1、極 限第一部分知識點第二部分六年高考題萃考試內(nèi)容：教學歸納法數(shù)學歸納法應用 數(shù)列的極限 函數(shù)的極限根限的四則運算函數(shù)的連續(xù)性考試要求：（1）理解數(shù)學歸納法的原理，能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題（2）了解數(shù)列極限和函數(shù)極限的概念（3）掌握極限的四則運算法則；會求某些數(shù)列與函數(shù)的極限（4）了解函數(shù)連續(xù)的意義，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有最大值和最小值的性質(zhì)極 限 知識要點1. = 1 * GB2 第一數(shù)學歸納法： = 1 * GB3 證明當取第一個時結(jié)論正確； = 2 * GB3 假設當（）時，結(jié)論正確，證明當時，結(jié)論成立. = 2 * GB2 第二數(shù)學歸納法：設是一個與正整數(shù)有關的命題，如果 =

2、 1 * GB3 當（）時，成立； = 2 * GB3 假設當（）時，成立，推得時，也成立.那么，根據(jù) = 1 * GB3 = 2 * GB3 對一切自然數(shù)時，都成立.2. = 1 * GB2 數(shù)列極限的表示方法： = 1 * GB3 = 2 * GB3 當時，. = 2 * GB2 幾個常用極限： = 1 * GB3 （為常數(shù)） = 2 * GB3 = 3 * GB3 對于任意實常數(shù)，當時，當時，若a = 1，則；若，則不存在當時，不存在 = 3 * GB2 數(shù)列極限的四則運算法則：如果，那么特別地，如果C是常數(shù)，那么. = 4 * GB2 數(shù)列極限的應用：求無窮數(shù)列的各項和，特別地，當時，

3、無窮等比數(shù)列的各項和為.（化循環(huán)小數(shù)為分數(shù)方法同上式）注：并不是每一個無窮數(shù)列都有極限.3. 函數(shù)極限； = 1 * GB2 當自變量無限趨近于常數(shù)（但不等于）時，如果函數(shù)無限趨進于一個常數(shù)，就是說當趨近于時，函數(shù)的極限為.記作或當時，.注：當時，是否存在極限與在處是否定義無關，因為并不要求.（當然，在是否有定義也與在處是否存在極限無關.函數(shù)在有定義是存在的既不充分又不必要條件.）如在處無定義，但存在，因為在處左右極限均等于零. = 2 * GB2 函數(shù)極限的四則運算法則：如果，那么特別地，如果C是常數(shù)，那么.（）注：各個函數(shù)的極限都應存在.四則運算法則可推廣到任意有限個極限的情況，但不能推廣

4、到無限個情況. = 3 * GB2 幾個常用極限：（01）；（1） = 4 * GB3 ，（）4. 函數(shù)的連續(xù)性： = 1 * GB2 如果函數(shù)f（x），g（x）在某一點連續(xù)，那么函數(shù)在點處都連續(xù). = 2 * GB2 函數(shù)f（x）在點處連續(xù)必須滿足三個條件：函數(shù)f（x）在點處有定義；存在；函數(shù)f（x）在點處的極限值等于該點的函數(shù)值，即. = 3 * GB2 函數(shù)f（x）在點處不連續(xù)（間斷）的判定：如果函數(shù)f（x）在點處有下列三種情況之一時，則稱為函數(shù)f（x）的不連續(xù)點.f（x）在點處沒有定義，即不存在；不存在；存在，但.5. 零點定理，介值定理，夾逼定理： = 1 * GB2 零點定理：設函

5、數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且.那么在開區(qū)間內(nèi)至少有函數(shù)的一個零點，即至少有一點（）使. = 2 * GB2 介值定理：設函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點取不同函數(shù)值，那么對于之間任意的一個數(shù)，在開區(qū)間內(nèi)至少有一點，使得（）. = 3 * GB2 夾逼定理：設當時，有，且，則必有注：表示以為的極限，則就無限趨近于零.（為最小整數(shù)）6. 幾個常用極限：為常數(shù)）為常數(shù)） 極限匯編六年高考薈萃2010年高考數(shù)學分章匯編極限與連續(xù)性一、選擇題:1.(2010年高考數(shù)學湖北卷理科7）如圖，在半徑為r的圓內(nèi)作內(nèi)接正六邊形，再作正六邊形的內(nèi)切圓， 又在此內(nèi)切圓內(nèi)作內(nèi)接正六邊形，如此無限繼續(xù)下去.設為前個圓的面積之

