1、岳陽縣一中2015級高二期末考試試卷理科數(shù)學(xué)時量：120分鐘 總分：150分命題：岳陽縣一中 命題人：周軍才一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.為虛數(shù)單位，則（ ）A.B.C. D.2. 若，則()A0BC D3. 已知雙曲線的一個焦點坐標是,則雙曲線的漸近線方程是（ ）A. B. C. D. 4下列敘述：若兩條直線平行，則它們的方向向量方向相同或相反；若兩個向量均為同一個平面的法向量，則以這兩個向量為方向向量的直線一定平行；若一條直線的方向向量與某一個平面的法向量垂直，則該直線與這個平面平行.其中正確的個數(shù)是（ ）A.0個B.

2、1個C.2個D.3個5學(xué)校體育場南側(cè)有4個大門，北側(cè)有3個大門，西側(cè)有2個大門，某學(xué)生到該體育場訓(xùn)練，但必須是從南或北門進入，從西門或北門出去，則他進出門的方案有 ()A.7個B.12個C.24個D.35個6. 下列推理中屬于歸納推理且結(jié)論正確的是 ()A.設(shè)數(shù)列的前項和為.由，求出，推斷：B.由滿足對R都成立，推斷：為奇函數(shù)C.由圓的面積，推斷：橢圓的面積D.由，推斷：對一切N*，7. 已知函數(shù)，若函數(shù)在上有3個零點，則的取值范圍為()A(24,8) B(24,1C1,8 D1,8)8. 拋物線的焦點為，已知點為拋物線上的兩個動點，且滿足.過弦的中點作拋物線準線的垂線，垂足為，則的最大值 為

3、()A. B. C. D. 填空題：本大題共7小題，每小題5分，共35分9. 10.已知，復(fù)數(shù)的實部為，虛部為1,則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點到原點距離的取值范圍是 11. 曲線C：在點(1，0)處的切線方程是 .12. 棱長均為3的三棱錐，若空間一點滿足，則的最小值為 .13. 我國第一艘航母“遼寧艦”在某次艦載機起降飛行訓(xùn)練中，有5架“殲15”飛機準備著艦，如果甲、乙兩機必須相鄰著艦，而丙、丁兩機不能相鄰著艦，那么不同的著艦方法數(shù)是 .14. 橢圓的左、右頂點分別為，點在橢圓上，記直線的斜率為，直線的斜率為，則 = .15.函數(shù)有兩個不同的極值點，且，則實數(shù)的范圍是 三、解答題：本大題共6個小題，共75

4、分，解答題寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16.（本小題滿分12分）設(shè):實數(shù)滿足, 實數(shù)滿足.(1)若且為真，求實數(shù)的取值范圍；(2)若其中且是的充分不必要條件,求實數(shù)的取值范圍.17. （本小題滿分12分）如圖,在三棱柱中,側(cè)棱垂直底面,，.（1）求證:；（2）求二面角的大小.18. （本小題滿分12分）時下，網(wǎng)校教學(xué)越來越受到廣大學(xué)生的喜愛，它已經(jīng)成為學(xué)生們課外學(xué)習(xí)的一種趨勢，假設(shè)某網(wǎng)校的套題每日的銷售量（單位：千套）與銷售價格（單位：元/套）滿足的關(guān)系式，其中，為常數(shù).已知銷售價格為4元/套時，每日可售出套題21千套.（1）求的值；（2）假設(shè)網(wǎng)校的員工工資、辦公等所有開銷折合為每套題2

5、元（只考慮銷售出的套數(shù)），試確定銷售價格的值，使網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤最大.（保留1位小數(shù)）.19. （本小題滿分13分）設(shè)數(shù)列的前項和為(即)，且方程有一根為1，1,2,3.(1)求；(2)猜想數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法給出嚴格的證明20. （本小題滿分13分）已知橢圓：離心率為，且橢圓的長軸比焦距長. （1）求橢圓的方程；（2）過點(，)的動直線交橢圓于、兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點，使得無論如何轉(zhuǎn)動，以為直徑的圓恒過定點？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由21. （本小題滿分13分）已知 （1）若，時，求證：對于恒成立；（2）若，且存在單調(diào)遞減區(qū)間，求的取值

6、范圍；（3）利用（1）的結(jié)論證明：若，則岳陽縣一中2015級高二期末考試試卷理科數(shù)學(xué)時量：120分鐘 總分：150分命題：岳陽縣一中 命題人：周軍才一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.為虛數(shù)單位，則（ ）A.B.C. D.答案：C解析： 2. 若，則()A0BC D解析：選Cf(x)exxex，f(1)2e.3. 已知雙曲線的一個焦點坐標是,則雙曲線的漸近線方程是（ ）A. B. C. D. 答案：B解析：知雙曲線的焦點在軸，且，又一個焦點是，雙曲線的漸近線方程為4下列敘述：若兩條直線平行，則它們的方向向量方向相同或相反；若兩個

