1、好題速遞201題解析幾何模塊4.已知曲線C的方程一+寸=1, A(-2,0),存在一定點B(b,o)(bw-2)和常數(shù)4,對曲線C上的任意一點M(x,y),都有|MA| = 4MB|成立，則點P(b到直線 （m+ n）x + ny + 2n + 2m = 0的最大距離為解法一：由 |MA| = 4MB| 得（x + Zy + yljx bf + y2W（l2-l）x2+（-l）y2-（2b22+4）x = 4-A2b22+4 = 0故“4-紀 b?, 將 ba? = 2 代入 4 /b =萬1 得 2b2 + 5b + 2 = 0 ,= 4=2;=12A2-l線(m+n又直線(ill + n)

2、x + ny + 211 + 2m = 0恒過定點(-2,0),所以由幾何性質知點 )x+ ny + 2ii + 2m= 0的最大距離為點(-2,0)與P ,2 j的距離為二、2 )2解法二：作為小題，由知是阿氏圓軌跡，故取圓CV + yl直徑上的兩個點(一1,0%(1,0),即可得 言 二1-b=4,解得.b = L, 4=22好題速遞202題解析幾何模塊5.已知M是x?=8y的對稱軸和準線的交點，點N是其焦點，點P在該拋物線上，且滿足|PM| = m|PN|,當m取得最大值時，點P恰在以M、N為焦點的雙曲線上，則該雙曲線的離心率為 解：作PPUMPL由拋物線定義|PP = |PN.1 PN

3、 PPl其中 6 = NMPP,=NNMPPM =mPN = = !；=cos0.11 m PM PM要使m取得最小值，即cos6最小,此時MP是拋物線的切線.即6=NNMP最大值，即NPMP=F-NMPP最小,沒MP的方程為丫=人-2 ,與 X: =8y聯(lián)立得 x2 -8(kx-2) = 0因為相切，故 = 64內-64 = 0,解得k = l故P(4,2), 2a = |PM|-|PN| = 4V2-4由 2c = 4 ,得 e = y/z +1好題速遞203題bw解析幾何模塊6.已知斜率為1的直線1過雙曲線M-E = l(a0,b0)的左焦點F,且與雙曲線左、右支分別交于AB兩點，若A是

4、線段BF的中點，則雙曲線的離心率 為解：由題意知2yl = y?* _y _1a3- =(b2 - a2 )y2 - 2b2cy+b4 = 0 x = y- c2b-c 2% + 為=/5-=Y1 b-a-所以薩天、所以c2 = 18a2=e = 30好題速遞204題解析幾何模塊7.已知點P是雙曲線-4=l(aD,b0)上的動點，耳已是其左、右焦 C - V -|OP|點，O坐標原點，若粵華i的最大值是京，則此雙曲線的離心率是 解：設pFj = m,|PF2| = n 9 則 2(m2 +n2 )= 4OP2 +FjF22 =m2 +n2 = 2OP2 +2c2又 m-n = 2a ,所以 n

5、i? - 2mn + n2 = 4a3所以 2mn = 2Op2+2(：2-4a2 (m+n)2 = 2OPJ + 2c2 + 2OP2 + 2c2 - 4a2 = 4OP2 +4所以但把丫=4+空I OP ） OP2所以吧巴的最大值在OP = a時取到，所以4 +q=5 OPa-所以2b2 =爐，即。=漁0好題速遞205題解析幾何模塊8.在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為（x-l）+（y-l，=9,直線l:y = kx+3與圓C相交于AB兩點，M為弦AB上一動點，以M為圓心，2為半徑的圓與 圓C總有公共點，則實數(shù)k的取值范闈是.解：兩圓有公共點的充要條件是1WCM05,而CMS5恒成立，

