1、1 n22f h22 22006 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題一、 填空題 ： 1 6 小題，每小題 4 分，共 24 分 . 把答案填在題中橫線上 .（ 1） n 1n _.（2）設(shè)函數(shù) f ( x) 在 x 2 的某鄰域內(nèi)可導(dǎo) ,且 f x ef x ， f 2 1， 則 f 2 （ 3 ） 設(shè) 函 數(shù) f (u) 可 微 , 且 f 0 1 , 則 z f 4x2dz 1,2 _.y2 在 點 (1,2) 處 的 全 微 分2 1（ 4） 設(shè)矩陣 A ， E 為 2 階單位矩陣，矩陣 B 滿足 BA 1 2（ 5） 設(shè) 隨 機 變 量 X與 Y 相 互 獨 立， 且 均 服 從

2、 區(qū) 間 0,3B 2E ，則 B .上 的 均 勻 分 布 ， 則P max X , Y 1 _.（ 6） 設(shè)總體 X 的概率密度為 f x 1 e x x , X 1 , X 2 , , X n為總體 X 的簡單隨機樣本，其樣本方差為 S ，則 ES _.二、選擇題： 7 14 小題，每小題 4 分，共 32 分 . 每小題給出的四個選項中，只有一項符合 題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi) .（ 7） 設(shè)函數(shù) y f (x)具有二階導(dǎo)數(shù)， 且 f (x) 0, f ( x) 0， x 為自變量 x在點 x0 處的 增量， y與dy 分別為 f (x) 在點 x0 處對應(yīng)的增量與微分

3、，若 x 0 ，則(A) 0 dy y . (B) 0 y dy .(C) y dy 0 . (D) dy y 0 . （ 8） 設(shè)函數(shù) f x 在 x(A) f 0 0且f(C) f 0 0且f0 處連續(xù)，且0 存在0 存在m0 h21，則(B) f 0 1且f 0 存在(D) f 0 1且f 0 存在 - 1 -1nn（9） 若級數(shù) an 收斂，則級數(shù) n 1(A) an 收斂 .1（ B） ( 1)nan 收斂 .1(C) an an 1 收斂 . (D) an an 1 收斂 . n 1 n 1 2（ 10） 設(shè)非齊次線性微分方程 y P(x) y Q( x) 有兩個不同的解 y1 (

4、 x), y2 (x),C 為任意常數(shù)，則該方程的通解是（） C y1 ( x) y2 (x) . （） y1 (x) C y1 ( x) y2 ( x) .（） C y1 ( x) y2 ( x) . （） y1 (x) C y1 ( x) y2 ( x) （ 11） 設(shè) f ( x, y)與 ( x, y) 均為可微函數(shù)，且 y ( x , y) 0 ，已知 ( x0 , y0 ) 是 f ( x, y) 在約 束條件 (x , y) 0 下的一個極值點，下列選項正確的是(A) 若 f x ( x0 , y0 )(B) 若 fx ( x0 , y0 )(C) 若 fx ( x0 , y0

5、)(D) 若 fx ( x0 , y0 )（ 12） 設(shè) 1 , 2 , , s均為(A) 若(B) 若(C) 若1 , 2 , ,1 , 2 , ,1 , 2 , ,(D) 若 1 , 2 , , s（ 13） 設(shè) A 為 3 階矩陣，將1 1 0列得 C ，記 P 0 1 00 0 1（） C P 1AP .0 ，則 f y ( x0 , y0 ) 0 .0 ，則 fy ( x0 , y0 ) 0 .0 ，則 fy ( x0 , y0 ) 0 . 0 ，則 f y (x0 , y0 ) 0 .n維列向量，s線性相關(guān)，則s線性相關(guān)，則s線性無關(guān)，則A 為 m n矩陣，下列選項正確的是A 1

6、, A 2 , , A s線性相關(guān) .A 1 , A 2 , , A s線性無關(guān) .A 1 , A 2 , , A s線性相關(guān) .線性無關(guān)， 則 A 1 , A 2 , , A s線性無關(guān) .A 的第 2 行加到第 1 行得 B ，再將 B 的第 1 列的，則1倍加到第 2（） C PAP .- 2 -T T2yx1 xTT當(dāng) L 與直線 y ax所圍成平面圖形的面積為 83（） C P AP . （） C PAP .（ 14） 設(shè)隨機變量 X 服從正態(tài)分布 N( 1 , 12 )， Y 服從正態(tài)分布 N( 2 ,P X 1 1 P Y 2 1則必有(A) 1 2 (B) 1 2 2 ) ，且

7、(C) 1 2三 、解答題： 15 23 小題，共（ 15） （本題滿分 7 分）(D) 1 2 94 分 . 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 .設(shè) f( )( )x, yg xy 1 xyy f x .7 分）2D10 分） a b0 xlimg（ 16） （本題滿分 計算二重積分（ 17） （本題滿分 證明：當(dāng) 0b sin b （ 18） （本題滿分 8 分）1 y sin, x 0, y 0 ,求arctan xx , y ；xydxdy， 其中 D 是由直線 y x , y 1,x 0 所圍成的平面區(qū)域 .時，2cos b b a sin a 2cos a a .在 xOy

8、坐標(biāo)平面上，連續(xù)曲線 L 過點 M 1,0 ，其上任意點 P x, y x 0 處的切線斜率與直線 OP 的斜率之差等于 ax （常數(shù) a0 ） .( ) 求 L 的方程；( ) 時，確定 a 的值 .（ 19） （本題滿分 10 分）求冪級數(shù)n 1 2n 1的收斂域及和函數(shù) s( x) .n 1 n 2n 1（20） （本題滿分 13 分）設(shè) 4 維 向 量 組 1 1 a,1,1,1 , 2 2, 2 a , 2, 2 T , 3 3,3,3 a,3 T ,4 4 , 4 , 4 , 4a ，問 a 為何值時 1 , 2 , 3 , 4 線性相關(guān) ?當(dāng)其一個極大線性無關(guān)組 ,并將其余向量用

