1、專題：三角形（一）一、知識梳理二、方法1、三角形的內(nèi)角和 180，n 邊形的內(nèi)角和是（n-2）1802、判定三角形全等的基本思路：3、全等三角形的圖形歸納起來有以下幾種典型形式：（1）平移全等型（2）對稱全等型（3）旋轉(zhuǎn)全等型4、添加輔助線的方法（1）倍長中線（或類中：若遇到三角形的中線或者類中線（與中點有關(guān)的線段），通?？紤]倍長中線或者類中線（與中點有關(guān)的線段），構(gòu)造全等三角形。（2）截長補短：若遇到線段的和、差、倍、分關(guān)系時，通?？紤]截長補短，構(gòu)造全等三角形。截長：在較長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；補短：將一條較短線段延長，延長部分等于另一條較短線段，然后

2、證明新線段等于較長線段；或延長一條較短線段等于較長線段，然后證明延長部分等于另一條較短線段。（3）與角平分線有關(guān)的輔助線模型：三、考點突破小專題:三角形初步考點 1、三角形的相關(guān)概念及分類例 1解：A、知道兩個角，可以計算出第三個角的度數(shù)，因此可以判斷出三角形類型；B、露出的角是鈍角，因此是鈍角三角形；C、露出的角是銳角，其他兩角都不知道，因此不能判斷出三角形類型；D、露出的角是鈍角，因此是鈍角三角形；故選：C變式 1、解：三角形按角分類可以分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，故選：A變式 2、解：|mn|+（np）2=0，mn=0，np=0，m=n，n=p，m=n=p，三角形ABC 為等

3、邊三角形故選 B例 2、解：（1）三角形按邊分類可分為不等邊三角形、等腰三角形，故命題錯誤；（2）三角形兩邊之和一定大于第三邊，故命題錯誤；（3）正確；（4）正確故選 B變式 1、解：三角形根據(jù)邊分類，故選：D考點 2、三角形的三邊關(guān)系例 1、解：A、3+48，故以這三根木棒不可以三角形，不符合題意；B、8+7=15，故以這三根木棒不能三角形，不符合題意；C、5+511，故以這三根木棒不能三角形，不符合題意；D、12+1320，故以這三根木棒能三角形，符合題意故選D變式 1、解：|a4|+=0，a4=0，a=4；b2=0，b=2；則 42c4+2，2c6，5 符合條件；故選A變式 2、解：當(dāng)

4、A，B，C 三個小球共線時，則 BC=2 或 4；當(dāng) A，B，C 三個小球不共線時，則 2BC4則 B 球和 C 球可能相距 2 米BC4 米如 3 等（不惟一只需滿足 2 米距離4 米）變式 3、解：如圖，延長 AD 到 E，使 DE=AD，AD 是 BC 邊上的中線，BD=CD，在ABD 和ECD 中，ABDECD（SAS），CE=AB，AB=5，AC=3，53AE5+3，即 2AE8，1AD4故為：1AD4例 2、解：已知 4 條四邊長為 3、4、5、7；選 3+4、5、7 作為三角形，則三邊長為 7、5、7，能距離為 7；三角形，此時兩個螺絲間的最長選 5+4、7、3 作為三角形，則三

5、邊長為 9、7、3，能距離為 9；三角形，此時兩個螺絲間的最大選 5+7、3、4 作為三角形，則三邊長為 12、4、3；4+312，不能不成立；三角形，此種情況選 7+3、5、4 作為三角形，則三邊長為 10、5、4；而 5+410，不能情況不成立；三角形，此種綜上所述，任兩螺絲的距離之最大值為 9變式 1、解：若 a1=1 厘米，則后邊的一個一定大于或等于前邊的兩個的和，則一定有：a2=2，a3=3，a4=5，a5=8，a6=13，a7=21，故選 B例 3、解：根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊以及三角形的周長小于 13，則其中的任何一邊過 5；所有的情況有：1、1、1；1、2、2；1、3、3

