1、期 末 復(fù) 習(xí)風(fēng)險(xiǎn)理論與非壽險(xiǎn)精算主要內(nèi)容第一章 風(fēng)險(xiǎn)與精算第二章 損失分布第三章 損失分布的貝葉斯方法第四章 隨機(jī)模擬第五章 短期個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)模型第六章 短期聚合風(fēng)險(xiǎn)模型第七章 長(zhǎng)期聚合風(fēng)險(xiǎn)模型第八章 效用理論與保險(xiǎn)決策第九章 費(fèi)率厘定第十章 經(jīng)驗(yàn)費(fèi)率第十一章 準(zhǔn)備金第十二章 再保險(xiǎn)第一章 風(fēng)險(xiǎn)與精算1.1 風(fēng)險(xiǎn)的含義1.2 保險(xiǎn)經(jīng)營(yíng)中的風(fēng)險(xiǎn)和風(fēng)險(xiǎn)因素1.3 保險(xiǎn)精算問(wèn)題1.4 本書的基本內(nèi)容1.2 保險(xiǎn)經(jīng)營(yíng)中的風(fēng)險(xiǎn)和風(fēng)險(xiǎn)因素保險(xiǎn)公司的收支收入支出保費(fèi)收入賠付投資收入營(yíng)運(yùn)費(fèi)用分保和再保險(xiǎn)傭金再保險(xiǎn)費(fèi)新投入資本紅利、稅務(wù)其他收入其他雜費(fèi)保險(xiǎn)公司面臨的不確定因素（非壽險(xiǎn)公司經(jīng)營(yíng)中的風(fēng)險(xiǎn)因素）保費(fèi)計(jì)算

2、與實(shí)際相差較大；準(zhǔn)備金的提取不充分；賠付過(guò)早發(fā)生；營(yíng)運(yùn)成本擴(kuò)大；傭金的提高；投資失利；巨災(zāi)事故頻繁發(fā)生；風(fēng)險(xiǎn)聚合估計(jì)不周；意外責(zé)任事故的賠付；市場(chǎng)條件發(fā)生不利的變化；保單責(zé)任文字界定不清晰；宏觀經(jīng)濟(jì)環(huán)境的不利變化；法律法規(guī)的改變；公司管理人員的貪污瀆職行為；保險(xiǎn)精算的四個(gè)問(wèn)題：（1）厘訂費(fèi)率（2）準(zhǔn)備金計(jì)提及其分配（3）再保險(xiǎn)形式的選擇及自留額的確定問(wèn)題（4）資產(chǎn)負(fù)債配比與償付能力問(wèn)題1.3 保險(xiǎn)精算問(wèn)題第二章 損失分布2.1 引言2.2 獲得損失分布的一般過(guò)程2.3 損失分布的數(shù)學(xué)工具2.4 擬合損失分布損失與賠付損失：承保標(biāo)的的可能發(fā)生的實(shí)際損失大小。賠付：保險(xiǎn)人按承保合同規(guī)定的保險(xiǎn)責(zé)任所

3、支付的實(shí)際費(fèi)用。賠付實(shí)際損失2.1 引言2.2 獲得損失分布的一般過(guò)程獲得隨機(jī)變量概率分布的方法：數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法 又稱為頻率學(xué)派方法，主要依靠樣本信息來(lái)估計(jì)未知參數(shù)，從而獲得概率分布。貝葉斯方法又稱為主觀貝葉斯方法，通過(guò)采用“先驗(yàn)概率”、“損失函數(shù)”等主觀信息，在不具備樣本信息的情況下估計(jì)未知參數(shù)，獲得損失分布。隨機(jī)模擬方法利用現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)，用機(jī)器的高速運(yùn)算結(jié)果來(lái)模擬實(shí)際過(guò)程，以獲得對(duì)實(shí)際過(guò)程的了解。2.3 損失分布的數(shù)學(xué)工具矩母函數(shù)定義矩母函數(shù)性質(zhì)矩母函數(shù)性質(zhì)矩母函數(shù)定義矩母函數(shù)性質(zhì)2.4 擬合損失分布整理記錄數(shù)據(jù)頻率直方圖頻率折線圖密度函數(shù)累積頻率曲線圖分布函數(shù)分布參數(shù)的估計(jì)矩估計(jì)法、極大