6、故只要時兩圓必有公共點.由平面幾何知識可知，為點C到直線1的距離d,所以d =華工1之1, 收+1解得kN-24好題速遞206題解析幾何模塊9.己知點A（1-i】l0），B（1 + i以0）,若圓C及 + y-Bx-gy+B公。上存在一點P,使得PAP = O,則m的最大值為解：由無:同=0得P在以AB中點M（l,0）為圓心，AR把為半徑的圓上，所以P的軌跡方程為 2（x-l）2 + y2=m2,所以圓M的半徑為同，又由P在圓C , CY + V-Bx-gy+blnO 的圓心 C（4,4）,半徑為1,當圓M與圓C內切時，|MP|最大為|MC| + |CP| = 5 + 1 = 6好題速遞207

7、題立體幾何模塊1.如圖，在正方體ABCD-A6GD1中，E是棱 CG的中點，F(xiàn)是側面6BCC1上的動點，并且AF”平面 AED一則動點F的軌跡是（）A.圓 B,橢圓 C.拋物線 D.線段解：如圖，取B%的中點M, 31cl的中點N,顯然可證明平面 AMN平面AED,當F在線段MN上時，均有AF”平面 AED,即動點F的軌跡是線段MN。點評：善于轉化是解決立體幾何中平行與垂直問題的關鍵。例如，考慮“線線平行”時，可轉化為“線面平行”或“而 面平行”：考慮“線面平行”時，可轉化為“線線平行”或“面面平行”；考慮“面面平行”時，可轉化為“線線平行” 或“線面平行在斜二測畫法畫圖時，平行關系不會改變，

8、因為要找平行 線，可以考慮在圖象上推平行線，然后關注哪個位理看起來 比較特殊，例如中點，中位線之類。好題速遞208題立體幾何模塊2.如圖，在三棱柱ABC-ABiG的側棱怏與BB上各行一個動點P , Q,且滿足AP = BQ, M是棱CA上的動點，則一把里的最大值是Vabc-ab, -m-abqp解法一：設Vabc-梗q = V，則 Vmtqp = VN_BBA BC-AB -%-MQP V _工_2%-ABQP Y.3解法二：設%QP=V, V_abc =%為定值，則f（V）=L 是關于V的增函數(shù) M - v所以f(v)s%-MQPVj-Yz-abqp -1% 2好題速遞209題立體幾何模塊3

9、.已知線段AD/a,且AD與平面儀的距離為4,點B是平面儀上的動 點，且滿足AB = 5,若AD = 10,則線段BD長度的取值范圍是解：如圖，將線段AD投影到平面a上，得到射影A，D3將空 問問SS平面化，則動點B的軌跡是以A，為圓心，半徑為 力?-個 =3的圓,又BD = JDD2+BD , 10-3BD10 + 3, DD = 4.同f以 J49 + 16 0BDSS69 + 16 , RR 765 BD V185好題速遞210題立體幾何模塊4.己知P為正方體ABCD -平1?？趯蔷€BD上的一點，旦BP = IBDj/le (0,1)，卜面結論： AiD_LCP；若BQ J_平面PAC

10、 ,則;1 =：若APAC為鈍角三角形，則;I e(04)；若4 d 則APAC為銳角三角形.其中正確結論的序號為.解：在正方體ABCD-ACiDi中，AR JL平面ABC Qi ,又QP u平面陽5口，故 ADJ_GP ,正確；由題可知BD1J.AC,若BDJ_平面PAC,則BDCP設正方體的樓長為1,則BC = 1, CDi = 0, BD = 4，在RtABCD中，BC? = BP BD所以BP = ,所以BP=gBD正確；在正方體ABCD-ABGDi中，以AB為x軸，AD為y軸，AA為z軸建系，設樓長為2,則 A(0O2),B(2,0,2),C(2,2,2),Di(0,2,0)設 P(

11、x,y,z),由而=7 函，得 x=2-2y=2/z = 2-U filfPA=(21-2.-2/l,21), CP =(-2,-2 +2.-2), CA=(-2,-2,0)若APAC為鈍角三角形，則/APC為鈍角，PAPC = 122-80,所以APAC為銳角三角形，正確。所以正確結論為好題速遞211題立體幾何模塊5.如圖，在棱長為1的正方體ABCT-A6C1D1中，若點P是棱上一點，則滿足PA+PC = 2的點有個.解：點P既在以AC】為焦點，長軸為2的橢球上，又在正方體的 4枝上。因為BA+BCi = l + g2,故點B在以AC1為焦點，長軸為2的 橢球外，所以橢球必與線段AB相交(交