9、該極大線性無關(guān)組線性表出1 , 2 , 3 , 4 線性相關(guān)時 ,求.- 3 -4, 1211（21） （本題滿分 13 分）設(shè) 3 階實對稱矩陣 A 的各行元素之和均為 3, 向量 1T T1,2, 1 , 2 0, 1,1 是線性方程組 Ax 0 的兩個解 .( )求 A 的特征值與特征向量；( )求正交矩陣 Q 和對角矩陣（）求 A及 A36E ，其中2,使得 QT AQ ；E 為 3 階單位矩陣 .（22） （本題滿分 13 分）設(shè)隨機變量 X 的概率密度為1 x 0fX x ,0 x 2 ，0, 其他令 Y X 2 , F x, y 為二維隨機變量 (X ,Y ) 的分布函數(shù) .(

10、)求 Y 的概率密度 fY y ；( ) Cov( X , Y)；( ) F , 4 .2（23） （本題滿分 13 分）設(shè)總體 X 的概率密度為, 0 x 1,f x; 1 ,1 x 2,0, 其他 ,其中 是未知參數(shù) 0 1 ， X1 , X 2 ., X n為來自總體 X 的簡單隨機樣本，記 N 為樣本值 x1 , x2 ., xn 中小于 1 的個數(shù) .（）求 的矩估計；（）求 的最大似然估計- 4 -11ln1，0 ., 則 z2(1,2)(1,2)x yn2006 年考研數(shù)學(xué)（三）真題解析二、 填空題 ： 1 6 小題，每小題n（ 1） n 1.【分析 】將其對數(shù)恒等化 N4 分，

11、共 24 分 . 把答案填在題中橫線上 .eln N 求解 .n【詳解 】 limn 1 nnnlim en 1 n( 1) nne lim ( 1)n lnn1n而數(shù)列故 ( 1)nn 1 n有界， lnn1e0 1 .n 1n0，所以 1)n lnn1n（2） 設(shè)函數(shù) f (x) 在 x 2 的某鄰域內(nèi)可導(dǎo) ,且 f x ef x ， f 2 1，則 f 2 2e3 .【分析 】利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)即可 .【詳解 】由題設(shè)知， f x ef x ，兩邊對 x 求導(dǎo)得f兩邊再對 x求導(dǎo)得 f故 f (2) 2e3 f 2x ef x f ( x) e2 f x ，( x) 2e2 f x f (

12、 x) 2e3f x ，又 f 2 1，2e .3（ 3 ） 設(shè) 函 數(shù) f (u) 可 微 , 且 f 0 1 f 4x2dz 1,2 4dx 2dy.y2 在 點 (1,2) 處 的 全 微 分【分析 】利用二元函數(shù)的全微分公式或微分形式不變性計算 .【詳解 】方法一：因為zxzyf (4 x2 y2 ) 8x (1,2) 4，f (4 x2 y2 ) 2 y (1,2) 2，所以 dz 1,2 z 1,2 dx z 1,2 dy 4dx 2dy .- 5 -92 1 1 13 9方法二：對dz故 dz 1,2z f 4x2 y2 微分得f (4x2 y2 )d(4x2 y2 ) f (4

13、x2 y2 ) 8xdx 2ydy ，f (0) 8dx 2dy 4dx 2dy .2 1（ 4） 設(shè)矩陣 A ， E 為 2 階單位矩陣， 1 2【分析 】 將矩陣方程改寫為 AX B或XA列式性質(zhì)進行計算即可 .【詳解 】 由題設(shè)，有B(A E ) 2E矩陣 B 滿足 BA B 2E， 則 B 2 .B或AXB C 的形式， 再用方陣相乘的行1 1于是有 B A E 4 ，而 A E 2 ，所以 B 2 .1 1（ 5） 設(shè)隨機變量 X 與Y 相互獨立，且均服從區(qū)間 0,3 上的均勻分布，則P max X , Y 1 1 .【分析 】【詳解 】利用 X 與 Y 的獨立性及分布計算 .由題設(shè)

14、知，f (x)X 與 Y 具有相同的概率密度1,30,0 x 3 . 其他則 P max X ,Y 1 P X 1,Y 1 P X 1 P Y 12P X 1 0 dx .【評注 】 本題屬幾何概型，也可如下計算，如下圖：- 6 -2X Y 1e22e dx2x0222則 P max ,（ 6） 設(shè)總體 X 的概率密度為 f x單隨機樣本，其樣本方差為 S ，則P X 1,Y 11 x xES2 2.S陰1.S9, X 1 , X 2 , , X n為總體 X 的簡【分析 】利用樣本方差的性質(zhì) ES DX 即可 .【詳解 】因為EX xf (x)dx x e x dx 0，EX x2 f (

15、x)dxx2xe 02 2所以 DX EX EX22x2 x 0 x2e xdx x2e x 0 2 0 xe xdxe dx 2e x 0 2，0 2 ，又因 S 是 DX 的無偏估計量，所以 ES2 DX 2 .二、選擇題： 7 14 小題，每小題 4 分，共 32 分 . 每小題給出的四個選項中，只有一項符合 題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi) .（ 7） 設(shè)函數(shù) y f (x)具有二階導(dǎo)數(shù)， 且 f (x) 0, f ( x) 0， x 為自變量 x在點 x0 處的增量， y與dy 分別為 f (x) 在點 x0 處對應(yīng)的增量與微分，若 x(A) 0 dy y . (B) 0(

