1、經(jīng)管院第五屆團(tuán)支書聯(lián)席會(huì)期末復(fù)習(xí)寶典浙江大學(xué)2001級(jí)微積分(上)期終考試試卷系 班級(jí) 學(xué)號(hào)姓名 考試教室題號(hào)一一二四五六七八總分復(fù)核得分評(píng)卷人汨八 一、選擇題：(每小題2分，共8分)在每題的四個(gè)選項(xiàng)中， 只有一個(gè)是正確的, 請(qǐng)把正確那項(xiàng)的代號(hào)填入空格中.設(shè) f(x) (x a)(x b)(x c)(x d ),其中 a , b , c , d 互不相等，且 f(k) (k a)(k b)(k c),則 k 的值等于().(A) .a (B) .b (C) .c (D) .d.曲線y Jx2 2x 2，當(dāng)x 時(shí)，它有斜漸進(jìn)線().(A) . y x 1(B) . y x 1(C) . y x

2、1(D) . y x 1.下面的四個(gè)論述中正確的是(). “函數(shù)f(x)在a,b上有界”是“ f(x)在a,b上可積”的必要條件；.函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b內(nèi)可導(dǎo)，x0 a,b ,那末f(x0) 0是f(x)在x0處取到 極值的充分條件；. “函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)”對(duì)于“函數(shù) f(x)在點(diǎn)x0處可微”而言既非充分也非必 要；. “函數(shù)f(x)在區(qū)間E上連續(xù)”是“ f(x)在區(qū)間E上原函數(shù)存在”的充要條件 .下面四個(gè)論述中正確的是().若 xn 0 (n 1,2,L L ),且 xn 單調(diào)遞減，設(shè) lim xn a,則 a 0； n.若 xn 0 (n 1,2,L L ),且 lim xn

3、極限存在，設(shè) lim xn a ,則 a 0 ； nn.若 lim xn a 0 ,則 xn 0 (n 1,2,L L )；na.若lim xn a 0 ,則存在正整數(shù) N ,當(dāng)n N時(shí)，都有xn a.n n2得分二、填空題:（每空格2分，共12分）只填答案. lim (x 1)tgx =x _ 2；lim (x 1)tgx x _2.函數(shù) f(u)可導(dǎo)，y f(xsinx),貝U dy= dxx x3.e cose .dx =sin e4.05sin tdt =5;0 cos tdt =得分三、求極限：（每小題7分，共14分)1.數(shù)列xn通項(xiàng)Xn=，求 lim xn. n nxsint3dt

4、.求 lim tx 0 x sinx得分四、求導(dǎo)數(shù)：（每小題7分，共21分)1. ysinxdy dxx 2.yt2,sint,dydxd2y ,2 .dx3.函數(shù)yy(x)由 xy sin y確定，求dyd2ydx x 1 2, dx2y 2;X 12,y 2.得分 五、求積分：(每小題7分，共28分) TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark13 o Current Document , x 1,.求2dx .x(x 1).求sin x cosxdx. HYPERLINK l bookmark15 o Current Document o a 2.求 0 d2a

5、x x dx (a 0).x.計(jì)算e cosxdx.2六、(6分)下面兩題做一題，其中學(xué)過(guò)常微分方程的專業(yè)做第1題，未學(xué)常微分方程的專業(yè)做第 2題.22、x dy (xy x )dx, 1.求解常微分方程：y y )y(1) 1.2.有一半徑為4米的半球形水池注滿了水，現(xiàn)要把水全部抽到距水池水面高6米的水箱內(nèi)，問至少要做多少功？得分 七、(6分)在xoy平面上將連結(jié)原點(diǎn) O(0,0)與點(diǎn)A(1,0)的線段OA (即區(qū)間0,1 )作n等分，分k2點(diǎn)(-,0)記作Pk ,對(duì)k 1,2,L ,n 1 ,過(guò)Pk作拋物線y x的切線，切點(diǎn)為Qk. n1.設(shè) PkQkA的面積為Sk ,求S/n 1.求極限