4、似然估計(jì)法、分位點(diǎn)法常用分布二項(xiàng)分布、泊松分布、均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布、伽瑪分布、貝塔分布期望、方差第三章 損失分布的貝葉斯方法3.1 貝葉斯方法的基本過(guò)程3.2 先驗(yàn)概率的估計(jì)3.3 先驗(yàn)概率與后驗(yàn)概率3.4 損失函數(shù)與貝葉斯估計(jì)量3.5 貝葉斯方法的理論基礎(chǔ)主觀概率3.1 貝葉斯方法的基本過(guò)程估計(jì)參數(shù)的貝葉斯方法步驟：步驟1：選擇隨機(jī)變量的先驗(yàn)分布步驟2：確定似然函數(shù) 假設(shè)所獲得的觀察值為x1,x2,xn，構(gòu)造似然函數(shù) 記為步驟3：確定參數(shù)的后驗(yàn)分布 由貝葉斯公式求得關(guān)于參數(shù)的后驗(yàn)分布：步驟4：選擇損失函數(shù)步驟5：估計(jì)參數(shù) 通過(guò)求損失函數(shù)期望值的最小值，作為參數(shù)的貝葉斯估計(jì)值。 3.

5、1 貝葉斯方法的基本過(guò)程從先驗(yàn)概率到后驗(yàn)概率的過(guò)程是直接應(yīng)用貝葉斯公式，即3.3 先驗(yàn)概率與后驗(yàn)概率其中 是與無(wú)關(guān)的常數(shù)。可以把貝葉斯公式簡(jiǎn)化為 表示“成比例關(guān)系”。3.4 損失函數(shù)與貝葉斯估計(jì)量常用的三種損失函數(shù)形式及其貝葉斯估計(jì)第四章 隨機(jī)模擬4.1 引 言4.2 均勻分布的隨機(jī)數(shù)與偽隨機(jī)數(shù)4.3 服從各種分布的隨機(jī)數(shù)4.4 模擬應(yīng)用舉例4.5 模擬樣本的容量4.2 均勻分布的隨機(jī)數(shù)與偽隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生均勻分布隨機(jī)數(shù)的方法：1、檢表法2、物理方法（可獲得真正的隨機(jī)數(shù)）3、數(shù)學(xué)方法（偽隨機(jī)數(shù)）自然取中法（平方取中法）倍積取中法乘同余法（Skellam一階線性同余法）隨機(jī)數(shù)生成方法： 1) 反函數(shù)法

6、 2) 取舍法 3) Box-Muller法 4) 極方法標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：1) 檢表法2) 中心極限定理法標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 正態(tài)分布N(,2) 對(duì)數(shù)正態(tài)分布 u v =+u exp(v)4.3 服從各種分布的隨機(jī)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)生成方法泊松分布的隨機(jī)數(shù)泊松分布隨機(jī)數(shù)生成方法：1) 一般的離散型隨機(jī)變量生成方法2) 分?jǐn)?shù)乘積法 (適用于較小時(shí))步驟： 1)首先從0點(diǎn)開(kāi)始，若e-u1，則令x=0; 2)否則，若e-u1u2，則令x=1; 3)依此方法繼續(xù)，直至存在某個(gè)k 首次滿足 ，則令x=k。3) 中心極限定理法 (適用于較大時(shí))一般地，對(duì)估計(jì)值的精確度要求越高，對(duì)樣本容量的要求就越大。4.5 模

7、擬樣本的容量第五章 短期個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)模型5.1 引 言5.2 個(gè)別保單的理賠分布5.3 獨(dú)立和分布的卷積5.4 求理賠分布的矩母函數(shù)法5.5 中心極限定理與正態(tài)分布逼近5.6 應(yīng)用舉例5.1 引 言假定第i 張保單可能的理賠為Xi，則Xi為非負(fù)隨機(jī)變量(i=1,2,n)。進(jìn)而保險(xiǎn)人在這個(gè)時(shí)間段內(nèi)的理賠或賠付總量為： 稱之為短期個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)模型。短期個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)模型的四個(gè)假設(shè)條件假設(shè)1 每張保單是否發(fā)生理賠以及理賠額大小是相互獨(dú)立的，即Xi是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。假設(shè)2 每張保單至多發(fā)生一次理賠。若用隨機(jī)變量I表示每張保單可能發(fā)生理賠的次數(shù)，則 ，其中q表示發(fā)生理賠的概率。假設(shè)3 保單組合中的風(fēng)險(xiǎn)均為同質(zhì)風(fēng)險(xiǎn)