16、C) y dy 0 . (D) 【分析 】 題設(shè)條件有明顯的幾何意義，用圖示法求解y dy .dy y.0 ，則0 .【 詳解 】 由 f ( x) 0, f ( x) 0 知，函數(shù) f (x) 單調(diào)增加，曲線y f (x)凹向， 作函數(shù) y f ( x) 的圖形如右圖所示， 顯然當(dāng) x 0 時，- 7 -f h2f h2n取 an ( 1)n 1 ，則可排除選項（） ， （） ；n 1 n 1 n 1 2nny dy f ( x0 )dx（ 8） 設(shè)函數(shù) f x 在 x(A) f 0 0且f(C) f 0 0且f【分析 】從 m0 h2f ( x0 ) x 0 ，故應(yīng)選 ( ).0 處連續(xù)，

17、且 m0 h2 1，則0 存在 (B) f 0 1且f 0 存在0 存在 (D) f 0 1且f 0 存在 C 1 入手計算 f (0) ，利用導(dǎo)數(shù)的左右導(dǎo)數(shù)定義判定 f (0), f (0)f h2的存在性 .【詳解 】由 lm0 h2f (0)1知， lm0 f h20 .又因為h2 0 .0 xlim f ( x)0hlim f令 t h2 ，則 1f h2lm0 h2 tlim0f t f (0)f t所以 f (0) 存在，故本題選（ C） .f x 在 x 0 處連續(xù)，則(0) .（9） 若級數(shù)an 收斂，則級數(shù)n1(A) an 收斂 .1（B） ( 1)nan 收斂 .1(C)

18、an an 1 收斂 . (D) an an 1 收斂 . n 1 n 1 2【分析 】 可以通過舉反例及級數(shù)的性質(zhì)來判定 .【詳解 】 由 an 收斂知 an 1 收斂，所以級數(shù) an an 1 收斂，故應(yīng)選 ( ).或利用排除法：n取 an ( 1)n 1 ，則可排除選項（） .故（）項正確（ 10） 設(shè)非齊次線性微分方程 y P(x) y Q( x) 有兩個不同的解- 8 -.y1 ( x), y2 (x),C 為任意常數(shù)，則該方程的通解是（） C y1 ( x) y2 (x) . （） y1 ( x) C y1 (x) y2 (x) .（） C y1 ( x) y2 ( x) . （）

19、 y1( x) C y1( x) y2 ( x)【分析 】 利用一階線性非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)即可 【詳解 】由于 y1 ( x) y2 (x) 是對應(yīng)齊次線性微分方程.y P( x) y 0的非零解，所以它的通解是 Y C y1 (x) y2 (x) ，故原方程的通解為y y1 ( x) Y y1( x) C y1 ( x) y2 (x) ，故應(yīng)選 ( ).【評注 】本題屬基本題型，考查一階線性非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)：y y * Y .其中 y* 是所給一階線性微分方程的特解， Y 是對應(yīng)齊次微分方程的通解 .（ 11） 設(shè) f ( x, y)與 ( x, y) 均為可微函數(shù)，且 y ( x

20、 , y) 0 ，已知 ( x0 , y0 ) 是 f ( x, y) 在約 束條件 (x , y) 0 下的一個極值點，下列選項正確的是(A) 若 f x ( x0 , y0 ) 0 ，則 f y ( x0 , y0 ) 0 .(B) 若 fx ( x0 , y0 ) 0 ，則 fy ( x0 , y0 ) 0 .(C) 若 fx ( x0 , y0 ) 0 ，則 fy ( x0 , y0 ) 0 .(D) 若 fx ( x0 , y0 ) 0 ，則 f y (x0 , y0 ) 0 .【分析 】 利用拉格朗日函數(shù) F (x , y, ) f ( x, y)x0 , y0 的參數(shù) 的值）取到

21、極值的必要條件即可 .【詳解 】 作拉格朗日函數(shù) F( x , y , ) f (x , y)值為 0 ，則消去Fx ( x0 , Fy ( ,0 ，得fx ( x0 , y0 )y0 , HYPERLINK l _bookmark1 0 )y0 , HYPERLINK l _bookmark2 0 )， 即0 f x ( x0 , y0 ) 00 f y (x0 , y0 ) 0y ( x0 , y0 ) f y (x0 , y0 ) x ( x0 , y0 )- 9 - (x , y) 在 ( x0 , y0 , 0 ) （ 0 是對應(yīng)( x , y)，并記對應(yīng) x0 , y0 的參數(shù) 的

22、x ( x0 , y0 ) 0.y ( x0 , y0 ) 00 ,A A1，y (x0 , y0 ) y x整理得 fx ( x0 , y0 ) 1 f ( x0 , y0 ) (x0 , y0 ) . （因為 y ( x, y) 0），若 fx ( x0 , y0 ) 0 ，則 fy ( x0 , y0 ) 0 .故選（） .（ 12） 設(shè) 1 , 2 , , s均為 n 維列向量， A 為 m n矩陣，下列選項正確的是(C) 若 1 , 2 , , s線性相關(guān)，則 A 1 , A 2 , , A s線性相關(guān) .(D) 若 1 , 2 , , s線性相關(guān)，則 A 1 , A 2 , , A