7、向量均為同一個平面的法向量，則以這兩個向量為方向向量的直線一定平行；若一條直線的方向向量與某一個平面的法向量垂直，則該直線與這個平面平行.其中正確的個數(shù)是（ ）A.0個B.1個C.2個D.3個答案：B解析：正確，錯誤.5學(xué)校體育場南側(cè)有4個大門，北側(cè)有3個大門，西側(cè)有2個大門，某學(xué)生到該體育場訓(xùn)練，但必須是從南或北門進入，從西門或北門出去，則他進出門的方案有()A.7個B.12個C.24個D.35個答案：D6. 下列推理中屬于歸納推理且結(jié)論正確的是()A.設(shè)數(shù)列的前項和為.由，求出，推斷：B.由滿足對R都成立，推斷：為奇函數(shù)C.由圓的面積，推斷：橢圓的面積D.由，推斷：對一切N*，答案：A解析

8、：選項A由一些特殊事例得出一般性結(jié)論，且注意到數(shù)列an是等差數(shù)列，其前n項和等于Sneq f(n12n1,2)n2，選項D中的推理屬于歸納推理，但結(jié)論不正確因此選A.7. 已知函數(shù)，若函數(shù)在上有3個零點，則的取值范圍為()A(24,8) B(24,1C1,8 D1,8)解析f(x)3x26x93(x1)(x3)，令f(x)0，得x1或x3.當x2，1)時，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當x(1,3)時，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增所以函數(shù)f(x)的極小值為f(3)24，極大值為f(1)8；而f(2)1，f(5)8，函數(shù)圖象大致如圖所示故要使方程g(x)f(x)m在x2,5上有3個零點，

9、只需函數(shù)f(x)在2,5內(nèi)的函數(shù)圖象與直線ym有3個交點故eq blcrc (avs4alco1(m8，,m1，)即m1,8)答案D8. 拋物線的焦點為，已知點為拋物線上的兩個動點，且滿足.過弦的中點作拋物線準線的垂線，垂足為，則的最大值為A. B. C. D. 答案：A解析：試題分析：設(shè)，則填空題：本大題共7小題，每小題5分，共35分9. 答案：4解析：10.已知，復(fù)數(shù)的實部為，虛部為1,則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點到原點距離的取值范圍是 答案：解析：，11. 曲線C：在點(1，0)處的切線方程是 .答案：解析：設(shè)f(x)eq f(ln x,x)，則f(x)eq f(1ln x,x2).所以f(1)1.所

10、以所求切線方程為yx1.12. 棱長均為3的三棱錐，若空間一點滿足，則的最小值為 .答案：解析：，四點共面，的最小值即為點到底面的高.13. 我國第一艘航母“遼寧艦”在某次艦載機起降飛行訓(xùn)練中，有5架“殲15”飛機準備著艦，如果甲、乙兩機必須相鄰著艦，而丙、丁兩機不能相鄰著艦，那么不同的著艦方法數(shù)是 .答案:24解析：分三步：把甲、乙捆綁為一個元素A，有Aeq oal(2,2)種方法；A與戊機形成三個“空”，把丙、丁兩機插入空中有Aeq oal(2,3)種方法；考慮A與戊機的排法有Aeq oal(2,2)種方法可知共有Aeq oal(2,2)Aeq oal(2,3)Aeq oal(2,2)24

11、種不同的著艦方法14. 橢圓的左、右頂點分別為，點在橢圓上，記直線的斜率為，直線的斜率為，則 = .答案：eq f(3,4)解析：橢圓的左、右頂點分別為(2，0)，(2，0)，設(shè)P(x0，y0)，則kPA1kPA2eq f(y0,x02)eq f(y0,x02)eq f(yeq oal(2,0),xeq oal(2,0)4)，而eq f(xeq oal(2,0),4)eq f(yeq oal(2,0),3)1，即yeq oal(2,0)eq f(3,4)(4xeq oal(2,0)，所以kPA1kPA2eq f(3,4)15.函數(shù)有兩個不同的極值點，且，則實數(shù)的范圍是 答案：解析：定義域為，令

12、，則在內(nèi)有兩個不同的實數(shù)根，結(jié)合圖象知三、解答題：本大題共6個小題，共75分，解答題寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16.（本小題滿分12分）設(shè):實數(shù)滿足, 實數(shù)滿足.(1)若且為真，求實數(shù)的取值范圍；(2)若其中且是的充分不必要條件,求實數(shù)的取值范圍.解:（1）. 由得當時，,即為真時實數(shù)的取值范圍是.2分由, 得, 得即為真時實數(shù)的取值范圍是,4分若為真，則真且真，所以實數(shù)的取值范圍是. 6分(2) 由得 是的充分不必要條件，即,且, 8分設(shè)A=,B=,則,又A=, B=x|x4或x2，10分則,且所以實數(shù)的取值范圍是12分17. （本小題滿分12分）如圖,在三棱柱中,側(cè)棱垂直底面,，.

