1、 函數(shù)基礎(chǔ)知識基本方法 數(shù)學(xué)高考臨近，給你提個醒！ ！研究函數(shù)的問題一定要注意定義域優(yōu)先的原則1.函數(shù)的定義(1)映射的定義:(2) 一映射的定義:上圖中是映射的是，是一一映射的是。(3)函數(shù)的定義：(課本第一冊上.P51)2.函數(shù)的性質(zhì)(1)定義域：復(fù)合函數(shù)定義域求法：若已知f(x)的定義域為a, b,其復(fù)合函數(shù)fg(x)的定義域由不等式 aw g(x) wb解出即可；若已知fg(x)的定義域為a,b,求f(x)的定義域，相當(dāng)于xCa,b時，求g(x)的值域(即f(x)的定義域)；(2)值域：(3)奇偶性(在整個定義域內(nèi)考慮)定義：判斷方法：I .定義法 步驟：a.求出定義域；b.判斷定義域

2、是否關(guān)于原點對稱；c.求 f ( x)；d.比較f( x)與葭)或( x)與 f(x)的關(guān)系。n.圖象法：關(guān)于原點對稱為奇函數(shù)，關(guān)于y軸對稱為偶函數(shù)。.若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先化簡，再判斷其奇偶性；.抽象函數(shù)的奇偶性判斷(定義法)f ( x).判斷函數(shù)奇偶性可用定義的等價形式：f(x)f(-x)=0或一=1f(x)(f(x)w0)；已知： H (x) f (x)g(x)若非零函數(shù)f (x), g(x) 的奇偶性相同，則在公共定義域內(nèi)H (x) 為偶函數(shù)若非零函數(shù)f (x), g(x) 的奇偶性相反，則在公共定義域內(nèi)H (x) 為奇函數(shù)常用的結(jié)論：若 f(x)是奇函數(shù)，且0 定義域，則f

3、(0) 0或( 1) f；若 f (x) 是偶函數(shù)，則 f ( 1) f (1) ；反之不然。4)單調(diào)性(在定義域的某一個子集內(nèi)考慮)定義：證明函數(shù)單調(diào)性的方法：I .定義法步驟：2.設(shè)*3*2AJ1x1x2;b.作差 f (xi)f (x2);(一般結(jié)果要分解為若干個因式的乘積， 且每一個因式的正或負(fù)號能清楚地判斷出)c.判斷正負(fù)號。n .用導(dǎo)數(shù)證明：若f(x)在某個區(qū)間A內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，則 f (x) 0，( x A) f (x) 在 A 內(nèi)為增函數(shù)；f (x) 0, (x A) f (x)在A內(nèi)為減函數(shù)。求單調(diào)區(qū)間的方法：a.定義法：b.導(dǎo)數(shù)法：c.圖象法：d.復(fù)合函數(shù)y f g(x)在公共定

4、義域上的單調(diào)性：(同增異減)若 f 與 g 的單調(diào)性相同，則f g(x) 為增函數(shù)；若 f 與 g 的單調(diào)性相反，則f g(x) 為減函數(shù)。注意：先求定義域，單調(diào)區(qū)間是定義域的子集。一些有用的結(jié)論：a.奇函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；b.偶函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反；c.在公共定義域內(nèi)增函數(shù) f (x) 增函數(shù) g(x) 是增函數(shù)； 減函數(shù) f(x) 減函數(shù) g(x) 是減函數(shù)；增函數(shù)f(x)減函數(shù)g(x)是增函數(shù)；減函數(shù)f(x)增函數(shù)g(x)是減函數(shù)。bd.函數(shù)y ax -(a 0,b0)在 ，/ab或dab, 上單調(diào)遞增；在xJO6,0或0,0)恒成立，則 y=f(x)是周期為 2a

