1、x(1V(1+2x)22x+第1屆求證(21+)(1對每個自然數(shù)都是最簡分數(shù)。設V(x+V(2x1)+V(xV(2x1)=A試在以下種情況下分別求出x的實數(shù)解:(a)A=V2；()A=1()A=2a、都是實數(shù)，已知的二次方程x(1V(1+2x)22x+x(1V(1+2x)22x+試用a作出一個關于a=2時比較的二次方程，使它的根與原來的方程一樣。當和X的方程式。試作一直角三角形使其斜邊為已知的，斜邊上的中線是兩直角邊的幾何平均值。在線段A上任意選取一點，在A的同一側分別以A、為底作正方形A、E這兩個正方形的外接圓的圓心分別是、，設這兩個外接圓又交于、，(a)求證A、相交于點；(求證不論點如何選

2、取直線都通過一定點；(當在A與之間變動時，求線斷的中點的軌跡。兩個平面、交于一線，A為上給定一點，為上給定一點，并且這兩點都不在直線上。試作一等腰梯形AD平行于D使得它有一個內切圓，并且頂點B分別落在平面和上。第2屆1找出所有具有下列性質的三位數(shù)：能被11整除且等于的各位數(shù)字的平方和。2尋找使下式成立的實數(shù)x：直角三角形的斜邊的長為，將它分成等份(為奇數(shù))，令為從點向中間的那一小段線段所張的銳角，從到邊的高長為，求證：已知從、引出的高線長度以及從引出的中線長，求作三角形。正方體(上底面，下底面C是對角線上任意一點，是上任意一點。求中點的軌跡；求(中軌跡上的、并且還滿足2的點的軌跡。6.一個圓錐

3、內有一內接球，又有一圓柱體外切于此圓球，其底面落在圓錐的底面上。令為圓錐的體積，為圓柱的體積。12()求證：不等于；12()求的最小值；并在此情況下作出圓錐頂角的一般。12等腰梯形，平行于，。令，梯形的高為，點在對稱軸上并使得角、都是直角。試作出所有這樣的點并計算到兩底的距離；再討論在什么樣的條件下這樣的點確實存在。第屆設、是常數(shù)，解方程組x+y+z=，;2+yx2+z2=2b;xy2=并求出若使x、y是互不相同的正數(shù)，、應滿足什么條件？設、是某三角形的邊，是其面積，求證：a+2+2=4V3A.并求出等號何時成立。解方程xx=1其中是一個自然數(shù)。是三角形A內部一點，膠于，交A于，交A于，求證A

4、/中至少有一個不大于2,也至少有一個不小于2。.作三角形A使得A=Ab銳角A其中是線斷、的中點。求證這個三角形存在的充要條件是/2(=又問上式何時等號成立。三個不共線的點A、平面不平行于A，并且A、在的同一側。在上任意取三個點A,A設分別是邊AA的中點，是三角形A的重心。問，當A變化時，的軌跡是什么？第4屆找出具有下列各性質的最小正整數(shù)：它的最后一位數(shù)字是6如果把最后的去掉并放在最前面所得到的數(shù)是原來數(shù)的4被。試找出滿足下列不等式的所有實數(shù)x：V(3x)J(x+1)1/2.正方體AA(A、A分別是上下底)。一點x沿著正方形A的邊界以方向A作勻速運動；一點以同樣的速度沿著正方形的邊界以方向運動。

5、點、在同一時刻分別從點A、開始運動。求線斷的中點的軌跡。4.解方程2xs+22sx+23sx=1。在圓上有三個不同的點A、C試在上再作出一點使得這四點所形成的四邊形有一個內切圓。一個等腰三角形，設R為其外接圓半徑，內切圓半徑為，求證這兩個圓的圓心的距離是V（R（R2）求證：正四面體有個不同的球，每個球都與這六條邊或其延長線相切；反過來，如果一個四面體有5個這樣的球，則它必然是正四面體。第5屆找出下列方程的所有實數(shù)根（其中I是實參數(shù)）:V(x2-p)+2V(x2-1)=x上有一點滿足角2給定一點及線斷，設空間中一點使得存在線段是直角，試求出所有這樣的點的軌跡。在一個邊形中，所有內角都相等，邊長依

6、次是12求證：所有邊長都相等。設是一個參數(shù)，試找出方程組x+xx（的所有解xii+2i+11x。求證2pi/7+cos3p五個同學A、參加競賽，一種猜測說比賽結果的名次依然是。但是實際上沒有一位同學的名次被猜中，而且預測中名次相鄰的同學也沒有真的相鄰（例如，、兩位同學名次不是（1,2、）（2,3、）（3,、4）（4,5中）的任何一種）。還有一種猜測說結果會是的順序。實際上是恰好有兩個同學所得的名次與預測的一樣；而且有兩對同學（4個不同的同學）的名次像預測中的一樣是相連。試討論最后的名次如何？第6屆1.（、）求所有正整數(shù)n使得2n-1能被7整除；（、）求證不存在正整數(shù)n使得2n+1能被7整除。2

7、.假設a、C是某三角形的三邊長,求證：、2(、+c-、)2+(c、+、-、)2+(ac+、-c).三角形的三邊長為別為、C。分別平行于的各邊作三角形內切圓的切線，每條切線都在中又切出一個小三角形，再在每個這樣的小三角形中作內切圓，求這四個內切圓的面積之和（用表示）。十七個人互相通信，每一個人都和其他人寫信。在他們的信上一共討論有三個不同的話題，每兩個人只討論一個話題，求證：這些人當中至少有三個人他們所討論的話題是一樣的。平面上有五個點，任意兩點的連線都不平行，也不垂直，現(xiàn)從每一個點向其他四點兩兩連接的直線作垂線，試求出所有這些垂線的交點的最大數(shù)目。四面體的中心是，分別過A、作的平行線，這些線分