13、（1）求證:；（2）求二面角的大小.解：方法一：（1），又 （2）取的中點為，在平面內(nèi)過作于點，連接則，而是二面角的平面角，又二面角為60.18. （本小題滿分12分）時下，網(wǎng)校教學(xué)越來越受到廣大學(xué)生的喜愛，它已經(jīng)成為學(xué)生們課外學(xué)習(xí)的一種趨勢，假設(shè)某網(wǎng)校的套題每日的銷售量（單位：千套）與銷售價格（單位：元/套）滿足的關(guān)系式，其中，為常數(shù).已知銷售價格為4元/套時，每日可售出套題21千套.（1）求的值；（2）假設(shè)網(wǎng)校的員工工資、辦公等所有開銷折合為每套題2元（只考慮銷售出的套數(shù)），試確定銷售價格的值，使網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤最大.（保留1位小數(shù)）.解：（1）因為時， 代入關(guān)系式，得，解得.

14、4分（2）由（1）可知，套題每日的銷售量，5分 所以每日銷售套題所獲得的利潤8分從而. 令，得,且在上,，函數(shù)單調(diào)遞增；在上，函數(shù)單調(diào)遞減， 10分所以是函數(shù)在內(nèi)的極大值點，也是最大值點，所以當時，函數(shù)取得最大值. 故當銷售價格為3.3元/套時，網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤最大. 12分19. （本小題滿分13分）設(shè)數(shù)列的前項和為(即)，且方程有一根為1，1,2,3.(1)求；(2)猜想數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法給出嚴格的證明解：(1)當n1時，x2a1xa10有一根為S11a11，于是(a11)2a1(a11)a10，解得a1eq f(1,2).3分當n2時，x2a2xa20有一根為S2

15、1a2eq f(1,2)，于是eq blc(rc)(avs4alco1(a2f(1,2)2a2eq blc(rc)(avs4alco1(a2f(1,2)a20，解得a2eq f(1,6).5分(2)由題設(shè)(Sn1)2an(Sn1)an0，即Seq oal(2,n)2Sn1anSn0.當n2時，anSnSn1，代入上式得Sn1Sn2Sn10.由(1)得S1a1eq f(1,2)，S2a1a2eq f(1,2)eq f(1,6)eq f(2,3).由可得S3eq f(3,4).由此猜想Sneq f(n,n1)，n1,2,3. 7分下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論()n1時已知結(jié)論成立8分()假設(shè)nk(

16、k1，kN*)時結(jié)論成立，即Skeq f(k,k1)，當nk1時，由得Sk1eq f(1,2Sk)，10分即Sk1eq f(k1,k2)，故nk1時結(jié)論也成立12分綜上，由()()可知Sneq f(n,n1)對所有正整數(shù)n都成立13分20. （本小題滿分13分）已知橢圓：離心率為，且橢圓的長軸比焦距長. （1）求橢圓的方程；（2）過點(，)的動直線交橢圓于、兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點，使得無論如何轉(zhuǎn)動，以為直徑的圓恒過定點？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由解：（1）設(shè)橢圓的焦距為，則由題設(shè)可知，解此方程組得，. 所以橢圓C的方程是. 5分（2）解法一：假設(shè)存在點T（u,

17、 v）. 若直線l的斜率存在，設(shè)其方程為，將它代入橢圓方程，并整理，得設(shè)點A、B的坐標分別為，則 因為及所以 9分當且僅當恒成立時，以AB為直徑的圓恒過定點T，所以解得此時以AB為直徑的圓恒過定點T（0，1）. 11分當直線l的斜率不存在，l與y軸重合，以AB為直徑的圓為也過點T（0，1）.綜上可知，在坐標平面上存在一個定點T（0，1），滿足條件. 13分解法二：若直線l與y軸重合，則以AB為直徑的圓是 若直線l垂直于y軸，則以AB為直徑的圓是 7分由解得.由此可知所求點T如果存在，只能是（0，1）. 8分事實上點T（0，1）就是所求的點. 證明如下：當直線l的斜率不存在，即直線l與y軸重合時，以AB為直徑的圓為，過點T（0，1）； 當直線l的斜率存在，設(shè)直線方程為，代入橢圓方程，并整理，得設(shè)點A、B的坐標為，