6、lim Sk .n得分 八、證明題(5分)x設(shè) f(x)在 ， 上連續(xù)，且 f(x) 0, G(x) 0tf(x t)dt.證明：又任意a,b ()，且 a b,必有 G(b) G(a) G(a)(b a) 0.浙江大學(xué)2001級(jí)微積分(下)期終考試試卷系 班級(jí) 學(xué)號(hào)得分姓名 考試教室題號(hào)一一二四五六總分復(fù)核得分評(píng)卷人(每小題3分，共15分)只填答案、填空題:.設(shè)一平面經(jīng)過(guò)原點(diǎn)及點(diǎn)6, 3,2 ,且與平面4x y 2z 8垂直，則此平面的方程是.設(shè) z xyf (), f(u)可微，貝 U dz=。 x222.曲面x 2y 3z 21在點(diǎn)(1, 2,2)的法線方程是 1.函數(shù)f(x) =一關(guān)于

7、x的哥級(jí)數(shù)展開式是 ，且展開式的收斂區(qū)間為x2 3x 21 x 0 .設(shè)f(x) 2 x 0,則其以2為周期的傅里葉級(jí)數(shù)在點(diǎn)x 處收斂于1 x ,0 x ,得分 二、選擇題：(本題共5小題，每小題3分，共15分)在每題的四個(gè)選項(xiàng)中，可只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)把正確那項(xiàng)的字母填入括號(hào)中.設(shè)直線L: x 2z 1 0 ,設(shè)平面:4x 2y z 2 0,則直線L () 2x y 10z 3 0,(A)平行于(B)在 上(C)垂直于(D)與 斜交.考慮二元函數(shù)f(x,y)的下面4條性質(zhì)：O f(x,y)在點(diǎn)(x, y)處連續(xù)；C2 f (x, y)在點(diǎn)(x, y)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)；。3 f(x,y)在點(diǎn)

8、(x0,y)處可微；O4 f(x,y)在點(diǎn)(x0,y)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，若用“ P Q ”表示可由性質(zhì) P推出性質(zhì)Q ,則有()(A) CDC3(B) C3。3.已知：J ay)dx 2 ydy為某函數(shù)的全微分，則a等于() (x y)(A)1(B) 0(C) 1(D) 2.設(shè)d為常數(shù)，則級(jí)數(shù)cos(nd) -=L ()n i n . n 1(A)絕對(duì)收斂(B)條件收斂(C)發(fā)散(D)收斂性與d有關(guān).設(shè) u ln &y2Z2 則 div(grad u ) 1為()(1,1,1)(A) 1(B) 2(C) 1(D) 03得分三、(每小題8分，共24分)2221.設(shè) z f (x y ,xy)

9、g(x2、y2),其中f具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),g具有二階導(dǎo)數(shù),求_z，通項(xiàng)zx x y.設(shè) z z(x, y)由方程 x2 y2y (-)所確定，其中 x為可微函數(shù)，求 一z , 1z x y 2.在第一卦限內(nèi)作球面x22y z 1的切平面，使得該切平面與三坐標(biāo)平面所圍成的區(qū)域的體積最小，求切點(diǎn)坐標(biāo)得分 四、(每小題8分，共16分).求二重積分V21 ,一一，一22d ,其中D是由曲線y 一,直線y 2, y x所圍成的平面區(qū)域.xx.求二重積分Jx2 y2d ，其中V是由曲線 z丫繞。2軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面(z 0)與x 0平面z 1所圍成的空間區(qū)域得分 五、(每小題8分，共16分)1.求曲線積