23、 s線性無關(guān) .(C) 若 1 , 2 , , s線性無關(guān)，則 A 1 , A 2 , , A s線性相關(guān) .(D) 若 1 , 2 , , s線性無關(guān)，則 A 1 , A 2 , , A s 線性無關(guān) .【分析 】 本題考查向量組的線性相關(guān)性問題，利用定義或性質(zhì)進行判定 A .【詳解 】 記 B ( 1 , 2 , , s) ，則 (A所以，若向量組 1 , 2 , , s線性相關(guān)，則A 1 , A 2 , , A s也線性相關(guān)，故應(yīng)選 ( ).1 , 2 , , s ) AB .r (B) s ，從而 r (AB) r (B) s ，向量組（ 13） 設(shè) A 為 3 階矩陣，將 A 的第

24、2 行加到第 1 行得 B ，再將 B 的第 1 列的 1倍加到第 21 1 0列得 C ，記 P 0 1 0 ，則0 0 1C P AP .（）11（） C PAP .T（） C P AP .T（） C PAP . 【分析 】利用矩陣的初等變換與初等矩陣的關(guān)系以及初等矩陣的性質(zhì)可得 .【詳解 】由題設(shè)可得1 1 0 1 1 0 1 1 0 1B 0 1 0 A ,C B 0 1 0 0 1 00 0 10 0 1 0 0 1 011 0而 P 1001 0 ，則有 C0 1PAP 1 .故應(yīng)選（）.（ 14） 設(shè)隨機變量 X 服從正態(tài)分布 N( 1 , 12 )， Y 服從正態(tài)分布 N( 2

25、 , ) ，且1001- 10 -1 ysin1 xy arctan xy yxxP X 1 1 P Y 2 1則必有(B) 1 2 (B) 1 2(C) 1 2 (D) 1 2 A 【分析 】 利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線的幾何意義可得 .【詳解 】 由題設(shè)可得PX11PY21，1122則 211211，即11.1212其中 (x)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù) .又( x)是單調(diào)不減函數(shù)，則11 ，即12 .12故選 (A).三 、解答題： 15 23 小題，共 94 分 . 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 .（ 15） （本題滿分 7 分）1 y sin設(shè) f x, y , x 0, y

26、0 ,求( ) g x f x , y ；0( ) lim g x .【分析 】第 ( )問求極限時注意將 x作為常量求解，此問中含第( ) 問需利用第 ( ) 問的結(jié)果，含 未定式極限 .,0 型未定式極限；x【詳解 】 ( ) g x f x, y m - 11 -ysin x3 0 y 3 92 1 1 231 y0 01 y1im 1 1 x arctax1 1 xx arctanx .x( ) lim g x00 xlim0 xlimarctanx x x2（ 16） （本題滿分 計算二重積分7 分） y21 1 x x arctan x01xlim1x2 2xarctanx x x

27、 arctanx2x（通分）x2 2 x(1 x2 ) 2xx2 x0limx0 x2 lim1xydxdy， 其中 D 是由直線 y x , y 1,x 0 所圍成的平面區(qū)域 .D【分析 】畫出積分域，將二重積分化為累次積分即可 .【詳解 】積分區(qū)域如右圖 . 因為根號下的函數(shù)為關(guān)于 x 的一次函數(shù)， “先 x后 y ”積分較容易，所以y2 xydxdy dy y2 xydxDy xy 2 dy 2 y 2dy 2（ 17） （本題滿分 10 分）證明：當(dāng) 0 a b 時，bsin b 2cos b b a sin a 2cos a a .【分析 】 利用“參數(shù)變易法”構(gòu)造輔助函數(shù)，再利用函

28、數(shù)的單調(diào)性證明 .【詳解 】 令 f ( x) x sin x 2cos x x asin a 2cos a a,0 a x b ，則 f (x) sin x x cos x 2sin x x cos x sin x ，且 f ( ) 0 .又 f ( x) cos x x sin x cos x xsin x 0，（ 0 x 時, s x0 ），故當(dāng) 0 a x b 時， f ( x)單調(diào)減少， 即 f ( x) f ( ) 0， 則 f (x) 單調(diào)增加，于是 f (b) f (a) 0 ，即bsin b 2cos b b a sin a 2cos a a .- 12 -exxx1dx1n

29、 2n 1n 1 2n 1x 2 .n 2n 332 4 83 32.（ 18） （本題滿分 8 分）在 xOy 坐標(biāo)平面上，連續(xù)曲線L 過點 M 1,0 ，其上任意點 P x, y x 0 處的切線斜率與直線 OP 的斜率之差等于 ax （常數(shù) a0 ） .( ) 求 L 的方程；( ) 當(dāng) L 與直線 y ax所圍成平面圖形的面積為 8 時，確定 a 的值 .【分析 】 ( )利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立微分方程，并求解； 形的面積，確定參數(shù) .( )利用定積分計算平面圖【詳解 】 ( ) 設(shè)曲線y y通解公式得y 1dxL 的方程為 y f ( x) ，則由題設(shè)可得ax ，這是一階線性微分方程

30、，其中 P( x) , Q(x) ax ，代入axe x dx C x ax C ax2 Cx，又 f (1) 0 ，所以 C a .故曲線 L 的方程為 y ax2 ax (x 0) .( ) L 與直線 y ax （ a0 ）所圍成平面圖形如右圖所示 . 所以D 0 ax ax2 ax dxa 0 2x x2 dx a ，故 a 2（ 19） （本題滿分 10 分）求冪級數(shù)n11 x 的收斂域及和函數(shù) s( x) .【分析 】因為冪級數(shù)缺項，按函數(shù)項級數(shù)收斂域的求法計算；利用逐項求導(dǎo)或積分并結(jié)合已知函數(shù)的冪級數(shù)展開式計算和函數(shù) .【詳解 】記 un( x)( 1)n 1 x2 n n(2n

