1、中考數(shù)學(xué)幾何模型12 :主從聯(lián)動模型名師點睛 當軌跡為直線時AP,取AP中點Q,當點P在BC上運動時,揭秘：將點P看成主動點，點 Q看成從動點，當P點軌跡是直線時，Q點軌跡也是一條直線.可以這樣理解：分別過 A、Q向BC作垂線，垂足分別為 M、N,在運動過程中，因為 AP=2AQ, 所以QN始終為AM的一半，即Q點到BC的距離是定值，故 Q點軌跡是一條直線，且 Q點運動 路徑長為P點運動路徑長的一半.思考2CP=CQ,且/ PCQ為定值，當點P在直線如圖，點C為定點，點P、Q為動點, AB上運動，請?zhí)骄奎c Q的運動軌跡揭秘：當CP與CQ夾角固定，且 AP=AQ時，P、Q軌跡是同一種圖形，且 P

2、Pi=QQi.可以這樣理解：易知 CPPiA CPPi,則/ CPPi=CQQi,故可知思考3Q點軌跡為一條直線.以 CP為斜邊作 RtACPQ,且 Q的運動軌跡.揭秘：條件CP與CQ夾角固定時，P、Q軌跡是同一種圖形，且有PR CPQQiCQ如圖，點C為定點，點P是直線AB上的一動點, / P=30 ,當點P在直線AB上運動，請?zhí)骄奎c可以這樣理解：由 CPQsCPiQi,易得 CPPiA CPPi,則/ CPPi=CQQi,故可知Q點軌跡為 一條直線.總結(jié)條件：主動點、從動點與定點連線的夾角是定量;主動點、從動點到定點的距離之比是定量.結(jié)論： 主動點、從動點的運動軌跡是同樣的圖形；主動點路徑

3、做在直線與從動點路徑所在直線的夾角等于定角 當主動點、從動點到定點的距離相等時，從動點的運動路徑長等于主動點的運動路徑長; 當主動點、從動點到定點的距離不相等時,從動點運動路徑二從動點到定點距離主動點運動路徑-主動點到定點距離典題探究啟迪思維探究重點例題1.如圖，在等邊 4ABC中，AB=10, BD=4, BE=2,點P從點E出發(fā)沿EA方向運動，連結(jié) PD,以 PD為邊，在PD的右側(cè)按如圖所示的方式作等邊 DPF,當點P從點E運動到點A時，點F運動的路徑 長是.【分析】根據(jù)4DPF是等邊三角形，所以可知 F點運動路徑長與 P點相同，P從E點運動到A點路徑長為 8,故此題答案為 8.變式練習(xí)1

4、.如圖,方作等邊在平面直角坐標系中， A (-3,0) ABP,點B在y軸上運動時，求占) 八 、OPB是y軸正半軸上一動點，以 AB為邊在AB的下 的最小值.P點軌跡, 知P點軌跡也是直線.取兩特殊時刻：(根據(jù) ABP是等邊三角形且 B點在直線上運動，故可1)當點B與點O重合時，作出P點位置P1; (2)當點B在x軸上方且AB與x軸夾角為60時，作出P點位置P2.連接P1P2,即為P點軌跡.根據(jù)/ABP=60可知：PP2與y軸夾角為60,作OP，PP2,所得OP長度即為最小值，OP2=OA=3,EF,例題2.如圖，正方形 ABCD的邊長為4, E為BC上一點，且BE=1 , F為AB邊上的一

5、個動點，連接以EF為邊向右側(cè)作等邊 EFG,連接CG,則CG的最小值為CG最小值，可以將F點看成是由G點軌跡也是線段，取起點和終點即可【分析】同樣是作等邊三角形，區(qū)別于上一題求動點路徑長，本題是求 點B向點A運動，由此作出 G點軌跡：考慮到F點軌跡是線段，故確定線段位置，初始時刻 G點在Gi位置，最終G點在G2位置（G2不一定在CD邊），G1G2即為G點運動軌跡.CG最小值即當CG，G1G2的時候取到，作 CH，GiG2于點H, CH即為所求的最小值.根據(jù)模型可知：G1G2與AB夾角為60,故G，EGi .過點E作EFLCH于點F,則HF=GiE=1,CF=1CE 3,所以CH=5,因此CG的