10、分(ey x)dx (xey 2y)dy,其中OA2oa是拋物線y 4x上自點(diǎn)0(0,0)到點(diǎn)A(1,2)的一段有向弧ydzdx 2 xyf (x, y, z) zdxdy ,其8之間的部分，法線朝上，f(x,y,z)2.求曲面積分yf(x, y,z) xdydz xf(x, y, z)S122中S是曲面z -(x y )介于平面z 2與平面z 為連續(xù)函數(shù).得分 六、(第1小題8分，第2小題6分，共14分)n 2x.求哥級(jí)數(shù) 的收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域及和函數(shù)n 1 n.證明級(jí)數(shù)(nya J1 3當(dāng)a e時(shí)收斂，當(dāng)a 0,且a e時(shí)發(fā)散.n 1 n浙江大學(xué)2002級(jí)微積分(上)期終考試試卷學(xué)

11、院 班級(jí) 學(xué)號(hào)姓名 考試教室題號(hào)一一二四五六七八總分復(fù)核得分評(píng)卷人、填空題：(每題4分，共12分)只填答案1.舉出符合各題要求的一例，并將其填入空格內(nèi)。(1)在X 0點(diǎn)不連續(xù)，但當(dāng)X 0時(shí)極限存在的函數(shù)有 ；(2)屬“ 0”或“一”未定型，且其極限存在，但極限不能用洛必達(dá)法則求得的極限0有；(3)原函數(shù)不存在，但其原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示的函數(shù)有 ；(4)有界，但不可積的函數(shù)有 ;2.已知拋物線y2ax bx c過(guò)點(diǎn)(1,2),且在該點(diǎn)的曲率圓方程是:(x 2)2 (y2)21皿.則a =2曲線在(1, 2)處的曲率k =X 23.設(shè) f (x)1 cost 出.-d f (x) =; (2)

12、 lim f(x) = dxx 1 x 11(3)0 f (x)dx =；得分 二、選擇題：(每題3分，共12分)在每題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的，可請(qǐng)把正確那項(xiàng)的字母填入括號(hào)中.設(shè) f(x)f(x),且在(0,)內(nèi)二階可導(dǎo)，又 f(x) 0,f(x) 0,則 f(x)在(,0)內(nèi)的單調(diào)性和圖形的凹向是().A.單調(diào)增，向下凹B.單調(diào)減，向下凹C.單調(diào)增，向上凹D.單調(diào)減，向上凹.函數(shù)y f (x)在點(diǎn)x0的以下結(jié)論正確的是()A.若f (x) 0 ,則f (x0)必是一極值;B.若f (x) 0,則點(diǎn)(X0, f(X0)必是曲線y f(x)的拐點(diǎn); m1C.若極限 lim nf (x0

13、-)lim n f (x0 nnf(%)f (X。)；D.若f (x)在x。處可微，則f (x)在x。的某領(lǐng)域內(nèi)有界。3.設(shè)當(dāng)xx0時(shí)，(x)(x)都是無(wú)窮小(x)0),則當(dāng)xx0時(shí)，下列表達(dá)式中f (x0)存在(n為正整數(shù))，則f(x)在x0點(diǎn)可導(dǎo)，且有不一定為無(wú)窮小的是(A.2(x).B.(x)2(x)31(x) sin- xC.ln(1(x)(x)D.(x).4.設(shè)函數(shù)f(x)x3 sin -, xx0,x0,在x0 處 f(x)(0.A.不連續(xù)；C.可導(dǎo)，但導(dǎo)數(shù)不連續(xù);B.連續(xù),D.可導(dǎo),但不可導(dǎo)；且導(dǎo)數(shù)連續(xù)。得分三、求極限:(每小題7分，共14分)1. limx 0 x sin x(

14、ex 1)ln(1 x)x 1、2x 12. lim( )x x 2得分四、求導(dǎo)數(shù):(每小題6分，共18分).設(shè) y (1 x2)esin我求 y dxx t arctantdy d y.2求，一2.y ln(1 t ), dx dx一，、，一一，dy3.函數(shù) y y(x)由 x y arctan y 0 所確te,求一 dxd2y dx2 .得分 五、求積分：(每小題6分，共24分)cosxsin x1.dx.2.(xdx . x 1)3.22(x3 x2) , 4 x2dx .2 cos2x4.ex cos2 xdx.0s 六、10分)下面兩題做一題，其中學(xué)微積分 甲)的專業(yè)做第甲題，學(xué)微