31、 1)un 1( x) un (x)1，則( 1) x(n 1)(2n 1)( 1)n 1 x2n 1n(2n 1)- 13 -Tn 1 n(2 n 1) n 1 (2n 1) 2nn 1 2n 1 n 1 1 x20 s1 (t)dt 0 1 tn(2n 1) , n(2n 1)0 1 t 2 22x x0 0T2 1,即 x 1時，所給冪級數(shù)收斂；當(dāng) x 1 時，所給冪級數(shù)發(fā)散；所以當(dāng) x當(dāng) x 1 時，所給冪級數(shù)為 ( n 1 ( 1)n ，均收斂，1)故所給冪級數(shù)的收斂域為 1,1在 1,1 內(nèi)， s( x) ( 1)n 1 x2n 1 2x ( 1)n 1x2n 2xs1( x)，而

32、 s1 (x) ( 1)n 1 x2n 1 , s1 ( x) ( 1)n 1x2n 2 1 ，所以 s1 (x) s1 (0) x x 1 2 dt arctan x ，又 s1 (0) 0 ，于是 s1 (x) arctan x . 同理s1 (x) s1(0) s 1(t)dt arctantdtt arctant x t dt x arctan x 1 ln 1 x2 ，又 s1(0) 0 ，所以 s1( x) x arctan x 1 ln 1 x2 .故 s( x) 2x2 arctan x x ln 1 x2 . x 1,1 .由于所給冪級數(shù)在 x 1 處都收斂，且 s( x)

33、2x2 arctanx x ln 1 x2 在x 1 處都連續(xù)，所以 s(x) 在 x 1成立，即s( x) 2x2 arctan x xln 1 x2 ， x 1,1 .（20） （本題滿分 13 分）設(shè) 4 維 向 量 組 1 1 a,1,1,1 , 2 2, 2 a , 2, 2 T , 33,3,3 a,3 T ,4 4 , 4 , 4 , 4a ，問 a 為何值時 1 , 2 , 3 , 4 線性相關(guān) ?當(dāng)其一個極大線性無關(guān)組 ,并將其余向量用該極大線性無關(guān)組線性表出1 , 2 , 3 , 4 線性相關(guān)時 ,求.【分析 】因為向量組中的向量個數(shù)和向量維數(shù)相同，所以用以向量為列向量的矩

34、陣的行列式為零來確定參數(shù) a ；用初等變換求極大線性無關(guān)組 .【詳解 】記以 1 , 2 , 3 , 4 為列向量的矩陣為 A ，則- 14 -(10 a) a3 .331 a1 A11于是當(dāng) A 0,即a當(dāng) a 0 時，顯然當(dāng) a 10 時，191A112 3 42 a 3 42 3 a 42 3 4 a0或a 10 時， 1 , 2 , 3 , 4 線性相關(guān) .1 是一個極大線性無關(guān)組，且 2 2 1 , 3 3 1 , 4 4 1；2 3 42 3 4834，2742 3 6由于此時關(guān)組，且19A 有三階非零行列式 112 3 40，即 42 38 32 71400 0，所以 1 , 2

35、 , 3 為極大線性無2 3 .（21） （本題滿分 13 分）設(shè) 3 階實對稱矩陣 A的各行元素之和均為 3, 向量 1T T1,2, 1 , 2 0, 1,1 是線性方程組 Ax 0的兩個解 .( ) 求 A 的特征值與特征向量；( ) 求正交矩陣 Q 和對角矩陣 ,使得 QT AQ ；6（）求 A 及 A E ，其中 E 為 3 階單位矩陣 .2【分析 】 由矩陣 A 的各行元素之和均為 3 及矩陣乘法可得矩陣 A 的一個特征值和對應(yīng)的特征向量；由齊次線性方程組 Ax 0 有非零解可知 A 必有零特征值，其非零解是 0 特征值所對應(yīng)的特征向量得到 A 和 A E2【詳解 】 ( ).將

36、A 的線性無關(guān)的特征向量正交化可得正交矩陣 Q； 由 QTAQ 可6.因為矩陣 A 的各行元素之和均為 3，所以- 15 -1TTk取1 3 1A 1 3 3 1 ，1 3 1則由特征值和特征向量的定義知，的特征向量 . 對應(yīng) 3的全部特征向量為又由題設(shè)知 A 1 0, A 2 0 ，即3是矩陣 A 的特征值， (1,1,1)T 是對應(yīng)k ，其中 k 為不為零的常數(shù) .A 1 0 1 , A 2 0 2 ，而且 1 , 2 線性無關(guān)，所以 0是矩陣 A 的二重特征值， 1 , 2 是其對應(yīng)的特征向量，對應(yīng) 0 的全部特征向量為 1 1 k2 2 ，其中 k1 , k2 為不全為零的常數(shù) .(

37、) 因為 A 是實對稱矩陣，所以 與 1 , 2 正交，所以只需將 1 , 2 正交 .1 1，2 , 12 2 11 , 101113261120 .12再將 , 1 , 2 單位化，得1令 Q1313131 , 2 , 31, 21，則 Q162616Q ，由2, 32120 ，12A 是實對稱矩陣必可相似對角化，得Q AQ（）由 ( )知 QT AQ30030.，所以0- 16 -T33323 3 TX , F x, y41211AQTQ Q3 A E2T1 13 61 23 61 13 66Q Q A30120123E 20131060126Q QT AQ E26 3232321326