6、；1、4、4；1、5、5；2、2、2；2、2、3；2、3、3；2、3、4；2、4、4；2、4、5；2、5、5；3、3、3；3、3、4；3、3、5；3、4、4；3、4、5；4、4、4，再根據(jù)兩邊之差小于第三邊，則這樣的三角形共有 3，4，2；4，5，2；3，4，5 三個故選 B變式 1、解：在ABC 中，不妨設(shè) abc，a+bc，a+b+c2c，即 602c，c30，ca 且cb，2ca+b，3ca+b+c，即 3c60，c20，最長邊c 的取值范圍為：20c30考點 3、多邊形三角形的內(nèi)角和與外角和例 1、解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為 n，根據(jù)題意得（n2）180=360，解得 n=4故這個多邊形是四

7、邊形故選 B變式 1、解：設(shè)內(nèi)角和為 1080的多邊形的邊數(shù)是 n，則（n2）180=1080，解得：n=8則原多邊形的邊數(shù)為 7 或 8 或 9故選：D例 2、解：設(shè)此多邊形為 n 邊形，根據(jù)題意得：180（n2）=540，解得：n=5，故這個正多邊形的每一個外角等于：=72故選 C變式 1、解：外角是：180150=30，36030=12則這個正多邊形是正十二邊形故選：C例 3、解：ADF=100，EDF=30，MDB=180ADFEDF=18010030=50，BMD=180BMDB=1804550=85故為：85變式 1、解：，作出入射光線的法線，根據(jù)“入射角等于反射角”可知1=3，2

8、=4，1=2，AOB=120，1=2=（180120）2=30故為：30變式 2、解：根據(jù)三角板角度的特殊性可知AEB=45，B=60， 是BDE 的外角，=AEB+B=45+60=105故為：105考點 4、三角形的角平分線例 1、解：因為 OB、OC 是ABC、ACB 的角平分線，所以ABO=CBO，ACO=BCO，所以ABO+ACO=CBO+BCO=180120=60，所以ABC+ACB=602=120，于是A=180120=60故選（A）變式 1、解：在ABC 中，A=，ABC+ACB=180，O2B 和O2C 分別是B、C 的三等分線，O2BC+O2CB=（ABC+ACB）=（180

9、）=120；BO2C=180（O2BC+O2CB）=180（120）=60+；在ABC 中，A=，ABC+ACB=180，On1B 和 On1C 分別是B、C 的 n 等分線，On1BC+On1CB=（ABC+ACB）=（180）=BOn 1C=180（On 1BC+On 1CB）=180（）=+故為：60+；+例 2、解：由三角形的外角性質(zhì)得，ACD=A+ABC，A1CD=A1+A1BC，ABC 的平分線與ACD 的平分線交于點 A1，A1BC=ABC，A1CD=ACD，A1+A1BC=（A+ABC）=A+A1BC，A1=A，同理A2=A1=60=15，故為 15變式 1、解：（1）ABC

10、中，BAC=50，ABC+ACB=130，點 I 是ABC，ACB 的角平分線的交點，IBC+ICB=65，IBC 中，BIC=18065=115；（2）ABC 中，BAC=50，ABC+ACB=130，ABC，ACB 的外角之和=360130=230，點 D 是ABC，ACB 的外角平分線的交點，DBC+DCB=115，DBC 中，BDC=180115=65；（3）BEC=BACDCE 是BCE 的外角，E=DCECBE，點 E 是ABC，ACG 的平分線的交點，DCE=ACD，CBE=ABC，E=ACD ABC=（ACDABC）=A，即BEC=BAC；（4）CEAB，A=ACE=50，CE