12、點就是AB的中點)，同理在AD.AA.C.CA.CxC上各有一個交點滿足條件頭/Ci又若點 P 在 BB上，則 PA+PC = J1 + BP、J1 + B1P2 2 ,故 BBj上不存在滿足條件的點P，同理DD】,CD，ABi.BC.AD1上也不存在滿足條件的點P。好題速遞212題立體幾何模塊6.將一個長寬分別為a,b(Oba)的鐵皮的四個角切去相同的正方形，然 后折成一個無蓋的長方體的盒子(不計粘合處)，若這個長方體的外接球的面積存在最小值，則2的取值范用是 b解：設切去的小正方形的邊長為x,長方體的外接球的半徑為R則 4R2 = x2 4-(a - 2x)3 +(b- 2x)2 = 9x

13、2 -4(a +b)x + (a2 +b)(0 x ?)2(a+b) b因為長方體的外接球的面積存在最小值，所以-5,解得0 b 0)上任取A B兩點，則OA面的最小值為解：記人(4,為)上(叼,力)，則OAOB = jqx?+為力且xf-y： = 2(% 0)，xj-yj = 2(x3 0) 同時滿足力 |yj(i = 1,2),即9+ %0, -Yj 0(i = 1,2)GA 而=3 + yiy2 = -(jq + Yi )(X2 + y2)+(jq f )(x：j - y?) 一之；2 J( Xl + % ) ( X? + y2 ) (Xi - X) (X2 - y2) 二J(城一y；)

14、(xy；) = 2當且僅當均=xy=-y2時取得“=，故亦麗的最小值為2.好題速遞215題都有已知函數(shù)f(x)是定義在R上的不恒為零的偶函數(shù)，且對任意實數(shù) xf (x + l) = (x + l) f (x),則 f.解：令x=-1，則所以 f(g)=o令x=0,則 f(0)=0當 xwO 時，由 xf(x + l) = (x + l)f(x)得 f (x + l) =三2 f (x) X53則嗚”唱胃同封咱故內目卜(。)=。22好題速遞216題己知實數(shù)abc,設函數(shù)f(x)= + _L + _L的兩個零點分別為應M2區(qū)乂2),則X- a x - b x-c卜列關系中恒成立的是( (A) a5

15、qx2bc)(B) abx2c(C) ax1bx3c(D) aXj bc 又 avbvc,所以 g(b)vO 即函數(shù)g(x)的零點一個大于b, 一個小于b,且g(a)0, g(c)0 所以根據(jù)“一上一下，中間一點”的原則，可知aXibX2c,選C好題速遞217題已知點A(l,2)在拋物線F：y2 = ?px上，若AABC的三個頂點都在拋物線上，記三邊AB,BC,CA所在直線的斜率分別為及,匕凡，則 看國與解：F:y2=4x,設B(手為，C與，力y? i y? y? 6 i_4_44 I 4% - 2 y-yi y-yi+3 yi + y2 | Yz + -.1 4 4-4點評：拋物線題目的計算

16、量相對于橢圓、雙曲線要小一些，主要是基于拋物線上的點的設法在化簡過程中利用好平方差公式，可以使得計算簡便。這個過程要做到比較熟 12P )練。a2 + 2ab + 2ac + 4bcb2 - 2bc + c2好題速遞218題已知函數(shù)f(x)=3x + a與函數(shù)g(x)=3x + 2a在區(qū)間(b,c)上都有零點,則的最小值為.r七、2a 解：由題意知，L 、八，兩式相力n得a +2b 0 3b + 2a 03c + 2a 0，兩式相加得a + 2c0所以a2 + 2ab + 2ac+4bcb - 2bc+c“(-a-2b) + (a + 2c)(a + 2b)(a + 2c)(-a - 2b)(