38、06311 1 111 1 1 .61 1 1126663，E3226326 6則 A E Q EQ2 2（22） （本題滿分 13 分）設(shè)隨機變量 X 的概率密度為63E .2, 1 x 0fX x ,0 x 2 ，0, 其他令 Y 2 為二維隨機變量 (X ,Y ) 的分布函數(shù) .( ) 求Y 的概率密度 fY y ；( ) Cov( X ,Y)；( ) F , 4 .2【分析 】 求一維隨機變量函數(shù)的概率密度一般先求分布，然后求導(dǎo)得相應(yīng)的概率密度或利用公式計算 .【詳解 】 （I） 設(shè) Y 的分布函數(shù)為 FY ( y) ，即 FY ( y) P(Y y) P(X 2 y) ，則1) 當(dāng)

39、y 0 時， FY ( y) 0；- 17 -0 12 00 1y 1 3214 4 2 4 6Y18 y 0,其他8 y132) 當(dāng) 0 y 1時， FY ( y)dx y 23) 當(dāng) 1 y 4時， FY ( y)1 dx4) 當(dāng) y 4， FY ( y) 1 .所以P(X 2 y) P0 4dx 4 y . P( X 2 y) P 1dxy 1 14 421y.y X yX y, 0 y 1fY ( y ) FY ) , 1y . 4（ II） Cov(X , Y)而 EX 01 xdxEX dx所以 Cov( X ,Y)( ) F , 42Cov( X , X 2 ) E(X EX )

40、(X 2 EX 2 ) EX 3 EXEX 2，02 xdx 1， EX 2 01 x2dx 02 x2dx 5 ，02 3x4dx ，7 1 5 2.8 4 6 31 1 2P X , 4 P X , X 42 2P X1, 2X2P2X122112 2 dx（23） （本題滿分 13 分） 設(shè)總體 X 的概率密度為f x;其中 是未知參數(shù) 0 1 ，1.4, 0 x 1,1 ,1 x 2,0, 其他 ,X1 , X 2 ., X n為來自總體 X 的簡單隨機樣本，記 N 為樣本- 18 -1 2 32f ( x) 存在，則 xf (x) 存在，則 xf (0) 0f (0) 存在x值 x1

41、 , x2 ., xn 中小于 1 的個數(shù) .（）求（）求的矩估計；的最大似然估計【分析 】 利用矩估計法和最大似然估計法計算【詳解 】 （）因為 EX xf (x;)，n)dx32n N 個N為3令 X ，可得 的矩估計為2（）記似然函數(shù)為 L( ) ，則1L ( )N個兩邊取對數(shù)得ln L ( ) N ln令 d lndL ( ) N n N1 1(n N )ln(10，解得.0 x dx 1 x 1 dx ，X.1 N (1 ) n N .的最大似然估計 .2007 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題一 選擇題 （本題共 10 分小題，每小題 4 分，滿分 40 分，在每小題給的四個

42、選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在后邊的括號內(nèi)）（ 1） 當(dāng) x A . 1 e x（2） 設(shè)函數(shù)A .若 lm0 C . .若 m00 時，與 x等價的無窮小量是（ ）B. l n (1 x ) C . 1 x 1f ( x) 在 x 0 處連續(xù)，下列命題錯誤的是：B . 若 m0 f ( x)0D . 若 lim f ( x)D . 1 c o sx( )f ( x) 存在，則 xf ( x) 存在，則 xf (0) 0f (0) 存在（3） 如圖 .連續(xù)函數(shù) y f ( x) 在區(qū)間3, 2 , 2,3 上的圖形分別是直徑為 1 的上、下- 19 -x1x0C . dy1

43、 101 arcsin y 1 arcsin y4 43 5F (半圓周， 在區(qū)間 2,0 , 0,2 上圖形分別是直徑為 2 的上、 下半圓周， 設(shè) F (x) f (t )dt ,則下列結(jié)論正確的是： （ ）A. . F (3) 3 2) B. F ( 3 ) 5 F ( 2 )C . F ( 3) F (2) D . F ( 3 ) F ( 2 ) 4 4（4） 設(shè)函數(shù) f (x , y) 連續(xù)，則二次積分 dx sinx f (x , y)dy 等于（ ） 2A. dy arcsinx f ( x, y)dx B. 0 dy arcsin y f ( x, y)dx0 f ( x, y

44、) dx D . 0 dy f ( x , y) dx 2 2（5） 設(shè)某商品的需求函數(shù)為 Q 160 2 ， 其中 Q，商品需求彈性的絕對值等于 1，則商品的價格是（ A. 10 B . 20 C . HYPERLINK l _bookmark3 30（6） 曲線 y 1 ln(1 ex), 漸近線的條數(shù)為（ ）分別表示需要量和價格， 如果該）D . 40A. 0（7）設(shè)向量組線性（A） 1 2 , 2（C） 1 2 2 , 2（8）設(shè)矩陣 A（A ）合同，且相似B. 1 C . 2 D . 3無關(guān)，則下列向量組線相關(guān)的是 ( )1 , 3 1 (B) 2 1 , 222113 , 3 2

45、1 (D) 1 2 2 , 21 1 1 0 02 1 ， B 0 1 0 則 A 與 B （1 2 0 0 0(B) 合同，但不相似3 , 3 12 3 , 3 2 1）(C) 不合同，但相似(9) 某人向同一目標(biāo)獨立重復(fù)射擊，次命中目標(biāo)的概率為 ( )( A)3 p(1 p)2(C)3 p2 (1 p)2(D) 既不合同，也不相似 每次射擊命中目標(biāo)的概率為，(B)6 p(1 p) 2( D)6 p2 (1 p)2(10) 設(shè)隨機變量 (X ,Y )服從二維正態(tài)分布，且 X 與 Y 不相關(guān)，則此人第 4 次射擊恰好第 2fx( x), fy ( y) 分別表示 X, Y的概率密度，則在（A）