11、 平分ACD，ACD=100，ACB=180100=80例 3、解：（1）A=45，BD 是高，ABD 中，ABD=9045=45，A=45，C=25，ABC=110，又BE 是角平分線，ABE=110=55，BEC 是ABE 的外角，BEC=A+ABE=45+55=100；（2）DBE=（AC）理由：BD 是高，ABD 中，ABD=90A，BE 是角平分線，ABE=ABC=（180AC），DBE=ABEABD=（180AC）（90A）=90 A C90+A=A C=（AC）變式 1、解：DFBC，EFAB，四邊形 BDFE 是平行四邊形，B=DFE，設(shè)B=DFE=，則FEC=，EG 平分FE

12、C，GEC=，BEG=180，EH 平分BEG，HEG=（180），HEF 中，HEC+EHC+C=180， （180）+40+C=180，又DFEC=130，C=130，由+，=144，B 的度數(shù)為 144故為：144小專題：全等三角形與特殊三角形考點 1、全等三角形的性質(zhì)與判定例 1、解：RtABCRtDBF，ACB=DFB=90，BC=BF，BD=BA，CD=AF，在DGC 和AGF 中，DGCAGF，GC=GF，又ACB=DFB=90，CBG=FBG，GBF=（9028）2=31變式 1、解：（1）ABCDEB，DE=8，BC=5，AB=DE=8，BE=BC=5，AE=ABBE=85=

13、3，故為：3；（2）ABCDEBA=D=35，DBE=C=60，A+ABC+C=180，ABC=180AC=85，DBC=ABCDBE=8560=25；AEF 是DBE 的外角，AEF=D+DBE=35+60=95，AFD 是AEF 的外角，AFD=A+AEF=35+95=130變式 2、解：（1）ABC 為直角三角形ABCCDE，AC=CE=10，又AB=6，BC=8，AB2+BC2=100=AC2，ABC 為直角三角形；（2）ACE 是等腰直角三角形ABC 為直角三角形，ACB+BAC=90，又ABCCDE，BAC=DCE，ACB+DCE=90，ACE=18090=90，又AC=CE，AC

14、E 是等腰直角三角形例 2、證明：BDAC 于點D，CEAB 于點E，ADB=AEC=90，在ADB 和AEC 中，ADBAEC（ASA）AB=AC，又AD=AE，BE=CD變式 1、證明：CEDF，ACE=D，在ACE 和FDB 中，ACEFDB（SAS），AE=FB例 3、證明：ABC、CDE 均為等腰直角三角形，ACB=DCE=90，CE=CD，BC=AC，ACBACE=DCEACE，ECB=DCA，在CDA 與CEB 中，CDACEB變式 1、證明：1=2，ACB=DCE，在ABC 和DEC 中，ABCDEC（SAS）變式 2、證明：BAE=BCE=90，B+AEC=180，而DEC+

15、AEC=180，B=DEC，在ABC 和DEC 中，ABCDEC（SAS）例 4、證明：ADCE，BECE，ADC=E=90，ACB=90，BCE+ACD=90，B+BCE=90，B=ACD，在BEC 和CDA 中，ACDCBE（AAS）變式 1、證明：ADBC，ADB=DBCCEBD，BEC=90A=90，A=BECBD=BC，ABDBCEAD=BE變式 2、解：CE=DE，CEDE，理由如下：ACAB，DBAB，AC=BE，AE=BD，CAEEBDCEA=DD+DEB=90，CEA+DEB=90即線段 CE 與DE 的大小與位置關(guān)系為相等且垂直變式 3、（1）證明：BDDE，CEDE，AD

16、B=AEC=90，在 RtABD 和 RtACE 中，RtABDRtCAEDAB=ECA，DBA=ACEDAB+DBA=90，EAC+ACE=90，BAD+CAE=90BAC=180（BAD+CAE）=90ABAC（2）ABAC理由如下：同（1）一樣可證得 RtABDRtACEDAB=ECA，DBA=EAC，CAE+ECA=90，CAE+BAD=90，即BAC=90，ABAC考點 2、三角形的角平分線、高、中線例 1、解：由題意得AP 是BAC 的平分線，過點D 作 DEAB 于 E，又C=90，DE=CD，ABD 的面積=ABDE=154=30故選 B變式 1、解：作 PEOA 于E，AOP

