1、福建省歷屆中考數(shù)學(xué)壓軸題匯總及答案2020年25題.(本小題滿分14分)已知直線li : y 2x 10交y軸于點(diǎn)A,交x軸于點(diǎn)B,二次函數(shù)的圖象過 A, B兩點(diǎn)，交x軸于另一點(diǎn) C , BC 4 ,且對(duì)于該二次函數(shù)圖象上的任意兩點(diǎn)p 4 y1 ,F2 號(hào) y2，當(dāng) %5 時(shí)，總有 y、2、(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若直線 l2 : y mx n n 10 ,求證：當(dāng) m 2 時(shí)，l2/l1；(3) E為線段BC上不與端點(diǎn)重合的點(diǎn)， 直線l3 : y 2x q過點(diǎn)C且交直線AE于點(diǎn)F ,求4ABE與4CEF面積之和白最小值.22019年25題.已知拋物y ax bx C b v 0)與軸

2、只有一個(gè)公共點(diǎn).(1)若公共點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),求A、C滿足的關(guān)系式；(2)設(shè)A為拋物線上的一定點(diǎn)，直線 l : y kx 1 k與拋物線交于點(diǎn) B、C兩點(diǎn)，直線BD垂直于直線y 1,垂足為點(diǎn)口.當(dāng)卜=0時(shí)，直線l與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)在 y軸上，且 ABC為等腰直角三角形.求點(diǎn)A的坐標(biāo)和拋物線的解析式；證明：對(duì)于每個(gè)給定的實(shí)數(shù) k ,都有A、D、C三點(diǎn)共線.2018年B卷25題.(本小題滿分14分)已知拋物線y ax2 bx c過點(diǎn)A(0, 2),且拋物線上任意不同兩點(diǎn)M(x, yi) , N(x2, y?)都滿足：當(dāng) xi X2 0 時(shí)，(xi-x2)( yi-y2) 0;當(dāng) 0 xi 用時(shí)，

3、(xi-用)(yi-y2) 0 .以原點(diǎn) O 為心，OA為半徑的圓與拋物線的另兩個(gè)交點(diǎn)為B, C ,且B在C的左側(cè)，4ABC有一個(gè)內(nèi)角為60 .(i)求拋物線的解析式；(2)若MN與直線y2技平行，且M , N位于直線BC的兩側(cè)，y1 y2,解決以下問題：求證：BC平分 MBN ;求4MBC外心的縱坐標(biāo)的取值范圍.2017年25題.(本小題滿分14分)已知直線y 2x m與拋物線y ax2 ax b有一個(gè)公共點(diǎn) M(1,0),且avb.(1)求拋物線頂點(diǎn) Q的坐標(biāo)(用含a的代數(shù)式表示)；(2)說明直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)；(3)直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)記為N .1(1)若waw-1,求線段MN長

4、度的取值范圍；2(ii)求4QMN面積的最小值.2016年27題.(本小題滿分13分)已知，拋物線y ax2 bx c(a 0)經(jīng)過原點(diǎn)，頂點(diǎn)為A(h,k)(h 0).(1)當(dāng)卜1 , k 2時(shí)，求拋物線的解析式；(2)若拋物線y tx2(t 0)也經(jīng)過A點(diǎn)，求a與t之間的關(guān)系式；(3)當(dāng)點(diǎn)A在拋物線y x2 x上，且2Wh3時(shí)，必有y隨x的增大而增大，符合題意.故可設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y ax2 bx 10 ,依題意，二次函數(shù)的圖象過B 5,0 , C 1,0兩點(diǎn)，25a 5b 10 0 到/日 a 2所以，解得a b 10 0b 12所求二次函數(shù)的表達(dá)式為 y 2x2 12x 10.(2)