17、a + 2c)2=- -(b-c)2(b-c)2-(b-c)2-1當且僅當-a - 2b = a + 2c時取得等號。點評：這里用到了基本不等式，如果一卜子看不出來，也可以先利用齊次化思想，將分子分母同除以a?,令x = P.y = 2,將式子簡化，就容易發(fā)現(xiàn)了。 a a好題速遞219題已知函數(shù)f(x)=a + 4bx + smx + bxcosx(a立2,若f (x)在R上既有最大值又有最小值, 4 + cosx且最大值與最小值的和為4,則3a - 2b =f(x) =4bx + sinx+bxcosx4 + cosx=a +bx +sin x4 + cosx已知f(x)在R上既有最大值又有

18、最小值，故b = 0又+ E是奇函數(shù)且最大值與最小值的和為4,則皿，一故 3a-2b = 6好題速遞220題對于函數(shù)y=f(x)，如果存在區(qū)間同時滿足下列條件:(x)在皿“內是單調的；當定義域是m,n時，f(x)的值域也是則稱5,n是該函數(shù)的“和諧區(qū)若 f(x) =a +10)存在“和諧區(qū)間”,則a的取值范圍是解：因為f(x) = ?-(a0)在(-oo,0)和(0,用)上是增函數(shù)，所以m,nk(-oo,0)或 mtnc (0,+oo),且 f (m) = m , f (n) = n因此nn是方程巴-2.= x的兩個不相等且同號的實數(shù)根，即ax2-(a+l)x + a = 0有兩個不 a x相

19、等且同號的實數(shù)根又 q + x,=t匚 0 且 = = 1,故只需 A = (a +1/-4a? 0 ,解得一L a 0.故 Ovavl好題速遞221題己知以T = 4為周期的函數(shù)，其中m0,若3f(x)=x恰有5 l-|x-2|(l x 3)個實數(shù)解，則m的取值范圍是.解：當xe-Ll時，原函數(shù)式化為方程x?+二= l(yNl),表示一個半橢圓，當xwl,3 nT時，是兩線段y=x-l(lx2)和y = 3-x(20)無交點時，方程3f (x)= X恰有5個實數(shù)解， nT由方程組(x-4)2+= 1 m-9m* +1 )x2 - 72m2x + 35m2 = 0(y0)消去yy-101357

20、 Vx由A0,解得1孚由方程組,(y NO)消去 y 得(9nT +1 |x- - 144m-x +567m- = 0 x-8)3+ = 1m-由(),解得 0m/7, filf W m -jl好題速遞222題(2015重慶理科第16強)若函數(shù)f(x) = |x + l| + 2|x-a|的最小值為5,則2= .解法一：按照a 0)的圖象有且僅有兩個不同的公共點A(和力), B(x2,y3)且看叼，則/ =.丫2解：f(x) = L與g(x)=ax2+bx(a0)的圖象有且僅有兩個不同的公共點=方程L = ax2 + bx有兩個不同的實數(shù)根應,X、 x=方程axbxJ。有兩個不同的實數(shù)根和與三

21、次方程僅有兩個實根，故必有一個是一次根，一個是重根。= 方程 ax3 +bx2 -1 = a(x-Xj廠(x- x2)或 ax3 +bx2 -1= a(x-胃)(x-x2)2勸于第一種情況，等式兩邊展開比較系數(shù)得b = a(-%-),4+2x = 0, -aq叼=7 故西+ 2町=0，因為%X2，所以均0X2，河=一?與Y1町 1=丫2均 2對于第二種情況，等式兩邊展開比較系數(shù)得b = a(f-%), X5+2X1X2 = O, -ax昌=-1故2%+叼=0,因為均 0 ,與a0,向0矛 盾，故舍去。點評：本題是自山東高考題改編而來，解法中運用了三次方程求根的因式分解，奇次根穿過與偶次根反彈的

22、問題。浙江高考曾多次考過類似的問題，值得注意。例如：(2014 浙江文 7)已知函數(shù) fCOuY + aM+bx+c，fi.0 f(-l)= f(-2)= f(-3)3 ,則A. c 3 B. 3c6 C. 69解：方程 f(x) = x3 + ax?+bx+c = t(0,3的三個根為一1,_2,-3 ,故 x； + ax? + bx+c-t = (x + l)(x + 2)(x + 3)比較系數(shù)得c-t = 6，故c = t + 6e(6,9(2012 浙江理 17)設 aER,若x 0 時均有(a-1b一162 - ax-l) 20 ,則?1=.解：x2-ax-l = (x-x1)(x-