6、最小值為5.2222變式練習(xí)（2017秋？1漢區(qū)校級月考）如圖，4ABC是邊長為6的等邊三角形，點 E在AB上，點D為BC的中點，4EDM為等邊三角形.若點 E從點B運動到點A,則M點所經(jīng)歷的路徑長為6 .【解答】解：當點E在B時，M在AB的中點N處，當點E與A重合時，M的位置如圖所示, 所以點E從點B運動到點A,則M點所經(jīng)歷的路徑為 MN的長，.ABC是等邊三角形， D是BC的中點， ADXBC, /BAD = 30, AB= 6,1AD = Je - 3 2= 3V，. EDM是等邊三角形，AM=AD =3/3，/DAM =60, ./ NAM = 30 +60 =90,AN=-LaB =

7、 3,在 RtANAM 中，由勾股定理得：MN =7s2+（3(2019?東臺市模擬)如圖，平面直角坐標系中，點A (0, - 2) , B ( - 1, 0) , C ( - 5, 0)，點D AOB,從點B出發(fā)，沿x軸負方向運動到點 C, E為AD上方一點，若在運動過程中始終保持MED【解答】解：如圖，連接OE. / AED= Z AOD=90,.A, O, E, D四點共圓，./ EOC= / EAD =定值，點E在射線OE上運動，/ EOC是定值. tan/ EOD = tanZ OAB=-1-,可以假設(shè)E (- 2m, m),當點D與C重合時，AC=+/=亞西, AE= 2EC,，E

8、C=更叵而 5(-2m+5) 2+m2= , 5解得m=或-(舍棄)，55,F z 16 8. E (), 5 D點E的運動軌跡=OE的長=四,故答案為 形.5名師點睛 當軌跡為弧線時思考1AP, Q為AP中點.如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接 當點P在圓O上運動時，Q點軌跡是？揭秘：Q點軌跡是一個圓，考慮到 Q點始終為AP中點，連接AO,取AO中點M,則M點即為Q點軌跡圓圓心，半徑 MQ是OPAQ_ 1AP - 2小結(jié)：確定Q點軌跡圓即確定其圓心與半徑，由A、Q、P始終共線可得：A、M、O三點共線,由Q為AP中點可得：AM=1/2AO. Q點軌跡相當于是 P點軌跡成比例縮放.根據(jù)動點

9、之間的相對位置關(guān)系分析圓心的相對位置關(guān)系;根據(jù)動點之間的數(shù)量關(guān)系分析軌跡圓半徑數(shù)量關(guān)系.軌跡是圓、?999，思、考2：如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接 AP,作AQLAP且AQ=AP.當點P在圓O上運動時，Q點軌跡是？揭秘：Q點軌跡是個圓，可理解為將AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90得AQ,故Q點軌跡與P點軌跡都是圓.接下來確定圓心與半徑.考慮 APXAQ,可得Q點軌跡圓圓心 M滿足AMLAO;考慮AP=AQ,可得Q點軌 跡圓圓心 M滿足AM=AO,且可得半徑 MQ = PO.即可確定圓 M位置，任意時刻均有 APO0AQM.,思、考 3：如圖，4APQ是直角三角形，/ PAQ=90 ；且AP=

10、2AQ, 當P在圓O運動時，Q點軌跡是？揭秘： 考慮APXAQ,可得Q點軌跡圓圓心 M滿足AMXAO;考慮AP: AQ=2: 1,可得Q點軌跡圓圓 心M滿足AO: AM=2: 1 .即可確定圓 M位置，任意時刻均有 APOsAQM,且相似比為 2.推理:(1)如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接 AP,以AP為一邊作等邊 4APQ. 當點P在圓O上運動時，Q點軌跡是和圓O全等的一個圓.(2)如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP,以AP為斜邊作等腰直角 4APQ.當點P在圓O上運動時，Q點軌跡為按AP: AQ=AO : AM= ： 1的比例縮放的一個圓.總結(jié)：為了便于區(qū)分動點 P、Q