15、積分 分 (乙)的專業(yè)做第乙題。(甲)：(1)在拋物線y 1 x2上找一點(diǎn)P(a,b)(a 0),過(guò)P點(diǎn)作拋物線的切線，使此切線與拋物線及兩坐標(biāo)軸所圍成的區(qū)域面積最小，求P點(diǎn)坐標(biāo)。(2)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)，極限lim f (x) , lim f (x)存在，且兩者異x ax a號(hào)，證明方程f (x) 0在(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。(乙)：設(shè)有一邊界有兩條拋物線22y x與y 4 3x所圍成的平板。(1)畫出平板的圖形，并計(jì)算其面積；(2)將此平板鉛直置于水中，水平面在y 1處，試求平板一側(cè)所受到的水的靜壓力。 TOC o 1-5 h z 得分dd HYPERLINK l b

16、ookmark37 o Current Document 11 七、(5分)設(shè)數(shù)列xn由下式給出：Xi 0, xn 1 (xn )(n 1,2,L ),2Xn證明數(shù)列xn極限存在，并求lim xnn n得分八、證明題(5分)設(shè)f(x)在a,b內(nèi)二階可導(dǎo)，且f (x) 0,1)，恒有證明：對(duì)于任意的 x1,x2 (a,b),且x1義2及 (0f( xi (1)x2)f(xi) (1)f(x2).得分1.二元函數(shù)浙江大學(xué)2002級(jí)微積分(下)期終考試試卷系 班級(jí) 學(xué)號(hào)姓名 考試教室題號(hào)一一二四五六總分復(fù)核得分評(píng)卷人一、選擇題：(本題共5小題，每小題3分，共15分)在每題的四個(gè)選項(xiàng)中, 只有一個(gè)是正

17、確的，請(qǐng)把正確那項(xiàng)的字母填入括號(hào)中。f (x, y)在點(diǎn)(x0, y0)處可微是f (x, y)在該點(diǎn)兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在的()(A)充分條件而非必要條件(B)必要條件而非充分條件(C)充分必要條件(D)既非充分條件又非必要條件2二元函數(shù)f (x, y)Syr，(x, y) (0,0)x2 y2,在點(diǎn)(0,0)處()0,(x, y) (0,0)(A)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在(C)不連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在(B)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)不存在(D)不連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)不存在3.設(shè)直線Li :人/二8與L2： x y 6, ,則Li與L2的夾角為(1212y z 3,(A)一 6(C)一3(D)4.下列級(jí)數(shù)中收斂的級(jí)數(shù)是()(A)n/

18、3(B)( 1)n HYPERLINK l bookmark147 o Current Document n 1n 1( 1)nn2n 1(D)3 -.x0 1x2dxur5.設(shè)力fr2ir rj 2k作用在一質(zhì)點(diǎn)上，該質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)M1(1,1,1)沿直線移動(dòng)到點(diǎn) M 2(2, 2,2),則此力所作的功為()(A) 2(B)134得分二、填空題:(每小題3分,共24分)只填答案.設(shè)一平面經(jīng)過(guò)原點(diǎn)及點(diǎn)6, 3,2 ,且與平面4x y 2z 1垂直，則此平面的方程是rr.與矢量a 1,1,1,矢量b 1,2,1都垂直的單位矢量是 3_3.設(shè)方程 z3xyz a 確te z z(x, y),貝U dz

