1、ThemeGallery PowerTemplate2-9 卷積積分的性質(zhì)國家“十二五”規(guī)劃教材信號與系統(tǒng) 重點難點卷積積分的性質(zhì) 卷積積分的性質(zhì) 2-9 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì) 卷積積分 具有一些重要的性質(zhì)。其中最常用的性質(zhì)有如下3個： 交換律結(jié)合律分配律2-9-1 交換律交換律 將式（2-8-10）定義的卷積積分作 的變量代換，有 ，且 。代入式（2-8-10）可得 如果用變量 替換上式積分中的 ，則可以得到卷積積分的另一種表示形式：（2-9-1）2-9-1 交換律 可以看出卷積積分關(guān)于輸入信號和系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)是對稱的，這種對稱性說明卷積積分滿足交換律，即 （2-9-2） 卷積積

2、分的對稱性可以用圖2-9-1予以說明，其中LTI系統(tǒng)用方框內(nèi)嵌入單位沖激響應(yīng) 表示。根據(jù)式（2-9-2），圖2-9-1中兩個系統(tǒng)的輸出是相同的。圖2-9-1卷積積分的對稱性2-9-2 結(jié)合律結(jié)合律 上式的證明只需要改變積分順序并進(jìn)行變量代換。結(jié)合律可用圖2-9-2給出的系統(tǒng)級聯(lián)關(guān)系予以說明。對于LTI級聯(lián)系統(tǒng)而言，改變子系統(tǒng)的級聯(lián)順序?qū)ο到y(tǒng)的單位沖激響應(yīng)（輸入-輸出特性）沒有影響。 結(jié)合律是指三個以上（含三個）函數(shù)的卷積積分與函數(shù)的卷積順序無關(guān)。比如（2-9-3）2-9-2 結(jié)合律 容易證明，對于級聯(lián)M個子系統(tǒng)的組合系統(tǒng)，其組合系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為圖2-9-2 結(jié)合律與系統(tǒng)的級聯(lián)（2-9-4）

3、2-9-3 分配律分配律 上式的證明利用式（2-8-10）定義的卷積積分直接可以得到。 分配律是指三個以上（含三個）函數(shù)的組合卷積運算滿足如下關(guān)系（2-9-5）分配律可用圖2-9-3給出的系統(tǒng)并聯(lián)關(guān)系予以說明。圖2-9-3分配律與系統(tǒng)的并聯(lián)2-9-3 分配律 綜上所述，系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)可以完全描述LTI系統(tǒng)的輸入-輸出特性，而且利用卷積積分的交換律、結(jié)合律和分配律還能夠方便地確定LTI組合系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。 對于LTI并聯(lián)系統(tǒng)而言，并聯(lián)M個子系統(tǒng)的組合系統(tǒng)，其組合系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為各個子系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)之和，即（2-9-6）2-9-3 分配律例2-9-1 試求圖2-9-4a)給出的組合系統(tǒng)的

4、單位沖激響應(yīng)。圖2-9-42-9-3 分配律結(jié)果圖2-9-4b)所示。在圖2-9-4b)中，子系統(tǒng) 與 是級聯(lián)關(guān)系，因此該級聯(lián)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為解：確定組合系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，首先根據(jù)圖2-9-4a)，求出并聯(lián)子系統(tǒng) 和 的沖激響應(yīng)為2-9-3 分配律結(jié)果如圖2-9-4c)所示。顯然，并聯(lián)子系統(tǒng) 和 的單位沖激響應(yīng)為結(jié)果如圖2-9-4d)所示。2-9-4 函數(shù)與卷積積分 若系統(tǒng)的激勵為單位沖激信號，前面已經(jīng)推導(dǎo)出卷積積分的一個重要性質(zhì)，即當(dāng) 時， 。又根據(jù)系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的定義，系統(tǒng)的輸出就是沖激響應(yīng) ：函數(shù)與卷積積分（2-9-7） 這個性質(zhì)顯然與 的形式無關(guān)。因此，任意函數(shù) 與單位沖激函數(shù)

5、卷積積分的結(jié)果仍然是函數(shù) 本身。利用系統(tǒng)的時不變特性，式（2-9-7）可進(jìn)一步表示為（2-9-8）2-9-4 函數(shù)與卷積積分（2-9-9）（2-9-10） 如果針對任意函數(shù) ， 函數(shù)與 的卷積積分為和2-9-5 單位階躍函數(shù) 與卷積積分單位階躍函數(shù) 與卷積積分 前面已經(jīng)提到，單位沖激響應(yīng) 表征了一個LTI系統(tǒng)的時域特征。換言之， 完全描述了系統(tǒng)的輸入-輸出特性。下面將證明，LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng) 可以由所謂的單位階躍響應(yīng)來求出。 根據(jù)卷積積分的定義式（2-8-10），如果已知 ，那么這個系統(tǒng)對于任何輸入 作用下的系統(tǒng)響應(yīng) 為2-9-5 單位階躍函數(shù) 與卷積積分 若設(shè)系統(tǒng)的輸入信號 為單位階躍

6、信號 ，則系統(tǒng) 在作用下的響應(yīng)就稱之為單位階躍響應(yīng)，用 表示。因此，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 應(yīng)為考慮到卷積的交換律，有（2-9-11）（2-9-12）2-9-5 單位階躍函數(shù) 與卷積積分 由于 （或 ）時， ，故式（2-9-12）顯然又可以表示為（2-9-13） 由上式可以看出，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 可以通過對單位沖激響應(yīng) 的積分直接得到，或者由式（2-9-13）也可直接看出系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng) 是其單位階躍響應(yīng) 的一階導(dǎo)數(shù)，即（2-9-14） 因此，在連續(xù)時間情況下，一個系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)可以直接利用階躍響應(yīng)計算得到，所以單位階躍響應(yīng)也可以完全刻畫系統(tǒng)的時域特性。例2-9-2 設(shè)某系統(tǒng)地單位沖激響應(yīng)如下，求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。 解：注意這是