46、 fX ( x)Y y 條件下， X 的條件概率密度 f X Y( x y)為( )(B) fy ( y)- 20 -x3 x2 13 (sin xx y x y _.1x2 y2fy ( y)(C) fx (x) fy ( y) (D) fx ( x)二、填空題： 11-16 小題，每小題 4 分，共 24 分，請將答案寫在答題紙指定位置上（ 11） 2x x cos x)（ 12）設(shè)函數(shù) y2x 31 ，則 y( n) (0)（ 13）設(shè) f (u , v) 是二元可微函數(shù)， z（ 14）微分方程dx x 2 xdy y 1 ( y )3 滿足_ ._ .f ( y , x ), 則 z

47、y zy x 1 1的特解為 _.（ 15）設(shè)距陣 A0 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0, 則 A3 的秩為 _.(16)在區(qū)間 (0,1)中隨機地取兩個數(shù) ,這兩數(shù)之差的絕對值小于 的概率為 2三、解答題 ： 17 24 小題，共 86 分 .請將解答寫在答題紙指定的位置上明、證明過程或演算步驟 ._.解答應(yīng)寫出文字說（ 17） （本題滿分 10 分）設(shè)函數(shù) y y(x) 由方程 y ln y x y 0 確定，試判斷曲線 y y( x)在點（ 1， 1）附近的凹凸性 .（ 18） （本題滿分 設(shè)二元函數(shù)f ( x, y)11 分）x2 . x y 1.1 , 1 x

48、y 2.計算二重積分 f (x, y)d . 其中 D (x , y) x y 2D（ 19） （本題滿分 11 分）設(shè)函數(shù) f ( x)， g( x) 在 a , b 上內(nèi)二階可導(dǎo)且存在相等的最大值，又 f (a) g(a) ，f (b) g(b) ，證明：（）存在 (a , b),使得 f ( ) g ( )；（）存在 (a , b), 使得 f ( ) g ( ).- 21 -將函數(shù) f ( x)f ( x; )212（20） （本題滿分 10 分）x2 (21)(本題滿分 11分)x1設(shè)線性方程組 x1x1 與方程x1 2x2 x313xx22x24x2a展開成 x 1的冪級數(shù)，并指出

49、其收斂區(qū)間 .4x3 0ax3 0 (1)a2 x3 01 (2)有公共解，求 a的值及所有公共解（22） （本題滿分 11 分）設(shè) 3 階實對稱矩陣 A 的特征值 1 1, 2 2, 3 2, 1 (1,T1,1) 是 A 的屬于 1 的一個特征向量 .記 B A5 4 A3 E ，其中 E 為 3 階單位矩陣 .（）驗證 1 是矩陣 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值與特征向量；（）求矩陣 B.（23） （本題滿分 11 分）設(shè)二維隨機變量 (X ,Y) 的概率密度為（）求 P X（）求 Z X（24） （本題滿分f ( x, y)2 x y,0 x0,其他2Y ；Y 的概率密度 fZ

50、 ( z) .11 分）設(shè)總體 X 的概率密度為,0 x12(1 ) , 0,其他1,0 y 1.,x 1, .其中參數(shù) (0 1) 未知， X1 , X 2 ,. X n是來自總體 X 的簡單隨機樣本， X 是樣本均值 .（）求參數(shù) 的矩估計量 ；2（）判斷 4 X 是否為的無偏估計量，并說明理由 .- 22 -4 43 5x21 112007 年考研數(shù)學(xué)（三）真題一、選擇題 （本題共 10 分小題，每小題 4 分，滿分 40 分，在每小題給的四個選項中，只有 一項符合題目要求，把所選項前的字母填在后邊的括號內(nèi)）（7） 當(dāng) x 0 時，與 x 等價的無窮小量是（ B）A . 1 e x B.

51、 l n (1 x ) C . 1 x 1 D . 1 c o sx（8） 設(shè)函數(shù) f ( x) 在 x 0 處連續(xù)，下列命題錯誤的是： (D)A .若 lm 存在，則 f (0) 0 B . 若 m 存在，則 f (0) 0C . .若 m 存在，則 f (0) 存在 D . 若 f ( x) xf ( x) 存在，則 f (0) 存在（9） 如圖 .連續(xù)函數(shù) y f ( x) 在區(qū)間 3, 2 , 2,3 上的圖形分別是直徑為 1 的上、下半圓周， 在區(qū)間 2,0 , 0,2 上圖形分別是直徑為 2 的上、 下半圓周， 設(shè) F (x) 0 f (t )dt ,則下列結(jié)論正確的是： （C ）

52、A. . F (3) F ( 2) B. F ( 3 ) F ( 2 ) 4 4C . F ( 3 ) 3 F (2) D . F ( 3 ) 5 F ( 2 )（ 10） 設(shè)函數(shù) f (x , y) 連續(xù)，則二次積分 dx sinx f (x , y)dy 等于（ B）A. 0 dy arcsinx f ( x, y) dx B. 0 d y a r c i nf( x, d xC . 0 d y f( x, d x D . 0 dy f (x , y)dx 2 21 a r c i n 1 arcsin y（ 11） 設(shè)某商品的需求函數(shù)為 Q 160 2 ，其中 Q，該商品需求彈性的絕對值