11、,可稱點P為“主動點”，點Q為“從動點”此類問題的必要條件：兩個定量，即：PAQ是定值)；AP: AQ是定值).主動點、從動點與定點連線的夾角是定量(/主動點、從動點到定點的距離之比是定量(結(jié)論:PAQ= / OAM ;AP: AQ=AO : AM ,也等于兩圓半徑之比,Q與P的關(guān)系相當于旋轉(zhuǎn)+伸縮.(1)主、從動點與定點連線的夾角等于兩圓心與定點連線的夾角：/(2)主、從動點與定點的距離之比等于兩圓心到定點距離之比：也等于兩動點運動軌跡長之比，按以上兩點即可確定從動點軌跡圓，古人云：種瓜得瓜，種豆得豆.“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”啟迪思維探究重點典題探究例題4.如圖，點P (

12、3, 4),圓P半徑為2, A (2.8, 0) , B (5.6, 0),點M是圓P上的動點，點 C是 MB的中點，則AC的最小值是.【分析】M點為主動點，C點為從動點，B點為定點.考慮 C是BM中點，可知C點軌跡：取BP中點O, 以O(shè)為圓心，OC為半徑作圓，即為點 C軌跡.當A、C、O三點共線且點 C在線段OA上時，AC取到最3小值，根據(jù)B、P坐標求O,利用兩點間距離公式求得 OA,再減去OC即可.答案為 一2工.當事Mfcffh的，JC出小，當M型動到短H?最小，4的小苗二 gmw 二！ QP-PV .變式練習(xí)4.如圖，在等腰RtAABC中，AC=BC=245,點P在以余邊 AB為直徑的

13、半圓上,M為PC的中點，當點P從點A運動至點B時，點M運動的路徑長為 【分析】考慮 C、M、P共線及M是CP中點，可確定 M點軌跡：取AB中點O,連接CO取CO中點D, 以D為圓心，DM為半徑作圓D分別交AC、BC于E、F兩點，則弧EF即為M點軌跡.當然，若能理解 M點與P點軌跡關(guān)系，可直接得到 M點的軌跡長為P點軌跡長一半，即可解決問題.答案為2例題5.如圖，正方形 ABCD中，AB 2后，O是BC邊的中點，點 E是正方形內(nèi)一動點，OE=2,連接DE,將線段DE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90得DF,連接AE、CF.求線段OF長的最小值.【分析】E是主動點，F(xiàn)是從動點，D是定點，E點滿足EO=2 ,故E

14、點軌跡是以O(shè)為圓心，2為 半徑的圓.考慮 DELDF且DE = DF,故作 DM，DO且DM = DO, F點軌跡是以點 M為圓心，2 為半徑的圓.直接連接OM,與圓M交點即為F點，此時OF最小.可構(gòu)造三垂直全等求線段長，再利用勾股定理求得OM,減去MF即可得到OF的最小值.答案為 5，2-2變式練習(xí)AABC中，AB=4, AC=2,以BC為邊在 ABC外作正方形 BCDE , BD、CE交于點 O,則線段 AO的最 大值為.【分析】考慮到 AB、AC均為定值，可以固定其中一個，比如固定AB,將AC看成動線段，由此引發(fā)正方形BCED的變化，求得線段 AO的最大值.根據(jù) AC=2,可得C點軌跡是