17、=BOP，PDOB，PEOA，PE=PD（角平分線上的點到角兩邊的距離相等），BOP=AOP=15，AOB=30，PCOB，ACP=AOB=30，在 RtPCE 中，PE=PC=4=2（在直角三角形中，30角所對的直角邊等于斜邊的一半），PD=PE=2，故是：2例 2、解：P 是AOB 角平分線上的一點，AOB=60，AOP=AOB=30，PDOA，M 是OP 的中點，DM=4cm，OP=2OM=8，PD=OP=4，點 C 是 OB 上一個動點，PC 的最小值為 P 到OB 距離，PC 的最小值=PD=4故選 C例 3、證明：在 RtPFD 和 RtPGE 中，RtPFDRtPGE（HL），P

18、D=PE，P 是 OC 上一點，PDOOB，OC 是AOB 的平分線變式 1、證明：如圖，過點 P 作 PEBA 于 E，1=2，PFBC 于 F，PE=PF，PEA=PFB=90，在 RtPEA 與 RtPFC 中，RtPEARtPFC（HL），PAE=PCB，BAP+PAE=180，PCB+BAP=180變式 2、證明：（1）過 P 作 PTBC 于 T，PSAC 于 S，PQBA 于 Q，如圖，在ABC 中，ABC 的平分線與ACB 的外角的平分線相交于點 P，PQ=PT，PS=PT，PQ=PS，AP 平分DAC，即 PA 平分BAC 的外角CAM；（2）PA 平分BAC 的外角CAM，

19、DAE=CAE，CEAP，AED=AEC=90，在AED 和AEC 中AEDAEC，CE=ED例 4、（1）解：AB 的垂直平分線 MN 交 AB 于點 D，AE=BE，BCE 的周長=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC，AC=15cm，BC=2515=10cm；（2）證明：A=36，AB=AC，C=（180A）=（18036）=72，AB 的垂直平分線 MN 交AB 于點D，AE=BE，ABE=A，由三角形的外角性質(zhì)得，BEC=A+ABE=36+36=72，BEC=C，BC=BE變式 1、解：ACB=60，B=90，A=30，DE 是斜邊 AC 的中垂線，DA=DC，ACD=A=

20、30，DCB=30，BC=BD=2，AC=2BC=4變式 2、解：（1）DF、EG 分別是線段 AB、AC 的垂直平分線，AD=BD，AE=CE，AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC，ADE 的周長為 6cm，即AD+DE+AE=6cm，BC=6cm；（2）AB 邊的垂直平分線 l1 交 BC 于 D，AC 邊的垂直平分線 l2 交 BC 于 E，OA=OC=OB，OBC 的周長為 16cm，即OC+OB+BC=16，OC+OB=166=10，OC=5，OA=OC=OB=5例 5、（1）證明：在CAD 中，M、N 分別是 AC、CD 的中點，MNAD，MN=AD，在 RTABC 中，M 是

21、AC 中點，BM=AC，AC=AD，MN=BM（2）解：BAD=60，AC 平分BAD，BAC=DAC=30，由（1）可知，BM=AC=AM=MC，BMC=BAM+ABM=2BAM=60，MNAD，NMC=DAC=30，BMN=BMC+NMC=90，BN2=BM2+MN2，由（1）可知 MN=BM=AC=1，BN=變式 1、（1）證明：E、F 分別是 BC、AC 的中點，F(xiàn)E=AB，F(xiàn) 是 AC 的中點，ADC=90，F(xiàn)D=AC，AB=AC，F(xiàn)E=FD；（2）解：E、F 分別是 BC、AC 的中點，F(xiàn)EAB，EFC=BAC=24，F(xiàn) 是 AC 的中點，ADC=90，F(xiàn)D=AFADF=DAF=2

