1、可轉債期權定價模型（二叉樹模型）業(yè)務說明1、可轉換公司債券定價的理論基礎可轉換公司債券可以近似的看作是普通債券與股票期權的組合體。首先，可轉換公司債券的持有者可以按照債券上約定的轉股價格，在轉股期間內行使轉股權利，這實際相當于以轉股價格為期權執(zhí)行價格的美式買權，一旦市場價格高于期權執(zhí)行價格，債券持有者就可以行使美式買權從而獲利。其次，由于發(fā)行人在可轉換公司債券的贖回條款中規(guī)定如果股票價格連續(xù)若干個交易日高于某一贖回啟動價格（該贖回啟動價要高于轉股價格），發(fā)行人有權按一定金額予以贖回。所以，贖回條款相當于債券持有人在購買可轉換公司債券時就無條件出售給發(fā)行人的一張美式買權。當然，發(fā)行人期權存在的前

2、提是債券持有人的期權還未執(zhí)行，如果債券持有人實施轉股，發(fā)行人的贖回權對該投資者也歸于無效。第三，還有可轉換債券中的回售條款規(guī)定，如果股票價格連續(xù)若干個交易日收盤價低于某一回售啟動價格（該回售啟動價要低于轉股價格），債券持有人有權按一定金額回售給發(fā)行人。所以，回售條款相當于債券持有人同時擁有發(fā)行人出售的一張美式賣權。綜上所述，可轉換公司債券相當于這樣一種投資組合：投資者持有一張與可轉債相同利率的普通債券，一張數(shù)量為轉換比例、期權行使價為初始轉股價格的美式買權，一張美式賣權，同時向發(fā)行人無條件出售了一張美式買權。所以，可轉換公司債券的價值可以用以下公式近似表示：可轉換公司債券價值Q純粹債券價值期權

3、價值2二叉樹法理論（）根據(jù)衍生證券定價的二叉樹法理論（），我們把衍生證券的有效期分為很多很小的時間間隔A,假設在每一個時間段內股票價格從開始的運動到兩個新值Su和Sd中的一個。一般情況下，因此到Su是價格“上升”運動，到Sd是價格“下降”運動。價格上升的概率假設是，下降的概率則為一。當時間為時，股票價格為；時間為A時，股票價格有兩種可能：Su和Sd；時間為A時，股票價格有三種可能：Su2、Sud和Sd2，以此類推，圖給出了股票價格的完整樹圖。在A時刻，股票價格有種可能，它們是：圖1：股票價格變動二叉樹圖期權價格的計算是從樹圖的末端（時刻）向后倒推進行的。時刻期權的價值是已知的。例如一個買權的價

4、值為（一，），而一個賣權價值為（一，），其中是時刻的股票價格，是執(zhí)行價格。由于世界是風險中性的，A時刻每個節(jié)點上的期權價值都可以由時刻期權價值的期望值用利率貼現(xiàn)求得。同樣，A時刻的每個節(jié)點的期權價值可由A時刻的期望值利用利率貼現(xiàn)求得，以此辦法向后倒推通過所有的節(jié)點就可得到0時刻的期權價值。如果期權是美式的，則檢查二叉樹的每個節(jié)點，以確定提前執(zhí)行是否比將期權再持有A時間更有利。在這里我們假設世界是風險中性的并利用風險中性定價原理，可以求出以上各個參數(shù)的數(shù)值，其計算公式為：P壘,u1udduedeaer其中：為無風險利率;指可轉債對應股票價格每年波動率；A期權有效期的時間間隔；指二叉樹圖中股票價格

5、向上運動的幅度；指二叉樹圖中股票價格向下運動的幅度；可以驗證，在極限情況下，即A-時，這種股票價格運動的二叉樹模型將符合幾何布朗運動模型。因此，股票價格二叉樹模型就是股票價格連續(xù)時間模型的離散形式。計算示例（一）假設前提1、利率期限結構是平坦的。2、現(xiàn)金紅利支付為零3、不考慮違約風險對可轉換公司債券收益的影響4、公司理性地執(zhí)行它的贖回期權（二）模型中各參數(shù)的確定i實際上，通常選擇為等于衍生證券到期日相同的零息票債券的收益率；因此，理論上說，中國財政部最近一期發(fā)行的三年期國債的收益率為最佳的選擇。最近所發(fā)憑證式3年期國債利率為，我們最終選擇作為無風險利率。2指可轉債對應股票價格每年波動率，其計算

6、公式為：股價年波動率（）每交易日股價波動率xj每年的交易日數(shù)一般來說，數(shù)據(jù)越多，估計的精度越高。但是，太過長遠的歷史數(shù)據(jù)對預測可能作用不大。實踐中通常使用最近天到天的每日股票收盤價格。（具體算法參見模型的需求文檔）。3、某公司發(fā)行期限為9個月的可轉換公司債券，債券面值為10，0債券可以在存續(xù)期內的任何時刻轉換為2股公司股票，也可以在任何時刻以11元5的價格贖回。可轉債發(fā)行時，公司股票價格為50元，股票波動率為30。市場無風險收益曲線為水平，年收益率為10。該公司債券的收益率曲線也為水平，收益率為。（）投資人美式買權價值的計算設定計算步長為1年，將下列數(shù)據(jù)30%,r2.%,T0.5yearS0.