15、以點 A為圓心, 2為半徑的圓.接下來題目求 AO的最大值，所以確定 O點軌跡即可，觀察 BOC是等腰直角三 角形，銳角頂點 C的軌跡是以點 A為圓心，2為半徑的圓，所以 O點軌跡也是圓，以 AB為斜邊 構(gòu)造等腰直角三角形， 直角頂點M即為點O軌跡圓圓心.連接AM并延長與圓M交點即為所求的 點O,此時AO最大，根據(jù) AB先求AM ,再根據(jù)BC與BO的比值可得圓 M的半徑與圓A半徑的比值，得到MO,相加即得AO.答案為372 ,本題或者直接利用托勒密定理可得最大值.名師點睛當軌跡為其他種類時根據(jù)剛才我們的探究，所謂“瓜豆原理”，就是主動點的軌跡與從動點的軌跡是相似性，根據(jù)主、從 動點與定點連線形

16、成的夾角以及主、從動點到定點的距離之比，可確定從動點的軌跡，而當主動點軌跡是 其他圖形時，從動點軌跡必然也是.典題探究啟迪思維探究重點例題6.如圖，在反比例函數(shù) y2的圖像上有一個動點 A,連接AO并延長交圖像的另一支于點xkB,在第一象限內(nèi)有一點 C,滿足AC=BC,當點A運動時，點C始終在函數(shù)y 的圖像上運動， x若tan/ CAB =2,貝U k的值為（）A. 2B. 4C. 6D. 8【分析】/ AOC=90且AO: OC=1 : 2,顯然點C的軌跡也是一條雙曲線，分別作 AM、CN垂直x 軸，垂足分別為 M、N,連接 OC,易證 AAMOs ONC,CN=2OM , ON=2AM ,

17、 .ON CN=4AM OM , 故 k=4X2=8.【思考】若將條件 tan/CAB=2”改為ABC是等邊三角形”，k會是多少？變式練習(xí)2（2017林圳模擬）如圖，反比例函數(shù) y=k的圖象上有一動點 A,連接AO并延長交圖象的另一支于點tan/ CABB,在第二象限內(nèi)有一點 C,滿足AC=BC,當點A運動時，點C始終在函數(shù)y=N的圖象上運動, =2,則關(guān)于x的方程x2-5x+k= 0的解為 xi = - 1, x2= 6 .【解答】解：連接 OC,過點A作AE，y軸于點E,過點C作CF，y軸于點F,如圖所示,由直線AB與反比例函數(shù) y=的對稱性可知 A、2工又. AC=BC, COXAB.

18、/AOE+/AOF = 90, Z AOF+Z COF = 90,./ AOE= / COF,又./AEO = 90, /CFO = 90,AOEA COF,，嫗=匝=外，CF OF CO. tanZ CAB = -S- = 2, ，CF=2AE, OF = 2OE.0A又. AE?OE = , CF?OF= |k|, ，k=i6.B點關(guān)于O點對稱，.-.AO=BO.丁點C在第二象限，k= - 6,，關(guān)于 x 的方程 x2-5x+k=0 可化為 x2 - 5x- 6=0,解得 x1=- 1, x2=6.故答案為：xi=- 1, x2= 6.例題7.如圖，A (-1,1) , B (-1,4)

19、, C (-5,4),點P是4ABC邊上一動點，連接 OP,以O(shè)P為 斜邊在OP的右上方作等腰直角 OPQ,當點P在 ABC邊上運動一周時，點 Q的軌跡形成的封 閉圖形面積為.【分析】根據(jù)4OPQ是等腰直角三角形可得： Q點運動軌跡與P點軌跡形狀相同，根據(jù)OP:OQ=2 :1 ,可得P點軌跡圖形與 Q點軌跡圖形相似比為 J2:1,故面積比為2:1, 4ABC面積為1/2 3X4=6,故Q點軌跡形成的封閉圖形面積為3.【小結(jié)】根據(jù)瓜豆原理，類似這種求從動點軌跡長或者軌跡圖形面積，根據(jù)主動點軌跡推導(dǎo)即可，甚至無需作圖.變式練習(xí)（2017春?工業(yè)園區(qū)期末）如圖，4ABC的面積為9,點P在 ABC的邊

