1、1.3.2 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)跳水運(yùn)動中,運(yùn)動員相對于水面的高度h(單位：米)與起跳后的時間t(單位：秒)存在函數(shù)關(guān)系h(t)= 2+10其圖象如右.單調(diào)遞增單調(diào)遞減1、對于d點(diǎn)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=d的函數(shù)值f(d)比在其附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小， =0 ，并且在點(diǎn)x=d 附近的左側(cè) 0我們把點(diǎn)d叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn)，f(d)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值。在點(diǎn) x=e 附近的左側(cè) 0在點(diǎn) x=e 附近的右側(cè) 02、對于e點(diǎn)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=e的函數(shù)值f(e)比在其附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大， =0 ，并且我們把點(diǎn)e叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn)，f(e)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值

2、。3、極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn) 極小值、極大值統(tǒng)稱為極值1.函數(shù)的極大值一定大于極小值嗎？在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)函數(shù)的極大值和極小值是唯一的嗎？想一想做一做已知導(dǎo)函數(shù)f(x)的下列信息:當(dāng)1x3時,f(x)3,或x0;當(dāng)x1,或x3時,f(x)0.則f(x)的極大值點(diǎn)為_,極小值點(diǎn)為_.答案:x1x3例1：（1）求函數(shù)f(x)=x3-12x+12的極值。解： =3x2-12=3(x-2)(x+2)令 =0得x=2,或x=-2下面分兩種情況討論：(1)當(dāng) 0即x2,或x-2時;(2)當(dāng) 0即-2x0,得x1,所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-,-2) 和(1,+)由 0,得-2x1,所以f(x)的單調(diào)減

3、區(qū)間為(-2,1)練習(xí)2:已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值為 10,求a、b的值.解: =3x2+2ax+b=0有一個根x=1,故3+2a+b=0.又f(1)=10,故1+a+b+a2=10.由、解得 或當(dāng)a=-3,b=3時, ,此時f(x)在x=1處無極值,不合題意.當(dāng)a=4,b=-11時,-3/11x1時, ,此時x=1是極值點(diǎn).從而所求的解為a=4,b=-11.例3:已知f(x)=ax5-bx3+c在x= 1處有極值,且極大值為 4,極小值為0.試確定a,b,c的值.解:由題意, 應(yīng)有根 ,故5a=3b,于是:(1)設(shè)a0,列表如下: x -1 (-1,1) 1

4、 + 0 0 + f(x) 極大值 極小值 由表可得 ,即 .又5a=3b,解得a=3,b=5,c=2.(2)設(shè)a0,列表如下: x -1 (-1,1) 1 - 0 0 0 - f(x) 極小值 極大值 由表可得 ,即 .又5a=3b,解得a=-3,b=-5,c=2.題型三與函數(shù)極值有關(guān)的綜合問題例3 已知a為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)x33xa.(1)求函數(shù)f(x)的極值,并畫出其圖象(草圖);(2)當(dāng)a為何值時,方程f(x)0恰好有兩個實(shí)數(shù)根？【思路點(diǎn)撥】函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)求極值、畫圖象需運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解.【解】(1)由f(x)x33xa,得f(x)3x23,令f(x)0,得x1或x1.1分當(dāng)

5、x(,1)時,f(x)0;當(dāng)x(1,)時,f(x)0.2分所以函數(shù)f(x)的極小值為f(1)a2;極大值為f(1)a2.由單調(diào)性、極值可畫出函數(shù)f(x)的大致圖象,如圖所示.這里,極大值a2大于極小值a2.(2)結(jié)合圖象,當(dāng)極大值a20時,有極小值小于0,此時曲線f(x)與x軸恰有兩個交點(diǎn),即方程f(x)0恰有兩個實(shí)數(shù)根,所以a2滿足條件;當(dāng)極小值a20時,有極大值大于0,此時曲線f(x)與x軸恰有兩個交點(diǎn),即方程f(x)0恰好有兩個實(shí)數(shù)根,所以a2滿足條件.綜上,當(dāng)a2時,方程恰有兩個實(shí)數(shù)根.【小結(jié)】研究方程根的問題可以轉(zhuǎn)化為研究相應(yīng)函數(shù)圖象的問題,一般地,方程f(x)0的根就是函數(shù)f(x)

6、的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),方程f(x)g(x)的根就是函數(shù)f(x)與g(x)的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).互動探究2.本例條件不變,求當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時,曲線yf(x)與x軸僅有一個交點(diǎn)？解:函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示:當(dāng)函數(shù)f(x)的極大值a20時,曲線yf(x)與x軸僅有一個交點(diǎn),所以所求實(shí)數(shù)a的范圍是a2.備選例題由上表可以看出:當(dāng)x1時,函數(shù)有極小值,并且極小值為f(1)3;當(dāng)x1時,函數(shù)有極大值,并且極大值為f(1)1.x(,1)1(1,1)1(1,)f(x)00f(x)極小值3極大值1為何值時,方程x33x2a0恰有一個實(shí)根？兩個不等實(shí)根？三個不等實(shí)根？有沒有可能無實(shí)根？解:令f(x)x33x2,則f(x)的定義域?yàn)镽,由f(x)3x26x0,得