22、4，DFC=48，EFD=72，F(xiàn)E=FD，F(xiàn)ED=EDF=54例 6、證明：D、E 分別是邊 AB、AC 的中點，DEBC，DE=BC，CF=BC，DE=CF，四邊形DEFC 是平行四邊形，CD=EF變式 1、解：（1）在ABC 中，D、E 分別為AB、AC 的中點，DE 為ABC 的中位線，DE=BC，CF=BC，DE=CF（2）AC=BC，AD=BD，CDAB，BC=4，BD=2，CD=2，DECF，DE=CF，四邊形DEFC 是平行四邊形，EF=CD=2（3）過點D 作 DHBC 于HDHC=90，DCB=30，DH=DC=，DE=CF=2，S 四邊形 DEFC=CFDH=2=2例 7

23、、證明：（1）DA 平分BAC，BAD=CAD，ADEM，BAD=AEF，CAD=AFE，AEF=AFE，AE=AF（2）作 CGEM，交 BA 的延長線于 GEFCG，G=AEF，ACG=AFE，AEF=AFE，G=ACG，AG=AC，BM=CMEMCG，BE=EG，BE=BG=（BA+AG）=（AB+AC）變式 1、解：在四邊形 ABCD 中，M、N、P 分別是 AD、BC、BD 的中點，PN，PM 分別是CDB 與DAB 的中位線，PM=AB，PN=DC，PMAB，PNDC，AB=CD，PM=PN，PMN 是等腰三角形，PMAB，PNDC，MPD=ABD=20，BPN=BDC=70，MP

24、N=MPD+NPD=20+（18070）=130，PMN=25變式 2、（1）證明：如圖，連接 BD，E、F、G、H 分別為四邊形ABCD 四邊之中點，EH 是ABD 的中位線，F(xiàn)G 是BCD 的中位線，EHBD 且 EH=BD，F(xiàn)GBD 且 FG=BD，EHFG 且 EH=FG，四邊形 EFGH 為平行四邊形；（2）解：連接 AC，同理EFAC 且 EF=AC，所以，AC=BD 時，四邊形 EFGH 為菱形；ACBD 時，四邊形EFGH 為矩形；AC=BD 且ACBD 時，四邊形EFGH 為正方形故為：AC=BD；ACBD；AC=BD 且 ACBD考點 3、等腰三角形的性質(zhì)例 1、解：當(dāng) 3

25、cm 是等腰三角形的腰時，底邊長=1232=6cm，3+3=6，不能三角形，此種情況不存在；當(dāng) 3cm 是等腰三角形的底邊時，腰長=4.5cm底為 3cm，故選 A變式 1、解：設(shè)腰長為 x，則底邊長為 102x，依題意得：，解得x5故選 C變式 2、解：當(dāng)腰是 5cm，底邊是 8cm 時，能三角形，則其周長=5+5+8=18cm；當(dāng)?shù)走吺?5cm，腰長是 8cm 時，能三角形，則其周長=5+8+8=21cm故選 D例 2、解：AB=AC，ABC=72，ABC=ACB=72，A=36，BDAC，ABD=9036=54故選：C變式 1、解：此題要分情況考慮：40是它的頂角；40是它的底角，則頂角

26、是 180402=100所以這個等腰三角形的頂角為 40或 100故選 C變式 2、解：A1A2=AA11=A2A1A3=2，2=A2A4A3=+2=3，3=A2A4A3+=4，由題意得：，1822.5例 4、解：延長 ED 交 BC 于 M，延長 AD 交 BC 于 N，作 DFBC 于 F，AB=AC，AD 平分BAC，ANBC，EBC=E=60，BME=60，BEM 為等邊三角形，BE=10cm，DE=2cm，DM=8cm，ANBC，EMB=60，NDM=30，NM=DM=4cm，BN=104=6cm，BC=2BN=12cm，故為：12變式 1、解：（1）如圖 1，畫法：過點 P 作OP