20、上運動.作點 P關(guān)于原點O的對稱點Q,再以PQ為邊作等邊4PQM.當點P在4ABC的邊上運動一周時， 點M隨之運動所形成的圖 形面積為（）A. 3B. 9C. 27D. 9/1【解答】解：如圖，點P從點A出發(fā)，沿4ABC的邊從A-B-C-A運動一周，且點 Q關(guān)于原點O與點P對稱,點Q隨點P運動所形成的圖形是 4ABC關(guān)于O的中心對稱圖形，以PQ為邊作等邊PQM, M點對應(yīng)的A, B, C的點分別為 Ma, Mb, Mc,MbQbB是等邊三角形，MbO = /OB,同理 McO=V3oc,. Z COB+Z BOMc=90, / McOMb+/BOMc=90此Z COB= Z McOMb,McO

21、MbA COB,MbMc=/3BC同理，MaMb= V3aB, MaMc=V3AC,MaMbMcS ABC,MaMbMc的面積=9X (7s)2=27,即點M隨點P運動所形成的圖形的面積為27.故選：C.例題8.如圖所示，AB=4, AC=2,以BC為底邊向上構(gòu)造等腰直角三角形BCD,連接AD并延長至點P,使AD=PD,則PB的取值范圍為 .EBAMCBACPPPDAE BDDA . 572B, 6C, 2/13【解答】解：如圖，連接 OQ,以O(shè)Q為邊向下作等邊 OQH, ./ OQP= ZHQD ,.OQPQHQD (SAS),D. 4【分析】固定AB不變，AC=2,則C點軌跡是以A為圓心，

22、2為半徑的圓，以BC為斜邊作等腰直角三角形BCD,則D點軌跡是以點 M為圓心、 /為半徑的圓考慮到AP=2AD,故P點軌跡是以N為圓心，2J2為半徑的圓，即可求出 PB的取值范圍.答案為 4-2,2 PB 4 2.2變式練習(xí)8. (2018秋漸吳區(qū)期末)如圖已知：正方形 OCAB, A (2, 2) , Q (5, 7) , ABy軸，ACx軸，OA, BC交于點P,若正方形OCAB以O(shè)為位似中心在第一象限內(nèi)放大，點P隨正方形一起運動，當 PQ達到最小值時停止運動.以 PQ的長為邊長，向PQ的右側(cè)作等邊 4PaD,求在這個位似變化過程中，D點運動的路徑長()連接DH,作QELOA交OA的延長線

23、于 E. . OQH , APQD都是等邊三角形，.QO = QH, QP=QD, Z OQH = Z PQD= 60,.OP=DH,點D的運動路徑的長=點 P的運動路徑的長,直線 OA 的解析式為 y=x, Q (5, 7) , QEXOA,，直線EQ使得解析式為y=-x+12,由,y=xhy=-x+12X=6, E (6, 6), V=6. P (1, 1) ,PE=5/2,P與點5n5 2，E重合時，PQ的長最短,根據(jù)垂線段最短可知，當點 ，點P的運動路徑的長為 ，點D的運動路徑的長為 故選：A.例題9. （2019秋?斫口區(qū)期中）如圖,副含 30和45角的三角板 ABC和EDF拼合在一

24、個平面上，邊 AC與EF重合，BC = 4jcm.當點E從點A出發(fā)沿AC方向滑動時，點F同時從點C出發(fā)沿射線BC方向滑動，當點E從點A滑動到點C時，點D運動的路徑長為（24-12/21 cm.cm, /A=30, /DEF = 45,AC=BC= 12cm, AB=2BC=8百cm, ED = DF=；AC =6 cm,當點E沿AC方向下滑時，得 EDF,過點D作DNAC于點N,作DMBC于點M,如圖所示: ./ MDN=90,且/EDF=90, . EDN= / FDM,rZEz 丁H在口、和DMF中，NE =4 KF =90E 二D . DNEA DMF (AAS), ,.DN = DM,