7、5代入公式，可求得以下參數(shù)：ueBeo.3o.25I.1618d1/u0.8607aBerBBl.0060paBdB0.5467ud78.4210%58.09H10%116.1843.04I15%100.0031.88J15%100.00G156.84二叉樹上每個節(jié)點旁邊有三個數(shù)字，上面的數(shù)字代表股票價格，中間的數(shù)字代表從后面節(jié)點遞推得到的折現(xiàn)率，下面的數(shù)字代表可轉換債券的價格。根據(jù)這些參數(shù)和當前股票價格我們可以首先計算出圖中所示各個節(jié)點的股票價格。F面我們來計算各個節(jié)點上債券的價格。在二叉樹末端節(jié)點、上債券的價格分別記為Q&Qi、J則:QGQHQIQJmax78.42lfcl5684maxi

8、0Q2B58.09.11618max43.04.100max.Q231.88.100由于在節(jié)點之后，投資者肯定會將債券轉化為股票，因此點的折現(xiàn)率就是無風險收益率。為了求節(jié)點的債券價格，我們需要計算由節(jié)點、遞推得到的債券價格，并和節(jié)點的贖回價格、債券評價比較。我們將由節(jié)點、遞推得到的債券價格記為Qd1，則:Q546756.840.453316.18*.皿25134.98D1贖回價格記為Q，貝D2Q115D2債券平價記為QD3Q267.49134.98D3節(jié)點的債券價格記為Q，貝DQmaxmin(Q,Q),Qmaxmin(134.9&115),134.98134.98DD1D2D3由于遞推得到的債

9、券價格與平價(轉換價值)相等，因此是否將債券轉股對投資者無所謂。公司對是否贖回債券也無所謂。在節(jié)點，折現(xiàn)率為4X由節(jié)點、遞推得到節(jié)點的債券價格記為Q，貝E1Q546716.180.453300鼻2.27%).25105.56E1贖回價格記為Q，貝E2Q115E2債券平價記為Q，貝：E3Q250100E3節(jié)點的債券價格記為Q，貝EQmaxmin(Q,Q),Qmaxmin(105.56,115),100105.56EE1E2E3顯然，在這個價格水平，債券既不會轉股，也不會被贖回。在節(jié)點之后，由于投資者肯定持有債券到其后贖回，因此，點的折現(xiàn)率就是債券的收益率15。由節(jié)點、遞推得到節(jié)點債券的價格記為Q

10、，貝F1QlOOe0.15).2596.32F1贖回價格記為Q,貝：F2Q115F2債券平價記為Q，貝：F3QB2H37.04H74.08F3節(jié)點的債券價格記為Q，貝DQmaxmin(Q,Q),Qmaxmin(96.32,115),96.32H96.32FF1F2F3在節(jié)點，折現(xiàn)率應當是節(jié)點和折現(xiàn)率的加權平均值，即X75由節(jié)點、遞推得到債券的價格記為Q，貝B1Q(0.5467134.990.453305.56)e1.03%毗5118.34B1贖回價格記為Q，貝：B2Q115B2債券平價(轉換價格)記為Q258.09116.18B3節(jié)點的債券價格記為Q，貝I：BQmaxmin(Q,Q),Qmax

11、min(119.34,115),116.18116.18BB1B2B3顯然，在，節(jié)點公司將選擇贖回債券，從而強迫投資者立即轉股，得到實際價格為。.18在節(jié)點，折現(xiàn)率應當是節(jié)點和折現(xiàn)率的加權平均值，即X+53由節(jié)點、遞推得到債券的價格記為Q，貝C1Q(0.5467H105.560.453396.32)e3.51%H).2598C1債券平價(轉換價格)記為Q，貝C2Q115C2節(jié)點的債券價格記為Q，貝CQmaxmin(Q,Q),Qmaxmin(98,115),86.0698CC1C2C3顯然，在點債券既不會轉股，也不會被贖回。為了求節(jié)點的折現(xiàn)率，我們假設節(jié)點的折現(xiàn)率為(因為在節(jié)點發(fā)生轉股)。節(jié)點的折現(xiàn)率就是0.