8、別交平面、A于點、，求證：的體積是的三分之一；再問如果為三角形內的任意一點，結果是否仍然成立？第屆試找出所有位于區(qū)間2的x使其滿足2cosxW|V（1+sin2x）V（1sin2x）|WV2.如下方程組的系數(shù)、ij，ij滿足：、是正數(shù)，其余是負數(shù);每個方程中的系數(shù)之和是正的。求證：該方程組的有唯一的解。四面體被平行于、邊的一個平面分割成兩部分，并且該平面到邊的距離是該平面到邊距離的倍。試求出這兩部分的體積比。4.四個實數(shù)，它們中的任何三個的乘積再加上第四個數(shù)都等于、，求出這四個數(shù)的所有可能值。三角形中的角是銳角，是邊上任意一點，從向、邊引垂線，垂足分別為、。設三角形的垂心為，求出當在邊上移動時

9、點的軌跡；若在三角形內部移動是的軌跡又是什么？平面上給定了個點，任何兩點之間都有線斷相連，這些線斷長度中的最大值被定義為這個點集的直徑，求證：長度為直徑的線斷至多有條。第8屆在一次數(shù)學競賽中共有A、三道題，名參賽者每人至少答對了一題。在所有沒有答對的學生中，答對的人數(shù)是答對的人數(shù)的兩倍，只答對問題的人數(shù)比既答對又至少答對其他一題的人數(shù)多。又已知在所有恰好答對一題的參賽者中，有一半沒有答對、請問有多少學生只答對？三角形、如果，+AC=tanC/anA+ACta+AC=tanC/anA+ACta則該三角形為等腰三角形。求證：從正四面體的內切圓圓心到各頂點距離之和小于從空間中任意其他點到各頂點距離之

10、和。.對任何自然數(shù)以及滿足s不為的實數(shù)，求證:+AC=tanC/anA+ACta+AC=tanC/anA+ACta+AC=tanC/anA+ACta+AC=tanC/anA+ACta1/s+1/sin4，+.+n1，/si=nco2t，-nc，ot.a（1）是互不相同的實數(shù)，解方程組（1）3+|aa|，+33a-a|1。+AC=tanC/anA+ACta+AC=tanC/anA+ACta+AC=tanC/anA+ACta+AC=tanC/anA+ACta.在三角形A的邊、AA上分別任選三內點、，求證三角形Al之中至少有一個的面積小于活等于三角形A的四分之一。第9屆平行四邊形A,邊長AaA角A已

11、知三角形A是一個銳角三角形，求證以A為圓心半徑為1的四個圓能夠覆蓋此平行四邊形的充要條件是3.cosA+V3sA.若四面體有且僅有一邊大于1，求證其體積1/8.是自然數(shù)且+是1一個大于+1的素數(shù)，令css+1求證s可被乘積c1cc整除。cm+1c)c+2c)c-c)+nk4.任意兩個銳角三角形A角形A的所有三角形AAB11A相似且外接于三1111?？紤]所有與三角形1邊包含A,A邊包含，A邊包含）,試構造出滿足此條件的面積最大的三角形a,.,.a是不全為0的實數(shù)，令c=an+an+.+.an(n=1,2,3,.).，18n128如果數(shù)列中有無窮多項等于，試求出所有使二的自然數(shù)。在一次運動會中，連

12、續(xù)天內()1一共頒發(fā)了塊獎牌。在第一天，頒發(fā)了一塊獎牌以及剩下個中的1/7在第二天頒發(fā)了兩塊獎牌以及剩下的1/7依此類推。在最后一天即第天，剩下的塊獎牌全部頒發(fā)完畢。問該運動會共進行了幾天，一共頒發(fā)了多少塊獎牌？第1屆求證有且僅有一個三角形，它的邊長為連續(xù)整數(shù)，有一個角是另外一個角的兩倍。試找出所有的正整數(shù)，其各位數(shù)的乘積等于21。223.a,b,是不全為的實數(shù)。xx12是滿足下述方程組的未知數(shù):ax2+bx+c=x,對于i=1,2,.ii+1.；,，-1ax2+bx+c=x，1；若設M=(-21-)4ac，求證：a若，則方程組無解；若=，則方程組恰有一解；若，則方程組不止有一個解。求證任何四

13、面體上都有一個頂點使得經過該頂點的三條邊可構成一個三角形的三邊。令f是定義在所有實數(shù)并取值實數(shù)的函數(shù)，并且對于某個a及任何x有f(x+a)=1/2+Vf(x)f(x)求證f是周期函數(shù)，并且當a=1時請給出一個非常值函數(shù)的例子。對任何自然數(shù)，試計算下式的值其中表示不超過的最大整數(shù)。第11屆對任意正整數(shù)，求證有無窮多個正整數(shù)使得不是質數(shù)。令其中是實數(shù)常量，是實數(shù)變量?，F(xiàn)已知0求證是n的整數(shù)倍。對每一個，試找出應滿足的充要條件使得存在一個四面體，其中個邊長均為，其余個邊的長度均為以為直徑的半圓弧,是三角形的內切圓,相切。求證：圓、是其上不同于、的一點，是向圓與、以及半圓都相切，圓除外還有一條公切線。