6、和，則 A B. C. D. 【答案】C2（2010年高考四川卷理科2）下列四個圖像所表示的函數(shù)，在點處連續(xù)的是（A） （B） （C） （D）解析：由圖象及函數(shù)連續(xù)的性質(zhì)知，D正確.答案：D3（2010年高考四川卷理科8）已知數(shù)列的首項，其前項的和為，且，則（A）0 （B） （C） 1 （D）2解析：由,且作差得an22an1又S22S1a1，即a2a12a1a1 a22a1故an是公比為2的等比數(shù)列Sna12a122a12n1a1(2n1)a1則答案：B4（2010年高考江西卷理科4） ABCD不存在【答案】B5.(2010年高考重慶市理科3)（A） 1（B） （C） （D） 1【答案】B解

7、析：=.二、填空題：1（2010年高考上海市理科11）將直線、（，）x軸、y軸圍成的封閉圖形的面積記為，則 。【答案】12（2010年上海市春季高考14)答案：。解析：不妨取，故故，故答案為1.三、解答題：1(2010年高考全國2卷理數(shù)18）（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前項和（）求；（）證明：【命題意圖】本試題主要考查數(shù)列基本公式的運用，數(shù)列極限和數(shù)列不等式的證明，考查考生運用所學知識解決問題的能力.【參考答案】【點評】2010年高考數(shù)學全國I、這兩套試卷都將數(shù)列題前置,一改往年的將數(shù)列結(jié)合不等式放縮法問題作為押軸題的命題模式，具有讓考生和一線教師重視教材和基礎知識、基本方法基本技能,重視兩

8、綱的導向作用，也可看出命題人在有意識降低難度和求變的良苦用心.估計以后的高考，對數(shù)列的考查主要涉及數(shù)列的基本公式、基本性質(zhì)、遞推數(shù)列、數(shù)列求和、數(shù)列極限、簡單的數(shù)列不等式證明等，這種考查方式還要持續(xù).2009年高考題一、選擇題1、（09重慶理8）已知，其中，則的值為（ ）A.6B.C. D.【解析】答案 D2、（09湖北理6）設，則（ ）A.-1 B.0 C.1 D. 【解析】令得令時令時兩式相加得：兩式相減得：代入極限式可得，故選B答案 B二、填空題3、（09陜西理13）設等差數(shù)列的前n項和為,若,則 . 答案 120052008年高考題一、選擇題1、（2007年江西）（）等于等于等于不存在

9、答案 B2、（2007年湖北）已知和是兩個不相等的正整數(shù)，且，則（ ）A0B1CD答案 3、（2006湖南）數(shù)列滿足:,且對于任意的正整數(shù)m,n都有,則 ( )A. B. C. D.2【解析】數(shù)列滿足: , 且對任意正整數(shù)都有，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列。，選A.答案 A4、（2005年全國理5） ( )A B C D 【解析】 ,選(A)答案 A二、填空題5、（2008上海2）計算： . 答案 6、（2007年全國理16）已知數(shù)列的通項an=5n+2,其前n項和為Sn, 則= .答案 -【解析】數(shù)列的通項an=5n+2，其前n項和為Sn，則=.7、（2006天津）設函數(shù)，點表示坐標原點，

10、點，若向量，是與的夾角，（其中），設，則= 【解析】函數(shù)，點表示坐標原點，點，若向量=，是與的夾角，（其中），設，則=1答案 18、（2005年上海2） . 答案 0三、解答題9、（2007年遼寧）已知數(shù)列，與函數(shù)，滿足條件：，.（I）若，存在，求的取值范圍；（II）若函數(shù)為上的增函數(shù)，證明對任意，（用表示）()解法一：由題設知得，又已知,可得由 其首項為.于是又liman存在，可得01,所以-2t2且解法二.由題設知tbn+1=2bn+1,且可得由可知,所以是首項為,公的等比數(shù)列.由 可知，若存在，則存在.于是可得01,所以-1t.=2解法三:由題設知tbn+1=2bn+1,即于是有-得由，

11、所以是首項為b公比為的等比數(shù)列，于是（b2-b1）+2b.又存在，可得01,所以-2t2且說明：數(shù)列通項公式的求法和結(jié)果的表達形式均不唯一，其他過程和結(jié)果參照以標準.()證明：因為.下面用數(shù)學歸納法證明.(1)當n=1時，由f(x)為增函數(shù),且1,得11，即，結(jié)論成立.（2）假設n=k時結(jié)論成立，即.由f(x)為增函數(shù)，得f即進而得f()即.這就是說當n=k+1時，結(jié)論也成立.根據(jù)（1）和（2）可知，對任意的，.第二部分 三年聯(lián)考匯編2009年聯(lián)考題一、選擇題1、(2009年3月襄樊市高中調(diào)研統(tǒng)一測試理)的值為 ( )A0B1CD答案 C2、(湖北省八市2009年高三年級三月調(diào)考理)若(1+5