25、且 DN,AC, DM CM, CD平分 Z ACM , 即點E沿AC方向下滑時，點 D在射線CD上移動，當 EDAC 時，DD值最大，最大值= V2ED - CD= (12-6西)cm,當點E從點A滑動到爐；C時，點 故答案為：（24- 12點）.D 運動的路徑長=2X (12- 6/2) = ( 24- 12/2) cm；變式練習(xí)9. （2018神華模擬）如圖， RtAABC 點重合，隨著頂點 A由。點出發(fā)沿 重合時運動結(jié)束.在這個運動過程中.中，BC=4, AC =8, RtABC的斜邊在x軸的正半軸上，點 A與原 y軸的正半軸方向滑動，點 B也沿著x軸向點O滑動，直到與點 O（1） A

26、B中點P經(jīng)過的路徑長再兀.（2）點C運動的路徑長是 8-匹-12-AB=4 反,.-.OP = 2,二.AB中點P運動的軌跡是以 O為圓心，以O(shè)P為半徑的圓弧,即AB中點P經(jīng)過的路徑長=X2-75 戶 V5 兀;（2）當A從。到現(xiàn)在的點A處時，如圖2,此時CAy軸,點C運動的路徑長是 CC的長，AC= OC= 8, AC/ OB, .ACO= / COB,cos/ACO = cos/COB = l=&C： ,三=, OB 0Cy 研 0CzOC = 4、匹,CC = 4/5-8;當A再繼續(xù)向上移動，直到點 B與O重合時，如圖3,此時點C運動的路徑是從 C到C,長是CC, CC = OC - B

27、C=4/5-4,綜上所述，點 C運動的路徑長是： 而-8+4/缶-4=84虧-12;故答案為：（1）泥兀； （2） 8/5-12.達標檢測領(lǐng)悟提升強化落實1. （2018秋世岡期中）在4ABC中，/ BAC=90, AB=AC=2cm,線段BC上一動點P從C點開始運動, 至|J B點停止，以AP為邊在AC的右側(cè)作等邊4ARQ,則Q點運動的路徑為22 cm.【解答】解：如圖，Q點運動的路徑為 QQ的長, ACQ和 ABQ 是等邊三角形，CAQ= / BAQ= 60, AQ = AC=AQ = 2cm,. / BAC=90,./ QAQ = 90,由勾股定理得：QQ = 十一+ 2 2 = 2/2

28、，Q點運動的路徑為2，cm;故答案為：2、叵2.如圖，在矩形 ABCD中，AB = 4, /DCA = 30,點F是對角線 AC上的一個動點，連接 DF ,以DF為 斜邊作/ DFE =30的直角三角形 DEF ,使點E和點A位于DF兩側(cè)，點F從點A到點C的運動過程中， 點E的運動路徑長是竺1 .【解答】解：E的運動路徑是線段 EE的長;,. AB=4, /DCA = 30。，BC = 警當F與A點重合時,在 RtMDE中，AD =,/DAE=30,Z ADE=60,.DE=Jp_, /CDE=30。，當F與C重合時，/ EDC = 60, ./ EDE= 90, / DEE=30,在RtDE

29、E中，EE=/;故答案為 士/.3. (2019?銅山區(qū)二模)如圖，已知點 M (0, 4) , N (4, 0),開始時， ABC的三個頂點 A、B、C分 別與點M、N、。重合，點A在y軸上從點M開始向點O滑動，到達點 。結(jié)束運動，同時點 B沿著x 軸向右滑動，則在此運動過程中，點C的運動路徑長4 .【解答】解：過點C作CDx軸，CEy軸 點 M (0, 4) , N (4, 0),. OM = ON, / CAC+45 = / EAB+ / MGB = 45 + / MGB , . / EAC= / BGB,. / BGB + /GBB = 45, Z GBB+Z DBC = 45,一 !