14、作垂線的垂足。與、及半圓平面上已給定了個點，無三點共線。求證至少有個凸四邊形,其頂點都是已給點集中的點。6.給定實數(shù)證：滿足，求W并給出等號成立的充分必要條件。第1,屆xx12121是三角形的邊上的任何一點，、分別是三角形、的12內切圓的半徑，是外旁切圓的半徑（即與邊相切，與、的延長線上相切的圓），類似的，、分別是12外旁切圓的圓心。求證：12=12。2已知0Wx，bxxx表示了1n-2010在a實數(shù)a,a,a,.滿.足.1=a=a=a=.，.并定義012012=工(1a/a),/Va其中求和是從1到。a求證0W2；設c滿足OWc不2成立。a).(-aa)31n(-aa).求證nn-1(a-a

15、)(a-a)2123=0對于=或2成立，(-aa)而對于其他2.凸多邊形P1的頂點是A111多邊形，求證，若將頂點平移至時則291i之中至少有兩個具有一共同內點。1平移成了1求證能夠找到一個由形式（是正整數(shù)）的整數(shù)構成的集合并滿足任何兩個元素互質。四面體ABCD的所有面都是銳角三角形，在線段AB上取一內點，現(xiàn)在BC上取內點yCD上取內點，AD上內點。求證：如果ZDAB+ZBCDHZCDA+ZABC,則沒有一條閉路徑具有最小值；如果ZDAB+ZBCD=ZCDA+ZABC，則有無窮多最短路徑，它們的長度是AC,其中k=ZBAC+ZCAD+ZDAB。對任何自然數(shù)存在中的恰好，求證存在平面上一有限點集

16、，滿足：對個點與A的距離為單位長。中的每一個點A，設A=其中=,是一個方陣，元素都是非負整數(shù)。若、使得=0則第行和第列的元素之和大于或等于陣求證：該方陣中所有元素之和大于或等于。第14屆有十個互不相同的二位數(shù)，求證必可從中選出兩個不相交的子集，使得這兩個子集中的元素之和相等。設陣，4求證每一個圓內接四邊形都可以分割成陣個圓內接四邊形。是任意非負整數(shù)，求證下式是一整數(shù)。+試找出下述方程組的所有正實數(shù)解：都是定義在實數(shù)上并取值實數(shù)的函數(shù)，并且滿足方程又已知不恒等于且|求證對所有同樣有|給定四個不相同的平行平面，求證存在一個正四面體，它的四個定點分別在這四個平面上。第屆都是位于是平面上的單位向量，其

17、中點通過點的一條直線的同一側，求證問能否在空間中找到一個不共面的有限點集使得，對中的任何兩點A,都可以再在中尋找到兩點、，而直線、是不相同的并且是互相平行的?？紤]所有這樣的實數(shù)、使得方程至少有一個實根。試找出的最小值。4.一個士兵需要在一個等邊三角形的區(qū)域內探測有沒有地雷，他的掃雷器的半徑是三角形高的一半，士兵從三角形的一個定點出發(fā)，試問如果要完成任務且使行程最短他應該走什么樣的路徑？是具有下述形式且非常值的函數(shù)的集合：,其中都是實數(shù)。并且已知具有這些性質：如果都屬于，則如果屬于，則也屬于；也屬于；使得f；）x=成立。求證：存在實數(shù)使得對）所=有中的函數(shù)都成立。對任何屬于，存在一個實數(shù)是正實數(shù)

18、，實數(shù)滿足，試求出格實數(shù)使得：第16屆1.三個玩家玩游戲。在三張撲克牌上分別寫上一個正整數(shù)，并且每張牌上的數(shù)都不相同。在每一輪游戲中都是隨機的把卡片分給這些玩家，然后每個玩家拿到所分得卡片上數(shù)目的籌碼。當游戲進行時，玩家手上的籌碼自然是越來越多。假設游戲至少進行了兩輪以上。在最后一輪結束時，第一個玩家有籌碼20個，第二個玩家有10個，第三個玩家有9個。又已知在最后一輪游戲中第三個玩家拿到的是最大數(shù)目的籌碼。試問，在第一輪游戲中哪個玩家收到了中間數(shù)量的籌碼？三角形，求證在邊上存在一點使得是、的幾何平均值的充要條件是試證明對任意非負整數(shù)，下式都不能被整除：工k上式中的求和是從到，符號表示二項式系數(shù)

19、。沿著一個象棋盤（黑白相間）中的線將其分割成個不相交的長方形，使得每個長方形內的黑白小方格的數(shù)目一樣，并且每個長方形中小方格的數(shù)量也都不一樣多。求出所有可能值中的最大值；并對這樣的最大值求出所有可能的分法（即求出那oo0些長方形的大?。Ｊ侨我鈱崝?shù)，判定下式的所有可能值:設則有是一個指數(shù)的整系數(shù)多項式，是）或=的不同整根的個數(shù)，oo0oo0第17屆已知以及都是實數(shù)，求證若oo0是的任意排列則有上式中左右兩邊的求和都是從到。令以寫成.是設一遞增正整數(shù)序列，求證對所有的形式，其中，是正實數(shù)且存在無窮多個可任意三角形度，角、角的邊上，向外作三角形，使角都是度，角、角都是度。求證角B角都是是直角并且令

20、是將的各位數(shù)字之和。寫成十進制數(shù)字時的各位數(shù)字之和，令時的各位數(shù)字之和，求oo0oo0判定并證明能否在單位圓上找到存97個5點使得任意兩點間的距離為有理數(shù)。找出所有兩個變量的多項式使其滿足：對某一正整數(shù)及所有實數(shù)、有成立；對所有實數(shù)、有第18屆1.平面上一凸四邊形的面積是32，兩對邊與一對角線之和為16，求另外一個對角線的所有可能的長度。令，求證對任何一個正整數(shù)，方程式的所有根都是互不相同的實數(shù)。一個長方形的箱子可以用單位正方體完全裝滿，如果用體積為2的正方體來盡量裝填，使得每個邊都與箱子的邊平行，則恰能裝滿箱子的40，求所有這種箱子的可能尺寸（長、寬、高）。試將197分6解成一些正整數(shù)之和，