5、當(dāng)m 2時(shí)，直線l2：y 2x n n 10與直線。：y 2x 10不重合,假設(shè)11和l2不平行，則11和l2必相交，設(shè)交點(diǎn)為4 y。2x0 10由得 2x0 10 2x0 n ,y02% n解得n 10 ,與已知n 10矛盾，所以l1與l2不相交,所以 l2/ l1.(3)如圖，因?yàn)橹本€h : y 2x q過C 1,0 ,所以q 2 ,又因?yàn)橹本€l1 : y 2x 10 ,所以l3/ l1 ,即CF/ AB ,所以 FCE ABE , CFE BAE ,所以FCEs/XABE,所以SA FCESA ABEce be設(shè)bet 0VtV44 t,Sa abeibeoa2t 105t ，所以Sa

6、fcecebeSa abe5t所以Sa abeSafce2t 5t10t80一 40 10 t240/2 40 .所以當(dāng)t 272時(shí),SA ABESA FCE的取小值為【解析】（1）先根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征由一次函數(shù)的表達(dá)式求出a, b兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)BC 4,得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，最后利用待定系數(shù)法可求二次函數(shù)的表達(dá)式.具體解題過程參照答案.（2）利用反證法證明即可.具體證明過程參照答案.具體證明過程參照答案.（3）先求出q的值，利用CF/AB,得出FCEszABE ,設(shè)BE t 0t 0由拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)k 2k2 4所以 X1V1Vx2 ,設(shè)直線AD的解析式為ymx所以直線AD的解析

7、式為x11x1 1mx1x1因?yàn)閥21x11x21x1 1x2x2 1x11x2 1x11 x2x11x2ikJkC4 LJk_Z ixl 10r -11即y2x2 ,所以點(diǎn)C x2,y2在直線AD上.x1 1 為 1故對(duì)于每個(gè)給定的實(shí)數(shù) k ,都有A,C,D三點(diǎn)共線.2018年25題.【答案】解：(1)：拋物線過點(diǎn) A(0,2),c 2,當(dāng)為X20時(shí)，為X20,由(x1X2)(y1y2)0,得到y(tǒng)1y20,當(dāng)x 0時(shí)，y隨x的增大而增大，同理當(dāng)x 0時(shí)，y隨x的增大而減小，1小拋物線的對(duì)稱軸為 y軸，且開口向下，即b 0,以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓與拋物線交于另兩點(diǎn) B , C ,如圖1所示

8、, ABC為等腰三角形， ABC中有一個(gè)角為60 , ABC為等邊三角形，且OC OA 2,設(shè)線段BC與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn) D,則有BD CD ,且 OBD 30BD OB ?cos30 3, OD OB ?sin30 1,1/ B在C的左側(cè),B的坐標(biāo)為（J3, 1）,v B點(diǎn)在拋物線上，且c 2, b 0,3a 2 -1 ,解得：a -1,則拋物線解析式為 y x2 2 ;(2)由(1)知，點(diǎn) M(x1, x12 2), N(x2, x22 2),MN與直線y273x平行,設(shè)直線MN的解析式為y 2Mx m,則有x； 2273x1 m,即 mX2 273x1 2,直線MN解析式為y273x x；

9、把y2由x x2 2& 2代入yx2 26 x1,即 丫2(2/3 x)22 3x1 2,x2 2，解得：x x1或 x 273 x ,2 x12 4 3x1 10,1y22,且 V3 x1x2,作ME BC , NF BC ,垂足為E , F ,如圖2所示,M , N位于直線BC的兩側(cè)，且y1 y2,則、2MEy1 (1)x12 3, BE x1(3)x13 ,NF1 V2x；4 3x19, BFx2(3)3 3 x1,在 RtABEM 中，tan MBEMEBEx123x133Xi ,RtABFNNFX1243x19(xi2,3)23(x13 3)(x1. 3)-tan NBF3 xBF

