1、課時(shí)跟蹤練(五十三)A組基礎(chǔ)鞏固1(2019石家莊一模)已知雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)是(4，0)，(4，0)，則雙曲線的方程為()A.eq f(x2,4)eq f(y2,12)1B.eq f(x2,12)eq f(y2,4)1C.eq f(x2,10)eq f(y2,6)1 D.eq f(x2,6)eq f(y2,10)1解析：已知雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)是(4，0)，(4，0)，則c4，a2，b212，雙曲線方程為eq f(x2,4)eq f(y2,12)1，故選A.答案：A2(2019郴州模擬)已知雙曲線eq f(y2,m)eq f(x2,9)1(m0)的一個(gè)焦點(diǎn)在直線xy5上，則雙曲線的

2、漸近線方程為()Ayeq f(3,4)x Byeq f(4,3)xCyeq f(2r(2),3)x Dyeq f(3r(2),4)x解析：由雙曲線eq f(y2,m)eq f(x2,9)1(m0)的焦點(diǎn)在y軸上，且在直線xy5上，直線xy5與y軸的交點(diǎn)為(0，5)，有c5，則m925，則m16，則雙曲線的方程為eq f(y2,16)eq f(x2,9)1，則雙曲線的漸近線方程為yeq f(4,3)x.故選B.答案：B3已知點(diǎn)F1(3，0)和F2(3，0)，動(dòng)點(diǎn)P到F1，F(xiàn)2的距離之差為4，則點(diǎn)P的軌跡方程為()A.eq f(x2,4)eq f(y2,5)1(y0) B.eq f(x2,4)eq

3、 f(y2,5)1(x0)C.eq f(y2,4)eq f(x2,5)1(y0) D.eq f(y2,4)eq f(x2,5)1(x0)解析：由題設(shè)知點(diǎn)P的軌跡方程是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的右支，設(shè)其方程為eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(x0，a0，b0)，由題設(shè)知c3，a2，b2945.所以點(diǎn)P的軌跡方程為eq f(x2,4)eq f(y2,5)1(x0)答案：B4(2019開封模擬)已知l是雙曲線C：eq f(x2,2)eq f(y2,4)1的一條漸近線，P是l上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，若eq o(PF1,sup14()eq o(PF2,sup14()0，則P到x軸

4、的距離為()A.eq f(2r(3),3) B.eq r(2)C2 D.eq f(2r(6),3)解析：由題意知F1(eq r(6)，0)，F(xiàn)2(eq r(6)，0)，不妨設(shè)l的方程為yeq r(2)x，則可設(shè)P(x0，eq r(2)x0)由eq o(PF1,sup14()eq o(PF2,sup14()(eq r(6)x0，eq r(2)x0)(eq r(6)x0，eq r(2)x0)3xeq oal(2,0)60，得x0eq r(2)，故P到x軸的距離為eq r(2)|x0|2，故選C.答案：C5(2019深圳模擬)已知橢圓eq f(x2,4m2)eq f(y2,m2)1與雙曲線eq f(

5、x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)有共同的焦點(diǎn)，且其中的一個(gè)焦點(diǎn)F到雙曲線的兩條漸近線的距離之和為2eq r(3)，則雙曲線的離心率為()A2 B3C.eq f(2r(3),3) D.eq r(3)解析：因?yàn)闄E圓eq f(x2,4m2)eq f(y2,m2)1與雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1有共同的焦點(diǎn)，所以4m2m2a2b2，所以a2b24，所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)，(2，0)設(shè)F(2，0)，雙曲線的漸近線方程為yeq f(b,a)x，因?yàn)榻裹c(diǎn)F到雙曲線的兩條漸近線的距離之和為2eq r(3)，所以2eq f(2b,r(a2b2)2eq r(3)

6、，所以eq f(2b,c)eq r(3)，所以beq r(3)，所以a2c2b21，所以eeq f(c,a)2，故選A.答案：A6(2019安陽模擬)已知方程eq f(x2,8m)eq f(y2,4m)1表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，則m的取值范圍是_解析：因?yàn)榉匠蘣q f(x2,8m)eq f(y2,4m)1表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，所以有eq blc(avs4alco1(8m0，,4m0，)解得4m0)的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點(diǎn)若MAN60，則C的離心率為_解析：法一不妨設(shè)點(diǎn)M、N在漸近線yeq f(b,a)x上，如圖，AMN為等邊三角形

7、，且|AM|b，則A點(diǎn)到漸近線yeq f(b,a)x的距離為eq f(r(3),2)b，將yeq f(b,a)x變形為一般形式為bxay0，則A(a，0)到漸近線bxay0的距離deq f(|ba|,r(a2b2)eq f(|ab|,c)，所以eq f(|ab|,c)eq f(r(3),2)b，即eq f(a,c)eq f(r(3),2)，所以雙曲線離心率eeq f(c,a)eq f(2r(3),3).法二不妨設(shè)點(diǎn)M、N在漸近線yeq f(b,a)x上，如圖，作AC垂直于MN，垂足為C，據(jù)題意知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a，0)，則|AC|eq f(b,r(f(b2,a2)1)eq f(ab,r(a2b2