23、x2),且馬 0恒成立，則x = _】必是二重零點a -1代入得：f1 -一一1=0,解之得：a=OnJca = -,舍去a=O,得答案：a = -U-1J a-122(2013 浙江文 16)設 a,beR,若 x 2 0時恒有 0 K x，-+ ax +b -1/,則 ab =。【解析】當x=l時，有04a+b0,所以得b = -a,代回原式x4-x3 + ax + b = x4-x3 + ax-a = (x-l)(x3 + a)0故x=l必定是重根，即x3 + a中必有因子x-1,所以a=-l,b = l,所以ab = -l點評：這三道題都是加深零點意義理解的好題。零點就像是x軸上的守門

24、員，關系著函數(shù) 正負性變化的重任，”奇重零點穿過，偶重零點反彈”。好題速遞225題設x,y是正實數(shù)，且x+y = l,則 J +二的最小值是,x+2 y+1解：設x + 2 = m, y + l = n,則題目變?yōu)椤耙阎猰 + n = 4,求處二3- +空上的最小值。(m-2)2 n-1)2 m n4 1V、1 f 4n m 八 c、9 、+ I (m+n) - 一 = + + 5 一一之一一一=nJ41m n J 4當且僅當m=2n,m + n = 4,即m = *n = g,即x=g.y = 1時取得等號 點評：本題還是分母換元使得式子簡化，次活運用均值不等式。好題速遞226題(隸慶高考題

25、)函數(shù)f(x) =,Sinx_1 (0 X 2)的值域是 J3 - 2 cos x- 2 sin x解：3- 2cos x- 2sin x = (1- cos x) +(l-sin x)設l-sinx = a.l-cosx = b ,則問題變?yōu)榍髖 =廠;十的值域 Va2+b2解法一：當a=0時，有y = 11 ,將3視為圓(a-l)2+(b-l)2 = l上任一點與原點連線的斜率，結合圖形可知N0,所以lWy0, 當a = 0 時，y = 0 綜上可知,ye -1,0解法二：注意到丫=，聯(lián)想其結構特征與三角函數(shù)中的于是設直線OP的傾斜角為8,則正余修定義式相似所以 y = -co$8w-L0

26、好題速遞227題已知a = x6 + yc(x,y w R),卜卜忖=2 , c = 1 , ( a - c) = 0 ,則卜-B的取值范圍是 解法一？考慮向量模的幾何意義B的終點C必在以AB為直徑的圓6上 又13=1,故2的終點C必在以。為圓心,1為半徑的圓上反:由卜=同=2和(a-c).(E-c)= 0 ,由作出圖形所以問題轉化為口 0,與口。IabI 注意到口 cr的半徑為一=la-所以兩圓相交需滿足且有E+1 =2作一個整體換元，設+6卜問題轉化為規(guī)劃問題，已知如圖可得解法二：代數(shù)方法由 G-j 二)=0 得訕-(所以 a + l = (a+U) c = a +bBP(+i)2i2 +

27、 2；i+b2 =1or（半徑為1的小圓）有交點J今 i ,圓心距100 | = |a +b 1 1b la +ba -bl2 -1+ 2a ,） = 16x f a -b| = yx3 + y2 = 16/求y的取值范圍。:/ /二 r+/ vOf,因此只需求二15的取值范圍/ 1、a +6戶+ 丁 = 0|c cos| ab | = AB = 2 MC = l(x-V)2 + y2 = 2-7x2 + y2 - 2x+l = 2-1 + x- 2x + l =5- 2x .由(*)知，匕EwxW匕立， oo1，擊-24 Wj5-2xWj8 + 2,即-1 W/?=WV7 + 1.* y/l

