建模方法，從經(jīng)濟、方便、代表滿意等方面，為會議籌備組制定一個預訂賓館客房、租借會議室、租用客車的合理方案。附表1 10家備選賓館的有關(guān)數(shù)據(jù)賓館代號客房會議室規(guī)格間數(shù)價格(天)規(guī)模間數(shù)價格(半天)普通雙標間50180元200人11500元商務雙標間30220元150人21200元普通單人間30180元 60人2 600元商務單人間20220元 經(jīng)濟標準房(2床）55260元180人11500元標準房（2床）45280元140人21000元附表2 本屆會議的代表回執(zhí)中有關(guān)住

4、房要求的信息(單位：人)合住1合住2合住3獨住1獨住2獨住3男154104321076841女784817592819附表3 以往幾屆會議代表回執(zhí)和與會情況第一屆 第二屆 第三屆 第四屆 發(fā)來回執(zhí)的代表數(shù)量315356408711發(fā)來回執(zhí)但未與會的代表數(shù)量89115121213未發(fā)回執(zhí)而與會的代表數(shù)量5769751041000500300150200300 300700150附圖其中500等數(shù)字是兩賓館間距，單位為米題目的背景 2021年8月第十一屆全國數(shù)學建模教學與應用會議在福州召開。這是一次規(guī)模龐大的系列性學術(shù)會議, 據(jù)以往幾屆會議的情況看, 有以下共同的、明顯的特點： 與會代表多達數(shù)百人

5、，而適于接待的賓館容量有限,只能讓與會代表分散到假設干家賓館住宿； 有一些發(fā)來回執(zhí)的代表不來開會, 也有一些與會代表事先不提交回執(zhí), 給預訂賓館客房數(shù)量造成了困難； 雖然客房房費由與會代表自付, 但如預訂客房數(shù)量大于實際數(shù)量, 籌備組需要支付一天的空房費, 而假設預訂客房數(shù)量缺乏, 那么將引起代表的強烈不滿； 假設內(nèi)容不同的分組會分散在幾個賓館, 而代表要參加哪個分組會無法預知, 因此需要派車在賓館間接送代表。 一些會議的籌備者和賓館的管理人員反映, 諸如上述這些情況普遍存在、時常發(fā)生。 通過數(shù)學建模方法, 從經(jīng)濟、方便、代表滿意等方面,為會議籌備者制定一個預訂賓館客房、租借會議室、租用客車的

6、合理方案, 是非常現(xiàn)實且很有實際意義的課題, 并且這方面的研究過去幾乎沒有。 為了保持問題的原汁原味, 賽題中所列10家賓館的根本數(shù)據(jù)和相對位置, 以及本屆會議代表回執(zhí)中有關(guān)住房要求的信息都是真實的, 只是對一些賓館客房和會議室的數(shù)量略作改動。關(guān)于前幾屆會議的代表回執(zhí)和與會情況也根本上參考了歷史數(shù)據(jù)。題目的背景 問題分析和解決方法 從題目要求出發(fā)，主要需要解決三個問題：1預測本屆會議與會代表的數(shù)量, 并確定需要預訂各類客房的數(shù)量；2確定在哪些賓館預訂客房及預訂各類客房的數(shù)量；3確定在哪些賓館預訂哪些類型的會議室以及租車的規(guī)格和數(shù)量。 問題1是求解問題2，3的前提，首先應該根據(jù)附表2，3的數(shù)據(jù)對

7、本屆會議與會代表的數(shù)量進行預測。 確定預訂客房總量時，應使會議籌備組在訂房上的損失盡量小，損失包括：預訂客房數(shù)超過實際用量時需要支付的一天空房費；預訂客房數(shù)不夠時引起代表不滿的“費用，后者要用適當?shù)臄?shù)學表達式加以量化。 根據(jù)附表2數(shù)據(jù)中本屆會議的代表所需要6種類型的客房的比例，可由預訂客房的總量得到預定各類客房的數(shù)量。問題分析和解決方法 問題2主要應考慮籌備組管理的方便及代表的滿意，如滿足代表在合住或獨住及價位方面的需求、預訂的賓館總數(shù)盡量少、距離上盡量靠近等。 假設建立優(yōu)化模型，可以用賓館總數(shù)最少為目標函數(shù)，以滿足代表在合住或獨住及價位方面的需求，及各賓館擁有客房數(shù)量等為約束條件，以在哪幾家