8、，即每張保單的理賠額變量Xi具有相同的概率分布。假設(shè)4 保單總數(shù)n是事先確定的正整數(shù)。因此又稱個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)模型為封閉模型。5.2 個(gè)別保單的理賠分布一般地，若隨機(jī)變量X可表示為兩個(gè)隨機(jī)變量I和B的乘積 X =I B ，則有兩項(xiàng)卷積離散型隨機(jī)變量的兩項(xiàng)卷積5.3 獨(dú)立和分布的卷積5.4 求理賠分布的矩母函數(shù)法對(duì)于獨(dú)立的隨機(jī)變量和 ，由于X1,X2,Xn相互獨(dú)立，因此有：若X1,X2,Xn同分布，設(shè)其共同的矩母函數(shù)為MX(t) ，則有：5.5 中心極限定理與正態(tài)分布逼近利用中心極限定理求保單數(shù)很多時(shí)保單組合的總理賠分布，基本步驟為：1、利用個(gè)體理賠的分布計(jì)算總理賠S的均值 和方差 。2、對(duì)S的分布進(jìn)行

9、標(biāo)準(zhǔn)化處理：3、利用中心極限定理近似計(jì)算：5.5 中心極限定理與正態(tài)分布逼近令 ，稱E(S)為保單組合的安全附加保費(fèi)，稱為相對(duì)附加安全系數(shù)（或安全附加保費(fèi)率）。第六章 短期聚合風(fēng)險(xiǎn)模型6.1 引 言6.2 理賠次數(shù)和理賠額的分布6.3 理賠總量模型6.4 復(fù)合泊松分布及其性質(zhì)6.5 聚合理賠量的近似模型6.1 引 言用N表示某類保單在單位時(shí)間內(nèi)的理賠次數(shù)，用Ci表示該類保單第i次理賠金額，則理賠總量S為： 稱為短期聚合風(fēng)險(xiǎn)模型，其中：N取值為非負(fù)整數(shù)，稱為理賠數(shù)變量。Ci是取值于正數(shù)（連續(xù)或離散）稱為理賠額變量。命題6.3 設(shè)若短期聚合風(fēng)險(xiǎn)模型中的N和C的數(shù)學(xué)期望和方差都存在，則有6.3 理賠

10、總量模型6.4 復(fù)合泊松分布及其性質(zhì)復(fù)合泊松分布S的分布函數(shù)和密度函數(shù)：S的均值和方差：S的矩母函數(shù)：6.4 復(fù)合泊松分布及其性質(zhì)定理6.4.1 若S1,S2,Sm是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且Si是服從參數(shù)為i的復(fù)合泊松分布，理賠額的分布函數(shù)為Pi(x), i=,1,2,m，則S= S1+S2+Sm服從參數(shù)為 的復(fù)合泊松分布， S的理賠額的分布函數(shù)為：1、求和的封閉性6.4 復(fù)合泊松分布及其性質(zhì)定理6.4.2 假設(shè)S服從復(fù)合泊松分布，參數(shù)0，個(gè)別理賠額為離散型概率分布，記i=P(C=xi)，其中x1,x2,xm表示個(gè)別理賠額的取值；記Ni為S中取值為xi的次數(shù)，i=1,2,m，則有 ，且 則以下結(jié)

11、論成立：a) N1,N2,Nm相互獨(dú)立；b) Ni服從參數(shù)i =i的泊松分布， i=1,2,m 。2、可分解性6.4 復(fù)合泊松分布及其性質(zhì)推論6.4.1 假設(shè)S服從復(fù)合泊松分布，若理賠額C僅取值為正整數(shù)，則有如下迭代公式：3、分布計(jì)算的遞推性第七章 長(zhǎng)期聚合風(fēng)險(xiǎn)模型 （破產(chǎn)理論）7.1 盈余過(guò)程與破產(chǎn)概率7.2 理賠過(guò)程7.3 破產(chǎn)概率7.4 破產(chǎn)概率與調(diào)節(jié)系數(shù)7.1 盈余過(guò)程與破產(chǎn)概率盈余過(guò)程模型為：其中S(t)稱為理賠過(guò)程，表示從0到t時(shí)刻發(fā)生的所有理賠之和。7.1 盈余過(guò)程與破產(chǎn)概率性質(zhì)7.1.1 對(duì)于u1u2及0t1t2，有以下結(jié)論成立：第八章 效用理論與保險(xiǎn)決策問(wèn)題8.1 引言8.2