21、求這些正整數(shù)乘積的最大值，并加以證明。是一個正整數(shù)，、或）。1還有個未知數(shù)滿足下面?zhèn)€方程:其中。求證這個方程有一組不全為的整數(shù)解（）使得的一個序列定義為：求證其中表示不大于的最大整數(shù)。0第19屆在正方形中作等邊三角形、，證明線段、的四個中點以及線段、的八個中點構成一個正十二邊形的定點。在一個有限項的實數(shù)序列中，任意的相連七項之和為負，任意的相連一項之和為正。求出這種序列最多有幾項。是一給定整數(shù)，是所有形式的整數(shù)構成的集合，其中是正整數(shù)，對于中的一個數(shù)，如果不存在中的兩個數(shù)、使得，則稱是不可分解的。求證：中存在一數(shù)，它可有多于一種的方式表示為中不可分解數(shù)的乘積。（乘積中若僅僅是因數(shù)的順序不同則視

22、為是同一種分解。）定義，其中都是實數(shù)常量。如果對所有實數(shù)都成立，求證是正整數(shù)，設除以得到商為，余數(shù)是。試求出所有的正整數(shù)對（）使得=是定義在所有正整數(shù)上且取值也是正整數(shù)的函數(shù)，求證如果對所有正整數(shù)，都成立，則對=每個，都成立。00第20界的8十進制表示法的末三位數(shù)字相同，1.、，都是正整數(shù)且，。，如果19，7和8試求滿足此條件并使，+達，到最小的，與，。是某已知球內部一點，、是球面上三點，且有、相互垂直，由B決定的平行六面體與點對角相向的頂點為，試求出點的軌跡。3.為為兩不交集合1和1的并集是全部的正整數(shù)，其中(1)為為1且有對所有11成立。試計算。等腰三角形圓，該小圓又分別與=在三角形的外接

23、圓的內部有一與其相切的一個小相切于、兩點。求證：線段的中點恰為三角形內切圓的圓心。令為互不相同的正整數(shù)數(shù)列，求證對于所有的正整數(shù)，有k工/k工1/k；k上式中兩邊的求和都是k從1到，6.某國際組織共有來自六個國家的共197名8會員，會員編號分別是1,2,.。,1求證至少有某一會員的編號，恰為與他同國家的另外兩位會員編號的和，或者是他同國家的兩外一名會員編號的兩倍。第21界是滿足下述條件的正整數(shù)1/131m/，=1-1/2+1/3-1/4+.-1/131求證：可被1整除。一個棱柱的上底和下底分別是正五邊形。這兩個正五邊形的每12345、12345條邊以及每個邊都被染上紅色或藍色。又已知每個邊都被

24、著色的三角形(其頂點即這個棱柱的頂點)必有兩邊著不同色，求證：上、下底的十條邊都被染上了同一種顏色。平面上的兩個圓相交，是其中一個交點?，F(xiàn)有兩質點同時從出發(fā)各自以恒定的速度，同以順時針方向或同以逆時針方向繞各自的圓移動，在繞過一周之后這兩點又同時回到了點。求證：在這個平面上一定存在某個固定的點使得在任意時刻點都與這兩動點的距離相等。為為給定一平面k,在這個平面上有一點，平面外有一點，試找出平面k上的所有的0試求出所有的實數(shù)，使得存在非負實數(shù)12滿足下列關系式：點使得為最大值。002223x225x2令、是一個正八邊形的兩相對頂點，一只青蛙從點開始跳動，除了點外，從八邊形中的其他每一個頂點都可以

25、跳至與它相鄰兩頂點中的任何一個。當它跳到點時就停止運動。設為恰好經過步跳動以后到達點的所有可能線路的個數(shù)，求證:2n-1V2)/V22V2)/丁2。2n第22界是三角形內部一點，、分別是從點向邊、所引垂線的垂足。試找出/式達到最小值的所有點。2取滿足，并考慮集合2的所有元子集，每個子集都有一個最小元素。設是所有這些最小元素的算術平均值。求證:0)/(。設、是屬于222的最大值。的整數(shù)并且滿足22)2i試計算00設，2問為何值時，存在一個由個連續(xù)的正整數(shù)構成的集合使得其中的最大元是其它個元素最小公倍數(shù)的因子？為何值時，恰好值存在一個滿足條件的集合？三個都通過點的等半徑的圓位于一個給定三角形的內部

26、，并且每個圓都相切于這個三角形的兩條邊。求證：這個三角形的內心、外心、點三點共線。函數(shù)，對于任何非負整數(shù)都滿足。試計算的值。第23屆是定義在正整數(shù)上且取值為非負整數(shù)的函數(shù)，并對所有有或。試求出。是不等腰三角形，其三邊為，其中是角的對邊，設是邊的中點，是三角形的內切圓在邊上的切點，記為點關于內角的角平分線的對稱點，求證線和共點?？紤]無限正實數(shù)序列滿足及，求證對每個這樣的序列都有存在一個使得試尋找一個這樣的序列使其滿足對所有成立。使正整數(shù)，求證如果方程有關于整數(shù)的一個解，則其至少有三個解；當8時9再的證明這個方程無整數(shù)解。正六邊形的對角線、上分別有分點、并且如果、共線，試求的值。設是邊長為的正方形