28、 - 1 S 卜-6卜 y/1 +1 .好題速遞228題已知實數(shù)a,b,C,滿足y+少=2巧，2a+2b+2c=2a4b4c,則0的最大值是解：記y = xd = # = z,則+丫=與x + y + z = xyzZ = 3 = 1 + _Lxy-1 xy-1因為 x + y=xyN ?J = xy 2 4故 z=3 = l +，Jxy-1 xy-1 3即c的最大值是log2 g好題速遞229題設函數(shù)f (x)=3，g(x) = cos2x+kcosx 若對任意的應wR ,總存在x. wR ,使得 X-+1-g(x?)=fE)成立，則實數(shù)k的取值范圍是.解法一：由題意知f(x)的值域是g(x

29、)值域的子集，易得f(x)的值域是卜2,2St = cosx,則g(x)的值域為的值域，再通過分類討論進行解答-1 4 h(-l)S-2或，h。)“-8 -k- 令 t$-2或8h“0 - 1 4h。) 一M1)“解得 k e (-a,-20u2O+o)解法二：解法一常規(guī)，但計算量較大，作為填空題不劃算。故 從數(shù)形結合的角度，利用函數(shù)圖象給出解法二。f (x)的值域是-2,2,設弋=cos開x e -1,1則問題可以轉化為對任意實數(shù)mw卜2,2,關于t的方程2t2+kt-l = m在卜1,1上有解,即對任意實數(shù)me卜2,2,總存在k,使得直線y = ki-l與y = m-2t?在卜1是有公共點

30、,即直線y = ki-l與一簇函數(shù)y = m-2t2 a卜11皿七卜2,2個個都有公共點,從圖象上顯然看到，只要直線丫 =匕-1與函數(shù)y = T-2F,te卜1有公共點即可，于是求得 k/5u2/I刈)好題速遞230題在AABC中，AB邊上的中線8=2,若動點P滿足思=sin?/AQ + cos? 8芯(8 w R),則 (PA+PB)TPC的最小值是.解：因為麗=加2&N6 + cos28無(8wR),系數(shù)之和為1,故C,PQ三點共線，且 sin3cos2e0,l,所以點 P 在線段OC 上，設|瓦卜 t(t w 0,2),故(瓦+瓦慳=2 遠近= 2t(2-t)(-l)= 2t2-4t當t

31、 = l時，取最小值-2好題速遞231題max)an414f設數(shù)列aj滿足a1=l,a)= 2 ,且an+- =,則6匕=4an解：找規(guī)律.易知知=max1maxmax4x14x216a5 =116 4max8 4.1-X16max 1.1 4=2,故數(shù)列E是周期為5的數(shù)列，所以a刈5 = a$好題速遞232題設數(shù)列aj 滿足 a =19 =7,且 an+，= ，則 a$ =.an+1解._ ajNf + ax _ (141+1)2-11-1 +1)一1* n+2% + 1- an + 1- an+l即=2+1 =%等an+l令bn = an+ l,則b2bn = b3，即數(shù)列是等比數(shù)列，且可

32、=2=8,故b5=4,即好題速遞233題已知 9k1 ,函數(shù)f(x) = px-l|-k的零點分別為x1,x2(xix2),函數(shù) g(x)= 2X-1|- k的零點分別為乂3，勺(町 x3 = log- =log9- 2k + l-2k + 】r - 2k+l由得(X3)+(l) = M 然(*3) 因為!Wkvl,故(X4-X3)+(X? - )Nlog23好題速遞234題已知函數(shù)f (x)= ax2 + 2(2a-l)x+4a-7 ,其中a w N* ,設飛為f (x)的一個零點，若卬eZ,則符合條件的a的值有 個.解：f (x)= ax* + 2(2a-l)x + 4a-7 = 0na

33、=r(x 工 - 2)5+ 2廠因為aeN*,故三乙21,解得-3 1(xh-2)伐+ 2廣由殉 e Z 知,xq = -3,-1,0,17當飛=-3時，a = 1 ；當%=-1時，a = 5 ：當勺=0時，a =(舍去)；當殉=1時，a = 1綜上，符合條件的a =1或a = 5,有兩個值。好題速遞235題已知。是 AABC 的外心，AB=2a , AC = -(a 0) , ZBAC = 120* ,若 a75 = aAB + /?AC(a,/?eR),則a + 的最小值為.解：因為AO =aAB3 I /?AB 武 = AOAC = a 屈iAC2 + 尸記2a =4aa-2，4la解得