5、 的 周期函數(shù)；b.若y=f(x)是偶函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線x=a對稱，則f(x)是周期為2 | a|的周期函數(shù)；c.若y=f(x)奇函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線x=a對稱，則f(x)是周期為4 | a|的周期函數(shù)；d.若y=f(x)關(guān)于點(a,0),(b,0)對稱，則f(x)是周期為2 a b的周期函數(shù)；e. y=f(x)的圖象關(guān)于直線 x=a,x=b(a w b)對稱，則函數(shù)y=f(x)是周期為2 a b的周期函數(shù)；f . y=f(x)對 x C R 時，f(x+a)= - f(x)(或 f(x+a)=,則 y=f(x)是周期為 2 a 的周期函數(shù)；f(x)例：(1)若函數(shù)f (x)在R上是奇函

6、數(shù)，且在1,0上是增函數(shù)，且 f (x 2) f (x)則f(x)關(guān)于 對稱；f(x)的周期為 ;f (x)在(1, 2)是 函數(shù)(增、減)；若x (0,1)日.f(x)=2x,則 f(log；8) 。2(2)設(shè)f (x)是定義在(，)上，以2為周期的周期函數(shù)，且f(x)為偶函數(shù)，在區(qū)間2, 3上，f(x)= 2(x 3)2 4,則 x 0,2時，f(x)=。3、函數(shù)的圖象1、基本函數(shù)的圖象：(1) 一次函數(shù)、(2)二次函數(shù)、(3)反比例函數(shù)、(4)指數(shù)函數(shù)、 (5)對數(shù)函數(shù)、(6)三角函數(shù)。2、圖象的變換(1)平移變換函數(shù)yf (xa),(a0)的圖象是把函數(shù)yf (x)的圖象沿x軸向左平移

7、a個單位得到的；函數(shù)yf (xa),(a0)的圖象是把函數(shù)yf (x)的圖象沿x軸向右平移a個單位得到的；函數(shù)yf(x) a,(a 0)的圖象是把函數(shù)y f (x)的圖象沿y軸向上平移a個單位得到的函數(shù)y f (x) a, (a0)的圖象是把函數(shù)y f(x)的圖象沿y軸 向下 平移a個單位得到的。(2)對稱變換函數(shù)yf(x)與函數(shù)y f ( x)的圖象關(guān)于直線 x=0對稱;函數(shù)y f (x)與函數(shù)yf (x)的圖象關(guān)于直線 y=0對稱;函數(shù)y f (x)與函數(shù)yf ( x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱;如果函數(shù)y f (x)對于一切x R,都有f (x a) f (x a),那么y f (x)的圖象

8、關(guān)于直線x a對稱。函數(shù)y f (a x)與函數(shù)yf (a x)的圖象關(guān)于直線 x a對稱。 y f (x) y | f (x) y f(x) y f(x)y f 1(x)與yf(x)關(guān)于直線y x對稱。曲線的對稱及證明方法：a.證明函數(shù)圖像的對稱性，即證明圖像上任意點關(guān)于對稱中心(對稱軸)的對稱 點仍在圖像上；b.證明圖像 Ci與C2的對稱性，即證明 Ci上任意點關(guān)于對稱中心(對稱軸)的 對稱點仍在C2上，反之亦然；c.曲線Ci ：f(x,y)=0,關(guān)于y=x+a(y= x+a)的對稱曲線 C2的方程為f(y a,x+a)=0(或 f( y+a, x+a)=0);d.曲線Ci:f(x,y)=

9、0關(guān)于點(a,b)的對稱曲線 C2方程為：f(2a x,2b y)=0;a be.函數(shù)y=f(x a)與y=f(b x)的圖像關(guān)于直線 x=對稱；2(3)伸縮變換yaf(x),(a 0)的圖象，可將 yf (x)的圖象上的每一點的縱坐標(biāo)伸長(a 1)或縮短(0 a 1)到原來的a倍。yf (ax), (a 0)的圖象，可將 yf (x)的圖象上的每一點的橫坐標(biāo)伸長(0 a 1)或縮短(a 1)到原來的一倍。a例：(1)已知函數(shù)yf(x)的圖象過點(1, 1),則f (4 x)的反函數(shù)的圖象過點。(2)由函數(shù)y (1)x的圖象，通過怎樣的變換得到y(tǒng) log 2的圖象？24、函數(shù)的反函數(shù)(1)求反