10、3 3 x13 3 x13 3 x1.tan MBE tan NBF ,MBE NBF,則BC平分 MBN ; y軸為BC的垂直平分線，22設(shè)AMBC的外心為P(0,於)，則PB PM ,即PB PM ,根據(jù)勾股定理得：3 (y if x12 (y0 y1)2, 2xi 2 y 2,21,V。 2y0 4 (2 yi) (y yi),即 yo yi 1,2由得：i yi 2 i,人一 y。0,23則AMBC的外心的縱坐標(biāo)的取值范圍是一y0 0.2【解析】(i)由A的坐標(biāo)確定出c的值，根據(jù)已知不等式判斷出 yi y2 0 ,可得出拋物線的增減性，確定出拋物線對(duì)稱軸為 y軸，且開口向下，求出b的值

11、，如圖i所示，可得三角形 ABC為等邊 三角形，確定出B的坐標(biāo)，代入拋物線解析式即可；(2)設(shè)出點(diǎn)M (為，xi2 2) , N(x2, x22 2),由MN與已知直線平行，得到k值相同，表示出直線MN解析式，進(jìn)而表示出 ME, BE, NF , BF ,求出tan MBE與tan NBF的值相等，進(jìn)而 得到BC為角平分線；三角形的外心即為三條垂直平分線的交點(diǎn)，得到y(tǒng)軸為BC的垂直平分線，設(shè)P為外心，利用勾股定理化簡 PB2 PM2,確定出4MBC外心的縱坐標(biāo)的取值范圍即可.2017年25題.【答案】(1) Q的坐標(biāo)為工，里24(2)直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)(3) QMN面積的最小值為27 更2

12、 42【解析】(1)因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn) M (1,0),所以a a b 0,即b 2a.ax 2a所以y2 axax2b ax9aQ的坐標(biāo)為9a ，.4(2)因?yàn)橹本€y 2x m經(jīng)過點(diǎn)M 1,0 ,所以0 2 1 m ,解得m 2.把 y 2x 2 代入 y ax2 ax 2a ,得 ax2 (a 2) x 2a 2 0,(*)所以 (a 2)2 4a 2a 2 9a2 12a 4,由(1) b 2a,又 a b ,所以 a 0, b0.所以,。，所以方程(* )有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,故直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn).(3)把 y 2x 2 代入 y ax2 ax 2a ,得 ax2 (a 2) x 2a

13、 2 0,即 x2 (1 2) x-2 - 0, a a所以x解得X1X2所以點(diǎn)N 2 a根據(jù)勾股定理得2MN221由反比例函數(shù)性質(zhì)知所以MN2，5,a所以5.5MN(ii)作直線x1 -一父直線y22x 2于點(diǎn)E.1把x 一代入y 2x 2 ,得y 3 , 2即 E 1,3 20,又因?yàn)镸 1,0 , N 2 2,-6 ,且由()知aa a所以 QMN的面積S二Sqen Sqem21” i產(chǎn)27 3 27a4 a 8即 27a2 8S 54 a 24 0,(*)因?yàn)殛P(guān)于a的方程（* ）有實(shí)數(shù)根，2所以 8S 544 27 24 0 ,即 8S 54 236 ,227 3 27a 273因a

14、a 0 /tT以 S 4 a 84所以8s 54 0,所以8S 54 36丘，即S2742749 2時(shí),2由方程（* ）可得a2.2% 一滿足題意3故當(dāng)aW2時(shí)， QMN面積的最小值為名34【提示】（1）將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入解析式得 b與a的關(guān)系式，利用二次函數(shù)頂點(diǎn)式求解；（2）先求出直線解析式，然后代入二次函數(shù)解析式得到一元二次方程，利用根的判別式判定即可；（3）利用一次函數(shù)解析式和二次函數(shù)解析式求出方程的兩根，然后用字母a表示出點(diǎn)N的坐標(biāo).（ i ）2利用勾股定理求出 MN，根據(jù)a的范圍和反比例函數(shù)的性質(zhì)可求MN的范圍；（ii）作直線1 、x 一交直線y 2x 2與點(diǎn)E求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)M