8、)，在ACN中，CANeq f(1,2)MAN30，|AN|b，所以cos CANcos 30eq f(|AC|,|AN|)eq f(f(ab,r(a2b2),b)eq f(a,r(a2b2)eq f(a,c)eq f(r(3),2)，所以離心率eeq f(c,a)eq f(2r(3),3).答案：eq f(2r(3),3)9已知橢圓D：eq f(x2,50)eq f(y2,25)1與圓M：x2(y5)29，雙曲線G與橢圓D有相同焦點(diǎn)，它的兩條漸近線恰好與圓M相切，求雙曲線G的方程解：橢圓D的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(5，0)，F(xiàn)2(5，0)，因而雙曲線中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且c5.設(shè)雙曲線G的方程

9、為eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)，所以漸近線方程為bxay0且a2b225，又圓心M(0，5)到兩條漸近線的距離為r3.所以eq f(|5a|,r(b2a2)3，得a3，b4，所以雙曲線G的方程為eq f(x2,9)eq f(y2,16)1.10已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上，離心率為eq r(2)，且過點(diǎn)(4，eq r(10)點(diǎn)M(3，m)在雙曲線上(1)求雙曲線的方程；(2)求證：eq o(MF1,sup14()eq o(MF2,sup14()0；(3)求F1MF2的面積(1)解：因?yàn)閑eq r(2)，則雙曲線的實(shí)軸、虛軸相等所以設(shè)雙曲線方程

10、為x2y2(0)因?yàn)檫^點(diǎn)(4，eq r(10)，所以1610，即6.所以雙曲線方程為x2y26.(2)證明：因?yàn)閑q o(MF1,sup14()(2eq r(3)3，m)，eq o(MF2,sup14()(2eq r(3)3，m)所以eq o(MF1,sup14()eq o(MF2,sup14()(2eq r(3)3)(2eq r(3)3)m23m2，因?yàn)镸點(diǎn)在雙曲線上，所以9m26，即m23，所以eq o(MF1,sup14()eq o(MF2,sup14()0.(3)解：F1MF2的底|F1F2|4eq r(3).由(2)知meq r(3).所以F1MF2的高h(yuǎn)|m|eq r(3)，所以S

11、F1MF2eq f(1,2)4eq r(3)eq r(3)6.B組素養(yǎng)提升11(2019河南適應(yīng)性考試)設(shè)F1、F2分別是雙曲線C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，若|PF1|PF2|6a，且PF1F2的最小內(nèi)角的大小為30，則雙曲線C的漸近線方程是()Axeq r(2)y0 B.eq r(2)xy0Cx2y0 D2xy0解析：假設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則eq blc(avs4alco1(|PF1|PF2|6a，,|PF1|PF2|2a，)所以|PF1|4a，|PF2|2a.因?yàn)閨F1F2|2c2a，所以PF1F2中最短的邊是PF2，所以

12、PF1F2的最小內(nèi)角為PF1F2.在PF1F2中，由余弦定理得4a216a24c224a2ccos 30，所以c22eq r(3)ac3a20，所以e22eq r(3)e30，所以eeq r(3)，即eq f(c,a)eq r(3)，所以c23a2，所以a2b23a2，所以b22a2，所以eq f(b,a)eq r(2)，所以雙曲線的漸近線方程為eq r(2)xy0，故選B.答案：B12(2019黃岡模擬)已知雙曲線x2eq f(y2,3)1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，雙曲線的離心率為e，若雙曲線上存在一點(diǎn)P使eq f(sin PF2F1,sin PF1F2)e，則eq o(F2P,sup1

13、4()eq o(F2F1,sup14()的值為()A3 B2C3 D2解析：由題意及正弦定理得eq f(sin PF2F1,sin PF1F2)eq f(|PF1|,|PF2|)e2，所以|PF1|2|PF2|，由雙曲線的定義知|PF1|PF2|2，所以|PF1|4，|PF2|2.又|F1F2|4，由余弦定理可知cos PF2F1eq f(|PF2|2|F1F2|2|PF1|2,2|PF2|F1F2|)eq f(41616,224)eq f(1,4)，所以eq o(F2P,sup14()eq o(F2F1,sup14()|eq o(F2P,sup14()|eq o(F2F1,sup14()|c

14、os PF2F124eq f(1,4)2.故選B.答案：B13設(shè)雙曲線x2eq f(y2,3)1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若點(diǎn)P在雙曲線上，且F1PF2為銳角三角形，則|PF1|PF2|的取值范圍是_解析：如圖，由已知可得a1，beq r(3)，c2，從而|F1F2|4，由對稱性不妨設(shè)P在右支上，設(shè)|PF2|m，則|PF1|m2am2，由于PF1F2為銳角三角形，結(jié)合實(shí)際意義可知m需滿足eq blc(avs4alco1(（m2）2m242，,42（m2）2m2，)解得1eq r(7)m3，又|PF1|PF2|2m2，所以2eq r(7)2m28.答案：(2eq r(7)，8)14已知雙曲線

15、eq f(y2,a2)eq f(x2,b2)1(a0，b0)的一條漸近線方程為2xy0，且頂點(diǎn)到漸近線的距離為eq f(2r(5),5).(1)求此雙曲線的方程；(2)設(shè)P為雙曲線上一點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，且分別位于第一、二象限，若eq o(AP,sup14()eq o(PB,sup14()，求AOB的面積解：(1)依題意得eq blc(avs4alco1(f(a,b)2，,f(|20a|,r(5)f(2r(5),5)，)解得eq blc(avs4alco1(a2，,b1，)故雙曲線的方程為eq f(y2,4)x21.(2)由(1)知雙曲線的漸近線方程為y2x，設(shè)A(m，2m)，B(n，2n)，其