12、 效用與期望效用原理8.3 效用函數(shù)與風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度8.4 效用原理與保險(xiǎn)定價(jià)問(wèn)題8.5 期望效用的計(jì)算8.6 效用理論的應(yīng)用8.2 效用與期望效用原理最大期望效用原理：在具有風(fēng)險(xiǎn)和不確定的條件下，個(gè)人進(jìn)行決策的行為動(dòng)機(jī)和準(zhǔn)則是獲得最大的期望效用值，而不是為了獲得最大期望金額值。風(fēng)險(xiǎn)和不確定情形下的一般決策準(zhǔn)則：人們將追求效用的期望值盡可能地達(dá)到最大。8.3 效用函數(shù)與風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度決策者的三類風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度：1、u(w)為線性函數(shù)，即u(w)=0，稱決策者為風(fēng)險(xiǎn)中立型。2、u(w)為凸函數(shù)（上凸），即u(w)0時(shí)，稱決策者為風(fēng)險(xiǎn)偏好型。8.4 效用原理與保險(xiǎn)定價(jià)問(wèn)題對(duì)投保人來(lái)說(shuō)，若選擇投保，則效用不低于直接面

13、臨風(fēng)險(xiǎn)的期望效用，則保費(fèi)H應(yīng)滿足：當(dāng)H達(dá)到使不等號(hào)成立的最大值時(shí)，是否投保就無(wú)所謂了，這就是該投保人可接受的最高保費(fèi)H*。8.4 效用原理與保險(xiǎn)定價(jià)問(wèn)題對(duì)保險(xiǎn)人來(lái)說(shuō)，承保保費(fèi)G應(yīng)該滿足：當(dāng)G 降至使不等號(hào)成立的最小值時(shí)，達(dá)到了承保人可接受的最低保費(fèi)G* 。第九章 費(fèi)率厘訂9.1 基本概念9.2 費(fèi)率厘定與保險(xiǎn)定價(jià)9.3 理論保費(fèi)9.4 費(fèi)率厘訂方法純保費(fèi)：每個(gè)風(fēng)險(xiǎn)單位的平均賠款金額。計(jì)算公式：PL/E 其中：P為純保費(fèi)，L為賠款總額，E為風(fēng)險(xiǎn)單位數(shù)。純保費(fèi)也可表示為： PN/EL/NFS 即純保費(fèi)等于索賠頻率與索賠強(qiáng)度的乘積。9.1 基本概念9.1 基本概念保險(xiǎn)費(fèi)率：簡(jiǎn)稱費(fèi)率，是一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)單位的

14、保費(fèi)。保險(xiǎn)費(fèi)：由保險(xiǎn)費(fèi)率可以計(jì)算出一份保單的保險(xiǎn)費(fèi)。由純保費(fèi)和附加保費(fèi)兩部分構(gòu)成。承保保費(fèi)（written premium）承擔(dān)保費(fèi)/已賺保費(fèi)（earned premium）有效保費(fèi)（in-force premium）保險(xiǎn)費(fèi)（毛保費(fèi)） 純保費(fèi) + 附加保費(fèi)9.2 費(fèi)率厘定方法毛費(fèi)率厘定方法純保費(fèi)法賠付率法均衡保費(fèi)的計(jì)算：平行四邊形法最終賠款的預(yù)測(cè)：損失進(jìn)展法純保費(fèi)法純保費(fèi)法：在純保費(fèi)上附加各種必要的費(fèi)用和利潤(rùn)。不僅能彌補(bǔ)期望索賠與費(fèi)用支出，而且能提供期望利潤(rùn)。計(jì)算公式：其中：R每風(fēng)險(xiǎn)單位的費(fèi)率； P純保費(fèi)； F每風(fēng)險(xiǎn)單位的固定費(fèi)用； V可變費(fèi)用因子； Q利潤(rùn)因子。從而有： 其中：RV為可變費(fèi)用

15、，RQ為利潤(rùn)。平行四邊形法平行四邊形法（parallelogram method）：假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)單位在經(jīng)驗(yàn)期內(nèi)均勻分布，根據(jù)簡(jiǎn)單的幾何關(guān)系，將各日歷年的已賺保費(fèi)調(diào)整到當(dāng)前費(fèi)率水平。優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算簡(jiǎn)單、省時(shí)，尤其適用于滿期風(fēng)險(xiǎn)單位不易得到時(shí)。缺點(diǎn)：前提假設(shè)是簽單業(yè)務(wù)和保費(fèi)收入是均勻的。若不符合假設(shè)，則計(jì)算結(jié)果不正確。損失進(jìn)展法損失發(fā)展法的基本假設(shè)：過(guò)去損失經(jīng)驗(yàn)會(huì)重復(fù)發(fā)生在未來(lái)，因此可從過(guò)去損失經(jīng)驗(yàn)預(yù)測(cè)未來(lái)的損失。其計(jì)算過(guò)程如下：(1)將過(guò)去損失資料按事故年度、保單年度或報(bào)告年度整理成流量三角形；(2)求各期之間的損失進(jìn)展因子；(3)求各期至最終的損失進(jìn)展因子；(4)求各年度的最終賠款金額。第十章 經(jīng)驗(yàn)費(fèi)