19、=。.曲面z ez 2xy 3在點(diǎn)(1,2,0)處的切平面方程是 。5.x2 y2 1,22、(x y )dxdy 一.設(shè)曲線：x a cost, y a sint, z bt(0 t 2 ),則 (x2 y2)ds=。.設(shè)備級(jí)數(shù)anxn的收斂半徑為3,則哥級(jí)數(shù)nan(x 1)n 1的收斂區(qū)間為 n 0n 13.設(shè)f(x) ex ,則f (x)的麥克勞林級(jí)數(shù)展開式為 。得分 三、計(jì)算(每小題 8分，共16分).22 4z z2z.設(shè)z f(x y,x), f具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，求一，一，。x y x y.設(shè)函數(shù) u ln(x2y2 z2),u在點(diǎn)M (1,2, 2)處沿哪個(gè)方向的方向?qū)?shù)最大

20、；(2)求u在點(diǎn)M (1,2, 2)處的最大方向?qū)?shù)。得分 四、計(jì)算(每小題 8分，共16分).計(jì)算三重積分(y z)d ，其中 是由z &_y2與z J1 x2 y2所圍成的區(qū)域。22x y.求平面x 2y 2z 1含在橢圓柱面 1內(nèi)的面積。49得分五、計(jì)算（每小題 8分，共16分）2C沿上半圓周.計(jì)算/y=.dx 4x 2yln(x Jr2 x2)dy(R 0),其中 c . R2 x2x2 y2R2(y 0)從點(diǎn) A( R,0)到點(diǎn) B(R,0)。.求曲面積分 0Z3dxdy,其中S為球面x2 y2 z2 1的外側(cè)。S得分 六、（第1小題7分，第2小題6分，共13分）n 11.求哥級(jí)數(shù)x

21、n的和函數(shù)，并指出收斂域。n 0 2n n!2.就a 0的不同取值，討論級(jí)數(shù)n(n 1)a 2n 1 (1 a)(1a2)L (1 an)的收斂性。浙江大學(xué)2003- 2004學(xué)年第一學(xué)期期末考試微積分試卷開課學(xué)院：理學(xué)院任課教師： 姓名: 專業(yè)： 學(xué)號(hào)： 考試時(shí)間：120分鐘題序一一二四五六總分得分評(píng)卷人復(fù)評(píng)人得分評(píng)閱人一、填空題(本大題 24分，每個(gè)空格 4分)、ax b . x 11.設(shè) f(x) 3 , 若 f(x)在 x 1處可導(dǎo)，則a=,b =x ,x 1,2.函數(shù)yx (x 2)的圖形有鉛直漸近線 (x 1)和斜漸近線x 2 ex sin tdt3.lim -0 x 0 (e 1

22、)sin x一 f (x)f (x)在x 0連續(xù)，且lim1 ,則 f (0) =得分評(píng)閱人4.設(shè)y二、(本大題9分)、設(shè)f (x) 2xx sint2 .0 1 t2 dt , P(x) ax bx c.求常數(shù)a , b , c,使p(0)f(0), p(0)f(0), p(0) f(0).得分評(píng)閱人三、計(jì)算題(本大題 40分，每小題5分)、1.lim (n12_1_丁22Ldx2. c .2c 22sin x 3cos x3.x2 . 4 x (x41) sin(x 1)dx4.設(shè) f (0) 1 , f (0)2,求 limf(1)5.xtan2xlim(tan x)x _46.2y(x

23、)滿足xyexy 2,求曲線y y(x)在(0,2)處的切線方程.7.f(x)x2t2e11dt,求 0 xf (x)dx8.arctanx 口1 丁出得分評(píng)閱人四、(本大題12分)設(shè)l1為曲線y x2在點(diǎn)2A(a,a )(a 0)處的切線，l2為曲線yx2的另一條切線，且與直線11垂直.(1)求直線11和12的交點(diǎn)坐標(biāo);(2)求曲線y x與切線li和12所圍成的平面圖形的面積，試問當(dāng)a為何值時(shí)，該面積最??？得分評(píng)閱人五、(本大題8分)、設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，M、m分別是f (x)在a,b上的最大值和最小值.證明：存在m,M ,使得ba f(x)dx(ba).得分評(píng)閱人六、(本大題7分)、設(shè)0f (x) k