8、賓館訂房及各類客房訂多少間為決策變量。 以賓館總數(shù)最少為目標的優(yōu)化模型其最優(yōu)解一般不唯一，可以再考慮賓館間的距離、客房價格等因素，從幾個解中選出相對較好的一個。 問題分析和解決方法 問題3主要應考慮租用會議室和客車的總費用盡量小、會議室所在的賓館總數(shù)盡量少、距離上盡量靠近等。 租車要考慮多少代表參加哪個分組會議, 題目中沒有這方面的信息, 可以按照平均的、隨機的方式處理。 當建立優(yōu)化模型時, 可用租借會議室和客車的總費用最少為目標函數(shù), 以滿足對會議室數(shù)量、大小及租車的需要為約束條件, 以租用會議室和車輛的規(guī)格、數(shù)量為決策變量。 將問題2, 3統(tǒng)一建立模型并求解有一定困難, 可在問題2幾個解的

9、根底上解問題3，通過比較得出最后結(jié)果。 問題分析和解決方法一種參考解法設有n屆同類型會議的歷史數(shù)據(jù)可利用 (n較小, 此題n=4) 第i屆發(fā)來回執(zhí)的代表數(shù)量ai 第i屆發(fā)來回執(zhí)但未與會的代表數(shù)量bi 第i屆未發(fā)回執(zhí)而與會的代表數(shù)量ci 本屆發(fā)來回執(zhí)數(shù)量A第i屆與會代表數(shù)量di= ai- bi+ ci 第i屆與會代表占發(fā)來回執(zhí)數(shù)量的比例ei= di/ai 預測本屆會議與會代表數(shù)量Nmean=AemeanNmax=Aemax=661=678 比例法預測1. 預測本屆會議的與會代表數(shù)量 確定需要預訂各類客房的數(shù)量emean ，emax 建立di對ai的回歸模型用線性模型預測本屆會議與會代表數(shù)量 N=

10、638確定預訂客房的總量 考慮兩種可能的損失：空房費；代表不滿的量化“費用 適當提高預測的與會代表數(shù)量 對未發(fā)回執(zhí)而與會的代表另作安排 參考“航空公司的預訂票策略模型姜啟源等：?數(shù)學模型第三版第284頁?1. 預測本屆會議的與會代表數(shù)量 確定需要預訂各類客房的數(shù)量1. 預測本屆會議的與會代表數(shù)量 確定需要預訂各類客房的數(shù)量預訂客房的總量本屆會議要求合住、獨住各s(=3)種價位(類型)代表數(shù)量及所占比例 (合住考慮性別) 預訂各類客房的數(shù)量需要預訂合住第j種類型客房數(shù)量T1j需要預訂獨住第j種類型客房數(shù)量T2j第i家賓館第j種類型單人房(獨住)能提供的間數(shù)C2ij 第i家賓館第j種類型雙人房(合

11、住或獨住)能提供的間數(shù)C1ij2. 確定在哪些賓館預訂客房及預訂各類客房的數(shù)量 以賓館總數(shù)最少為目標，以滿足代表在合住、獨住及價位方面的需求，及各賓館擁有客房數(shù)量等為約束條件，建立優(yōu)化模型 . 預訂第i家賓館第j種類型單人房(獨住)間數(shù) x2ij 預訂第i家賓館第j種類型雙人房(合住)間數(shù) x1ij預訂第i家賓館第j種類型雙人房(改獨住)間數(shù) yij決策變量第i家賓館的選擇變量 ki (ki=0,1)設共有r家賓館雙人、單人房各s種類型目標函數(shù)約束條件滿足需求滿足供給2. 確定在哪些賓館預訂客房及預訂各類客房的數(shù)量求解整數(shù)規(guī)劃模型LINGO最優(yōu)解一般不唯一，可得到多個解可考慮距離因素、價格因素

12、等確定最終方案或者在這些解的根底上進入下一步，根據(jù)租借會議室和租車情況確定最終方案.2. 確定在哪些賓館預訂客房及預訂各類客房的數(shù)量3. 確定在哪些賓館預訂哪些類型的會議室 以及租車的規(guī)格和數(shù)量預訂會議室的原那么： 每個會議室的容量至少為與會總?cè)藬?shù)的1/6 會議室位于預訂客房的賓館內(nèi)租車的原那么： 與會總?cè)藬?shù)1/6的代表不需接送 賓館距離在一定范圍內(nèi)的代表不需接送 一輛車每次會議最多接送2趟以會議室和客車的租費最小為目標建立優(yōu)化模型求解對學生論文的評述 根本情況 絕大多數(shù)同學都能根據(jù)對問題的理解和掌握的數(shù)學知識，給出解決問題的方法，并得到所要求的結(jié)果。 不少同學建立了在課堂上沒有學過的數(shù)學規(guī)劃