16、率（信度理論）10.1 信度理論10.2 貝葉斯方法在信度理論中的應(yīng)用10.3 有限波動(dòng)信度10.4 最小平方信度10.5 獎(jiǎng)懲系統(tǒng)（BMS）10.1 信度理論設(shè) 表示對(duì)特定風(fēng)險(xiǎn)抽樣數(shù)據(jù)的期望，用表示與特定風(fēng)險(xiǎn)相似的風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行抽樣的數(shù)據(jù)期望。信度公式可表示為：當(dāng)Z1時(shí)，稱為完全信度。當(dāng)Z0時(shí)，則只能基于相似風(fēng)險(xiǎn)的數(shù)據(jù)。當(dāng)0Z1時(shí)，稱為部分信度。10.1 信度理論信度理論有兩種方法：古典信度模型：也稱有限波動(dòng)信度模型，試圖控制數(shù)據(jù)中的隨機(jī)波動(dòng)對(duì)估計(jì)值的影響。最精確信度模型：也稱為最小二乘信度模型，試圖使估計(jì)誤差盡可能的小。分為：Bhlmann信度模型Bhlmann-Straub信度模型10.6 獎(jiǎng)

17、懲系統(tǒng)（BMS）一個(gè)完整的獎(jiǎng)懲系統(tǒng)必須包括三個(gè)要素：保費(fèi)等級(jí)起始級(jí)別轉(zhuǎn)移規(guī)則，即依據(jù)上一年的賠案記錄決定在折扣組別間轉(zhuǎn)移的規(guī)則。獎(jiǎng)懲系統(tǒng)可描述為一個(gè)馬爾可夫鏈，轉(zhuǎn)移規(guī)則可用轉(zhuǎn)移概率來(lái)描述。設(shè)保險(xiǎn)公司的獎(jiǎng)懲系統(tǒng)中共設(shè)了n個(gè)保費(fèi)等級(jí)。(t)表示時(shí)刻t各個(gè)級(jí)別保單持有人的分布狀況；M表示轉(zhuǎn)移矩陣(aij)nn，其中aij表示在時(shí)刻t，級(jí)別i的保單持有人于時(shí)刻t+1在級(jí)別j的概率。則有：若t，則有一定條件下有： 此時(shí)為穩(wěn)定狀況下的保單持有人的分布狀況。第十一章 準(zhǔn)備金11.1 非壽險(xiǎn)準(zhǔn)備金概述11.2 鏈梯法11.3 案均賠款法11.4 準(zhǔn)備金進(jìn)展法11.5 B-F法（修正IBNR法）我國(guó)的非壽險(xiǎn)準(zhǔn)備金分類我國(guó)保險(xiǎn)公司非壽險(xiǎn)業(yè)務(wù)準(zhǔn)備金管理辦法（試行）第五條規(guī)定，保險(xiǎn)公司非壽險(xiǎn)業(yè)務(wù)準(zhǔn)備金包括三類：未到期責(zé)任準(zhǔn)備金；未決賠款準(zhǔn)備金；中國(guó)保監(jiān)會(huì)規(guī)定的其他責(zé)任準(zhǔn)備金。11.1 非壽險(xiǎn)準(zhǔn)備金概述11.1 非壽險(xiǎn)準(zhǔn)備金概述未到期責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)提比例法二分法假設(shè)保險(xiǎn)公司年度保費(fèi)在全年內(nèi)均勻流入，年末應(yīng)提余50%作為未到期責(zé)任準(zhǔn)備金。八分法二十四分法三百六十五分法11.2 鏈梯法基本思想：各事故年的賠案支出延遲大體是相同的，從而可以根據(jù)過(guò)去各事故年不同的延遲階段的累計(jì)賠款之間的平均比率和迄今為止的累計(jì)賠款數(shù)據(jù)估計(jì)