27、 的垂線，分別交OA、OB 于點 C、D，則OCD 是以 CD 為底邊的等腰三角形；（2）如圖 2，畫法：作AOB 的角平分線，過點OA、OB 于點 C、D，P作角平分線的垂線，分別交角的兩邊則OCD 是以 CD 為底邊的等腰三角形例 6、解：當(dāng) D 為 BC 的中點時，DE=DF理由：AD 為等腰三角形底邊上的中線，AD 平分BAC，又DEAB，DFAC，DE=DF變式 1、解：（1）DFAC，BGAC，DFBG，D 是 BC 的中點，DF=BG=連接 AD，DEAB，DFAC，DE=DF=DE+DF=DE+DF=BG（2）延長 FD，使 FM=BG，DFAC，BGAC，四邊形 BMFG 是

28、矩形，BG=MF，EDB+ABD=90，F(xiàn)DC+C=90，ABC=C，EDB=FDC，F(xiàn)DC=BDM，EDB=BDMBED=BMD，BD=BD，EBDMBD，ED=MDBG=DE+DF（3）BG=DEDF例 7、解、（1）證明：如圖 1 中，DE 是線段 AC 的垂直平分線，EA=EC，即EAC 是等腰三角形，EAC=C，AEB=EAC+C=2C，B=2C，AEB=B，即EAB 是等腰三角形，AE 是ABC 是一條特異線（2）解：如圖 2 中，當(dāng) BD 是特異線時，如果 AB=BD=DC，則ABC=ABD+DBC=120=15=135，如果 AD=AC，DB=DC，則ABC=ABD+DBC=7

29、5+37.5=112.5，如果 AD=DB，DC=DB，則 ABC=ABD+DBC=30+60=90（不合題意舍棄）如圖 3 中，當(dāng) AD 是特異線時，AB=BD，AD=DC，則ABC=1802020=140當(dāng) CD 為特異線時，不合題意符合條件的ABC 的度數(shù)為 135或 112.5或 140考點 4、等邊三角形性質(zhì)例 1、解：ABC 為等邊三角形，且AD=BE，AF=BD，A=B=60，在ADF 與BED 中，ADFBED（SAS）同理證得ADFCFE（SAS），ADFBEDCFE（SAS），DF=ED=EF，DEF 是一個等邊三角形故是：等邊三角形變式 1、解：連接 OD，PO=PD，O

30、P=DP=OD，DPO=60，等邊ABC，A=B=60，AC=AB=9，OPA=PDB=DAP60，OPAPDB，AO=3，A=3，AP=6故是：6例 2、解：過 P 作 PFBC 交 AC 于 FPFBC，ABC 是等邊三角形，PFD=QCD，APF 是等邊三角形，AP=PF=AF，PEAC，AE=EF，AP=PF，AP=CQ，PF=CQ在PFD 和QCD 中，PFDQCD（AAS），F(xiàn)D=CD，AE=EF，EF+FD=AE+CD，AE+CD=DE=AC，AC=1，DE=故為： 變式 1、解：在等邊ABC 中，AB=AC，BAC=B=60，在ABE 和CAD 中，ABECAD（SAS），AE

31、=CD，故正確；ACD=BAE，CAF+ACD=CAF+BCE=BAC=60，在ACF 中，AFC=180（CAF+ACD）=18060=120，故正確；FADBAC，BAC=60，F(xiàn)AD60，ADF 不是正三角形，故錯誤；AFG=180AFC=180120=60，A，F(xiàn)AG=9060=30，F(xiàn)G=AF，=，故正確，綜上所述，正確的有故為：例 3、證明：ABC 為等邊三角形，B=ACB=60，AB=AC，即ACD=120，CE 平分ACD，ACE=DCE=60，在ABD 和ACE 中，ABDAAS），AD=AE，BAD=CAE，又BAC=60，DAE=60，ADE 為等邊三角形變式 1、（1）證明：ABC 是等邊三角形，B=C=60，DEBC，ADB=B=60，AED=C=60，A