34、 口 =二+, /? = - + 3 3a233故 a+ = ;點評：這里又是三角形外心與向量的常見結合題，“外心點積轉邊投影”是正道。fa(x),fa(x) fj,(x)4(x)(x)n(x)好題速遞236題已知函數(shù) 4(x) = (x-t/-t,t wR ,設 a b a,解得b-a2 + /好題速遞237題在AABC中，若AB=2, AC2+BC3 = 10,則AABC的面積取得最大值時，最長的邊長等于.解法一：設CH=h, AH =x,由題知 a2+ = 10, c = 2, =ch = h一因為 h? = b2 -F = a2-x)2 =h2 = -x2 + 2x + 3 = -(x

35、-l)2+4/aC2 BC2-9-11 = 一一故 AC BDe -4,一000。1111解法二：投影角度ac:bd = |ac| |ce|要求aS而顯然在|欣|確定的情況卜，|c|最大。如圖，當DEI AE H.DE1 AE與圓相切時，|玩|最大。此時設|而卜!4iJ|df| = x.|of|=1-x, |ac|=2(1-x)所以 ACBD = |AC| |ct|=2x(1-x) + (cos -1)令1 = Jl-cos夕則旭麗g0t-t20 2- 2COS P + (cos y-1)AC： BD = J(cos 2-1)2 +sin2 0 cos (a + -2-2005 P + (co

36、s 尸-1)令 t = J-cosAw0,V?+-4 (當且僅當t = J5時取得等號)解法四：利用競賽知識設NAOC = a, NCOD =尸，ZBOD = %則4+7=AC：BD=(OC-OA)OD-OB)= ociw-oa6B-ocb+oa6b=cos fl-cos (a+P)-cos(P + 7)-l=cos 尸 + cos 7 +cos 2 -1在競賽中證明過一個不等式，在AABC中，cos A+cosB + cosC 一先證明cos A+cosB + cosC = 2cos Bcos 人 B- A+B A-B=2 coscos2 coso，A+B ,+ 19cos(A+B)= l

37、+ 2cosi,4 A+B.A.B,.A.B.CB-CB+CAcoscos22 )=l+4cossin sin = 1+4 sinsin sin 一 TOC o 1-5 h z D .A.B.C1.A乂 sin sin - sin - = - sin ooooo( A A sin- + l-sin-所以 cos A+ cosB + cosC - 這里用了三角的積化和差、和差化積公式，屬于超綱內容。所以 AC BD = cos + cos/ + cosa-l I2 +2 + 2A,/.i cos = 1(這里的8就是向量夾角，由于三點不同，故cosdc(-l.l) 當加 0 時有 22 + /P

38、 -22/z -1 2-/z 1當0 時有 I3 +p2 + 2/1 -1 4 + 4 2 9 當 4+oo,故(4-31+2 解法二：OC-AOA= /OB =-2Acos + 1 = 于是解法三：麗+玩=?？梢詷嬙烊切畏▌t(4一3+ 2 = (4-3)2 + 42-2；1cos 8 + 1= 2(以一cos + 3|故設5n = 4詠嬴=麗，則岡，|川.1構成AOMC邊(否則AB,C三點中至少有兩個點重合)，如圖所示 加1川1于是滿足網(wǎng)+1|川，畫出可行域，后續(xù)如解法一。川+1忸好題速遞240題已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx + c(ba0)為非負，則3土的最小值為b-a根據(jù)條件有a

39、 (), 0 0 ,m h a +b + c因此丁解法一：齊次化思想E 1 m.a+b + c t*+2 3 2t 19/- = t -,則1 += -+3Va 2 b-a 2t-l 244(2t-l)當且僅當t = 2及？=時取得最小值，即b = c = 4a時取得。解法二：根據(jù)條件有a 010 0,則cN匕 4a,b2故 a+b + c J+ +不 b-a b-a令6 = 2+30)得6 +(：+6 + 42 =3+里 + 工23 b-a b-a 2 4t 4a當且僅當t = 3a及c = 時取得最小值，即b = c = 4a時取得。 4a解法三：令 a+b + c = 0),得c = t