27、，是在內部不自交的系列線段并且與不重合。已知對于每一個在邊界上的點，中存在一個點與之間的距離不大于/求證：中存在兩點X,與的距離不大于，并且上位于和之間的部分不少于。求證其中-是非負=實數(shù)7并/滿2足7求證其中-是非負=實數(shù)7并/滿2足70第24屆試找出所有定義在正實數(shù)并取值正實數(shù)的函數(shù)，使其滿足對所有成立，并且當趨向于無窮大時趨向于圓、的圓心分別是、它們相交于兩個不同的點，設是其中一個交點。這兩個圓的一條公切線切、分別于點，另外一條公切線分別切、于點、，再設、分別是和的中點，求證：角角。是正整數(shù)，并且它們中的任何兩個都沒有大于的公約數(shù)。求證是不能表示成形式的最大整數(shù)，其中是非負整數(shù)。等邊三角

28、形，設集合是該三角形的所有邊界點（即邊），任意將分拆成兩個不相交的子集合（它們的并集是），試證明這兩個集合中的至少一個包含有三點構成一直角三角形。5.問是否可能存在小于或等于150的198個3不同的正整數(shù)，任何三個都不構成一等茶數(shù)列。設是一個三角形的三邊長，求證并判斷何時等號成立。第25屆22試找出所有的正整數(shù)對（，）滿足（不能被整除，但（+）可被77整除。給定平面上的點0、A。平面上的每個點都被染色成有限種顏色中的一個。設X是平面上一給定點，以0為圓心的圓（X的半徑是OX+（ZA0X）/0X,其中角ZA0X是用弧度衡量（即范圍是0,2“），求證能夠找到不在0A上的一點X使得它的顏色出現(xiàn)在圓（

29、X的圓周上。凸四邊形A的邊與以A為直徑的圓相切，求證：A與以為直徑的圓相且當且僅當和A是平行的。設是平面上一凸邊形（）的所有對角線的長度之和，是它的周長。求證:n-32d/pn/2（n+1）/2-2，其中表示不超過的最大整數(shù)。0是四個奇數(shù)且若+及+對某、成立，則圓內接四邊形Ac現(xiàn)有一圓其圓心在邊A上并于其他三邊相切，求證A+A2設時互素的兩個正整數(shù)。將集合，2,中的每個數(shù)都染成藍色或白色，保證和的顏色相同，對于不等于的其顏色又與的顏色相同。求證：中所有數(shù)的顏色都相同。（）+是整系數(shù)多項式，設其中系數(shù)為奇數(shù)的個數(shù)為（。）01、對于0,2,，記（）（+。求證如果，都是整數(shù)i12時并滿足0，則有集合

30、由個不同的正整數(shù)組成，且每個數(shù)都有一個大于的素因子，求證中存在個元素的積是某個整數(shù)的次方。圓心為的一個圓經過三角形的頂點和，并與分別交于不同的兩點KN三角形的外接圓和三角形的外接圓相交于兩個不同的點、，求證角是直角。對于任何一個實數(shù)，可通過遞推式構造序列，求證存在唯一的一個滿足對所有的都有成立。第27屆是不為的正整數(shù)，試證明可以在集合中找出不同的兩數(shù)2滿足不是一個完全平方數(shù)。在三角形所在的平面上有一給定點，當時定義，現(xiàn)使用以下的方法構造一系列點是繞順時針旋轉度得到的點2）。如果，求證是等邊三角形。，給正五邊形的每個頂點賦值一個整數(shù)，使這5個整數(shù)之和是正的。對于任何三個連續(xù)的頂點設它們所賦予的數(shù)

31、分別是，如果則執(zhí)行下述操作：將分別替換為，+y,-yz,+y。重復執(zhí)行這樣的操作直到這5個頂點數(shù)中至少有一個是負值。試問能否經過有限步之后操作結束。是正邊形的中心，設是一對相鄰的頂點。設開始的時候三角形與三角形重合，現(xiàn)用如下的方式移動三角形：保持、始終在多邊形的邊界上、在多邊形的內部。試求出當、都走遍多邊形的邊界時點所形成的軌跡。試找出所有定義在非負實數(shù)并取值也是非負實數(shù)的函數(shù)，使其滿足（）=當0=時（不等于0；對所有都有（）（）=。（）6.給定平面上的一個有限點集，每個點的坐標都是整數(shù)，問有沒有一種將這些點涂成紅色或白色的染色方法使得在任何一條平行于坐標軸（兩個坐標軸中的任何一個）的直線上的

32、紅點和白點的個數(shù)之差不大于1？第28屆1設（k）是集合13上具有k個固定點的排列的個數(shù)，求證kn從0到n對（k（k）的求和是n。n一個集合的一個排列是從到它自身的一一映射。元素稱為是固定點如果（）=銳交三角形的內角的角平分線交于做垂線，垂足分別是、，求證四邊形,交的外接圓于，從點向的面積與三角形的面積相等。=L,求證對每個正整數(shù)k，使得對每個有=k及13是實數(shù)并且滿足12n1存在不全為0的整數(shù)111=(k1)Vn/(kn1)nnni求證不存在從非負整數(shù)到非負整數(shù)的函數(shù)滿足對所有n有（n）Ji1成立。n是大于或等于3的整數(shù)，求證存在一個由平面上n個點構成的集合滿足任何兩點的距離都是無理數(shù)并且任何

33、三點構成一個面積為有理數(shù)的非退化的三角形。n是大于或等于的整數(shù)，如果對所有0二k二Vn/3都有kk是素數(shù)，則當0二k二n時，kk都是素數(shù)。第29屆考慮平面上同一圓心的兩個半徑分別為的圓。點是小圓上一個固定的點，B使大圓上的動點，B交大圓于C,過點作B的垂線交小圓于A點（如果相切則A），試確定ABBCCA的所有可能值;試確定BC中點的軌跡。是正整數(shù)，A,A,A都是集合B的子集，假設每個A都恰有個元素；任何兩個不同的A恰有一個公共元素；B中的每個元素至少屬于兩個AiA試問對于什么樣的值有辦法將B中的元素都標上或使得每個都恰好包含個標的函數(shù)定義在正整數(shù)集上：且對每個正整數(shù)有,。試確定小于或等于并滿足