15、, N的坐標(biāo)表不出 QMN的面積，2得出方程，利用根的判別式進(jìn)行分析求解?！究键c(diǎn)】一次函數(shù)，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，反比例函數(shù)，三角形面積的計(jì)算。2016年27題.【答案】(1) y 2x2 4xt a3(3) a 0 或 a -2【解析】(1)二頂點(diǎn)為A (1, 2),設(shè)拋物線為y a(x 1)2 2,;拋物線經(jīng)過原點(diǎn)， 0 a(0 1)2 2,a 2 ,，拋物線解析式為 y2x2 4x .(2)二,拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，設(shè)拋物線為y ax2 bx ,b, h 2ab 2ah ,y ax2 2ahx,:頂點(diǎn) A (h, k),-1 k ah2 2ah2 ah ,拋物線y tx2也經(jīng)過a (h, k)

16、,2 . k th ,.22_2 th ah 2ah , , t a 5(3)二,點(diǎn)A在拋物線y x x2上,ah22ah2,.2一 k h h ,又 k1 h ，a 1當(dāng)10時(shí)，即11 時(shí)，a 12 a1,解得110,當(dāng)1。時(shí)，即11 時(shí)，a 11a 11解得2綜上所述,a的取值范圍【提示】(1)用頂點(diǎn)式解決這個(gè)問題，設(shè)拋物線為y a(x 1)2 2,原點(diǎn)代入即可.(2)設(shè)拋物線為y ax2 bx,則h , b2a2ah代入拋物線解析式，求出 k (用a、h表示)，又拋物線y tx2也經(jīng)過A (h, k),求出k,列出方程即可解決.(3)根據(jù)條件列出關(guān)于 a的不等式即可解決問題.【考點(diǎn)】二次

17、函數(shù)綜合題2015年26題.【答案】x 245m 1 或 2(3)6應(yīng) 18【解析】(1)把拋物線的解析式化成頂點(diǎn)式即可求得對(duì)稱軸；求得直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo),PQ與x軸所夾銳角的度即可證得直線和坐標(biāo)軸圍成的圖形是等腰直角三角形，從而求得直線顯然當(dāng)點(diǎn)B在OA延長線上時(shí)，Sa poq1 一 Sa paq 不成乂。3當(dāng)點(diǎn)B落在線段OA上時(shí),如圖& POQSA PAQOE 1AF 3(2)設(shè)直線PQ交x軸于點(diǎn)B,分別過點(diǎn)O, A作PQ的垂線，垂足分別是 E , F由OBEszXABF得0B OE 1AB AF 3_1 _AB 3OB , OB -OA.4由 y x2 4x得點(diǎn) A(4,0) , OB

18、 1 ,B(1,0) ,1 m 0 , m= 1當(dāng)點(diǎn)B落在AO的延長線上時(shí),1同理可得OB - OA 2, 2B( 2,0) ,2 m 0 ,m=2 ,綜上所述，當(dāng)m 1或2時(shí)，SaPOQSA PAQ(3)解法一：過點(diǎn) C作CH/x軸交直線PQ于點(diǎn)H ,如圖3r圖3可得ACHQ是等腰三角形，1/ CDQ 454590 ,AD PH , DQ DH , PD DQ PH ,過點(diǎn)P作PM CH于點(diǎn)M ,則4PMH是等腰直角三角形，PH 72PM , 當(dāng)PM最大時(shí)，PH最大，當(dāng)點(diǎn)P在拋物線頂點(diǎn)處時(shí) PM取最大值，此時(shí) PM 6, PH的最大值為6后，即PD DQ的最大值為672解法二：如圖4,過點(diǎn)P作PE x軸，交AC與點(diǎn)E ,作DF CQ于點(diǎn)F ,則APDE, ACDQ , 4PFQ是等腰直角三角形.設(shè)點(diǎn) P(x , X2 4x),則 E(x , x 4), F(2 , x2 4x),2_PEx2 3x 4 , PF PQ |2 x | ,點(diǎn) Q(2 , x2 5x 2) , CQ=x2 5x ,PD00)=-2(222x2 8x 4)晚(x 2)2 6j2(0 x 4),當(dāng)x 2時(shí)，PD DQ的最大值為6近,由可知PD DQ 6 2設(shè)PD a