10、函數(shù)的步驟：求原函數(shù)y f(x), (x A)的值域B把y f(x)看作方程，解出x (y)；x, y互換的y f(x)的反函數(shù)為y f 1(x) , (x B)。(2)函數(shù)與反函數(shù)之間的一個有用的結(jié)論：f 1(a) b f(b) a定義域上的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)；奇函數(shù)的反函數(shù)也是奇函數(shù)；定義域為非單元素集的偶函數(shù)不存在反函數(shù)；周期函數(shù)不存在反函數(shù)；互為反函數(shù)的兩個函數(shù)具有相同的單調(diào)性；y=f(x)與y=f-1(x)互為反函數(shù)，設(shè)f(x)的定義域為A,值域為B,則有ff-1(x)=x(x e B),f-1f(x)=x(x CA).(3)原函數(shù) y f (x)在區(qū)間a,a上單調(diào)遞增，則一定存在反

11、函數(shù)，且反函數(shù)_ 1y f (x)也單調(diào)遞增；但一個函數(shù)存在反函數(shù)，此函數(shù)不一定單調(diào)。例1： y 310g21 x), (x 0)的反函數(shù)為 。2：已知 f(x) x2 2x 3,(x 0),求 y f (2x 1)的反函數(shù)。3：設(shè) f (x) 9x 2 3x,則f 1(0) o4:四十五分鐘能力訓(xùn)練題十(13題)。5、函數(shù)、方程與不等式(1) “實系數(shù)一元二次方程 ax2 bx c 0有實數(shù)解轉(zhuǎn)化為“ b2 4ac 0，你是否注意到必須 a 0；當(dāng)a =0時，“方程有解”不能轉(zhuǎn)化為b2 4ac 0。若原題中沒有指出是“二次”方程、函數(shù)或不等式，你是否考慮到二次項系數(shù)可能為零的情形？(2)利用

12、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，討論一元二次方程實根的分布。設(shè)x1,x2為方程f(x) 0,(a 0)的兩個實根。x1 m, x? m, 貝U f(m) 0；當(dāng)在區(qū)間(m,n)內(nèi)有且只有一個實根，時， f(m) f(n) 0(2)考慮端點，驗證端點。當(dāng)在區(qū)間(m, n)內(nèi)有且只有兩個實根時，0bmn2af (m) 0f(n) 0若m x1np x2 q時yf(m) f(n) 0f(p) f(q) 0注意：根據(jù)要求先畫出拋物線，然后寫出圖象成立的充要條件。注意端點，驗證端點。4x m例：1、對于定義在 R上的函數(shù)f(x) ，若其所以的函數(shù)值都不超過1,x 1則m的取值范圍。21 12、已知函數(shù)y log2

13、)4的定義域是一切實數(shù)，則 a 。3、若關(guān)于x的方程22x 2x a a 1 0有實根，則a 。4、設(shè)集合 A= xx2 4x 3 0 , B是關(guān)于x的不等式組2x 2x a 02 一， 一、 一x 2(a 7)x 5的解集，試確定a的取值范圍，使 A Bo 025、已知方程x mx m10的兩個根為一個三角形兩內(nèi)角的正切值,試求m的取值范圍。(3)恒成立問題的處理方法：分離參數(shù)法：分離參數(shù)后根據(jù)命題成立與參數(shù)無關(guān)，所以參數(shù)的系數(shù)為零。轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根的分布列不等式(組)求解；根據(jù)二次函數(shù)圖象的位置得到恒大于0或恒小于0的不等式組(見一元二次方程根的分布) af(x)a f(x) max,； aWf(x)a f(x) min；6、依據(jù)單調(diào)性，利用一次函數(shù)在區(qū)間上的保號性可解決求一類參數(shù)的范圍問題：f(u) g(x)u h(x) 0(或 0)(a u b)f(a) 0f(b) 0(或f(a) 0)f(b) 0)ax b b acc7、掌握函數(shù)y a (b ac