34、的正整數(shù)的個數(shù)。4.試證明滿足的所有實數(shù)x的集合是一些互不相交的區(qū)間的并集，并且這些區(qū)間的長度之和是198。8三角形ABC,角ZA是直角，D是BC邊上的高的垂足。三角形ABD、三角形AACD的內心的連線分別交邊AB,AC于，。求證：三角形ABC的面積是三角形A的面積的至少兩倍。,都是正整數(shù)，且整除求證是完全平方數(shù)。第界試題試證明集合，可以分拆成個子集合A,A,A（即這些子集合互不相交且并集為整個集合），滿足每個A包含個元素，并且每個A中元素之和都相等。2銳角ABC,內角ZA的角平分線交ABC的外界圓于A1類似定義B,C點。設11AA1與ZB,ZC的外交平分線交于A點，類似定義B,C點。求證：A

35、ABC的面積是六邊形ACBACB的兩倍也是厶ABC面積的至少倍。,111設n,k是正整數(shù)，是由平面上n個點構成的集合并且無三線共點，對任何中的點至少存在中的k個點與等距離。求證：kl/2+J2n。凸四邊形ABCD的邊AB,AD,BC滿足AB=AD+BC,四邊形內部有一與直線CD距離為h的點，并且A=h+ADB=h+BC求證：1/Jh=1/JAD+1/JBC。試證明對每個正整數(shù)n,存在n個連續(xù)的正整數(shù)使得其中無素數(shù)或素數(shù)的幕。設，是1,2,的一個排列，其中n是一個正整數(shù)。如果=n12mii+1對至少1,2,，中的一個成立就說這個排列，具有性質，試證12m明對于任意的n,具有性質的排列都比不具有的

36、多。第界M試題1弦AB,CD相交于圓內一點E,M是線段EB上的一點，過E點與ADEM外接圓的切線分別交BC,AC于，。設=AM/AB試用表示E/Eg2設n=,考慮一個圓上由2n1個不同點構成的集合E。現(xiàn)給E中恰好k個點染上黑色，如果至少有一對黑點使得這兩個黑點之間的弧上（兩段弧中的某一個）包含恰好E中的n個點，就成這樣的染色方法是“好的”。試找出對于集合E能保證任意一種染色方法都是“好的”的最小的k值。試找出所有大于1的正整數(shù)n滿足曲1/n也是整數(shù)。試構造一個從正有理數(shù)集到正有理數(shù)集的函數(shù)使對任何，都成立。給定一個初始整數(shù)，兩個玩家A,B根據(jù)下述規(guī)則交替的選擇整數(shù)，：設B已選擇，則A選擇滿足2

37、設A已選擇，則B選擇滿足對某個及成立。若A選到了數(shù)就獲勝；若B選到了就獲勝。分別求除滿足下述條件之一的：有必勝策略；有必勝策略；都沒有必勝策略。6：求證存在一個凸，99邊0形使得所有角都相等并且邊長是，2,22,：,，2（9順9序0不定）。第界I試題設1是厶ABC的內心，ZA,ZB,ZC的交平分線分別交對邊于A,B,C點，求證AIBICIAABBCC設是6一個整數(shù)，,，都是小于的正整數(shù)并且與互素。如果求證，是質數(shù)或者是的冪次方。試找出最小的整數(shù)使得每一個的兀子集都包含個兩兩互素的數(shù)。設是一個有條邊的連通圖，試證明可是對這些邊編號，使得對于每個屬于兩條或兩條以上的邊的頂點，從這個頂點出發(fā)的所有邊

38、的標號的最大公約數(shù)是，注：一個圖是由一組頂點和一些連接這些頂點的線段（稱為邊）組成。每對頂點之間最多有條邊。如果對圖中的任何兩個不同的頂點X,y都有一些頂點X,使得，之間都有一條邊，則稱這個圖是連通的。是厶ABC內部中的一個點，試證明ZXAB,ZXBC,ZXCA中至少有一個不大于，任意給定一個實數(shù)，試構造一個有界的無限序列X,X,X,使得對任何xHy都有|xx|I|=注：一個無限實數(shù)序列x,x,x,成立。是有界的如果存在一個常數(shù)C使得|x|（對任何第屆試題試找出所有的整數(shù)，滿足并且是的因子。找出所有定義在實數(shù)上并且取值也是實數(shù)的函數(shù)使得對所有x,y都有xyy。x3是空間中有9個點，無4點共面，

39、每兩點之間連接一個被染上紅色或藍色或者不染色的線段，試找出最小的使得，只要恰好有條線段被染色，這些染色的線段一定包含一個同色三角形（即三角形的三邊被染上相同的顏色）。是圓r的一條切線，是上的一點，試找出所有這樣的點P的軌跡：存在上的關于對稱的兩點Q,R,APQR的內切圓是r。設S是三維空間中的一個有限點集，集合S,S,S分別是S在平面y,x,xt的投xyz影，求證：|s|ISIs|s|。xyz其中A表示集合A的元素個數(shù)。注：一個點到一個平面上正交投影指的是該點到平面作垂線的垂足。對正整數(shù)n,(n是滿足如下條件最大的整數(shù)：對每個正整數(shù)=,(n)都可寫成個完全平方數(shù)的和。求證對每個n二有(n)-；