53、等于 1，則商品的價格是（ D）x1A. 10（ 12） 曲線 yA. 0（7）設(shè)向量組線性B. 20 C . 30ln(1 ex), 漸近線的條數(shù)為（ D）B. 1 C . 2無關(guān)，則下列向量組線相關(guān)的是D . 40D . 3分別表示需要量和價格，如果(A)（A） 1 2 , 2 1 , 3 1 (B) 2 1 , 2 3 , 3 1(C) 1 2 2 , 2 2 3 , 3 2 1 (D) 1 2 2 , 2 2 3 , 3 2 1- 23 -x yn 1 _ .31 3fy ( y)2 1 1 1 0 0（8）設(shè)矩陣 A 1 2 1 ， B 0 1 0 則 A 與 B1 1 2 0 0

54、0（A ）合同，且相似 (B) 合同，但不相似(C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似(9) 某人向同一目標(biāo)獨立重復(fù)射擊， 每次射擊命中目標(biāo)的概率為，次命中目標(biāo)的概率為 (C)( A)3 p(1 p)2 (B)6 p(1 p) 2(C)3 p2 (1 p)2 ( D)6 p2 (1 p)2（B）則此人第 4 次射擊恰好第 2(10) 設(shè)隨機變量 (X ,Y )服從二維正態(tài)分布，且 X 與 Y 不相關(guān)， fx( x), fy ( y) 分別表示 X, Y 的概率密度，則在 Y y 條件下， X 的條件概率密度 f X Y( x y) 為 (A)（A） fX ( x) (B) fy (

55、y)(C) fx (x) fy ( y) (D) fx ( x)二、填空題： 11-16 小題，每小題 4 分，共 24 分，請將答案寫在答題紙指定位置上x3（ 11） 2xx2 13 (sin x x（ 12）設(shè)函數(shù) y，則12x 3（ 13 ） 設(shè) f ( u ,y2z zx yyf1 ( xdydx(, )2yy xx y1x1 0 00 1 00 0 1（ 14）微分方程00（ 15）設(shè)距陣 A0cos x) _ 0_ .y( n) (0) _ ( 1)n 2n n! 二 元 可 微 函 數(shù) ， z f ( y , x ), 則xy x y .x y x2 f ( , )y)3 滿足

56、y x 1 1的特解為 y2x21 ln x ., 則 A3 的秩為 1 .0 0 0 0(16)在區(qū)間 (0,1)中隨機地取兩個數(shù) ,這兩數(shù)之差的絕對值小于的概率為 .2 4- 24 -1 x,D1 D11 D120于是三、解答題 ： 17 24 小題，共 86 分 .請將解答寫在答題紙指定的位置上 .解答應(yīng)寫出文字說 明、證明過程或演算步驟 .（ 17） （本題滿分 10 分）設(shè)函數(shù) y y( x) 由方程 yln y近的凹凸性 .【詳解 】：對方程兩邊求導(dǎo)得 y ln y 2y2從而有 y x 1再對兩邊求導(dǎo)得求在 (1,1) 的值：1 1ln1 2y (2 ln y) yyx 1( y

57、 1(2所以 y y(x)在點 (1,1)處是凸的（ 18） （本題滿分 11 分） 設(shè)二元函數(shù)x2 .f ( x, y) 1x2 y2 ,x y 0確定，試判斷曲線 y y(x) 在點（ 1， 1）附1 0 y12 ln y21 yyx 1 )ln1)0 y108( y )2 y(2 ln y)x y 1.1 x y 2.計算二重積分 f (x, y)d . 其中 DD【詳解 】：積分區(qū)域 D 如圖，不難發(fā)現(xiàn)(x , y) x y 2D 分別關(guān)于 x 軸和 y 軸對稱，設(shè) D1 是 D 在第一象限中的部分，即利用被積函數(shù)得f ( x , y)dD設(shè)D1 (D1 D (x , y) x 0,

58、y 0f ( x , y) 無論關(guān)于 x 軸還是關(guān)于 y 軸對稱，從而按二重積分的簡化計算法則可4 f ( x , y)d D1， 其 中y) x 11 y ,2 xf (x , y)d 4 f ( x, y)d 4 f ( x , y)d 4 f ( x , y)dD D 1 D11 D 124 x2d 4 f ( x , y)dD11D12- 25 -cos sin221 t2 1 t 2 1 t 21 2 u2 0 2 u 2 2 0 2 u 2 u2 2d 0 2 (1 t u)D12 x2 y 2 0 cos sin r 0 cos sin由于 D11 ( x, y) 0 x 1,0

59、 y 1 x ，故1 1 x2x2d 0 0 dyx dxD1110 x2 (1 x)dx為計算 D12 上的二重積分，可引入極坐標(biāo)( r , ) 中 x y而D12 0, rcos sin11的方程是 r12 cos sin cos1 1 13 4 12(r , ) 滿足 x r cos , y r sin . 在極坐標(biāo)系, x y 2 的方程是， r ，因，故sind 2 d cos 12 sin r dr 2 1 d令 tan t 作換元，則 2arctan t ，于是 : 0 t : 0 1且d 2dt ,cos 1 t 2 ,sin 2t ，代入即得d 2 1 1 2dt 1 2dt

60、D12 x2 y 2 0 cos sin 0 1 2t t 2 2(1 t )0 2du 1 2du 1 1 ( 1 1 )du121= ln1 2 u2 2 u綜合以上計算結(jié)果可知f ( x , y)d 4 4ln(D（ 19） （本題滿分 11 分）設(shè)函數(shù) f ( x)， g( x) 在101 2 12 2 1ln 2 ln( 2 1)12 1) 4ln( 2 1)3a , b 上內(nèi)二階可導(dǎo)且存在相等的最大值，又f (b) g(b) ，證明：（）存在 (a , b),使得 f ( ) g ( )；（）存在 (a , b), 使得 f ( ) g ( ).【詳解 】：證明： (1)設(shè) f (