13、模型，并用數(shù)學軟件求解. 對于高職高專學生來說，無論從題型還是所用的數(shù)學知識都是適合的。 在解決主要問題之前，都做了一些準備工作，如按照代表對住房類型、價位的需求將各賓館的客房分類整理，將賓館按照能滿足代表需求的多少排列，并事先排除幾個滿足需求較少、價位又高的賓館。 多數(shù)同學先確定在哪些賓館預訂客房及其數(shù)量，再在此條件下確定租用會議室和客車的方案。 有的先確定在哪些賓館租借會議室，再預訂客房。 還有的將賓館總數(shù)最少和賓館間的距離最短結(jié)合起來，建立雙目標規(guī)劃模型。 一些同學用分析方法先排除一些賓館, 或是依次在某些賓館安排代表(先安排容納人多的), 雖然得到的結(jié)果不錯, 但偏向于經(jīng)驗, 從數(shù)學建

14、模的角度來說不提倡。 給出客車在賓館之間接送代表的具體方法, 如行車路線、始發(fā)地和目的地, 中途經(jīng)什么賓館等，值得鼓勵。 根本情況 存在的問題 1預測本屆會議的與會代表數(shù)量時，用往屆實際到會人數(shù)對發(fā)來回執(zhí)人數(shù)的回歸模型，假設用線性或二次模型，結(jié)果通常偏低，如不加調(diào)整，會有問題。 還有的建立實際到會人數(shù)關(guān)于以往會議屆數(shù)的回歸模型。對學生論文的評述明顯錯誤！2在用比例法預測本屆會議的與會代表數(shù)量時，取第i屆與會代表占發(fā)來回執(zhí)數(shù)量的比例ei= di/ai的平均值，沒有考慮預訂客房數(shù)不夠?qū)嶋H用量時引起代表不滿造成的損失，未給預測值留出余量。 個別同學這樣計算ei= di/ai的平均值： 3題目中已明確

15、說明客房房費由與會代表自付, 籌備組只需滿足代表對住房價位類型的需求?？头績r格不應成為優(yōu)化的目標, 而只能是兼顧的因素。 一些同學沒有完全把握這些要求，過分注意了客房價位，而對空房費和不滿引起的“費用關(guān)注不夠。存在的問題4將賓館間距離最短作為優(yōu)化的一個目標, 有其合理性, 但很多是先選定一家賓館(比方處于中心位置的), 以其他賓館與其距離之和最短為標準, 來預訂客房。 對于此題所給數(shù)據(jù)可以得到合理的結(jié)果, 但是這種方法不具普遍性, 因為不能排除有另外幾個賓館(不包含上面選定的)也能滿足代表的需求, 且其他指標更優(yōu)。 5題目說明是上下午各安排6個分組會議，并且事先無法知道哪些代表準備參加哪個分組

16、會。 一些同學理解為各個分組會內(nèi)容相同, 于是只要求6個會議室的總?cè)萘看笥谂c會人數(shù)。還有的認為上下午會議內(nèi)容相同，于是上下午各只安排總數(shù)的一半即可。 存在的問題6考慮租車方案時, 如果在假設中說明賓館距離不遠就不用接送, 及每輛車可接送兩個來回等, 當然可以。但如果規(guī)定不接送的距離太遠, 或只租用一兩輛車, 在各賓館間來回屢次地接送，就不符合實際了。 還有些同學沒有考慮會有1/6的代表留在其下榻賓館所在的會議室開會，不需要遷移。 7層次分析法常用于確定不易量化的因素對某些目標的權(quán)重，用于此題只能起不大的輔助作用，用它對賓館進行排序或評估，是不恰當?shù)摹?許多同學在數(shù)學符號、公式的表述上, 存在不

17、嚴格、不標準, 甚至錯誤之處, 如下標不注明含義, 求和號不注明求和范圍, 甚至整個數(shù)學符號都不給出定義。 存在的問題 近年的賽題 題目的特點 征集題目素材年份A題B題C題D題2003SARS的傳播露天礦生產(chǎn)的車輛安排SARS的傳播搶渡長江2004奧運會臨時超市網(wǎng)點設計電力市場的輸電阻塞管理飲酒駕車公務員招聘2005長江水質(zhì)的評價和預測DVD在線租賃雨量預報方法的評價DVD在線租賃2006出版社的資源配置艾滋病療法的評價和療效的預測易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設計煤礦瓦斯和煤塵的監(jiān)測與控制2007中國人口增長預測 乘公交，看奧運手機“套餐”優(yōu)惠幾何 體能測試時間安排 2008數(shù)碼相機定位高等教育收費標準探討地面搜索NBA賽程的分析與評價2009制動器試驗臺的控制方法分析眼科病床的合理安排衛(wèi)星和飛船的跟蹤測控會議籌備題目的特點題目來源: 實際研究課題的簡化、改編；有實際背景問題的編撰；適宜的社會熱點或興趣問題題目