40、試找出一個整數(shù)n使得(n)=n；試證明有無窮多個整數(shù)n使得(n)=n第屆試題設()苻n+，其中n是一個整數(shù)。求證(不能表示成兩個非常數(shù)的整系數(shù)得多項式的乘積。設D是銳角三角形ABC內部一點且ZADB二ZACB+90,ACBD=ADBC,計算(ABCD)/(ACBD)求證ACD,ABCD的外界圓在C處的切線互相垂直。在一個無限大的棋盤上以如下方式做游戲。開始時棋盤中的一個nXn的框上整齊的擺放著n個棋子(每個小方格上放著一個棋子)，游戲的每一步都是在水平或者豎直方向上跨越一個棋子而跳到一個空格子上去,并同時取走所跨越過的棋子。試找出所有的n值使得游戲以只留一個棋子在棋盤上而結束。對平面上的三個點

41、，定義(為公的最短高的長度(如果，共線當然有()。)=0求證對任何點A,B,C,有僦準(AB)+(AC)+m(BC)問是否存在一個從正整數(shù)到正整數(shù)的函數(shù)使得()=,(n)=(n對所有n,并且(n(n+？)有n盞燈，繞成一圈，為方便也表示。一盞燈只有開或關兩個01n-1n+kk狀態(tài)，初始時刻它們全是開著的，依次執(zhí)行步驟。r:在步驟，如果點燃,就關掉，否則什么都不做。試證明：11存在一個正整數(shù)（n使得在第（n步之后所有的燈都開著；若n2，則可使（n）2-1若n21，則可使（n）2nn+1第屆試題1m和n都是正整數(shù)，可能相同）那么就有某個k使是1,2,m+ajk中，不同的數(shù)，只要有+w求證（+）Va

42、（n+1）/201m2AB是等腰三角形，ABA，是B的中點，0是線A上的點且0B丄AB,Q為線段B上不同于B,的任意一點，E,F分別在AB,A上使得E,Q,F不同并共線。求證：0Q丄EF當且僅當QEQF對任何正整數(shù)k,定義（k為集合k+l,k+2,中的用二進制表示后恰有個1的元素的個數(shù)，求證對于每個正整數(shù)m，存在至少一個k使（k）；并求出使得恰有一個k的所有m值。試求出所有的正整數(shù)對（m,n）使得（n+1）/（mn1是整數(shù)。是所有大于1的實數(shù)集，試找出所有的從到的函數(shù)滿足對所有,（+（）+（），并且對于+1（和），（）使嚴格遞增的。試證明存在滿足下列性質的正整數(shù)集合A：對任何由素數(shù)構成的無限集

43、，都有k22以及兩個正整數(shù)m,n，mEA,n不UA,m和n都是中k個不同元素的乘積。第屆試題o當二時，問此目標能否達成?o當二時，問此目標能否達成?21ABC是一條直線上順序排列的四個不同點，分別以ACB為直徑的兩個圓相交于，直線交BC于，設為直線上異于的一點，直線C與以AC為直徑的圓相交于C；直線B與以BD為直徑的圓相交于B。求證：AD三線共點。2為正實數(shù)且，二試證：111三2a，(b+c)b，(，+a)，(a+b)試確定所有整數(shù)n,使得在平面上存在n個點AA（無三點共線）及n12n個實數(shù)滿足AAA的面積是+,其中是對每個三元組1WijkWr。12nijkijk有1+2=2i-1i-1i正實

44、數(shù)序列滿足條件x且對于i=i201199501995+1i試求出所有滿足上述條件的數(shù)列中的最大值。0設ABCDEF是凸六邊形，滿足AB=BC=CDDE=EF=FAZBCD=ZEFA=60O設G是這六邊形內部兩點使得ZAGB=ZDHE=120求證AG+GB+GH+IH+HE2CF。6是一個奇質數(shù)，試求出集合12的所有元子集A的個數(shù)滿足A中元素之和能被整除。第界試題1ABCD是一個長寬分別是AB=20BC=1的長方形板。將此長方形板分割為20X12個格子狀的單位小方格，為一給定的正整數(shù)，一個銅幣在此板上每移動一次的規(guī)則為：銅幣可從一個小方格內移動到另一個小方格內的充分必要條件是這兩個小方格的中點間

45、的距離為r現(xiàn)目標是把一個在含頂點A的小方格內的銅幣經過若干次移動后到達含頂點B的小方格內。當是2的倍數(shù)或者的倍數(shù)時，此目標無法達成;當二時，此目標可以達成;1222為AABC內一點且ZAPBZACB=ZAPCZABC,設D,E分別是ZAPB,ZAPC的內心,求證：AP,BD,CE三線共點。S=0,1,2,為所有非負整數(shù)所成的集合，試找出所有由S對應到S本身的函數(shù)f且對m,nS有f(m+f(n)二f(f(m)+f(n)正整數(shù)a,使得1a+1和1a1都是完全平方數(shù)，試求出最小的可表示成這兩個完全平方數(shù)之一的可能值。ABC是凸六邊形，AB平行于ED,BC平行于FE,CD平行于AF。令，分別ACE表示

46、FAB,ABCD,ADEF的外接圓的半徑，并以表示該六邊形的周長。求證：+2/2ACE.，都是正整數(shù)且n，令x,x,x都是整數(shù)，x=x=0且對每個1WiWn,xx=01n0nii-1或。求證存在下標i且(i,j)工(0,n)滿足x=x。ij第界試題1.在坐標平面上，具有整數(shù)坐標的點構成單位邊長的正方格的頂點。這些正方格被涂上黑白相間的兩種顏色(像棋盤一樣)。對于任意一對正整數(shù)m和n,考慮一個直角三角形其頂點具有整數(shù)坐標，兩腰長分別為m和n,且其兩腰都在這些正方格的邊上。設s1為這個三角形區(qū)域中所有黑色部分的總面積，s2則為所有白色部分的總面積。令f(m,n)=|S-S|，12a當m,n同為正偶