40、(b-a)-(b + a), KAA = b2-4act 化尚為(l+t)a+(l-t)b + cN0Xx2a+xb + c0故比府系數(shù)得 = l+t,x=l-t ,得(l-t = l+t,即t=3,此時x = -2即因為 f(-2)0,所以4a 2b + cN0 = a+b + cN3(b-a)因為ba,所以但上工3b- a好題速遞241題已知a,bcR+, a2+b2-ab = 3,則2a+b的最大值是解法一：判別式法令t = 2a+b , b = t-2a RA a2+b2 - ab = 37a2 -5at+t2 -3= 0關于a的一元二次方程有解得A = 25t2-28(r-3)0,即

41、t% 28fill 以 t = 2a+b42 近,當且僅當a = t = (2a +b)1414 n2a +b = 2 J7a = _5_了時取得等號。解法二：化齊次式c 3(2a+b)2 n4a2+4ab+b2 4 + 4t+t2 J5t + 3(2a+b)-5-=3-5=，- = 1 +ga-+b-ab a-+b-ab 1-t+t- I 1-t+t-令 5t+ 3 = u,t =上？故片如+不卜3”號28當且僅當u = 7.t = 3時取得等號。設 m= v3cos = VJsin 8 ,則 a = sin 8 +Vicos8.b = 2sin 6故 2a+b = 4sind+26cos8

42、= 2/7 sm( + )解法四：利用余弦定理構造三角形設AABC的三邊分別為a,b,c = 5 由a? +b? - ab = 3得C = 60。由正弦定理一-=2 故 a = 2sin Ab = 2sin B sin A sin B sin C故 2a +b = 2(2sin A+2sinB) = 4sin A+4sm(120,- A)= 5sin A+/3 cos A= 2/7 sin (A+g)其中tan3=V字，故取夕3+A. .-. + cos a =+ sin- a = sin a+ 1 + 1-cos- a = 2 sin asin a評注：這里用了 1的逆用，簡化了計算，當然也

43、可以把smacosa都算出來，不過計算最 比較大。好題速遞243題(2015全國聯(lián)賽4)在矩形ABCD中，AB=2,AD=1,邊DC上(包含D,C)的動點P與CB的延長線上(包含點B)的動點Q滿足|衣卜|武卜則踹血的最小值為解：不妨設A(0,0),B(2,0),D(0,1),則P(t,l)(0tS2),則由回卜網(wǎng)得Q(2,-t),PAPQ = (-t)(2-t) + (-l)(-t-l) =評注：坐標法解決向量問題是常見方法。好題速遞244題(2015全國聯(lián)賽 6 )在平面直角坐標系xOy中，點集K=(x,y)|(|x|+|3y卜6)(|3x田y|-6)S0所對應的平面區(qū)域的面積為.解：設=(

44、x,y)|x|+|3y|-6S0 先考慮K在第一象限中的部分，此時行x + 3y46,故這些點對應于圖中的AOCD及其內 部，由對稱性知，K】對應的區(qū)域是圖中以原點O為中心的菱形ABCD及其內部同理設K2=(x,y)|3x| + |y|-640,則電對應的區(qū)域是圖中以O為中心的菱形EFGH及其內部。由點集K的定義知，K所對應的平面區(qū)域是被Ki , K?中恰好一 個所覆蓋的部分，因此本題所要求的即為圖中陰影區(qū)域的面積S 由直線 CD:x + 3y = 6 ,直線 GH:3x + y=6 得交點 由對稱性知，2 = 82 =8xlx4x = 24好題速遞245題(2015全國聯(lián)賽7)設G為lE實數(shù)，若存在a,b(;r0 a b 0 %),使得sinoa+ sin0b = 2 ,則 3的取值范圍是.解：由 sin ya + sin 0b = 2 知,sin ya = sin pb = 1而麻,加引wr,2M,故題目條件等價于：存在整數(shù)