30、 WFi 尸 飛 TOC o 1-5 h z GV。? -A ./ EAC= / DBC,F7i f n 4 hi tit HYPERLINK l bookmark40 o Current Document _ _ _cr又AC= BC,RtAACERtABCD (HL),EC = DC,C在第四象限的角平分線上，C的運動軌跡是線段 AC, C的運動路徑長為 4;故答案為4;(2018?寶應(yīng)縣三模)在 RtABC中，/C=90, AC=2、/1, BC=2,若P是以AB為直徑所作半圓上由A沿著半圓向B運動的一點，連接 CP,過P向下作PMXCP,且有PM = 0.5CP,如圖示，求點 P運動過

31、程中，點 M的運動路徑長是直兀._【解答】 解：如圖，二點P的運動軌跡是半圓 A3, PMXCP,且有PM = 0.5CP,可見點M的運動軌跡是半圓 面.當PC是直徑時，CM也是面的直徑，PC=AB=4 時，PM = 2,. CM十42=2/, ，EF 的長=?兀，故答案為工兀如圖，已知線段 AB = 8, O為AB的中點，P是平面內(nèi)的一個動點，在運動過程中保持OP=2不變，連結(jié)BP,將PB繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90到PC,連結(jié)BC、AC,則線段AC長的最大值是 2714 .c【解答】答案為：6(2017?1陰市二模)如圖，線段 AB為。O的直徑，點 C在AB的延長線上，AB= 4, BC=2,點P

32、是 OO上一動點，連接 CP,以CP為斜邊在 PC的上方作 RtAPCD,且使/DCP = 60,連接 OD,則OD長的最大值為2+1 .【解答】 解：如圖，作 COE,使得/CEO=90, /ECO=60, 則 CO = 2CE, OE = 2石 /OCP=/ECD,.CP=2CD,CO而. /CDP=90, ZDCP = 60,里=2, .COPsCED , 史=空=2,即 EDOP=1 （定長），CDED CD2點E是定點，DE是定長，點D在半彳仝為1的。E上,. ODOE + DE = 23+1 ,，OD 的最大值為 2+1,故答案為12相+1.(2018?建湖縣一模)如圖，在平面直角

33、坐標系中，A (4, 0)、B (0, - 3),以點B為圓心、2為半徑的OB上有一動點P.連接AP,若點C為AP的中點，連接 OC,則OC的最小值為 1.5 .【解答】解：解法一：如圖，取點 D (-4, 0),連接PD,.C是AP的中點，O是AD的中點,.OC是4APD的中位線，OC=PD,2連接BD交。B于E,. OD=4, OB=3,BD = 5,當點P與點E重合時，PD最小為5-2=3,故OC的最小值為1.5;解法二：當點P運動到AB的延長線上時，即如圖中點 Pi, Ci是APi的中點,當點P在線段AB上時，C2是 點C的運動路徑是以 D為圓心，設(shè)線段AB交。B于Q,AOB 中，OA

34、=4, OB=3,AB= 5,.OB的半徑為2,BPi = 2, APi= 5+2=7,Ci是APi的中點， ACi = 3.5, AQ=5-2 = 3,.C2是AQ的中點，AC2=C2Q= i.5,CiC2=3.5 - i.5=2,即。D 的半徑為 i ,AD = i.5+i = 2.5 = A.AB,2.-.OD=AB=2.5,2中點，取CiC2的中點為D,以DCi為半徑的圓，當O、C、D共線時，OC的長最小,7.8.OC = 2.5- i = i.5, 故答案為：i.5.（20i6?T岸區(qū)校級模擬） 如圖，線段AB=2, C是AB上一動點，以AC、BC為邊在AB同側(cè)作正AACE、 正ABCF,連EF,點P為EF的中點.當點 C從A運動到B時，P點運動路徑長為 i .【解答】解：如圖，分別延長 AE、BF交于點H. Z A= Z FCB=60,AH / CF ,. / B= / ECA=60,CE / BH ,四邊形ECFH為平行四邊形，EF與HC互相平分.P