47、數(shù)或者同為正奇數(shù)時，計算f(m,n)；求證f(m,n)Wmax(m,n)/2寸所有m,n都成立；求證不存在常量C使得f(m,n)。2設ZA是ABC中最小的內角。B和C將此三角形的外接圓分成兩個弧。為落在不含A點的弧上且異于B,C的一點。線段AB,AC的垂直平分線分別交A于，。直線B,相交于，求證：A=*C，朋，是正實數(shù)滿足|x+x+|=1且對所有i有|x|W(n+1)/2。12n12ni122試證明存在的一個排列n1|y+2y+.12滿足2n+|rC(n+l)/2。n一個nXn的矩陣稱為一個12且對于每一個n階“銀矩陣”，如果它的元素取自集合1，2，它的第列與第行中的所有元素合起來恰好是中的所

48、有元素。求證:不存在n1階的銀矩陣;ob有無限多個n，存在n階銀矩陣。試找出所有的正整數(shù)對(滿足b2b對每個正整數(shù)n，將n表示成2的非負整數(shù)次方之和，令(n為正整數(shù)n的上述不同表示法的個數(shù)。如果倆個表示法的差別僅在于他們中各個數(shù)相加的次序不同，這兩個表示法就被視為是相同的。例如，()，因為恰有下列四種不同的表示法：;+22+1+11+1+1+1求證：對于任意整數(shù)n23,n2/4n2/22fn)(22第3屆試題1凸四邊形，對交線互相垂直，對邊不平行，和的垂直平分線相交于點，在的內部。求證是圓內接四邊形當且僅當三角形、的面積相等。2在一次競賽中有個參賽者和b個裁判，b23是一個奇數(shù)。每個裁判可以給

49、參賽者判“合格”或者“不合格”，假設任何兩個裁判對至多個參賽者的判決相同，求證：/2(b1)/2b3對任何正整數(shù)n,用(n表示n的正因數(shù)(包括1n的個數(shù)。試求出所有正整數(shù)使存在n滿足(n(n)122試找出所有的正整數(shù)對(，使得2能整除2a設是三角形的內心，三角形的內切圓在邊C,C,上的切點分別是,通過點平行于的直線交，分別于R,。求證：三角形R是銳交三角形?？紤]所有從正整數(shù)到正整數(shù)的函數(shù)f使之對于所有的、滿足f(2f()f2(。)試求出f(的最小的可能值。第界試題試找出所有這樣的有限集：至少包括平面上的個點；對任何兩個中不同的點,的垂直平分線是的一個對稱軸。2設n22是一個給定的整數(shù)，是找出最

50、小的常量C使得對于所有非負實數(shù)x,x如下不等式成立：n工xx(x2x)WC(工x)。并判斷何時等號成立。給定一個nXn的棋盤，n是偶數(shù)。如果這個棋盤中的兩個不同的小方格有一個公共邊就說他們是相鄰的，但同一個方格不認為與它自身相鄰。試找出最小數(shù)目的方格，使得當它們被標記之后，棋盤上每一個方格都至少與一個標記過的方格相鄰。試找出所有的正整數(shù)對(n,p),使得P是素數(shù)，nW2p并且(pn)可被m整除。圓r有兩個內切圓r,r2,切點分別是,，r經過的圓心。r,r2的公共弦的延長線交r于，兩點。線，分別交r分別于，。求證：于J相切。試找出所有的函數(shù)f：RR使得f(xf(y)f(f(y)xf(y)f(謝所

51、有x,yuR都成立。其中R表示實數(shù)集。12122第界試題1圓和圓2相交于點和。設是圓和圓2的兩條公切線中距離較近的那條公切線。與圓相切于點A,與圓r2相切于點b。設經過點且與平行的直線與圓還相交于點C,與圓r2還相交于點。直線CA和B相交于點；直線A和C相交于點；直線B和C相交于點。求證：二。2設a是正實數(shù)，且滿足a=1求證：a1+1/)1+l/1)+l/a)W1。設n22為正整數(shù)。開始時，在一條直線上有n只跳蚤，且它們不全在同一點。對任意給定的一個正實數(shù)入，可以定義如下的一種“移動”o1)選取任意兩只跳蚤，設它們分別位于點A和點B,且A位于B的左邊；o(2).令位于點A的跳蚤跳到該直線上位于

52、點B右邊的點C，使得BC/AB=入。試確定所有可能的正實數(shù)入，使得對于直線上任意給定的點以及這n只跳蚤的任意初始位置，總能夠經過有限多個移動之后令所有的跳蚤都位于的右邊。4.一位魔術師有一百張卡片，分別寫有數(shù)字1到10.0他把這一百張卡片放入三個盒子里，一個盒子是紅色的，一個是白色的，一個是藍色的。每個盒子里至少都放入了一張卡片。一位觀眾從三個盒子中挑出兩個，再從這兩個盒子里各選取一張卡片，然后宣布這兩張卡片上的數(shù)字之和。知道這個和之后，魔術師便能夠指出哪一個是沒有從中選取卡片的盒子。問共有多少種放卡片的方法，使得魔術總能夠成功？(兩種方法被認為是不同的，如果至少有一張卡片被放入不同顏色的盒子)確定是否存在滿足下列條件的正整數(shù)n：n恰好能夠被2個互不相同的質數(shù)整除，且2n+1能夠被n整除。設A1B2C是銳角三角形ABC的三條高線。三角形ABC的內切圓與邊BCCAAB分別相切于點，設直線分別是直線關于直線1231232331122331的對稱直線。12求證：所確定的三角形，其頂點都在三角形A