12、x)n的展開式中各項系數(shù)之和為an，(7x21)n的展開式中各項的二項式系數(shù)之和為bn，則的值是（ ）ABC1D答案 A3、（2009衡陽四校聯(lián)考）若（PR，P為常數(shù)），則a和P的值分別為（ ） A 0， B 1， C D 答案 D4、（2009牟定一中期中）若的值為 （ ）A. 2 B. C. D. 答案 B5、（2009宣威六中第一次月考）下列命題不正確的是（ ）A如果 f (x) = EQ F(1,R(x) ，則 EQ limDBA15()sdo5(x+ ) f (x) = 0 B如果 f (x) = 2 x1，則 EQ limDBA15()sdo5(x0) f (x) = 0C如果 f

13、 (n) = EQ F(n 22n,n + 2) ，則 EQ limDBA15()sdo5(n) f (n) 不存在D如果 f (x) = EQ BLC(AAL( x ， x0, x + 1，x 0，的展開式中，的系數(shù)為，則 答案 17、（2009宣威六中第一次月考）= .答案 -3三、解答題18、（2009冠龍高級中學3月月考）由函數(shù)確定數(shù)列，函數(shù)的反函數(shù)能確定數(shù)列，若對于任意，都有，則稱數(shù)列是數(shù)列的“自反數(shù)列”。(1)若函數(shù)確定數(shù)列的自反數(shù)列為，求的通項公式；(2)在(1)條件下，記為正數(shù)數(shù)列的調(diào)和平均數(shù)，若，為數(shù)列的前項和，為數(shù)列的調(diào)和平均數(shù)，求；(3)已知正數(shù)數(shù)列的前項之和。求的表達式

14、。解 (1) 由題意的：f 1(x)= f(x)=，所以p = 1，所以an= (2) an=，dn=n， Sn為數(shù)列dn的前n項和，Sn=，又Hn為數(shù)列Sn的調(diào)和平均數(shù)，Hn= = (3) 因為正數(shù)數(shù)列cn的前n項之和Tn=(cn+)，所以c1=(c1+)，解之得：c1=1，T1=1 當n2時，cn = TnTn1，所以2Tn = TnTn1 +， Tn +Tn1 = ，即：= n，所以，= n1，= n2，=2，累加得：=2+3+4+ n， =1+2+3+4+ n =，Tn=19、（2009上海普陀區(qū)）設數(shù)列的前項和為，. 對任意，向量、都滿足，求. 解 因為，所以由條件可得，.即數(shù)列是公

15、比的等比數(shù)列.又，所以，.20072008年聯(lián)考題一、選擇題1、（2008荊門市實驗高中測試）等于 ( )A.1 B. C. c D.1或答案 D2、（2008荊門市實驗高中測試）下列極限存在的是 ( ) A. B. C. D.答案 C3、（2008荊門市實驗高中測試）已知a,b時互不相等的正數(shù)，則等于 （ ）A.1 B.1或1 C.0 D.0或1答案 B4、(淮南市部分重點中學2007年高三數(shù)學素質(zhì)測試）設存在，則常數(shù)b的值是（ ）A0B1C1De.答案 B5、 (巢湖2007二模)若,則常數(shù)、的值為 （ ）A.， B. ， C. ， D. .答案 C6、(皖南八校2007屆一聯(lián)）的值為（

16、）A0B不存在CD.答案 C7、（南昌市2007-2008學年度高三第一輪復習訓練）已知數(shù)列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4 則這個數(shù)列的第2006個數(shù)是( )A 62 B.63 C 64 D 65答案 B 8、（南昌市2007-2008學年度高三第一輪復習訓練）函數(shù)f（x）=的不連續(xù)點為( )A x= B x=1 C x= D 以上答案都不對 答案A 9、（南昌市2007-2008學年度高三第一輪復習訓練）用數(shù)學歸納法證明命題時，此命題左式為，則n=k+1與n=k時相比，左邊應添加( )A B C D答案C 二、填空題10、 （2008荊門市實驗高中測試） 若 。.答案 211、（2008荊門市實驗高中測試） _。答案 112、（2008宣威六中高三數(shù)學測試）_。答案 113、（安徽宿州三中2007年三模）已知，則 。 答案 -8 三、解答題14、 （2008荊門市實驗高中測試）求解 15、 （2008荊門市實驗高中測試）已知，求a 的取值范圍.解 依題意有： 16、 (南昌市2007-2008學年度高三第一輪